CC BY
32
Сер. 10. 2009. Вып. 2
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
УДК 524.3/.4-423 Л. П. Осипков
СТОХАСТИЗАЦИЯ В ОДНОРОДНОЙ ГРАВИПЛАЗМЕ *)
1. Введение. В 1957 г. К. Ф. Огородников [1] сформулировал основной парадокс классической динамики гравитирующих систем, состоящий, по его мнению, в следующем. Галактики, рассматриваемые как статистические ансамбли гравитирующих точечных масс (звезд), можно уподобить газу молекулярно-кинетической теории. Тесные сближения звезд играют при этом такую же роль, что столкновения молекул, приводя к статистически необратимым изменениям. Однако характерное время такого процесса (время релаксации) практически бесконечно для галактик, превышая на 3-5 порядков так называемое хаббловское время (имеющее порядок 1010 лет), верхний предел их возраста. Следовательно, нынешнее состояние этих систем отражает только условия их формирования, что представляется маловероятным.
В большом числе работ делались попытки решить парадокс релаксации. Их краткий обзор автор сделал в статье [2]. Отметим также содержательные работы Д. Хегги [3] и Д. Пукакко [4]. Интересный подход к проблеме предложили В. Г. Гурзадян и Г. К. Сав-види [5], попытавшиеся применить эргодическую теорию (см. также [6]). Они утверждали, что рассмотрели «коллективную релаксацию». Действительно, подход этих авторов можно использовать для оценки времени так называемой «бесстолкновительной релаксации» [7, 8]. Однако сами В. Г. Гурзадян и Г. К. Саввиди [5] фактически рассмотрели столкновительную релаксацию в заданном стационарном гравитационном поле однородной системы. К сожалению, при оценке времени релаксации они сделали ошибку, на которую обратили внимание А. С. Расторгуев и В. Н. Семенцов [9]. Поэтому выводы качественного характера, которые сделаны в [5], также оказываются неверными. В данной статье эти вопросы исследуются подробнее. Делается попытка обобщить результаты работ [5, 9].
2. Регулярные и иррегулярные силы. Рассмотрим систему N > 1 гравитирующих точечных масс (гравиплазму). Силу, действующую на точку внутри системы, принято разделять на две части (например, [10]). Одна из них определяется притяжением системы как сплошной гравитирующей среды. К. Шварцшильд [11] предложил называть ее регулярной силой. Оставшаяся часть действующей силы была названа им иррегулярной силой. Очевидно, что она обязана главным образом притяжению ближайших соседей частицы. Если в каждый момент времени тела в системе распределены случайным образом, по некоторому вероятностному закону, то иррегулярные силы являются случайными и приводят к статистически необратимой эволюции.
Осипков Леонид Петрович — доцент кафедры космических технологий и прикладной астродинамики факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 168. Научные направления: динамика гравитирующих систем, динамические системы. E-mail: [email protected].
Работа выполнена при финансовой поддержке программы Президента РФ по поддержке ведущих научных школ России (грант № НШ 1323.2008.2), а также Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 08-02-00361).
© Л. П. Осипков, 2009
На некоторых тонкостях, касающихся приведенных определений, останавливаться не будем (см. [12]).
Характерное время действия регулярных сил, называемое обычно временем пересечения,
тс = (Ь3/СИ)1/2 ,
где С - гравитационная постоянная; И - масса системы; Ь - ее характерный размер [10]. Это выражение следует уже из соображений размерностей [13]. Для нашей Галактики тс имеет порядок 108 лет, для типичного шарового скопления (с массой 105 И0 и размером 10 пк) время пересечения порядка 106 лет.
