Вращение жидкости над неподвижным основанием по закону свободного вихря Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 62-251-762.89:532.5.013.12

ВРАЩЕНИЕ ЖИДКОСТИ НАД НЕПОДВИЖНЫМ ОСНОВАНИЕМ ПО ЗАКОНУ СВОБОДНОГО ВИХРЯ

© 2010 г. АА. Кишкин, М.Г. Мелкозеров, Д.В. Черненко, С.И. Пшенко

Сибирский государственный аэрокосмический университет им. ак. М.Ф. Решетнева

Siberian State Aerospace University M. F. Reshetnev

При допущениях об осесимметричности течения, интегральные соотношения уравнений пространственного пограничного слоя, с учетом характеристик течения по закону свободного вихря, преобразованы в систему в полных дифференциалах. В результате интегрирования получено выражение для оценки толщены потери импульса в зависимости от геометрических и режимных параметров течения.

Ключевые слова: пространственный пограничный слой; уравнения импульсов; дифференциальное соотношение; свободный вихрь.

At assumptions about axis-symmetrical current, integrated parities of a boundary layer's equations, with the consideration of characteristics of a current under the law of a free whirlwind, are transformed to system in full differentials. As a result of integration, expression for an estimation of a thickness of an impulse loss depending on geometrical and regime parameters of a current is received.

Keywords: three-dimensional boundary layer; equations of impulses; differential relation; low of a free whirlwind.

Для решения уравнений вращения жидкости над неподвижным основанием поток условно разделяется на ядро и пограничный слой, движение жидкости в ядре осесимметрично, линии тока представляют собой замкнутые кольцевые линии. Из [1] известно, что при вращении жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами реализуется распределение окружной скорости U по закону UR = const (закон свободного вихря). В частности, для подводящих и отводящих устройств турбомашин этот закон распределения с достаточной для расчётов точностью реализуется на режимах, близких по расходу к оптимальному, что и определяет практический интерес к такой постановке задачи [2].

Рассмотрим уравнение импульсов пространственного пограничного слоя с поперечным градиентом давления [3]. В решении переходим от естественных к цилиндрическим координатам ф = а и у = R. Из принятых допущений о характере движения в ядре учтём, что течение осесимметрично и, следовательно, члены с 5/За равны нулю. Закон распределения скорости в ядре потока принимаем UR = C = const. Коэффициенты Ламэ для цилиндрических координат Hф = Hа = R, Нф= HR = 1; производная коэффициента 5H^3y = 3Ha/3R = 5R/5R = 1; дифференциал 2

с

давления dp = р —- dR .

R

Система уравнений импульсов пространственного пограничного слоя (ППС) [3]:

1 35

от

2§w du 2§ш du

1

Яш ^ H, Зф HU Зф нши Зш

+ 25ШФ тш +

H ф H ш Зф

1 dH ф H ф H ш (Зш

5l; +5Г +5!-51 =

ш

ф

ф

dp

5-

'"Ош

pHш,и2 5ш pU2

М — = + [ N - KMе2 ) — dU

de = MHе dU d ф U Зф

'U Зш

"M +1)-**T(и;8ф";v) ,

"ф

с учётом указанных подстановок и замечаний, запишется в виде

d5af? 1 dU ^

+ u 7R [5R- 25-)+R [5R- 25«R):

X

0a

dR U dR

d5R + 25R" dU 1

pU2

dR

U dR R

5R + 5a +5a-5) =

1 dP 5__X0a

pU2 dR pU2

Продолжив преобразования, получим

d5

d( с,

aR + (5R*-25a*R) + R(5R -250*r)= x0a

dR C dR

pU

2

1

+

55*; + _25* Ч R

дЯ

C5R

Я

1 / * ** * \ + R (5Я + 5а + 5а-5) =

р C_ 5-^-. pC2 Я3 pU2

Возьмём производные окружной скорости

по выражению т0а = -0,01256е

( п,,**\ -0,25 C5n

Rv

v у

[3]. Сдела-

ем указанные подстановки и возьмём производные произведения:

