CC BY
67
УДК 621.372.54 В. А. АРЖАНОВ
Омский государственный технический университет
ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ПОЛОСОВЫХ ЛИНИЙ ЗАДЕРЖКИ________________________________
Проведён анализ характеристик группового времени запаздывания при аппроксимации передаточной функции полосовых линий задержки ортогональными полиномами. Ключевые слова: полиномы, аппроксимация, групповое время запаздывания, прототип.
Аналоговые избирательные устройства (электрические фильтры, линии задержки) широко применяются в современной радиоэлектронной аппаратуре различного назначения.
Требования к фильтрам и линиям задержки выражаются через модуль передаточной функции, е ё аргумент или характеристику группового времени запаздывания (ГВЗ), которая имеет определяющее значение для полосовых линий задержки.
В задачах синтеза избирательных устройств чаще всего используется равноволновая аппроксимация частотных характеристик затухания, основанная на разработанной П.Л. Чебышевым теории наилучших приближении функций.
Однако при такой аппроксимации фазовые характеристики линейных четырёхполюсников полиномиального типа близки к линейным лишь в нижней части полосы пропускания, а при дальнейшем росте частоты увеличивается крутизна фазовых характеристик, и, как следствие, групповое время запаздывания становится непостоянным в полосе пропускания. Поэтому представляют определенный интерес другие полиномы. Передаточная функция линейного четырёхполюсника при полиномиальной аппроксимации описывается известным выражением [1].
Т И2 = 1 + е2 р2
где 82 = е2Аа—1—коэффициент, характеризующий неравномерность затухания Аа линейного четырёхполюсника в полосе пропускания; Рп(р) —аппроксимирующий полином степени п; У(р) — полином Гур-
вица; У( — р)—комплексно-сопряжённый полином Гурвица.
В качестве аппроксимирующей функции Рп(р) используются различные полиномы, удовлетворяющие условиям физической реализуемости заданных требований, а именно: а) Рп(р)—четный или нечетный полином; б) 1 + е2^2 (р) = V (р)¥ (- р).
Условиям физической реализуемости удовлетворяют полиномы Лежандра [ 1]
г. (а). У -„Ц а- +
„' ' „ [ 2(2„-1)
„„ -1)(„ - 2)(„ - 3) 2-4-(2„-1)(2„ - 3)
которые для малых значений п имеют вид:
(а) = 2 (за)2 -1,
(а) = 2(5п3 - за)
(а) =1 (з5а4 - зоа2 + з)...
8
Полиномы Лежандра более высокого порядка находятся из рекуррентного соотношения:
(п-1)?п+1(П)-(2п-1) ПБп(П)+ пБп.1 (0) = 0,
при Б0( а) = 1, Б1( а ) = а.
Рис. 1
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ
283
РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010
Рис. 2
Кроме полиномов Лежандра практический интерес представляют модифицированные присоединенные полиномы Лежандра т-го ряда
П(°>=(1)
Использование выражения (1) и требование Г. (1) = 1 позволяют получить модифицированные присоединённые полиномы Лежандра 1-го рода (при т=1) и модифицированные присоединённые полиномы Лежандра 2-го рода для т = 2.
При аппроксимации передаточной функции полосовой линии задержки исследовались и полиномы Эрмита [2].
Гп (х ) = (-1)" в-х! —е - х\
пК ’ к ’ схп ’
которые при х = а для малых значении п имеют следующий вид:
Б0(а) = 1; Б1(а)=2а; Е,(а)=2(2а2-1);
ГзМ = 8(аз - за): Р4<а) = 16(а4 — За; + 0,75),^.
Полиномы Эрмита более высокого порядка определяются из известного рекуррентного соотношения.
Групповое время запаздывания линейного четырехполюсника при полиномиальной аппроксимации передаточной функции определяется полиномом Гурвица УЦа)
Т" =~^каг^ 0'а).
Для сравнительной оценки частотных характеристик группового времени запаздывания найдены корни знаменателя передаточной функции (1), лежащие в левой комплексной полуплоскости и образующие полином Гурвица У(]'0). Полученные коэффициенты полиномов Гурвица при аппроксимации передаточной функции полосовой линии задержки ортогональным полиномом, позволяют рассчитать нормированные характеристики ГВЗ для низкочастотного прототипа при различных значениях п. В частности, на рис. 1а,б показаны расчетные характеристики ГВЗ низкочастотных прототипов полиномов Баттерворта и модифицированных присоединенных полиномов Лежандра 1-го рода соответственно.
Анализ полученных характеристик позволяет оценить рассмотренные полиномы с точки зрения не только величины ГВЗ, но и его неравномерности в полосе пропускания. На рис. 2 представлены приведенные к 1 нормированные характеристики ГВЗ низкочастотных прототипов полосовых линий задержки при использовании данных полиномов при п = 3 и Аа =0,5 дБ (1 — полином Лежандра; 2 — модифицированный присоединенный полином Лежандра 1-го рода; 3 — модифицированный присоединенный полином Лежандра 2-го рода; 4 — полиномы Эрмита; 5 — полиномы Чебышева; 6 — Баттерворта). Наименьшая неравномерность ГВЗ в большей части полосы пропускания реализуется при использовании полиномов Лежандра.
Данные рис. 2 позволяют определить коэффициент использования полосы пропускания при заданной неравномерности ГВЗ.
Библиографический список
1. Белецкий, А.Ф. Теория линейных электрических цепей: учебник для вузов/А.Ф. Белецкий. — М.: Радиосвязь, 1986.—544 с.
2. Аржанов, В.А. Электромеханические полосовые линии задержки : монография / В.А. Аржанов. — Омск: Изд-во ОмГТУ, 2000.-152 с.
АРЖАНОВ Валерий Андреевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Радиотехнические устройства и системы диагностики».
Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11.
Статья поступила в редакцию 12.05.2010 г.
© В. А. Аржанов
Книжная полка
744/Л47
Леонова, Л. М. Соединения разъемные и неразъемные в электронных устройствах [Текст]: учеб. пособие для вузов по специальности 210201 «Проектирование и технология радиоэлектронных средств» направления 210201 «Проектирование и технология электронных средств» / Л. М. Леонова; ОмГТУ.-Омск, 2008.130 с.: рис., табл.-Библиогр.: с. 122-128.-ISBN 978-5-8149-0634-2.
В предлагаемом учебном пособии представлены общие требования, предъявляемые стандартом к разработке и оформлению конструкторских документов (виды изделий, виды и комплектность конструкторских документов); текстовых документов; графической части чертежа; текстовой информации на чертежах, а также требования, предъявляемые к рабочим и сборочным чертежам разъемных и неразъемных соединений. Содержит сведения о правилах выполнения схем, определенных стандартами. Проведен обзор вопросов стандартизации, относящихся к конструкторским документам, стандартизированным терминам, обозначениям основных групп комплекса стандартов «Единая система конструкторской документации» в РФ.
