Выбор адекватного оператора агрегирования информации из класса функций k-значной логики Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЫБОР АДЕКВАТНОГО ОПЕРАТОРА АГРЕГИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИИ ИЗ КЛАССА ФУНКЦИЙ к-ЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ

И. А. ПОЛЕЩУК, асп. каф. электроники и микропроцессорной техники МГУЛ

Успешное функционирование объектов различных сфер деятельности человека (техника, экология, образование и т. д.) напрямую зависит от решения задач, состоящих в обработке данных мониторинга состояний этих объектов, построении прогнозов их развития и выработке управляющих рекомендаций. Для агрегирования информации, полученной в результате мониторинга, используются известные операторы, многочисленность которых затрудняет процесс поиска подходящего, позволяющего получить адекватный реальности конечный результат. В настоящее время этот поиск чаще опирается на интуицию, чем на формальные методы, а поэтому требует совершенствования.

Рассмотрим характеристики

X, у = 1, т объекта, каждой из которых поставлено в соответствие некоторое множество значений Ху, I = 1, ту, у = 1, т , характеризующих их состояние. Будем считать эти характеристики подчиненными характеристике У с множеством значений У1,1 = 1, к, если

У приписан некоторый оператор агрегирования информации, позволяющий на основе значений характеристик Х}-, у = 1, т вычислять значения У.

Оператор агрегирования информации (ОАИ) ОУ есть функция, определенная на множестве всех возможных значений Ху, у = 1, т и принимающая значения на

множестве У1,1 = 1, к. Обозначим множество операторов агрегирования информации для У через М [ОУ ] и рассмотрим задачу выбора конкретного оператора ОУ е М [ОУ ], который базируется на некоторой информации 1У об его «идеальном» поведении. Эта информация представляет собой два множества

I = I (1)

1у 1у

и I

(2)

где 1У (1) - множество высказываний экспер-

тов о «правильном поведении» ОУ ;

1У - множество результатов работы выбранного ОАИ.

В начале работы с объектами имеется только теоретическая информации первого типа 1У (1). По мере практической работы с объектами появляется информация второго типа 1У (2). После этого проводится сравнительный анализ теоретической и практической информации до момента появления противоречия. В этом случае процедура выбора адекватного ОАИ повторяется, но на основе дополненной и, быть может, уточненной с экспертом информации 1У(1) или

1У (2). Если такое противоречие не возникает, то делается вывод, что оператор ОУ выбран удачно и является адекватным ОАИ.

Если имеется к-значений характеристики У, то мы можем представить оператор агрегирования информации как некоторую функцию к-значной логики. Если количество подчиненных характеристик Xу равно т, то

в качестве оператора агрегирования может быть использована одна из функций к-значной логики от т переменных. Обозначим множество всех таких функций через Р^, а через £ множество нечетких условий на их поведение. Согласно [1] нечеткие условия £ представляются в виде некоторого нечеткого отношения £. Данное отношение £ определяется на декартовом квадрате области определения функции и описывает поведение функции, ему удовлетворяющей, на соседних значениях области определения. Как известно [2], степень нечеткости нечеткого отношения £ равна

£(s )=—Zj (, у)

v ' n • да 1 v '

- r

t, ]

где

r = {

V

0,апёв j- (Xt,y} )< 0.5

1,апёв j- (x,.,y} )> 0.5

(1)

Пусть у нас есть одно нечеткое условие на поведение функции f от одной переменной. Нечеткое отношение £, соответствующее нечеткому условию 8, описывает принадлежность функции к данному классу на основе значений функции в точках г и г +1,0 <г< к -1.

Значение / (р, ц) есть степень принадлежности функции к данному классу при условии, что f (г) = р, f (г +1) = ц, 0 < р, ц < к -1. Таким образом, матрица нечеткого отношения , соответствующего нечеткому условию 8, имеет вид

S = ( ( p, q )).