( -л

_.** де д5а 5а — + е—-

а дЯ дЯ

= 0,01256

C5„

Rv

v У

д5Я ( Я C W

** о ** \ 1 / О * О ** \ X,

Я" + 1---т1(5Я - 25аЯ ) + Я (5Я - 25аЯ ) = "

дЯ

CR

pU 2

д5Я J Я C Л ~** I/o* о** о*

—— + 21---Т |5Я + —(5Я +5а + 5-5) =

дЯ ^ C Я2 J Я Я' Я а а '

5 х,

0Я

я pU2

Окончательно уравнение импульсов ППС в проекциях на цилиндрические координаты при движении ядра потока по закону свободного вихря UR = const:

яя**

00 О ТПг,

дЯ pU2

д5

Я

дЯ Я

1 * ** * + Я (5Я + 5а + 5а-5) = -

L0R

pU 2

(1)

**

I = аЯ

„**

е5„

к = .5Я

*

е5„

L =

*

5

2* е 5*

тт = 5а Н =-**,

5

которые для практических расчётов считаются постоянными. Преобразуем систему (1)

( я** ^

5аЯ Vе5 а У

я*

е5„

дЯ

= 0,01256

( ns.**\ -0,25

Rv

С яя** А

„** де 2 д5а 5„е— + е 2—а-а дЯ дЯ

+ R (5*а* + H5*а* - Le25*а* ) =

= -0,01256е

с -0,25

Rv

v у

(2)

Выполнив преобразование системы (2), получаем систему дифференциальных уравнений из двух уравнений с двумя неизвестными параметрами б а и е :

I е^ +15а* — = 0,01256 дЯ дЯ

( п,,**\ -0,25

Rv

Le2 ^ + 2Le5: ^ + + Н -Le2 ) = дЯ дЯ Я

дЯ

_де+5* дЯ Я

= -0, 01256е

-0,25

C5„

Система дифференциальных уравнений (1) имеет семь неизвестных функций при двух уравнениях. Используя приём, рекомендованный [4]: сократим число неизвестных функций. Введём относительные, существенно положительные величины

Rv

(3)

Приведём систему (3) к виду, более удобному для интегрирования, выразим производные явно. Для

L

этого домножим первое уравнение на | _уе I, полу-

чим:

т 2 д5а т я** де L

-¿е2—— - Le5г, — = -0,01256 — е дЯ дЯ I

** -C5„.

Rv

Le

^ а

дЯ

+ 2Le5ГГ— ^(Le2 -1 -Н)-дЯ Я

-0,01256е

( п<,**\ -0,25 C5„

Rv

У я** А

5 аЯ

2 г**

Vе 5а У

2 ** е5

дЯ

**

5* +

*

5

V 5 а У

** 5„ -

2 ** Vе 5а у

2* е5

= -0,01256

( п,,**\ -0,25

Rv

При сложении уничтожается член 38**/ЗЯ, и производная по параметру е запишется:

Зв = ( 2 -1 + Н Л 0,01256(1 + L)

"SR "¡ЯVе ТJ IL5**

** -C 5П

Rv

.(4)

f 2Z Л

Теперь первое уравнение домножим на I ——s

где е = т0Я/х0 * - тангенс угла, определяющего направление напряжения трения на стенке и донных линий тока; т0а - напряжение трения в окружном направлении для турбулентного режима, определяется

получим:

-2Le2 д5** - 2LESr ^ = -0,02512 Lе

** C5„.

-0,25

дЯ

дЯ

Rv

I

L

0,25

д

д

5

+

0,25

в

I

Le

2 C8a

CR

+ 2Le5:— ^(Le2 -1 -H)-cR R

-0,01256e

Co„

Rv

Сложим оба уравнения и выразим производную по толщине потери импульса:

Направления характеристик двух семейств совпадают и равны нулю: Х1 = X 2 = 0 - система параболич-на; характеристика системы (3) при 5/Эос = 0 совпадает с координатной осью R.

Запишем дифференциальное соотношение на характеристике

(ХгЛ + В) dU + CdV + Mdx + Му = 0 ,

381

0,01256(1 + 2L)

( Я** А C8„

-0,25

CR

ILe

Rv

в наших обозначениях уравнение примет вид: (XЛ + В) d 8 О* + Cd е + МйК + Мы = 0,

(6)

+8* Г 1+H -11.