Построение классической теории иррегулярных сил, начатое Дж. Джинсом, было в значительной степени завершено С. Чандрасекаром [14]. По теории Джинса-Чандрасекара (если массы всех частиц одинаковы) характерное время действия иррегулярных сил (время релаксации [10])
4п2С2т2п 1пЛ
Здесь а - средняя относительная скорость частицы, т - ее масса, п - среднее число частиц в единице объема, 1пЛ - так называемый ньютоновский логарифм, посредством которого учитывается кумулятивный эффект далеких сближений. Точное вычисление Л сталкивается с рядом принципиальных трудностей [15, 16]. Обычно принимают, что 1пЛ « 1п N [10]. Если отождествить а2 с дисперсией остаточных скоростей, то из теоремы вириала (справедливой для стационарных гравитирующих систем) следует, что
а2 « (1+ ^2)-1СИ/Ь,
где 7 = У/а (параметр, введенный К. Ф. Огородниковым [10]); V — средняя скорость вращения. В нашей Галактике 7 « 10. Тогда
Тг_ _ ____________________1_1Ч_ _ .
Тс Х7г(1 + 72)3/2 1пЖ ’
где структурный множитель к зависит от формы системы и определяется равенством к = 4пЬ‘3n/N. Для сферических систем к = 3. Итак, если теория Джинса-
Чандрасекара верна, то динамика систем большого числа гравитирующих тел определяется исключительно регулярными силами.
Существенно, однако, что теория Джинса-Чандрасекара основывается на ряде допущений, которые заведомо не выполнены для гравиплазмы [17]. Основная проблема состоит в необходимости учета движения частиц в регулярном поле по сложным, быть может, хаотическим орбитам. Действие иррегулярных сил нужно трактовать как перескакивание с одной регулярной орбиты на другую. Общую теорию релаксации в стационарном и нестационарном регулярном поле развивал И. Л. Генкин [18-20]. Наиболее убедительны его результаты для стационарных пространственно однородных систем [20]. Использовав результаты С. Чандрасекара [21] по теории диффузии, И. Л. Генкин
[20] нашел, что эффективное время релаксации т = (тгт2)1/3. Подобное же выражение получил методами теории размерностей Р. Курт [13]. Тогда для Галактики т оказывается сравнимым с хаббловским временем. Для шаровых скоплений получаем, что т порядка 107 лет.
а3
Г
В. Г. Гурзадян и Г. К. Саввиди [5] вывели формулу Генкина-Курта из других, на первый взгляд - совершенно иных соображений, пользуясь понятиями эргодиче-ской теории. Но при этом они использовали теорему вириала и распределение Хольц-марка для случайной силы [21], так что фактически ими рассматривалась релаксация в стационарной однородной среде, как и И. Л. Генкиным [20]. Следует, однако, подчеркнуть, что в [5] оценивалось характерное время экспоненциальной расходимости близких траекторий, которое естественно назвать « временем стохастизации» [9]. Связь его с временем релаксации в традиционном смысле не проста [7, 22, 23]. Попытаемся более последовательно провести рассуждения упомянутых авторов, исправляя их ошибку.
3. Задача N тел. В соответствии с вариационным принципом Мопертюи в форме
Якоби динамику системы N взаимодействующих точек с фиксированным значением энергии Е можно представить как движение точки, представляющей систему, по геодезической в 3N-мерном специальном римановом пространстве . Н. С. Крылов [24]
показал, что скалярная кривизна этого пространства
_ ШК2 \4 ‘Ж) К3 [ !
где К - кинетическая энергия, рассматриваемая как функция координат, К = Е — Ш, а Ш = —С ^2 т*т^тц, тц = |гц — г*| - потенциальная энергия. Здесь т* - масса г-й
*<3
точки, г* - ее радиус-вектор.
Считая массы точечными и учитывая соотношение Дг|г — а| = —4п6(г — а) (6 -дельта-функция), получаем
ДК = —ДШ = 4пС^^т*тц6(гц — г*) .
