CC BY
12
УДК 539.173
DOI 10.25513/1812-3996.2018.23(3).97-101
ВРЕМЕНА РЕЛАКСАЦИИ СКОРОСТИ ТЕПЛОВОГО РАСПАДА КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО СОСТОЯНИЯ В РЕЖИМЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ДИФФУЗИИ
М. В. Чушнякова1, И. И. Гончар2, С. Н. Крохин2
1Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия 2Омский государственный университет путей сообщения, г. Омск, Россия
Аннотация. Скорость теплового распада квазистационарного состояния рассчитана с помощью численного решения стохастических дифференциальных уравнений. Каждая траектория начинается из потенциального минимума с нулевым импульсом. Поэтому скорость распада со временем возрастает, достигая квазистационарного значения. Результаты расчётов позволили установить время релаксации скорости к этому значению. Полученные на основе численного расчёта времена релаксации сравниваются с известными из литературы аналитическими значениями. Оказалось, что в рамках данной модели (параболический потенциал, отношение высоты барьера к тепловой энергии 3,5, отличие аналитических времён от точных численных достигает 60 %. С ростом величины трения и это различие уменьшается. Хотя исходной мотивацией нашей работы является изучение процесса деления «нагретых» атомных ядер, мы представляем результаты в безразмерном виде, чтобы сделать их полезными для более широкого круга читателей.
RELAXATION TIMES OF THE THERMAL DECAY RATE OF THE QUASISTATIONARY STATE IN THE ENERGY DIFFUSION REGIME
M. V. Chushnyakova, I. I. Gontchar, S. N. Krokhin
1Omsk State Technical University, Omsk, Russia 2Omsk State Transport University, Omsk, Russia
Abstract. In the present work a thermal decay rate of the quasistationary state is calculated by means of numerical solution of the stochastic differential equations. Each trajectory is starting from the vicinity of the potential energy minimum with zero momentum. Therefore the decay rate increases in time and achieves the quasistationary value. Results of our calculations allowed us to determine a relaxation time of the rate to this value. The relaxation times based on the numerical calculations are compared to the analytical values known from the literature. It is appeared that in the framework of the present model (parabolic potential energy; the ratio of the barrier height to the thermal energy is equal to 3.5), the difference between analytical and exact numerical relaxation times achieves almost 60 %. As friction increases, this difference goes down. Although the initial motivation of our work is the investigation of the fission process of hot atomic nuclei, we present our result in the dimensionless form in order to make them useful to the wider range of readers.
Информация о статье
Дата поступления 15.02.2018
Дата принятия в печать 28.06.2018
Дата онлайн-размещения 29.10.2018
Ключевые слова
Метастабильное состояние, квазистационарная скорость распада, время релаксации
Article info
Received 15.02.2018
Accepted 28.06.2018
Available online 29.10.2018
Keywords
Metastable state, quasistationary decay rate, relaxation time
1. Введение
Задача о тепловом распаде квазистационарного (метастабильного) состояния возникает в различных отраслях знаний (см., например, [1-10]). Электрический ток через джозефсоновский контакт, конденсация, деление возбуждённых атомных ядер представляют собой несколько примеров. В то время как уточнению и проверке приближённых аналитических формул для скорости этого распада
при наличии диссипации посвящено немало работ [11-16], релаксационная стадия процесса изучена заметно хуже [3; 17; 18]. В данной статье мы ставим своей целью получить зависимость от величины трения времени релаксации скорости распада к ее квазистационарному значению, численно решая стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) для случая экстремально малого трения (так называемый режим энергетической диффузии [3; 4]).
2. Модель
Численное моделирование производилось с помощью СДУ. Поскольку в [1; 3; 11] для режима энергетической диффузии представлены только одномерные формулы, мы также ограничиваемся одномерным моделированием. Движение броуновской частицы (БЧ) описывается безразмерной координатой ц и сопряжённым импульсом р. В дискретном виде СДУ имеют вид:
р(п+1) = р(п)(1 — т]т-1т) +Кт + дЬ(п)Л, (1) ц(п+1) = ц(п) + (р(п) + р(п+1))т/(2т). (2) Верхний индекс соответствует двум последовательным моментам времени, которые разделены временным шагом моделирования т. Случайные числа Ь, входящие в случайную силу, имеют гауссово распределение с нулевым средним и дисперсией 2. В формуле (1) г) и т - фрикционный и инерционный параметры соответственно; К = —йи/йц представляет собой консервативную силу; д = ^в Т] - амплитуда случайной силы; в - средняя тепловая энергия.
