CC BY
16
УДК 519.716
С.С. Марченков1
FE-КЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ*
На множестве функций многозначной логики рассматривается оператор замыкания, заданный на основе систем функциональных уравнений (оператор FE-замыкания). Он порождает FE-классификацию функций многозначной логики, ядро которой составляют классы типа Sg, определяемые группами перестановок G. Доказывается ряд утверждений, которые гарантируют в классах типа Sg FE-предполноту классов только этого типа. Утверждения иллюстрируются на примерах функций 2-, 3- и 4-значной логик.
Ключевые слова: функции многозначной логики, FE-классификация.
Важной проблемой теории функций многозначной логики является проблема классификации множества Р)~ функций fc-значной логики. Обычно классификация проводится на основе некоторого оператора замыкания. Чаще всего это оператор суперпозиции либо его различные расширения. При к ^ 3 оператор суперпозиции приводит к континуальной классификации множества Р. В связи с этим в последние 30-35 лет был предложен ряд так называемых сильных операторов замыкания, для которых соответствующие классификации множества Р% конечны либо счетны. В качестве примеров укажем на оператор параметрического замыкания [1], серию операторов программистского типа [2, 3], операторы функционально-алгебраического типа [4-9], операторы логико-функционального типа [10] и оператор логико-дедуктивного типа [11].
В работах [12-14] предложено новое отношение выразимости для функций многозначной логики — выразимость на основе систем функциональных уравнений. С использованием этого отношения в [15, 16] определен новый сильный оператор замыкания — оператор FE-замыкания (в [16] — оператор SFE-замыкания). Как оказалось, при любом к ^ 2 число FE-замкнутых классов в Р% конечно. В частности, при к = 2 их два [15], а при к = 3 шесть [16].
Цель данной статьи — продолжить исследование FE-классификации, начатое в работах [15, 16], и охарактеризовать как можно большую часть FE-замкнутых классов. В этом исследовании можно выделить два направления: первое — найти достаточно общие условия, которые гарантируют FE-полноту конечных систем функций в произвольных FE-замкнутых классах; второе — для FE-замкнутых классов типа Sq (класс функций, самодвойственных относительно перестановок группы G) получить теоремы, обеспечивающие FE-предполноту в классах Sq классов только этого типа. Согласно результатам из [15], это могло бы привести к тому, что все FE-замкнутые классы окажутся классами типа Sq• Для к = 2,3 это подтверждается работами [15, 16].
Дадим необходимые определения. Пусть к ^ 2, Е^ = {0,1,..., к — 1}, Р^ — множество всех функций на /•.'/,. (множество функций fc-значной логики), Р^ — множество всех функций из /'/■• зависящих от п переменных. Для любых п ^ 1 и i, 1 ^ г ^ п, на множестве /•.'/,. рассматриваем селекторную функцию ef(xi,..., Xi,..., хп), значения которой совпадают со значениями переменной х%. На множестве Р)~ предполагаем заданной операцию суперпозиции [17]. Множества функций из /'/■• замкнутые относительно операции суперпозиции, далее называем замкнутыми классами.
В определении языка функциональных уравнений придерживаемся терминологии работ [12-14]. Предполагаем, что каждая функция из Римеет индивидуальное обозначение. Для обозначения п-местных функций из Риспользуем символы //п\ которые называем функциональными константами. Наряду с функциональными константами рассматриваем функциональные переменные, для которых
(п) (п)
используем символы щ с областью значений Pf, . Кроме функциональных переменных используем обычные индивидные переменные х\, жг, • • • с областью значений /•,'/,..
Пусть Q С Рк. Определим понятие терма над Q. Всякая индивидная переменная есть терм над Q. Если ti,... ,tn — термы над Q, f^ — функциональная константа, служащая обозначением функции
1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: mathcybQcs.msu.su
* Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 20092013 годы.
из (2, (р^ — функциональная переменная, то выражения //"^(¿1, • • •, ¿п), ср^... ,1п) суть термы над С,
Равенством над С} называем любое выражение вида = ¿2, где ¿1, ¿2 — термы над <3• Равенства над считаем также функциональными уравнениями над Пусть • • • -.^„"^ — все Функцио-
нальные переменные, входящие в уравнение = ¿2- Решением уравнения = ¿2 называем систему ■ ■ ■, функций из /'/,.• которая после замены каждой переменной соответствующей
функциональной константой превращает уравнение = ¿2 в тождество (относительно всех входящих в уравнение индивидных переменных). Если Н — конечная система уравнений, то решением системы уравнений Н называем систему функций из /'/■• которая является решением каждого уравнения, входящего в систему Н.