Функция удовлетворяет нечеткому условию, если она удовлетворяет ему для всех значений г, 1 < г < к -1. Таким образом,

по матрице нечеткого отношения 8? степень принадлежности любой функции f е Р[к

этому условию вычисляется однозначно. Она будет равна некоторой ¿-норме соответствующих степеней принадлежности из мат-

рщы = (/ ^ ц))

к-1

Ms (f) = TMs (f (0, f (i +1)). (2)

i=1

Степень нечеткости класса функций, определяемого отношением 8?, вычисляется по следующей формуле [1]

да) = тЬЕ(1 -2/8^)-0.5 |). (3)

| F

lf eS

Связь степени нечеткости отношения и степени нечеткости класса функций, определяемого этим отношением, устанавливает следующее утверждение.

Утверждение 1

Если ¿¡(8 ) = 0, то и £(Р8 ) = 0.

. (4)

Доказательство

Очевидно, что для Vf

M~( f (i), f (i +1)) = 0 или 1. Тогда из свойств

s

¿-нормы мы будем иметь:

|0

Ms (f ) = j1 для Vf .

В нашем четком случае, как не трудно видеть из этой формулы, все слагаемые под знаком £ в (3) будут равны 0, и, следовательно, степень нечеткости всего класса £ (Fs ) = 0. Утверждение доказано.

Пусть у нас имеются 2 нечетких условия s1 и s2 , выраженные нечеткими отношениями и имеющие разную степень нечеткости. Для определенности £ ( S1 )<£ ( S2). Можно ли в этом случае утверждать, что £(FSi )<£()? Из формулы (3) видно, что

для этого надо установить, будет ли справедливо следующее

Ms1( f) <Ms2( f) i öe Ms2( f) < 0,5 Ms1( f) >Ms2( f) i öe Msj( f ) > 0,5

Как оказалось [3], в общем случае это выполняться не будет. Поэтому рассмотрим специальный тип нечетких отношений, который можно охарактеризовать как «слегка-возрастание» функции.

Для нечетких условий такого типа автором статьи доказана следующая теорема.

Теорема 1

Пусть имеются два нечетких отношений Sfl и 4 , где а > 0, b < 1 и £(Sfl) <£(Sb). Тогда степень нечеткости класса, порождаемого отношением Sa, будет не больше, чем степень нечеткости класса, порождаемого отношением Sb, т.е.

£( sSa ) <£ (S ) ^£( FSa) <£( FSb).

Доказательство

Для удобства доказательства и наглядности в (2) качестве ¿-нормы возьмем min. В формуле (3) нас в первую очередь интересует величина | js(f) - 0.51. Чем она

больше, тем меньше степень нечеткости интересующего нас класса. Поэтому имеет смысл рассмотреть 3 случая:

1) a > 0,5, b > 0,5. Так как у нас по

условию Sa) <£(Sb), то в данном случае

a > b и, т.к. T = min, то

k-1

Vsa (f) = ТМ f (i), f (i +1)) = a

a ^a

i = 1

для всех функций f, кроме строго возрастающих и тех, степени принадлежности которых равны 0.

k-1

^ (f) = TVsb (f (i), f (i +1)) = b

i=1

для всех функций f , кроме строго возрастающих и тех, степени принадлежности которых равны 0.

Таким ^р^^ | jUSa (f) - 0,5| > I ßSb f

- o,5| vf ) <mb).

2) a < 0,5, b < 0,5 . В этом случае a < b, и все рассуждения аналогичны первому случаю, и мы опять имеем £(FSa) <£(FSb).

3) a > 0,5, b < 0,5. Так как £(Sa) <£(Sb), то 1 - a < b . Или, что то же самое,

| a - 0,5| > | b - 0,5|. Применив рассуждения, аналогичные тем, что в случае 1, мы получим требуемое нам соотношение: £(FS ) <£(F^ ). Таким образом, все возможные случаи рассмотрены, и теорема полностью доказана.

Аналогично доказывается теорема для функций, обладающих свойством «слег-ка-убывание». Хочется отметить, что рассмотрение нечетких условий именно такого вида было неслучайным, поскольку количество функций, принадлежащих к данным отношениям с ненулевой степенью, очень мало по отношению к их общему количеству [1].

Метод выбора адекватного ОАИ из класса функций А-значной логики

1. Формализация одного нечеткого условия, налагаемого на поведение функций k-значной логики от одной переменной.