Потенциальная энергия и(ц) параметризована двумя параболами одинаковой жёсткости С гладко сшитыми при ц = цт:
и(ч) = \пС(Чг—Чс)2упЧ^:' (3)
Шь — С(ц — ЦьУ/2 агц> Цт. Здесь индекс «с» относится к дну потенциальной ямы, а индекс «Ь» соответствует вершине барьера (ць = 1,6). В начальный момент времени БЧ находится в точке с координатой цс = 1,0 и имеет нулевой импульс.
Результатом моделирования является последовательность из траекторий, моделирование каждой из которых продолжается до момента времени Ьв. Некоторые траектории достигают поглощающей границы = 2,0 за время меньшее чем Ьи. Зависящая от времени скорость распада вы-
числяется по формуле
" (4)
AN
Rft (0 = —1— —А
7 Ntot-Nft At
Здесь - число БЧ, которые достигли точки ц^ до момента времени Ь, ДИ^ - число БЧ, которые пришли к точке ц^ в течение интервала времени ДЬ. Примеры зависимости Rft(t) для промежуточного и большого трения можно найти во многих статьях (см., например, в [5; 12-15]). В нашем случае зависимость имеет схожий вид: после некоторого времени релаксации скорость стабилизируется, хотя флуктуации, разумеется, присутствуют. Чтобы найти квазистационарную скорость распада Яи, мы ис-
-ISSN 1812-3996
пользуем несколько бинов с конца массива Rft и производим усреднение по этим бинам. Этот алгоритм и его погрешности детально описаны в [16; 19]. 3. Результаты
На рис. 1 как функции времени (Ш) показаны скорости распада (R/ш) для нескольких значений безразмерного параметра
9 =
(5)
Динамические скорости к которым при-
водят СДУ (ломаные линии со значками), подвержены флуктуациям: это хорошо видно во всех случаях. Квазистационарные скорости Яв показаны горизонтальными прямыми. Погрешность Яв составляет 1-2 %. Наконец, гладкие кривые без значков Ят(Ь), аппроксимирующие скорости найдены описанным ниже образом.
В работе [3] было получено приближенное аналитическое выражение для динамической скорости. Его временная зависимость в основном передаётся формулой
Rw(t) = fioexp{--
iil
ehw(t)V
(6)
где
1) = 1 — ехр(—^). (7)
Видно, что с течением времени стре-
мится к И0ехр[—иь/в}. Естественно отождествить И0 с И0ехр[иь/в}. Однако для описания релаксационного поведения скорости нам пришлось модифицировать формулу (6), введя в неё дополнительно подгоночный параметр 5:
НМ=Н0ехр^ — ^ (8)
где
к8( 0 = 1 — вхр(—&). (9)
Значения этого параметра подбирались так, чтобы минимизировать отклонение Я5(0 от т. е. минимизировать величину
й5 -Т-Г-,-. (10)
п
Здесь п - число слагаемых в сумме. Чтобы избежать деления на ноль, суммирование производилось, начиная с момента времени для которого впервые выполнялось условие Rft(tt) > 0.02Яо. Типичные зависимости й8 от 5 показаны на рис. 2. Видно, что каждая такая зависимость имеет неплохо выраженный минимум. Аппроксимирующие кривые Ят(Ь) на рис. 1 получены с теми значениями параметра 5, которые соответствуют этим минимумам.