Для того чтобы с помощью систем уравнений определять некоторые множества функций (от одного и того же числа переменных), выделим одну из функциональных переменных системы Н, которую
назовем главной функциональной переменной системы Н. Пусть (р^ — главная функциональная переменная системы уравнений Р^ ■ Говорим, что множество функций Р определяется системой
уравнений Н, если Р является множеством всех тех п-местных функций, которые входят в решения
„ (п)
системы г, в качестве компоненты по переменной щ .
Пусть (¿С Рк. Замыканием множества <3 относительно систем функциональных уравнений (коротко ¥Е-замыканием) называем множество всех функций из /'/,.• которые определяются (как одноэлементные множества) системами функциональных уравнений над С,РЕ-замыкание множества С,) обозначаем через РЕ[<3]. Множество называем замкнутым, если С} = ЕЕ[<3]. Понятия РЕ -полноты и РЕ-порождающей системы вполне аналогичны соответствующим понятиям для операции суперпозиции. Нетрудно убедиться в том, что для любого множества <3 (в том числе для (3 = 0) множеству РЕ[<3] принадлежат все селекторные функции, а множество РЕ[<3] замкнуто относительно операции суперпозиции [15].
Пусть /(ж1,..., хп) € Рь и 7г — перестановка на множестве /•.'/,. Положим
Г{хъ ...,хп)= 7Г_1(/(7Г(Ж1), . . . ,7г(ж„))),
где 7Г-1 — перестановка, обратная к тт. Функция называется двойственной к функции / относительно перестановки тт. Если = /, то говорят, что / самодвойственна относительно перестановки тт. Множество всех функций из / '/,.• самодвойственных относительно перестановки ж, обозначим через Если О — непустое множество перестановок на /•.'/,. то пусть Б с есть пересечение всех множеств Бж, где 7Г € О. Для любого множества перестановок О множество Бс образует РЕ-замкнутый класс [15]. Утверждение 1 представляет собой некоторое обобщение утверждения 2 из [15]. Утверждение 1. Пусть к ^ 2, I ^ т, ^ к, С} — РЕ-замкнутый класс функций из /'/.. Я С и дг,... ,дк — такие функции из что для некоторого набора (а\,..., а,т) € Е™ выполняется
равенство
{51(01, • • • ,ато),... ,Ыаь ■ ■ ■ ,ат)} = Ек. (1)
Пусть далее для любой функции /г(ж1,..., хп) из и любых индексов ¿1,..., гп из {1,2,..., к} функция
, хт),..., д%п
(х!,...,хт)) (2)
принадлежит множеству Я. Тогда множество Я является РЕ-полным в
Доказательство. Возьмем произвольную функцию /г(ж1,... ,хп) из класса и произвольный набор (&!,..., из Согласно равенству (1), можно выбрать такие индексы и такой
набор («1,..., ат), что будет выполняться соотношение
(5*1(01, • • • ,ото),... ,5гп(аь ... ,ато)) = {Ьъ .. .,Ьп). (3)
Обозначим функцию (2), принадлежащую множеству Д, через д(х 1,..., хп). Тогда из (3) и определения функции д следует, что
к(Ьъ ...,Ьп)= д(аъ ... ,ат).
Таким образом, уравнение
Ф^ЧтАхъ ■ • • • • .,дгп(х 1,... ,жто)) = д(х 1,... ,хт) (4)
над множеством функций {д\,... ,дк,д} правильно определяет функцию к на некотором множестве наборов, включающем, в частности, набор (Ъ\,... ,Ъп). Поэтому искомую систему уравнений над множеством Д, которая определяет функцию к, можно заведомо получить из кп уравнений вида (4), соответствующих всем наборам [Ъ\,..., Ьп) ич /•.]!. Утверждение доказано.