Рассмотрим одно нечеткое условие на поведение функции f от одной переменной. Нечеткое отношение £, соответствующее нечеткому условию £, описывает принадлежность функции к данному классу на основе значений функции в точках г и г +1,0 < г < к -1. Значение / (р, д) есть степень принадлежности функции к данному классу при условии, что

f (г) = р, f (г +1) = д, 0 < р, д < к -1.

2. Формализация нескольких нечетких условий, налагаемых на поведение функций к-значной логики от одной переменной.

Пусть на поведение функций наложено несколько нечетких условий -£г, г = 1, ^. Каждому из этих условий соответствует матрица нечеткого отношения £г, г = 1, ^. Матрица, которая обобщает все условия, получается следующим образом [1]

s s = Тг.

(6)

r=1

На основе свойств матрицы отношения матрица £4 в [1] утверждается, что если эта матрица имеет хотя бы одну нулевую

строку, то множество условий {£г} ^ является противоречивым, т.к. любая функция f удовлетворяет им с нулевой степенью (в силу свойства ограниченности ¿-нормы). Более

того, используя матрицу отношения £4, мы, аналогично случаю с одним нечетким условием, сможем описать все функции, удовлетворяющие нечетким условиям {£г} ^. Если

система условий {£г} ^ является противоречивой, то предлагается выделить непротиворечивые подсистемы согласно следующему алгоритму.

На противоречивость проверяются все пары нечетких условий системы. Найденные противоречивые пары удаляются из рассмотрения. Далее на противоречивость проверяются все тройки нечетких условий (естественно, в которые не входят противо-

речивые пары). Найденные противоречивые тройки удаляются из рассмотрения. Эта операция повторяется, пока на шаге /, 1 < / < ^ не окажется, что все подсистемы, состоящие из / +1 нечетких условий, противоречивы. Тогда непротиворечивыми подсистемами окажутся подсистемы, выписанные на шаге / -1 и состоящие из / нечетких условий.

Таким образом, любое количество нечетких условий по одной переменной формально легко сводится к одному нечеткому условию по этой переменной.

3. Формализация нескольких нечетких условий, налагаемых на поведение функций к-значной логики от нескольких переменных.

Рассмотрим класс функций Р^ и множество нечетких условий 8. Для простоты изложения положим т = 2 и |8| = 2 .

Пусть первое нечеткое условие определено по первой переменной, второе условие - по второй переменной.

Согласно (6) строятся матрицы отношений 81 и 82. Удовлетворение условиям 8 означает одновременное удовлетворение условий 81 и 82. Это, в свою очередь, означает, что на наборе (1, г2) значений переменных х1 и х2 (, г2 е{0,1,..., к - 1}) мыв качестве значения строки матрицы отношения 8? должны взять ¿-норму (/1 +1) строки матрицы отношения 81 и (г2 +1) строки 82. Полученная таким образом матрица размером (к2 х к) и будет искомой.

Данная матрица обладает всеми свойствами матриц отношений для одной переменной.

4. Формализация одного нечеткого и одного начального условий, налагаемых на поведение функций к-значной логики.

Будем предполагать, что на поведение ОАИ накладывается нечеткое условие 8 и дополнительно некоторое начальное условие (например, f (0) = 0) . Класс функций, удовлетворяющих нечеткому и начальному

условиям, обозначим через рк1. Нечеткое

отношение 8, формализующее нечеткое условие 8, берется за основу для построения

нечеткого отношения 8?, формализующего

оба условия на поведение ОАИ. Согласно [1]

к

/§(1, ]) = 1/1(1 -10 х / (Л ]) ,

г=1

(1 < у < к,2 < / < к) (7)

при начальном условии f (0) = 0 . Первой

строкой матрицы нечеткого отношения 8?, соответствующего значению аргумента 0, является строка (1, 0, ..., 0) как выражение начального условия.

Формулу (7) можно интерпретировать как своеобразное умножение предыдущей строки матрицы отношения 8? на столбцы матрицы отношения 8?, где вместо операции сложения используется операция взятия ¿-конормы.

Предположим, что начальное условие сформулировано не для f (0), а для f (к -1) . Пусть для определенности это будет условие f (к -1) = ц, 1 < ц < к -1. Это условие аналогично рассмотренному выше случаю определяет к строку матрицы отношения 8? - строка содержит одни нули за исключением 1 в ц

столбце. Для остальных строк матрицы 8?