R \ Le2

(5)

Проанализируем систему квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Запишем систему (3) в виде

I e38** +18-^ = 0,01256

CR a CR

i -0,25 C8„

Rv

Le

2 C8a

CR

** Ce

+ 2Le8a — = CR

0,01256e

f

C8„,

Rv

v у

+ ^-(1 + H - Le2 )

Сопоставим эти уравнения с общей записью системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [3] и обозначим переменные и коэффициенты

и = 8 о* ' , «11 = 1е , а12 = /8а , Ь11 = Ь12 =

«21 = Le , «22 = 2Le8a , b21 = b22 = 0

C1 = 0,01256

C8„.

Rv

v У

C 2 = -

0,01256e

f \

-0,25

Rv

+ -^(1 + H - Le2 )

где

X1 Л = 0, 5 =

b12 «11

b22 «21

= 0,

C =

b12 «12

b22 «22

= 0, M =

C1 bi:

C 2 b

= 0,

N =

«12 C1 «22 C2

= «12C1 - «22C2 =

= -18*

0,01256e

/ ** \ -0,25

roR8*

v

v У

я**

+8a_(1 + H - Le 2;

- 2Le8* 0,01256

^ -o,25 C8

Rv

v У

Дифференциальное соотношение (6) упрощается

Жа = 0 (7)

и удовлетворяется лишь при одном условии N = 0.

Запишем выражение для коэффициента N, изменим знак и раскроем скобки

0,01256I e8*

fC 8** V^25 I (8

Rv

v У

(1

R V

(1 + H - Le2 ) +

+0,02512Le8*

** -0,25

C8

v R v У

v У

= 0.

Определим корни характеристического уравнения, принимая общий вид

Аналогично предыдущему сгруппируем члены и сформируем квадратное уравнение относительно параметра е

(

Ьц-X «11 b12-X «12 b21 -X «21 b22 -X «22

= 0.

IL

(sa*)

R

2 Л

f

e2 +

0,01256 (I + 2L )8-

C8**

0,25

v R v У

v У

e+

в принятых обозначениях имеем

-X I e -X I 8--X L e2 -X 2L e8*

(8a* )2

+1 (1 + H P—'— = 0

R

Дискриминант этого уравнения положителен.

+

+

+

2 /„**\2 ( C5

**

-0,5

Rv

D = 1,577 -10"4 (/ + 2L )2 (5*а*)

W чК )4

+412L (1 + H) / > 0.

V / R 2

Значит, корни действительны и отличны

_3 (I + 2L)R f cs: ^

е = 6,28-10-

IL5„

Rv

V У

3,9425 -10-

(I + 2L )2

12 L2

(1 + Н )

Я

С *

V а У V

ся*

Rv

Заметим, что

2 1 + Н е = a + a +--

^ a = | е2 - | /2е

подставим значение

(8)

6,28 -10

_3 (I + 2L )( R Л1,25 fvf25_ е2-(1 + Н )/ L

IL

*

V5: У

C

2е

и выразим толщину потери импульса пограничного слоя

(яГ*)'

= 6,28 -10-

(I + 2L )

IL

- во-вторых, при определённом значении пара-

d 8**

метра е в процессе интегрирования, функция * имеет разрыв.

Обратим внимание, что при е =

1 + Н L

(60 = arctg е - угол скоса донных линий тока) дифференциальное соотношение терпит разрыв. Проведённые испытания по визуализации донных линий тока показали, что угол скоса донных линий тока равен расчётной величине 60. Разрыв в квазилинейном уравнении [4] распространяется по характеристике. Следовательно, дифференциальное соотношение для одной из функций системы (4) и (5) должно быть заменено на конечное соотношение, равное значению функции в точке разрыва. По физическому смыслу 8** - толщина потери импульса не может быть постоянной величиной, поскольку вдоль координаты Я изменяется статическое давление Р - силовой фактор, связанный с изменением импульса элементарного объёма. Очевидно, это конечное соотношение

е =

1+Н

L

Выполняя преобразование уравнения (5) при

1 + Н L

и переходя к полным дифференциалам,

получаем обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

d 5Г

dR

= 0,01256

(I + 2L )

( ns.**\ -0,25 C5n

Л/l (1+Н)

Rv

2е2

(е 2-(1 + Н )/L )lC

0,25

Я1'25

(9)

Выражения (8) и (9) - это условия, удовлетворяющие дифференциальному соотношению на характеристике (10).