Пусть О — группа перестановок на множестве /•-'/, и [а\,... ,ап) € ЕЦ. О-орбитой набора (а\,..., ап) назовем множество всех наборов вида (-7г(а1),..., ж(ап)), где ж — перестановка группы О. Очевидно, что О-орбиты любых двух наборов из Е% либо не пересекаются, либо совпадают. Далее, если /(х\,... ,хп) — функция из /'/,.. принадлежащая классу Ба, то для полного задания функции / достаточно определить ее на любом наборе каждой из О-орбит. В дальнейшем этим фактом мы неоднократно пользуемся.
Обозначим через (¡ \ группу перестановок на состоящую из единичной перестановки и перестановок, имеющих цикловые разложения
(0)(1)(23), (01)(2)(3), (01)(23), (02)(13), (03)(12), (0213), (0312)
(полная импримитивнсш группэ» перестановок НЭ> Е4.1 сохраняющая разбиение ({0,1}, {2, 3})). Известно [18], что группа (¡\ максимальна в полной симметрической группе 84 всех перестановок на множестве
¡2)
Используя утверждение 1, покажем, что множество является РЕ-полным в классе «5<з4- Для этого определим в классе Ба4 функцию д(х 1,жг) соотношениями
5(1,2)= 5(1,3) = 0, 5(0,2) = 5(0,3) = 1, д(3,0) = 5(3,1) = 2, 5(2,0) = 5(2,1) = 3
(отметим, что данные восемь наборов образуют £?4-орбиту набора (0,2)). На всех остальных наборах из Е\ функцию 5 определим равной, например, первой компоненте набора. Имеем теперь {0, 2,5(0, 2), 5(2, 0)} = £4, что вместе с принадлежностью классу Ба4 селекторных функций е\, е\ приводит к равенству К К [5^'] = Ба4-
Пусть /•,' С /•,'/. и /(х\,... ,хп) € Рк- Говорят, что функция / сохраняет множество Е, если для любых элементов а\,... ,ап из Е элемент /(а\,..., а,„) также принадлежит множеству Е. Пусть р(х 1,жг) — двуместный предикат на /•-'/,.. Говорят, что функция / сохраняет предикат р, если для любых п наборов (01, Ь\),..., (ап, Ь„), удовлетворяющих предикату р, набор (/(а\,..., а,п), /(Ь\,..., Ьп)) также удовлетворяет предикату р.
Теорема 1. Пусть к ^ 3, О — группа перестановок на множестве Ек, 1 ^ т < к и для всякой функции /(х\,... ,хп) из Ба найдется такое г, 1 ^ г ^ п, что ограничение функции / на любое (т — 1)-элементное подмножество множества /•-'/. совпадает с переменной х¿. Пусть далее в множество Б^1-1 входят такие функции 51,..., 5^, что ограничение каждой из этих функций на любое (т — 1)-элементное подмножество из /•,'/. совпадает с переменной х\ и для любого набора (а\,..., а,т) € Е™, содержащего т различных элементов, выполняется равенство
{51(01, • • • ,ат),... ,5г(аь • • • ,ат)} = Ек. (5)
Пусть, наконец, Я есть множество всех функций из /'/.. которые сохраняют любое подмножество множества /•-'/,. и любой предикат вида
(ж б Е) к (тт(ж) = у), (6)
где Е С /•-'/,.. — 1ы7г — нетождественная перестановка на /•-'/,.. Тогда класс Ба ГЕ-
порождается множеством Ба П Д.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что среди функций 51,...,дх находятся все т-местные функции из Ба, отличные от селекторных функций. Определим функцию к(хг,..., хт,у1,у2, ¿1,..., гг) следующими условиями:
Цхг,... ,хт,у1,у2,51 (жь • • • ,хт),... ,5г(жъ • • • ,хт)) = уг,
ограничение функции к на любое (т — 1) -элементное подмножество из /',"/,. совпадает с у\~,
к(х 1,... ,хт,у1,у2^1,... = у2 в остальных случаях.
