CC BY
31
2013 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 3
АСТРОНОМИЯ
УДК 524.3
ВРЕМЯ СТОХАСТИЗАЦИИ В САМОГРАВИТИРУЮЩИХ СИСТЕМАХ
Е. В. Волков
С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент
1. Введение. В звездной динамике давно было обращено внимание на несоответствие между длинной шкалой парной релаксации точечных масс (будем в дальнейшем называть их частицы), составляющих самогравитирующую систему, и регулярной формой этих систем, а также близкой к равновесной функцией распределения частиц по скоростям. Огородников даже обозначил это несоответствие как основной парадокс динамики гравитирующих систем [1].
Попытки разрешить данный парадокс привели к поиску механизмов, действие которых на более короткой, чем парная релаксация, временной шкале могло бы ускорить процесс приведения гравитирующей системы к равновесию. Как следствие этого в дополнение ко времени парной релаксации частиц в подобной системе был предложен ряд других характерных времен, имевших в разных работах различные названия: время перемешивания, стохастизации, забывания начальных условий (см., например, [2-4]).
Оценки для этих времен в разных работах часто довольно сильно отличались друг от друга. Но, как представляется автору, самое главное в них было отсутствие прозрачного физического смысла. Это резко контрастировало с оценкой для характерного времени релаксации. В свое время Чандрасекар привел подробный вывод для этой величины, занимающий несколько страниц. С другой стороны, именно ясное понимание физики процесса релаксации позволяет получить такую оценку буквально в несколько сточек, как говорят, «на пальцах» (см., например, [5]).
Целью настоящей работы является попытка найти простое качественное объяснение существованию коротких (по сравнению со временем релаксации) характерных времен в обсуждаемой задаче. Все приводимые ниже оценки являются верными по порядку величины. Появляющийся в них знак равенства следует понимать именно в этом смысле.
2. Основные соотношения. Для описания гравитирующей системы введем некоторые ее характерные величины: К — радиус системы, М — масса системы, N —
© Е. В. Волков, 2013
число частиц в системе, V — полный объем, занимаемый системой, т — масса одной частицы, V — вириальная скорость частиц в системе, I —длина Ландау, с! — среднее расстояние между частицами в системе, 1Г, тг —длина и время релаксации частиц в системе, тс — характерное время пересечения системы частицей, движущейся со скоростью V. Вириальная скорость связана с параметрами системы соотношением
v2
= GM/R = GmN/R,
где G — гравитационная постоянная. Длина Ландау — характерный пространственный масштаб, который определяет сильное рассеяние:
l = Gm/v2.
Длина релаксации — длина пути, проходимого частицей до тех пор, пока она не испытает сильное рассеяние. Она определяется из соотношения (см., например, [5])
lr = (п12пЛ)-1,
где n = N/V — средняя концентрация частиц в системе, а Л — кулоновский логарифм, который присутствует в соотношении в качестве поправки, учитывающей вклад слабых рассеяний в итоговое сильное рассеяние.
Заметим, что произведение nl2lr есть объем цилиндра, в котором происходят сильные взаимодействия, заметаемый частицей при своем движении в системе. Используя определение средней концентрации частиц, мы можем последнее соотношение переписать:
Nnl2lr Л = V.
Таким образом, сумма объемов сильного рассеяния всех частиц системы сравнивается с объемом всей системы, когда частицы пройдут расстояние lr. Именно это обстоятельство и определяет величину пространственного и временного масштабов релаксации. Иначе это можно сформулировать следующим образом: по прошествии времени релаксации (когда частица пройдет путь lr ) каждая частица в среднем испытает одно сильное рассеяние.
Помимо перечисленных ранее характерных пространственных масштабов, возникающих в задаче и обычно используемых при оценке времен стохастизации, мы можем выделить еще один масштаб, связанный с 'равенством регулярной и иррегулярной сил, действующих на частицу в системе [6]. Это условие равенства сил
GM/R2 = Gm/52 определяет важный пространственный масштаб
5 = (m/M )-0'5R = N-0'5R.
При сближении частиц на расстояния, меньшие чем 5, их траектории, рассчитанные на основе регулярного поля (т. е. поля, при котором частицы как таковые отсутствуют, а гравитирующая масса «размазана» по пространству), начинают искажаться под воздействием иррегулярных сил. Необходимо заметить, что возникающее при этом взаимодействие с очень большой вероятностью не будет сильным. Это видно хотя бы из того, как связаны между собой масштабы l и 5. Из определения вириаль-ной скорости и длины Ландау получаем
5/l = N
0.5
Выше было написано соотношение, связывающее объем системы с объемом сильного взаимодействия всех частиц. Что будет, если подставить в это соотношение вместо nl2 величину nS2? И каков при этом должен быть путь lg, проходимый частицами, чтобы сумма таким образом построенных объемов, заметаемых всеми частицами, была снова равна объему всей системы:
nS2 lg Лй N = V?