*<3
Как и в [5], будем считать, что прямыми столкновениями частиц можно пренебречь. Тогда ДК = 0, и первое слагаемое в скобках в выражении (1) обращается в нуль. Однако переход к модели системы протяженных тел может привести к радикальному изменению выводов. Необходима осторожность и при сопоставлении теории с результатами численных экспериментов со смягчающим параметром. Если ДК = 0, то
я=-тш- и(1- (2)
Если N ^ 3, то Я ^ 0. Поэтому возможна экспоненциальная расходимость близких изображающих точек. Последнее означает фазовое размешивание (в смысле Гиббса-Хопфа-Крылова) и релаксацию (например, [25]). Далее вместо потенциальной энергии Ш будем рассматривать ускорение г-й точки gj = — (дШ/дг*)/т*. Тогда [5]
N
(^)2 = £ т^2 . (3)
*=1
Предпринимался ряд попыток исследования геометрических свойств пространства для гравитирующих систем (например, [5, 26-28]), однако получить строгие содержательные результаты, касающиеся эргодических свойств геодезических потоков, до сих пор не удалось, и вряд ли они будут найдены в ближайшем будущем.
4. Статистический подход. Следуя [5], применим к анализу выражения (2) статистический подход. Предположим, что N гравитирующих точечных масс случайно
Я = 3N ^ — 1)
распределены в пространстве по некоторому закону. Введение вероятностных представлений означает принципиальный отход от эргодической теории (в традиционной трактовке [25]) и исходной модели N строго локализованных точечных масс [29]. Будем считать, что известна функция распределения случайного ускорения д = ^|, действующего на частицу. Обозначим математическое ожидание квадрата ускорения < д2 >. Тогда из (3) находится среднее < (УШ)2 >, а согласно (2) - математическое ожидание кривизны Я пространства .
Следуя С. Чандрасекару [21], обозначим
а = -^(27гС?)3/2 <то3/2> п. (4)
15
В дальнейшем будем для простоты считать массы всех частиц одинаковыми. Легко сообразить, что а2/3 по порядку величины может рассматриваться как характерное ускорение в системе. Введем безразмерную напряженность гравитационного поля
У = д/а2/3 . (5)
Тогда <д2> = а4/3с, где
с = <У2> = у2Щу)ё,у. (6)
./о
Здесь !ЗД(у) - функция распределения случайной величины у.
Подставим (5) в (3) и усредним. Получим, что
< (УШ)2> = Nma4/3c.
Предположим, что система стационарна в поле регулярных сил (в смысле Т. А. Агекяна [30]). Тогда справедлива теорема вириала и, как известно, Ш = 2Е. Если N > 1, то из (2) находим, что
-Ш3
Ч-Е)3
Формула (7) является более общей, чем формула (33) В. Г. Гурзадяна и Г. К. Саввиди [5], так как применима к любой стационарной системе большого числа гравитирующих тел.
Из геометрических соображений в [5] было установлено, что эффективное время стохастизации
3N
Те = -------------Т77 ' (8)
2 (< Я >К2)1/2
Заметим, что в аналогичной формуле (38) в [5] ошибочно опущен знак абсолютной величины Я (а также символ ее усреднения). Подставляя (7) в (8), находим, что
1 ( — Е \ 1/2
Тб = С1/2а2/Зт1/2 ) ■ (9)
Введем среднюю относительную скорость V = (2К/М)1/2 = (—2Е/М)1/2 и среднюю остаточную скорость а = v(1+ 72)-1/2. Тогда равенство (9) принимает следующий вид:
<Д> и 77—^т»4^3с. (7)
(1 + 7
1/2
а
е (2с)1/2а2/3
Вспоминая определение (4), перепишем соотношение (10):
15 \ 2/3 1 (1 + 72)1/2 а
4 ) 27гС?тп2/3 (2с)1/2
(11)
Преобразуем последнее равенство. Положим п = к1М/Ь3, где безразмерный множитель к\ зависит от формы системы и хода плотности. Введенная в начале статьи величина к = 4пк1. По теореме вириала V2 = к2ОтМ/Ь, где &2 - также безразмерный структурный параметр. Тогда
к22 . / 13 М1/3 _
Оти2/3 £2/3 V СшЖ
1/2
Вспоминая, что время пересечения тс = (Ь3/ОтМ) , находим из (11), что
тс М1/3 Те ~ в „1/2 ’
(12)
где в = вок;!/2/к2/3, во = (15/4)2/3/(23/2п) « 0.28. Если величина с, определенная равенством (6), не зависит от М, то соотношение (12) переходит в формулу Генкина [20] - Курта [13].