V
ISSN 1812-3996 '
0,30
0,25
0,20
0,15
ОС
0,10
0,05
0,5
0,4
0,3
а: 0,2
0,1
0,5
0,4
0,3
СИ
0,2
0,1
0,0
: a) 2.71 10~3 d) 1.08 10"2 ■ i ■¡fffiii
/ -i:
b) 4.06 10"3 f\j u. ' ».k.J : e) 1.49 10"2
c) 5.41 10"3 f) 2.57 10~2 ,
500
tco
1000
1500
100 200 300 400 500 \т
1,5
1,2
0,9
0,6
0,3
0,0
1,5
1,2
0,9
0,6
0,3
0,0
1,5
1.2
0,9
0,6
0,3 0,0
Рис. 1. Временные зависимости скоростей распада для шести значений параметра ^ (см. формулу (5)).
Значения параметра указаны на рисунках
монотонно убывает с ростом (р и при (р = 0,1 достигает единицы. Это означает, что формулы (7) и (9) совпадают. Таким образом, в области умеренно малых значений трения наши результаты согласуются с [3].
В заключение, на рис. 4а показаны времена тт (кривая с квадратиками), соответствующие выходу на значение, отвечающее 90 % от И0. Для сравнения показаны также времена (кривая с кружками), которые соответствуют формулам (6), (7), т. е., по существу, работе [3]. Как и должно быть в режиме энергетической диффузии, с ростом трения время релаксации уменьшается, то есть процесс распада ускоряется. Отметим, что в противоположном пределе - в случае большого трения (режим сверхзатухания) - рост трения, наоборот, существенно «тормозит» распад метастабильного состояния.
На рис. 4б показано отношение тш/тт как функция параметра (р, пропорционального величине трения. Из этого рисунка видно, что данное отношение повторяет зависимость параметра 5т(^), представленную на рис. За. При малых (р значение превосходит тш почти на 60 %. С увеличением Зависимости оптимальных значений параметров трения это отличие становится существенн° меньше.
Рис. 2. Зависимость параметра (см. формулу (10)) от 5 (см. формулу (9)) для двух значений параметра ф (см. формулу (5)), указанных на рисунках
5т и йт от (р приведены на рис. 3. Оказывается, что 5Г
Рис. 3. Зависимость параметров (см. формулу (10)) и Бт (см. формулу (9)) от параметра ф (см. формулу (5))
■ ISSN 1812-3996
1,5
1,0
0,5
2,0
1,5
1,0
\ ° Tw —■— T m
■ \ \ • v\
4 —n , , ,
b)
X
4
10'
10"
ф
10
Рис. 4. Зависимость от параметра ф времен релаксации, вычисленных по аналитической формуле из работы [3] (т^ кружки) и извлеченных из численного моделирования (тт, квадратики) (а); отношение этих времен в зависимости от ф (б)
4. Выводы
Мы провели численное моделирование процесса теплового распада метастабильного состояния при малом трении (режим энергетической диффузии) с помощью стохастических дифференциальных уравнений (уравнений Ланжевена). Полученные зависимости скорости распада от времени позволили
извлечь времена релаксации - тт. Показано, что эти времена при экстремально малом трении оказываются меньше значений, известных из литературы [3], более чем на 50 %. С увеличением трения наши времена релаксации приближаются к полученным в работе [3].
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Kramers H. A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions // Physica. 1940. Vol. 7. P. 284-304.
2. ChandrasekharS. Stochastic Problems in Physics and Astronomy // Reviews of Modern Physics. 1943. Vol. 15. P. 1-89.
3. Grange P., Jun-Qing L., Weidenmuller H. A. Induced nuclear fission viewed as a diffusion process: Transients // Physical Review C. 1983. Vol. 27. P. 2063-2077.
4. Hanggi P., Talkner P., Borkovec M. Reaction-rate theory: fifty years after Kramers // Review of Modern Physics. 1990. Vol. 62. P. 251-341.
5. Gontchar I. I., Frobrich P. Nuclear fission: combining the dynamical Langevin equation with the statistical model // Nuclear Physics A. 1993. Vol. 551. P. 495-507.
6. Zhou H.-X. Rate theories for biologists // Quarterly Reviews of Biophysics. 2010. Vol. 43. P. 219.
7. Ezin A. N., Samgin A. L. Kramers problem: Numerical Wiener-Hopf-like model characteristics // Physical Review E. 2010. Vol. 82. P. 056703.