Отметим, что дифференциальное уравнение на характеристике вырождается в дифференциальное соотношение [4]. В нашем случае характеристика совпадает с осью Я, следовательно, одно из уравнений системы (4) и (5) должно быть заменено на дифференциальное соотношение.

Попытка численного интегрирования системы уравнений (4) и (5) не привела к положительному результату по двум причинам:

- во-первых, невозможно задать корректно начальные условия, поскольку при Я ^ 0 производные

d 8** d е

—— и--;

dЯ dЯ

После интегрирования при начальных условиях R° = 0, 5: = ° находим аналитическое выражение

для толщины потери импульса на торцевой стенке при вращении жидкости по закону UR = const = C

Х- = Г |C

0,2

Я,

(10)

где Г = 0,03014-

(I + 2L )0

Iа810'4 (1 + Н )м '

Уравнение (10) представляет собой достаточно простую связь между параметрами закрученного потока и толщиной потери импульса.

Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы по гос. контракту №П1500 от 03.09.09г.

+

+

-0,5

L

0,5

L

в =

Литература

1. Кочин И.Е., Кибель И.А., Розе М.В. Теоретическая гидромеханика. Ч.1, М., 1963. 584 с.

2. Боровский Б.И., Овсянников Б.В. Расчет отводящего устройства центробежного насоса с лопаточным направляющим аппаратом. учеб. пособие. М., 1984. 33 с.

Поступила в редакцию

3. Кишкин А.А., Черненко Д.В., Черненко Е.В. Уравнения импульсов трехмерного пограничного слоя // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. Новочеркасск, № 4, 2007.

4. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М., 1966. 260 с.

28 июля 2010 г.

Кишкин Александр Анатольевич - д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой «Холодильная, криогенная техника и кондиционирование», Сибирский государственный аэрокосмический университет им. ак. М.Ф. Решетнева. Тел. (391) 237-12-95. E-mail: [email protected]

Мелкозеров Максим Геннадьевич - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Холодильная, криогенная техника и кондиционирование», Сибирский государственный аэрокосмический университет им. ак. М.Ф. Решетнева, директор Центра открытого образования СибГАУ. Тел. (391) 271-29-22. E-mail: [email protected]

Черненко Дмитрий Викторович - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Холодильная, криогенная техника и кондиционирование», Сибирский государственный аэрокосмический университет им. ак. М.Ф. Решетнева, Тел. (391) 288-33-38. E-mail: [email protected]

Пшенко Степан Игоревич - аспирант, кафедра «Холодильная, криогенная техника и кондиционирование», Сибирский государственный аэрокосмический университет им. ак. М.Ф. Решетнева, Тел. (391) 291-90-93. E-mail: [email protected]

Kishkin Alexander Anatolyevich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department «Refrigerating, cryogenic Engineering and Conditioning», Siberian State Aerospace University M. F. Reshetnev. Ph. (391) 237-12-95. E-mail: [email protected]

Melkozerov Maxim Gennadievich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Refrigerating, Cryogenic Engineering and Conditioning», Siberian State Aerospace University M. F. Reshetnev. Ph. (391) 271-29-22. E-mail: [email protected]

Chernenko Evgeniy Viktorovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Refrigerating, Cryogenic Engineering and Conditioning», Siberian State Aerospace University M. F. Reshetnev. Ph. (391) 288-33-38. E-mail: [email protected]

Pshenko Stepan Igorevich - post-graduate student, department «Refrigerating, Cryogenic Engineering and Conditioning», Siberian State Aerospace University M. F. Reshetnev. Ph. (391) 291-90-93. E-mail: [email protected]