Покажем, что функция к принадлежит множеству Б а П Д. Сначала установим включение к € Б а ■ В силу соотношения {51,..., д^} с Ба О-орбита любого набора («1,..., ат, Ъ\, Ьг) € Е™'+2 задает О-орбиту набора
(«1, • • • ,ат,Ь1,Ь2,с1,... ,с[), (7)
где
ci = 5i(ai,..., ато), ..., ci= gi(at, ..., а,т). (8)
Согласно первому пункту определения функции h, значения функции h на этой G-орбите будут совпадать с (т + 1)-ми компонентами наборов. Если набор (7) содержит не более т — 1 различных элементов и не выполняется хотя бы одно из равенств (8), то в соответствии со вторым пунктом определения значения функции h на G-орбите набора (7) вновь будут совпадать с (т + 1)-ми компонентами наборов. Во всех остальных случаях значения функции h на G-орбите набора (7) будут равны (т + 2)-м компонентам наборов по третьему пункту определения функции h. Таким образом, функция h самодвойственна относительно любых перестановок группы G.
Докажем теперь, что h € R. Поскольку значениями функции h являются значения переменных у у2, функция h сохраняет любое подмножество множества /•.'/,.. Рассмотрим предикат р(х,у) вида (6). Пусть т + 1 + 2 наборов
(an, a2i),..., (aim, а,2т), (6n, 621), (612, ¿>22), (cu, c2i)..., (cu, c2i)
удовлетворяют предикату p. Если все элементы набора (an,..., aiTO) (а тогда и набора (021, • • •, 02m)) различны, то для вычисления значений
к(ац,..., aim, bn,bi2, сц,..., сц), /1(021, • • •, 02ТО, 621, 622, С21, • • •, C21) (9)
необходимо воспользоваться третьим пунктом определения функции h, поскольку функции gi,... ,gi удовлетворяют условию (5), а каждый из наборов (сц,..., сц), (021, ■ ■ ■, С21) содержит не более А; — 1 различных значений (см. ограничение \Е\ О ~ 1 в определении предиката (6)). Поэтому пара (9) будет совпадать с парой (612,622), т.е. удовлетворять предикату р.
Пусть не все элементы набора (an,..., aim) различны. Тогда это верно и для набора (021, • • •, агт)-Если набор (сц,... ,сц) совпадает с набором
(51(011, • • •, aim), • • • ,5г(а 11, • • •, aiто)), (Ю)
то по определению функций gi,... ,gi должно быть
сц = ... = сц = ац- (11)
Следовательно, первое из значений (9) есть Ъц. Вместе с тем из равенств (11) вытекают равенства
С21 = ... = С21 = а21-
Значит, набор (С21,..., С21) совпадает с набором (51(021,..., 02ТО), • • • -,9i(a21, • • •, а2т)) и потому вторая из величин (9) есть Ь21, т.е. пара (9) удовлетворяет предикату р.
Пусть набор (сц,... ,сц) отличается от набора (10), т.е. от набора (ац,..., ац). Тогда ввиду рассмотренного выше случая набор (С21,..., С21) также отличен от набора (021,..., 021) (здесь используется лишь представление (6) предиката р). Замечаем, что наборы
(ац, . . . , aim, b 11, bi2, Сц, . . . , Сц), (021, . . . , 02ТО, &21, &22, С21, • • •, С21) (12)
содержат одинаковое число различных элементов. Поэтому в случае, когда каждый из наборов (12) содержит не более m — 1 различных элементов, по второму пункту определения функции h получаем, что набор (9) совпадает с набором (611,621), т.е. удовлетворяет предикату р. В противном случае применяется третий пункт определения функции h, согласно которому пара (9) есть (612,622)- Эта пара также удовлетворяет предикату р.
Итак, функция h сохраняет предикат р и тем самым принадлежит множеству R. Теперь нетрудно выписать систему Н функциональных уравнений, которая определяет функции д 1,... ,5г- Во-первых, для любого г, 1 ^ г ^ эта система будет включать все уравнения вида
^ (Xjl -,■■■-, Xjm ) = Xjl 1 (13)
где 1 = ji ^ j2 ^ • • • ^ jm ^ т — 1- Затем добавим к этим уравнениям уравнение
h(x 1,... ,хт,У1,У2,(р[т)(х1, ■ ■ -,хт),.. .,^т)(х 1,.. .,хт)) = У1. (14)
Очевидно, что уравнения (13) обеспечивают совпадение с х\ ограничений функции д^ на любое (т. — 1)-элементное подмножество множества /•.)■. Рассмотрим уравнение (14). Ввиду наличия в системе Н
уравнений (13) достаточно рассмотреть равенство (14) на наборе (а\,..., а,т, Ь\, где элементы ai,... ,ат попарно различны и Ь\ ф В этом случае, согласно определению функции h, равенство
h(ai,... ,ат,Ь1,Ь2,р[т)(а1,... ,ато),.. .,(p\m\ai,... ,ато)) = h
будет выполняться только в том случае, когда
^™)(аь...,ато) = 51(а1,...,ато),...,^(™)(а1,...,ато)=5г(аь...,ато).