Для однородной сферической системы к1 = 3/(4п), к2 = 3/5.
5. Однородные системы. Естественно в первую очередь рассмотреть пространственно однородные модели. Случайная сила, действующая на пробную частицу, как известно, распределена в данном случае по закону Хольцмарка (например, [21, 31]). Известно, однако, что для такого распределения не существует моментов второго и более высоких порядков, в частности, интеграл (6) расходится. Согласно С. Чандрасекару
[21], причина этого лежит в некорректности рассмотрения тесных сближений.
В первом приближении приходится рассматривать усеченное распределение Хольц-марка, заменив верхний предел интегрирования в (6) на некоторое ус. Подчеркнем, что тогда величина с может быть произвольной, и в зависимости от радиуса обрезания гс время релаксации (9) может принимать в принципе любое наперед заданное значение. Напрашивается аналогия с оценкой ньютоновского логарифма 1пЛ при вычислении классического времени релаксации тг. Однако в последнем случае проблема состоит в правильном выборе наибольшего прицельного расстояния, а мы, напротив, пренебрегаем тесными сближениями с прицельными расстояниями, меньшими гс.
Обозначим дс = От/гС, ус = дс/а2/3 = От/г2а2/3. Учитывая (4), находим, что
(15\2/3 1 Ь2
УС~\Ч 2ък1/3 г2сМУ3' (3)
Надо вычислить
гУо
Ю
у2Щу) Лу,
принимая для !ЗД(у) распределение Хольцмарка. Обратим внимание на то, что при обрезании этого распределения на ус необходима его перенормировка. Имея в виду приближенный характер теории, вместо распределения Хольцмарка воспользуемся распределением случайного ускорения от ближайшего соседа. Известно, что оба распределения
Те —
V
близки друг другу, заметно расходясь только для слабых полей (у ^ 0) [21], что мало существенно при вычислении интеграла (6). Как известно (например, [21, 31]), функция распределения расстояний r до ближайшего соседа w(r) дается формулой
w(r)dr = 4nnr2 e-(4/3)nnr dr .
Тогда из условия w(r)dr = W(y)dy получаем функцию распределения безразмерных ускорений у = Gm/(r2a2/3)
еХР (-^72
где ж = (47г/3) {п/а) (Gm)3^2 = Ъ/у/^к ~ 0.998. Обрезая это распределение на некотором yc = Gm/(r2a2/3), вычислим перенормировочный множитель
А = Jq W(y) dy = exp (—.
Находим, что
l'*Cy2W(y)dy = х4/3Г (-1, xy-3/2
где Г(а,ж) = §х е Ча 1dt - неполная гамма-функция. Получим, что
[у° 2 2Чу) й
С = 1 у^г“у
равняется следующему выражению:
с = х4/3е-ху-3/2Г яу-3/2^1 . (14)
Подставим (14) в (12):
те = ~, 1 е(«/2)це ^ Те ]У1/3. (15)
* ' /г (4,
6. Время стохастизации. Для конкретной оценки те необходимо выбрать радиус обрезания распределения Хольцмарка гс. В. Г. Гурзадян и Г. К. Саввиди [5] положили
гс = 40т/а2 . (16)
Тем самым, они пренебрегали очень тесными сближениями, при которых вектор относительной скорости частиц поворачивается больше, чем на п/2. Кроме того, они утверждали, что интеграл (6) не зависит от N, и определили время релаксации Генкина-Курта (но не сделали соответствующих ссылок). Последнее, однако, неверно, что отмечалось как «очевидная ошибка» в [9] и в чем нетрудно убедиться численными оценками. Учитывая (4), получаем, что в случае (16)
yc
2/3 1 И
4 ) 32п (Gm)2п2/3 '
Принимая во внимание теорему вириала, находим
ДГ4/3 (1+72)2 ’
р= (—\2/3 1 V 4 ) 32н 03 ■
к2
(1T)
Подставляя (17) в (13), видим, что средний квадрат безразмерного ускорения зависит от числа тел в системе.