к

/§(1, ] ) = 1/1(1 +1 г) х / (г),

г=1

(1 < у < к,2 < / < к - 2). (8)

Предположим, что начальное условие сформулировано для некоторого промежуточного значения f (/*),(1 < Г < к -1). Пусть для определенности это будет условие f (/*) = ц,(1 < ц < к -1). Это условие аналогично рассмотренным выше случаям определяет / - строку матрицы отношения,

8 - строка содержит одни нули за исключением 1 в ц столбце. Общий метод построения матрицы отношения 8? определяется следующей формулой [1]

(1, ]) =

(1 +1 г) х/(г)

г =1 к

А/1(1 -1, г) х/<л у)

г=1

1 бе 1 < I < I

1 бе Г < I < к

(1 < I, у < к) . (9)

5. Формализация одного нечеткого и ¿ начальных условий, налагаемых на поведение функций к-значной логики.

Пусть для функции одной переменной задано одно нечеткое условие и ¿ начальных условий. Класс функций, удовлетворяющий наложенным условиям, обозначим через РД, ¿ > 1. Это означает требование

для функции выполнения всех начальных условий. В рамках теории нечетких множеств данное требование означает взятие некоторой ¿-нормы. Таким образом, если начальных условий несколько, то матрица £г строится для каждого г - условия в отдельности (1 < г < ¿), а итоговая матрица о согласно [1] получается следующим образом

I1 =тД. (10)

г=1

Если используются условия «слегка-возрастание» или «слегка-убывание», то на основе доказанной в статье теоремы осуществляется контроль за степенью размытости класса функций, которая определяет степень неопределенности полученных в результате применения этих функций выводов.

В результате формализации всех условий, налагаемых на поведение функций к-значной логики, получается матрица нечеткого отношения, которая определяет некоторый класс таких функций. Функции, определяемые построенным нечетким отношением, применяются в реальной задаче.

Полученная практическая информация о результатах работы каждой функции сравнивается с теоретической информацией о результатах работы ОАИ, полученной от экспертов. Отбрасываются те функции, для которых сравнительный анализ привел к противоречию. Оставшиеся функции есть адекватные ОАИ. Если таких функций нет, то с экспертами уточняем налагаемые на поведение ОАИ условия и повторяем всю процедуру выбора.

Выводы

В статье рассмотрен логический подход к нахождению оператора агрегирования информации, полученной при мониторинге функционирования объектов с качественными характеристиками. Согласно этому подходу в качестве оператора агрегирования информации используются функции к-значной логики. Выделен специальный класс функций к-значной логики от т переменных, обладающих нечетким свойством «слегка-возрастание» или «слегка-убывание». Выбор этого класса связан с тем, что количество функций, принадлежащих этому классу с ненулевой степенью принадлежности, достаточно ограничено. Для рассматриваемого класса функций доказана теорема о связи степени нечеткости порождаемого этими функциями нечетких отношений и степени нечеткости самого класса, что позволяет заранее предсказывать, насколько четким и, соответственно, уменьшающим неопределенность вывода будет выбор оператора агрегирования информации, что важно для практических приложений. Доказано утверждение, что четкое условие, накладываемое на поведение функций к-значной логики, определяет класс функций с нулевой степенью нечеткости. Разработан метод выбора адекватного оператора агрегирования информации при мониторинге функционирования объектов с качественными характеристиками на основе функций к-значной логики.

Библиографический список

1. Рогожин, С.В. О нечетко заданных классах функций к-значной логики / С.В. Рогожин, А.П. Рыжов // Сб. докладов V Всероссийской конференции «Нейрокомпьютеры и их применение». - М., 1999. - С. 460-463.

2. Рыжов, А.П. Элементы теории нечетких множеств и измерения нечеткости / А.П. Рыжов. -М.: Диалог-МГУ, 1998. - 116 с.

3. Полещук, И. А. О связи между нечеткостью условий, накладываемых на оператор агрегирования информации, и нечеткостью класса функций к-значной логики, определяемых этими условиями / И.А. Полещук // Обозрение прикладной и промышленной математики. - Т.12. - Вып. 3. -2005. - С. 174-175.