Таким образом, система уравнений Н определяет (при различном выборе главной функциональной переменной) любую из функций gi,..., gi. Остается заметить, что множество R замкнуто, и применить утверждение 1. Теорема доказана.
Следствие. В условиях теоремы 1 все FE-предполные в Sq классы имеют вид Sq1, где группа G максимальна в группе G'.
Доказательство. В работе [15] установлено, что FE[0] = ///,. где ///, — класс однородных функций, содержащий, в частности, тернарный дискриминатор р (по поводу однородных функций см. работу [19]). С другой стороны, в [20] охарактеризованы все замкнутые дискриминаторные (т.е. содержащие дискриминатор р) классы в Как оказалось, они определяются конечными множествами предикатов, состоящими из одноместных предикатов и предикатов вида (6) (где уже возможно равенство Е = Ек). Таким образом, любой FE-предполный в Sq класс либо содержится в классе вида Sq1, где G — собственная подгруппа группы G', либо имеет вид Sg П R, где множество R определено в условиях теоремы 1. Однако множество Sg П R FE-полно в классе Sq- Поэтому остаются классы вида Sg1- В завершение доказательства следует заметить, что из включения G' С G" вытекает включение Sg> D Sq" ■
Ниже мы рассматриваем четыре частных случая доказанного следствия.
1. G — единичная группа и, следовательно, Sg = Рк-
В условиях теоремы 1 необходимо положить т = 1, а в качестве функций gi,...,gi взять (при I = к) константы 0,..., А; — 1. При к = 2 помимо единичной группы G имеется только одна группа G', которая порождается перестановкой х + 1 (mod 2). Класс Sg' есть класс самодвойственных булевых функций, а согласно результатам из [15], всякий FE-замкнутый класс булевых функций содержит класс Sg' - Таким образом, получаем ровно два FE-замкнутых класса булевых функций [15]. При к = 3 имеются 4 группы G', в которых максимальна группа G. Они порождаются перестановками х + 1, 2х, 2х + 1, 2х + 2 (арифметические операции выполняются по модулю 3).
Пусть Sк — группа всех перестановок на множестве /•-'/,. Нетрудно убедиться в том, что любая минимальная подгруппа группы S^ есть циклическая группа, порождаемая перестановкой, которая разлагается в произведение циклов длины 1 и циклов одной и той же простой длины. В п. 2 мы рассматриваем группы несколько более общего вида.
2. G — циклическая подгруппа группы S^, которая порождается перестановкой, разлагающейся в циклы длины 1 и циклы одной и той же длины (не обязательно простой).
Для упрощения построений предположим, что перестановка ж, порождающая группу G, имеет цикловое разложение вида
(01... т - 1){т ... 2т - 1)... (ml... т{1 + 1) - 1 )(m(l + 1 ))...(*- 1),
где m ) 2 и i ) 0. Легко видеть, что классу Sg принадлежит сама перестановка я, а также все функции-константы т(1 + 1),..., к — 1. Пусть 1 = 0. Тогда в качестве функций д^ из теоремы 1 можно взять (одноместные) функции я, я2,..., ят и функции-константы т,..., к — 1. Действительно, для любого а € Ет имеет место равенство {я(а),я2(а),... ,ят(а)} = /•-',„.
Пусть теперь 1^1. Как и выше, в систему функций {д^} будут входить все функции-константы т(1 + 1),... ,к — 1. Покажем, что для любых неравных а, Ь из в классе Sg найдется такая
функция fab(x), что /аь(о) = Ь. Тем самым будут выполнены условия теоремы 1.
Рассмотрим две возможности. Предположим сначала, что элементы а, Ь принадлежат одному циклу {mi,... ,m(i + 1) — 1}. Тогда в качестве функции /а& можно взять подходящую степень перестановки я.