Для систем большого числа тел, N > 1, видим, что ус > 1 и перенормировочный множитель А « 1. Для оценки величины (13) воспользуемся разложением неполной гамма-функции
■ 1 N „( 1\ х-1/3 х2/3
+ 77Г77ТТ + • • •
П--, X
и ограничимся старшим членом
Г( зі (-1/3) ' (2/3)
г V з’ х) ~ Зж 1/3'
Тогда
с « ЗхуУ2 ,
или, после подстановки выражения (1T) в (1S),
съЪкр1/2 МУЗ
1 + 7 2
(1S)
(19)
Теперь подставим (19) в (12):
те = С (1+ 72)1/2тс (20)
с С = в/^Зх/З1/2 . Явное выражение для множителя С несущественно, важно лишь, что он не зависит от N. Для невращающихся систем (7 = 0) формула (20) совпадает с приводившейся А. С. Расторгуевым и В. Н. Семенцовым [9]. Получаем, что
— = const.
Tc
Таким образом, отношение rejтс в первом приближении для систем многих частиц не зависит от их числа. Ранее подобный вывод сделал Г. Кандруп на основании численных экспериментов, проводившихся совместно с сотрудниками [8, 32, 33], а также Дж. Гудмен с соавторами [28]. Затем эти результаты были подтверждены в работе [34]. Г. Кандруп [32] выводил такое соотношение и теоретически. Во внимание он принимал действие только регулярных сил, так что данный результат был очевиден. Действительно, для этого достаточно подставить в (12) ускорение от регулярной силы (см. [7, 28]). Здесь же рассматривалась стохастизация в столкновительной среде (хотя тесными сближениями при данном усечении распределения Хольцмарка пренебрегалось). Формула (20) показывает также, что вращение замедляет стохастизацию гравитирующих систем. Численные эксперименты А. Эль-Занта [35] подтверждают последнее. Этого можно было бы ожидать и из физических соображений.
Обсудим, насколько сильно приведенные результаты зависят от принятого значения (16) радиуса обрезания распределения Хольцмарка. Пусть
L
(21)
Т
r
r
с
с
а
Множитель са включает зависимость гс от формы системы и, быть может, от наличия вращения. Подставляя его в (13), находим, что максимальное безразмерное ускорение
Из соотношения (18) получаем, что
с
ЗхдУ2^3"-1),
а тогда окончательно находим
Та
в
N (1-а)/2
(22)
Тс
(зхв/2)
1/2
А. С. Расторгуев и В. Н. Семенцов [9] попытались оценить роль тесных сближений в процессе стохастизации. Они нашли, что для этого достаточно положить гс равным
что гс имеет вид (21) с а = 3/5. Тогда находим из (22), что время стохастизации
тественно, совпадает с полученным в [9]. Сравнение (20) и (23) показывает, что влияние тесных сближений проявляется в замедлении динамической эволюции гравиплазмы. Для Галактики это время будет порядка 109 лет.