8. Challis K. J. Numerical study of the tight-binding approach to overdamped Brownian motion on a tilted periodic potential // Physical Review E. 2016. Vol. 94. P. 062123.
Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 3. С. 97-101
ISSN 1812-3996-
9. Jiang Z. et al. Scaling analysis and instantons for thermally assisted tunneling and quantum Monte Carlo simulations // Physical Review A. 2017. Vol. 95. P. 012322.
10. Sharma A., Wittmann R., Brader J. M. Escape rate of active particles in the effective equilibrium approach // Physical Review E. 2017. Vol. 95. P. 012115.
11. Buttiker M., Harris E. P., Landauer R. Thermal activation in extremely underdamped Josephson-junction circuits // Physical Review B. 1983. Vol. 28. P. 1268.
12. KarpovA. V. et al. Consistent application of the finite-range liquid-drop model to Langevin fission dynamics of hot rotating nuclei // Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics. 2003. Vol. 29. P. 2365-2380.
13. Nadtochy P. N., Kelic A., Schmidt K.-H. Fission rate in multi-dimensional Langevin calculations // Physical Review C. 2007. Vol. 75. P. 064614.
14. Gontchar I. I. et al. Disentangling effects of potential shape in the fission rate of heated nuclei // Physical Review C. 2010. Vol. 82. P. 064606.
15. Pavlova E. G., Aktaev N. E., Gontchar 1.1. Modified Kramers formulas for the decay rate in agreement with dynamical modeling // Physica A. 2012. Vol. 391. P. 6084-6100.
16. Gontchar 1.1., Chushnyakova M. V. Thermal decay rate of a metastable state with two degrees of freedom: Dynamical modelling versus approximate analytical formula // Pramana - Journal of Physics. 2017. Vol. 88. P. 90. arXiv:1512.03644 (2015).
17. Boilley D., Jurado B., Schmitt C. Simple relations between mean passage times and Kramers' stationary rate // Physical Review E. 2004. Vol. 70. P. 056129.
18. Gontchar I. I., Aktaev N. E. Importance of the relaxation stage for adequate modeling of nuclear fission accompanied by light particle emission // Physical Review C. 2009. Vol. 80. P. 044601.
19. Гончар И. И., Крохин С. Н. Прецизионные вычисления скорости деления возбужденных атомных ядер // Вестн. Ом. ун-та. 2012. Т. 4. С. 84-87.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Чушнякова Мария Владимировна - кандидат физико-математических наук, доцент, Омский государственный технический университет, 644050, Россия, г. Омск, пр. Мира, 11; e-mail: mashutka. [email protected].
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Chushnyakova Maria Vladimirovna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Docent, Omsk State Technical University, 11, pr. Mira, Omsk, 644050, Russia; e-mail:[email protected].
Гончар Игорь Иванович - доктор физико-математических наук, профессор, профессор, Омский государственный университет путей сообщения, 644046, Россия, г. Омск, пр. Маркса, 35; e-mail: [email protected].
Gonchar Igor' Ivanovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Professor, Omsk State Transport University, 35, pr. Marksa, Omsk, 644046, Russia; e-mail: [email protected].
Крохин Сергей Николаевич - кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой, Омский государственный университет путей сообщения, 644046, Россия, г. Омск, пр. Маркса, 35; e-mail: [email protected].
Krokhin Sergei Nikolaevich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Head of the Department, Omsk State Transport University, 35, pr. Marksa, Omsk, 644046, Russia; e-mail: [email protected].
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Чушнякова М. В., Гончар И. И., Крохин С. Н. Времена релаксации скорости теплового распада квазистационарного состояния в режиме энергетической диффузии // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 3. С. 97101. ЭО!: 10.25513/1812-3996.2018.23(3).97-101.
FOR QTATIONS
Chushnyakova M. V., Gontchar I. I., Krokhin S. N. Relaxation times of the thermal decay rate of the qua-sistationary state in the energy diffusion regime. Vest-nik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 3, pp. 97-101. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(3).97-101. (in Russ.).