Пусть теперь
а € {mi,..., m(i + 1) — 1}, be {fnj-, ■ ■ ■ m(j + 1) —
где 0 ^ г, ] ^ I и % ф Тогда функцию /аь определяем в классе ¿><з следующим образом:
1аъ(а) = Ь, /аъ(а + 1) = Ъ + 1, ..., ¡аЬ(а + т-1) = Ь + т-1 (15)
и /аь(х) = х при х ^ {тг,..., т(г + 1) — 1}. При этом сложение в левых частях равенств (15) рассматривается в цикле {тг,..., т(г + 1) — 1} (так что (т(г + 1) — 1) + 1 = тг), а в правых частях равенств (15) — в цикле {ту,..., т{] + 1) — 1}.
При к = 3 условиям п. 2 удовлетворяют 4 группы, упомянутые в п. 1. Все они максимальны только в группе Бз- Соответствующий класс ¿>з3 есть класс Н3 однородных функций. Поскольку Н3 содержится в любом К К-чам кнутом классе из Р3 [15], получаем ровно 6 КК-чамкнутых классов в Р3. Другое доказательство этого факта приведено в [16].
Для любого к ^ 2 обозначим через группу всех четных перестановок на /•.),■ (знакопеременная подгруппа группы в^).
3. О — группа
Группа А2 является единичной группой и потому класс 5а2 совпадает с классом Р2. В этом случае соответствующее утверждение вытекает, например, из п. 1. Группа Аз является циклической и порождается перестановкой х + 1 (тос1 3). В этом случае можно обратиться к п. 2. При к ^ 4 все функции класса удовлетворяют условиям теоремы 1 при т = к—2 (см. [21]). При этом в классе существуют такие функции <71(0:1,... • • • ,9к(% ъ • • • -,Хк-2)-, что для любых неравных элементов
«1,..., а,к—2 из Ек выполняется соотношение
{51(01, • • •, ак-2), ■ ■ ■ ,9к(а1, о/г—2)} = Ек
и ограничение каждой из функций <71,..., <7*; на любое (к — 3)-элементное подмножество множества Ек совпадает с переменной х\.
Пусть К| — группа перестановок на Е4, которая состоит из единичной перестановки и перестановок (01)(23), (02)(13), (03)(12) (четверная группа Клейна).
4. О — группа 1\(.
В теореме 1 следует взять т = 1, а в качестве функций <71,... ,<7^ — все перестановки группы 1\( (нетрудно проверить, что они входят в класс <?у4)-
Пусть к ^ 3 и группа Б к состоит из всех перестановок на /•.'/,. которые сохраняют элемент к — 1 (полная импримитивная группа перестановок на Ек, сохраняющая разбиение ({0,1,..., к — 2}, {& — 1})). Известно [18], что группа Рмаксимальна в группе
Теорема 2. При любом к ^ 3 класс ///, однородных функций единственный ГЕ-предполный в классе Бвк ■
Доказательство. Очевидно, что константа А; — 1 принадлежит классу Бвк ■
Пусть /(х\,... ,хп) — произвольная функция из множества Бвк \ Нк■ Получим из нее константу к — 1. Заметим, что уравнению
срг{х) = <р\{у) (16)
удовлетворяют только константы. Как отмечалось в [15], решением уравнения
у>*!(х)=х (17)
служат перестановки на Ек и только они. Уравнение
/(¥>2(^1), • • • = ¥>г(/(жъ • • • ,хп)) (18)
выделяет из всех перестановок только перестановки группы Рк- Рассмотрим далее уравнение
<1((р'2(х), 9?2(ж), (Р1(х)) = (Р1(х), (19)
где переменные ср'2, удовлетворяют уравнениям (17), (18), а дуальный дискриминатор й{х,у,г) из класса ///, удовлетворяет тождествам й{х,х,у) = х и й{х,у,г) = г при х ф у. Если = к — 1, то уравнению (19) удовлетворяют функции ср2, ср2, не совпадающие ни в одной точке из Ек-\. Если же (р\ ф к — 1, то при любых (р'2, (р2 (из Р)к) равенство (19) будет опровергаться при х = к — 1.
Таким образом, системе уравнений (16)—(19) по переменной ср 1 удовлетворяет только константа к - 1.
Покажем, что для любой функции д(х\,..., хт) из класса Бвк в классе ///, найдется такая функция Цх 1,.. .,хт,у), что
• • •, хт) — к(х\, • • •, хт, к 1).