Рассмотрим только слабые сближения, прицельные расстояния которых больше «радиуса сближений» [10], т. е. такого расстояния, на котором иррегулярная сила примерно равна регулярной. Тогда а = 1/2 и г\/2 ж тсN1/4, т. е. время стохастизации за счет «умеренно слабых» сближений больше, чем времена (20) и (23). Если а =1/3, то минимальное прицельное расстояние будет порядка среднего межчастичного расстояния ^. В этом случае т/з ж тсN1/3, т. е. получается время релаксации Генкина-Курта. Последние два результата кажутся странными, и придавать им большое значение, вероятно, не следует. Возможно, в этих случаях уже становится неприменимой принятая аппроксимация распределения Хольцмарка.
Наиболее правильным было бы использовать вместо усеченных распределения Хольцмарка или его аппроксимации притяжением ближайшего соседа более точное выражение для функции распределения случайной силы, для которого существует момент второго порядка с. Такое распределение нашла И. В. Петровская [36]. Оценки, выполненные А. С. Расторгуевым и А. С. Семенцовым [9], показали, что его применение не меняет сделанных ими выводов. К такому же заключению пришел и автор данной статьи.
7. Обсуждение результатов. Из полученных результатов наиболее удивительной на первый взгляд кажется близость (при ^ < 1) характерного времени те (20) и времени пересечения тс. Неправильным было бы рассматривать те как время релаксации в обычном смысле, которое, конечно, должно быть много больше, чем время пересечения. По-видимому, время (20) - это то время, за которое в гравиплазме становятся заметными на микроскопическом уровне статистически необратимые изменения вследствие далеких сближений («прохождений», по терминологии К. Ф. Огородникова [10]). Известно, с одной стороны, что при этом главную роль играет кумулятивный
(б,5с^аР^)1^5, где с^о = 1/3, = 2Ст/сг‘2. С помощью теоремы вириала получаем,
тз/5 = в (Зквз/б) 1/2 N 1/ьТс ,
(23)
эффект прохождений. С другой стороны, последний можно рассматривать как проявление коллективных свойств гравитационного поля (например, [37]). Потому близость те и тс уже не должна удивлять.
Тесные сближения частиц происходят значительно реже, потому вызванные ими статистические изменения сказываются медленнее, они становятся заметными за время, определенное равенством (23). Релаксация же в традиционном для гравидинамики понимании, как время, за которое распределение скоростей приближается (хотя бы локально) к максвелловскому (или шварцшильдовскому), вероятно, определяется формулой Генкина-Курта. Возможные уточнения, вероятно, целесообразно отложить до построения детальной кинетической теории. Таким образом, мы приходим к картине эволюции гравитирующих систем, в общем согласующейся с каскадной схемой, обсуждавшейся на качественном уровне в [38]. В результате можно говорить по крайней мере о трех стадиях столкновительной релаксации гравитирующих систем. Если в начале, на временах порядка нескольких тс, действие иррегулярных сил можно рассматривать как непрерывный случайный процесс, который описывается уравнением Фоккера-Планка, то учет тесных сближений приводит, как подчеркивал Т. А. Агекян [30], к схеме чисто разрывного случайного процесса. Существование нескольких характерных времен эволюции согласуется и с рассуждениями в статьях [7, 32].
Выражения (20), (23) были получены в предположении, что гравиплазма является пространственно однородной. В ряде работ (например, [39, 40]) искали обобщения распределения Хольцмарка для неоднородных систем. Конечно, использовать их для оценки интеграла (6) было бы технически затруднительным. Вместе с тем в настоящее время в этом, вероятно, нет необходимости. В пределах «макроскопического элемента объема» [10] систему можно считать однородной. Эффект же сближений с прицельными расстояниями, большими размеров этого объема (за вычетом регулярной силы), ничтожен.
Подчеркнем, что в данной статье автор следовал парадигме Гурзадяна-Саввиди и не рассматривал другие механизмы стохастизации (например, резонансные взаимодействия, рассеяние на массивных объектах и волнах плотности).