Очевидно, что здесь надо использовать не обычный кулоновский логарифм Л = 1n(R/l), а Лй = 1n(R/S). При этом Л = 2Лй. Выразим в последнем соотношении S через длину Ландау и число частиц, домножим и разделим на длину релаксации и получим
lr/lg = N/2,
или, используя представление для длины релаксации
lr = RN/Л,
придем к оценке масштаба lg:
lg = 2R/Л.
Понятно, что с найденным пространственным масштабом связан и соответствующий временной масштаб:
Tg = 2тс/Л.
Как видно полученная временная оценка несколько меньше характерного времени пересечения системы. Отметим также и то, что найденные масштабы слабо зависят от числа частиц (через кулоновский логарифм).
3. Обсуждение результатов и выводы. Является ли найденное в последнем соотношении характерное время искомым временем стохастизации гравитирующей системы? Для ответа на этот вопрос обратимся к результатам работ [7, 8] а также к той блестящей интерпретации этих результатов, которая приведена во втором издании известной монографии Бини и Тримейна [9], и проведем их сопоставление с тем, к чему мы пришли в предыдущем параграфе.
Упомянутые работы посвящены нахождению характерного времени экспоненциального роста неопределенности в начальном положении гравитирующей частицы при ее движении по своей траектории в системе в результате последовательных слабых взаимодействий с другими частицами (иррегулярное взаимодействие). Иными словами, речь идет об определении характерного времени расходимости изначально близких траекторий.
Аналитически показано [7] и подтверждено численным моделированием [8], что обсуждаемое время экспоненциального роста имеет порядок времени пересечения системы и медленно уменьшается с ростом числа частиц. Подобное неустойчивое поведение траекторий в монографии [9] называют неустойчивостью Миллера, так как впервые оно было отмечено в его работе [10]. Подчеркивается однако, что экспоненциальный рост характерен только для ранних стадий развития неустойчивости, когда неопределенность в прицельном параметре Дж имеет порядок отношения R/N1/2. В дальнейшем рост замедляется и становится пропорциональным не экспоненте, а корню из времени:
(Дж)2 = (R2t)/Tr.
Из последнего соотношения мы видим, что величина отклонения траектории становится порядка размеров системы тогда, когда время сравнивается со временем релаксации.
Однако для эффективного перемешивания орбит частиц в гравитирующей системе и не нужно, чтобы отклонение достигло такой величины. Различимость частиц теряется, фаза механического (а не статистического) их описания заканчивается, начальные условия забываются, а траектории перепутываются, когда отклонение становится одного порядка с величиной среднего расстояния между частицами в системе, ранее мы эту величину обозначили через d. Какое время (назовем его tj) потребуется частицам, чтобы прийти в такое состояние? Подставив в последнее соотношение вместо Дж величину d и воспользовавшись ее представлением через радиус системы и число частиц в ней, получим для величины tj следующее выражение:
Td = (N 1/3/Л)тс.
Подведем некоторые итоги. В настоящей работе мы выделили два различных временных масштаба: Tg и Tj. Оба они так или иначе связаны с проявлением механизма стохастизации, но если первый знаменует начало действия этого механизма, то второй указывает на его завершение. На временных масштабах меньших, чем Tg, частицы, если можно так выразиться, не подозревают о существовании в системе себе подобных и движутся по траекториям, определяемым регулярным полем. На временных масштабах порядка Tg к ним приходит первая информация о наличии в системе иррегулярной компоненты, их регулярная траектория претерпевает первые возмущения. Процесс стохастизации заканчивается по прошествии времени tj, когда начальные условия забываются, а траектории частиц (и они сами) становятся неразличимы.
Литература
1. Огородников К. Ф. О принципиальной возможности обоснования статистической механики звездных систем // Астроном. журн. 1957. 34. С. 809-819.
2. Gurzadyan V. G., Savvidi G. K. Collective relaxation of stellar systems // Astron. Astro-phys. 1986. 160. P. 203-210.
3. Расторгуев А. С., Семенцов В. Н. Оценка времени стохастизации в звездных системах // Письма в Астроном. журн. 2006. 32. C. 16-19.
4. Осипков Л. П. Стохастизация в однородной гравиплазме // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2009. 10. С. 93-103.
5. Дибай Э. А., Каплан С. А. Размерности и подобие астрофизических величин. Наука,
1976.
6. Огородников К. Ф. Динамика звездных систем. М.: Физматгиз, 1958.
7. Goodman J., Heggie D. C., Hut P. On the exponential instability of N-body system // Astrophys. J. 415. P. 715-733. April 1993.
8. Hemensdorf M., Merritt D. Instability of the gravitational N-body problem in the large-N limit // Astrophys. J. 2002. 580. P. 606-609.
9. Binney J., Tremaine S. Galactic dynamics. Princeton University press, 2008.
10. Miller R. H. Irreversibility in small stellar dynamical systems // Astrophys. J. 1964. 140. P. 250-256.
Статья поступила в редакцию 28 марта 2013 г.