В самом деле, для любого набора (а\,... ,ат) € Е™ присоединение к наборам ^-орбиты набора («1,..., ат) последней компоненты, равной А; — 1, дает часть Б^-орбиты набора («1,..., ат, к — 1). Поэтому для доказательства существования однородной функции к достаточно установить, что для наборов (а\,..., ат), (Ь\,..., Ьт), принадлежащих различным ^-орбитам, наборы (а\,...,ат,к — 1), (¿>1,... ,Ьт,к — 1) принадлежат различным Б^-орбитам. Предположив противное, получим, что один из этих наборов переводится в другой некоторой перестановкой ж из группы Очевидно, что 7Г(к — 1) = к — 1, т. е. 7Г € И}.. Значит, один из наборов (а\,..., ат), (Ь\,..., Ьт) переводится в другой с помощью перестановки группы что невозможно по предположению. Теорема доказана. Теорема 3. Класс // ( — единственный РЕ-предполный в классе «5<з4-
Доказательство. Пусть /(х\,... ,хп) — произвольная функция из множества ¿><з4 \ Как установлено в [15], существует система функциональных уравнений Н без функциональных констант, которой удовлетворяют (по главной функциональной переменной (р) все перестановки на Е^, представляющие собой циклы длины 4, и только такие функции из Р^К Добавление к системе уравнений Н уравнения
1Ых 1), • • -,(р(хп)) = (р(/(х 1, ... ,жп))
ввиду соотношения / € ¿»<34 \ Ч \ позволяет "отсеять" из указанных перестановок все перестановки, не входящие в группу О^. Оставшиеся две перестановки группы (!л суть (0213) и (0312). Возведение каждой из них в квадрат дает одну и ту же перестановку (01)(23), которая входит в класс Таким образом, системой функциональных уравнений над функцией / можно определить функцию (01) (23). В дальнейшем будем обозначать ее через д\.
Покажем теперь, что для всякой функции д(х 1,х2) из класса За4, удовлетворяющей условию д(х1,х\) = х\, в классе // ( найдется такая функция /г(ж1, х2, У1, у2), что справедливо тождество
1г(х1,х2,51 (Ж1), 51 (х2)) = д(хьх2).
На четырех наборах (ж1,ж1,51(^1), 51(3:1)) (а также на остальных 8 наборах из Б^орбиты набора (0, 0,1,1)) функцию к полагаем равной х\. Далее, £?4-орбита набора (0,1) состоит из четырех наборов
(0,1), (1,0), (2,3), (3,2). (20)
Значение 5(0,1) принадлежит множеству {0,1}. Если 5(0,1) совпадает с первой (второй) компонентой набора (0,1), то и на остальных наборах (20) значение функции д также совпадает с той же компонентой набора. Поэтому на четырех наборах
(0,1,1,0), (1,0,0,1), (2,3,3,2), (3,2,2,3)
(а также на остальных 8 наборах из 34-орбиты набора (0,1,1, 0)) значение функции к полагаем равным соответственно первой (второй) компоненте набора. £?4-орбита набора (0, 2) состоит из восьми наборов:
(0,2), (0,3), (1,2), (1,3), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1). (21)
Им отвечают восемь наборов (х\,х2, д1(х\), д\(х2)):
(0,2,1,3), (0,3,1,2), (1,2,0,3), (1,3,0,2), (2,0,3,1), (2,1,3,0), (3,0,2,1), (3,1,2,0). (22)
Если 5(0,2) совпадает с первой (второй) компонентой набора (0,2), то и на остальных наборах (21) значение функции д совпадает с той же компонентой набора. Поэтому функцию к на наборах (22) (а также на остальных 16 наборах из 34-орбиты набора (0, 2,1, 3)) определяем равной первой (второй) компоненте набора.
Пусть 5(0,2) ^ {0,2}, например 5(0,2) = 1. Тогда на остальных наборах (21) значения функции 5 суть 1, 0, 0, 3, 3, 2, 2. Значит, на наборах (22) (и остальных 16 наборах из 34-орбиты набора (0,2,1,3)) функцию к следует определить равной третьей компоненте набора. На всех остальных наборах значение функции к можно положить равным, например, первой компоненте набора. Остается напомнить, что РК-полную в систему образует, например, рассмотренная выше функция 5, где 5(0,2) = 1. Теорема доказана.