Заметим, наконец, что в компьютерных экспериментах Е. Атанассулы с соавторами [41] (как и во многих более ранних численных экспериментах) было подтверждено классическое значение времени релаксации (времени TD, по С. Чандрасекару [14]). Однако число тел (N бралось порядка 104) в этих экспериментах все еще недостаточно велико, чтобы отличие тг от времени Генкина-Курта было особенно заметным (если вспомнить грубость теории).
Автор признателен В. А. Антонову, В. В. Орлову, А. С. Расторгуеву, а также покойным Г. Э. Кандрупу и И. В. Петровской за обсуждение затронутых вопросов. Он благодарен Д. В. Овод, указавшей на ряд ошибок в первоначальном варианте статьи.
Литература
1. Огородников К. Ф. О принципиальной возможности обоснования статистической механики звездных систем // Астроном. журн. 1957. Т. 34, № 6. С. 809—819.
2. Ossipkov L. P. On the fundamental paradox of stellar dynamics // Astron. Astrophys. Transact. 2006. Vol. 26, N 2/3. P. 123-128.
3. Heggie D. C. Chaos in the N-body problem of stellar dynamics // Predictability, stability, and chaos
in N-body dynamical systems. New York: Plenum, 1991. P. 47-62.
4. Pucacco G. Seculiar evolution in elliptical galaxies // Astron. Astrophys. 1992. Vol. 259, N 2. P. 471-
5. Gurzadyan V. G., Savvidi G. K. Collective relaxation of stellar systems // Astron. Astrophys. 1986. Vol. 160, N 2. P. 203-210.
6. Contopoulos G. Order and chaos in dynamical astronomy. Berlin: Springer-Verlag, 2002. XV+626 p.
7. Boccaletti D., Pucacco G., Ruffini R. Multiple relaxation time-scales in stellar dynamics // Astron. Astrophys. 1991. Vol. 214, N 1. P. 48-51.
8. Kandrup H. E., Mahon M. E. Stochastic processes and the gravitational N-body problem // Ann. NY Acad. Sci. 1993. Vol. 706. P. 61-89.
9. Расторгуев А. С., Семенцов В. Н. Оценка времени стохастизации звездных систем // Письма в Астроном. журн. 2006. Т. 32, № 1. С. 16-19.
10. Огородников К. Ф. Динамика звездных систем. М.: Физматгиз, 1958. 628 с.
11. Schwarzschild K. Stationare Geschwindigkeitverteilung im Sternsystem // Probleme der Astronomie. Festschrift fur Hugo von Seeliger / ed. by H. Kienle. Berlin: Verlag von Julius Springer, 1924. S. 94-105.
12. Генкин И. Л. Регулярные и иррегулярные силы в звездных системах // Труды Астрофиз. ин-та АН КазССР. 1971. Т. 16. C. 103-110.
13. Курт Р. Анализ размерностей в астрофизике / пер. с англ. Ю. А. Данилова, А. Г. Дорошкевича. М.: Мир, 1975. 230 с.
14. Chandrasekhar S. The time of relaxation of stellar systems. III // Astrophys. J. 1941. Vol. 93, N 2. P. 323-326.
15. Ostriker J. P., Davidsen A. F. Time of relaxation. I. Unbounded medium // Astrophys. J. 1968. Vol. 151, N 2. P. 679-686.
16. Smith H. P. Mass segregation, relaxation, and the Coulomb logarithm in N-body systems // Astrophys. J. 1992. Vol. 398, N 2. P. 519-524.
17. Nelson R. W., Tremaine S. Linear response, dynamical friction, and the fluctuation dissipation theorem in stellar dynamics // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 1999. Vol. 306, N 1. P. 1-21.
18. Генкин И. Л. Роль динамического перемешивания в процессе релаксации звездных систем // Астроном. цирк. 1969. № 307. C. 4-6.
19. Генкин И. Л. Уравнение Власова и необратимость в физике плазмы и звездной динамике // Астроном. журн. 1969. Т. 46, № 6. C. 1228-1230.
20. Генкин И. Л. Релаксация в регулярном поле // Докл. АН СССР. 1971. Т. 197, № 5. C. 1042-1044.
21. Chandrasekhar S. Stochastic problems in physics and astronomy // Rev. Mod. Physics. 1943. Vol. 15, N 1. P. 1-89.
22. Cipriani P., Pucacco G. On the non-trivial concept of relaxation in N -body systems // Ergodic concepts in stellar dynamics / eds.: V. G. Gurzadyan, D. Pfenniger. Berlin: Springer-Verlag, 1994. P. 163169.
23. Gurzadyan V. G. On the paper by M. Valluri and D. Merritt “Orbital instability and relaxation in stellar systems” // The chaotic Universe / eds.: V. G. Gurzadyan, D. Ruffini. Singapore: World Scientific, 1999. P. 229.
24. Крылов Н. С. Работы по обоснованию статистической физики. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1950. 208 с.
25. Синай Я. Г. Введение в эргодическую теорию. М.: Фазис, 1996. 128 с.
26. Kandrup H. E. Divergence of nearby trajectories for the gravitational N-body problem // Astrophys. J. 1990. Vol. 364, N 2. P. 420-425.
27. El-Zant A. On the stability of N-body system: geometric approach // Astron. Astrophys. 1997. Vol. 326, N 1. P. 113-128.
28. Goodman J., Heggie D. C., Hut P. On the exponential instability of N -body system // Astrophys. J. 1993. Vol. 415, N 2. P. 715-733.
29. Власов А. А. Статистические функции распределения. М.: Наука, 1966. 356 с.
30. Агекян Т. А. Звездная динамика // Курс астрофизики и звездной астрономии. Т. 2 / ред. А. А. Михайлов. М.: Физматгиз, 1962. С. 528-577.
31. Агекян Т. А. Теория вероятностей для физиков и астрономов. М.: Наука, 1974. 264 с.
32. Kandrup H. E. How fast can a galaxy “mix”? // Physica A. 1990. Vol. 169, N 1. P. 79-94.
33. Kandrup H. E. Stochastic properties of the gravitational N-body problem // Astron. Astrophys. Transact. 1995. Vol. 7, N 4. P. 225-228.
34. Hemensdorf M., Merritt D. Instability of the gravitational N-body problem in the large-N limit // Astrophys. J. 2002. Vol. 580, N 1. P. 606-609.
35. El-Zant A. On the stability on N-body system: the effect of variation of particle number, softenity and rotation // Astron. Astrophys. 1998. Vol. 331, N 3. P. 782-792.
36. Petrovskaya I. V. The force distribution for close encounters // The few body problem / ed. by M. J. Valtonen. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1988. P. 275-277.
37. Марочник Л. С. Пробная звезда в звездной системе // Астроном. журн. 1967. Т. 41, № 5. С. 1087-1096.
38. Chernin A. D., Valtonen M. J., Zheng J.-Q., Ossipkov L. P. Dynamical evolution of N-body gravitating systems starting from Poincare chaos // Stellar dynamics: from classic to modern / eds.: L. P. Ossipkov, I. I. Nikiforov. St. Petersburg: Sobolev Astronomical Institute of State Petersburg State University, 2001. P. 431-436.
39. Berteau F., Roberts P. H. Distribution of gravitational field at the center of globular and spherical galaxies // Astrophys. J. 1958. Vol. 128, N 1. P. 130-138.
40. Del Popolo A., Gumbera R. The statistics of the gravitational field arising from an inhomogeneous system of particles // Astron. Astrophys. 1999. Vol. 324, N 1. P. 34-40.
41. Athanassoula E., Vozikis Ch. L., Lumbert J. C. Relaxation times calculated from angular deflections // Astron. Astrophys. 2001. Vol. 376, N 3. P.1135-1146.
Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном.
Статья принята к печати 25 декабря 2008 г.