При к = 4 теоремы 1-3 позволяют получить утверждения, аналогичные следствию из теоремы 1, для всех собственных подгрупп группы 84, за исключением трех попарно сопряженных групп. Одна из этих групп состоит из единичной перестановки и перестановок (0)(1)(23), (01)(2)(3), (01)(23) (данная группа максимальна в группе С?4).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кузнецов A.B. О средствах для обнаружения невыводимости и невыразимости // Логический вывод. М.: Наука, 1979. С. 5-33.
2. Голунков Ю.В. Полнота систем функций в операторных алгоритмах, реализующих функции fc-значной логики // Вероятностные методы и кибернетика. 1980. Вып. 17. С. 23-34.
3. Тайманов В. А. О функциональных системах fc-значной логики с операциями программного типа // ДАН СССР. 1983. 268. № 6. С. 1307-1310.
4. НгунВанХоа. О структуре самодвойственных замкнутых классов трехзначной логики Рз // Дискретная математика. 1992. 4. № 4. С. 82-95.
5. НгунВанХоа. О семействах замкнутых классов fc-значной логики, сохраняемых всеми автоморфизмами // Дискретная математика. 1993. 4. № 4. С. 87-108.
6. Нгун Ван Хоа. О замкнутых классах fc-значной логики, самодвойственных относительно транзитивных групп // Дискретная математика. 1996. 8. № 1. С. 129-156.
7. Марченков С. С. Основные отношения S-классификации функций многозначной логики // Дискретная математика. 1996. 8. № 1. С. 99-128.
8. Марченков С. С. S-классификация функций многозначной логики // Дискретная математика. 1997. 9. № 3. С. 125-152.
9. Марченков С. С. S-классификация функций трехзначной логики. М.: Физматлит, 2001.
10. Марченков С. С. О выразимости функций многозначной логики в некоторых логико-функциональных языках // Дискретная математика. 1999. 11. № 4. С. 110-126.
11. Марченков С. С. Эквациональное замыкание // Дискретная математика. 2005. 17. № 2. С. 117-126.
12. Марченков С.С., Фёдорова B.C. О решениях систем функциональных булевых уравнений//Дискретный анализ и исследование операций. 2008. 15. № 6. С. 48-57.
13. Марченков С. С., Фёдорова B.C. О решениях систем функциональных уравнений многозначной логики // Докл. РАН. 2009. 426. № 4. С. 448-449.
14. Марченков С. С., Фёдорова B.C. Решения систем функциональных уравнений многозначной логики // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. киберн. 2009. № 4. С. 29-33.
15. Марченков С. С. Оператор замыкания в многозначной логике, базирующийся на функциональных уравнениях // Дискретный анализ и исследование операций. 2010. 17. № 4. С. 18-31.
16. Фёдорова B.C. SFE-замкнутые классы трехзначной логики // Сб. статей молодых ученых ф-та ВМК МГУ. Вып. 7. М.: Изд. отдел ф-та ВМК МГУ, 2010. С. 22-33.
17. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.
18. Байрамов P.A. К проблеме полноты в симметрической полугруппе конечной степени // Дискретный анализ. Вып. 8. Новосибирск: Наука, 1966. С. 5-26.
19. Марченков С.С. Однородные алгебры // Проблемы кибернетики. Вып. 39. М.: Наука, 1982. С. 85-106.
20. Марченков С. С. Клоновая классификация дуально дискриминаторных алгебр с конечным носителем // Математические заметки. 1997. 61. № 3. С. 359-366.
21. Марченков С. С. Классификация алгебр со знакопеременной группой автоморфизмов // Математические вопросы кибернетики. Вып. 2. М.: Наука, 1989. С. 100-122.
Поступила в редакцию 15.09.10
FE-CLASSIFICATION OF MANY-VALUED LOGIC FUNCTIONS
Marchenkov S. S.
In the set of many-valued logic functions the closure operator based on functional equations systems is considered (FE-closure operator). It generates the FE-classification of many-valued logic functions. The kernel of this classification form the SG-type classes defined by the permutation groups G. Some statements are proved which guarantee the FE-precompleteness of SG-type classes in other SG-type classes. The statements are illustrated by examples of 2-, 3-, and 4-valued logic functions.
Keywords: many-valued logic function, FE-classification.
