CC BY
9
УДК 62-251-762.89:532.5.013.12
ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ИМПУЛЬСОВ ТРЕХМЕРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ОБЩЕГО ВИДА. УРАВНЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ НА ХАРАКТЕРИСТИКЕ
© 2007 г. А.А. Кишкин, В.П. Назаров, Е.В. Черненко
Для эффективного выбора метода решения и построения расчетного алгоритма необходимо привести систему уравнений импульсов ППС к виду, определенному по переменным и позволяющему вести как численное интегрирование в общем случае, так и аналитическое в частных случаях.
Метод интегрирования систем дифференциальных уравнений в частных производных зависит в основном от того, к какому виду принадлежит система: гиперболический, параболический или эллиптический.
Общий вид уравнений импульсов ШЮ [1]:
1
1 dU
(25;+§;-§)+■
1 35,
;v
1 dU
H; d; H;U V ; ; ~l Hv dV HVU dV
<(2§;v-8v)+-
H;Hv
ГЧ* \
25;V-5V)
J_Ф 5 + -^ ;
pH;U2 д; pU2
1 d5v , 1 ^v; + 25v; dU + 25v dU + 25v; H
Hv dv H; d; H;U д; HWU dv H;H^ d;
1 ЭН,
H; HV
-1 dp_g- tov
pHvU2 dv pU2
(1)
как уже указывалось выше, не позволяет вести интегрирование: число неизвестных функций превышает число уравнений. Воспользуемся известным приемом [2] и сократим число неизвестных, для этого введем относительные существенно положительные величины (характерные толщины ППС), которые в безотрывной зоне считаются постоянными, с точностью для практических расчетов
о * о ** о * о **
H; I=18«; к=; ь = 1% ;
8" ' е8" ' е8" ' е2 8" '
ф
ф
ф
ф
M = I5^ ; N = -5
е 5;
5;
(2)
ф
+ -
1 3U,
-(28!* + HS" - N8")+-L^fVi. H; d; H;U Э;^ ; ; ;' Hv dv
+
1 dU HvU dv
(2I е5;*- Ka")
1 дн
H;Hv N dp 5;; + To; ;
( Ke5;;)=
pH;U2 д; ; pU2
(3)
L д(е25;;) M д(е5;;) 2Me5;; dU 2Le25" 3U T - +--—+----+----+
H v
dv
H
+ 2Me5; дНv +_ H;Hv d;
д; 1 dH;
H;Hv dv
H;U д;
HvU dv
(5"+5" + H 5"- N5 £)=
- N
pHvU2 dv
dp 5;; Tov
pU2
Необходимо отметить, что интегрирование уравнений импульсов ППС (1) в общем случае ведется в естественной системе координат ср и V, причем координатная линия совпадает с проекцией предельной линии тока в безвязкостном ядре потока на стенку, координатная линия V - ортогональна ср. Дифференциал дуги координатной линии равен дифференциалу по аргументу dSi = Hidqi, следовательно, в естественных координатах, привязанных к известным линиям тока, коэффициенты Ламе Hф = H V = Hy.
1. Раскроем некоторые дифференциалы и избавимся от членов с дHi, кроме того, компоненты напряжения трения связаны соотношением т^ = ет0ф , закон трения примем, как и для плоского ПС,
o
pU1
= T
(U ;5;; ;v).
(4)
Система (3) принимает вид
Э5!
1 dU
(25;; + н 5;;- N 5")
ф ф
Преобразуем систему (1) с помощью подстановок
(2): 1 Э8ф
д; U д;
+1dU (2I е5"- K О) ^ U д^ ; pU2 д;
д5
+1
д5
де
А
—+5;— dv dv
5;; + T(U;5;;;v); (5)
' 2а*-*?
dv dv
+M
^ d5;; деА
+ 5; — ; д;
д;
2Mе5; дU +----+
U д;
28ф дU - N дp « / « \ +-1--=-т-£-8ф -еT((;8ф IV).
U Эv pU2 Эv ф ^ ф '
Продолжим преобразования, сгруппируем члены по производным и приведем систему (5) к виду традиционной записи системы квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [3, 4]
du dx
, du + Ьп — + a
дУ du
dv dx
+ b
dv dy"
= C1;
Эм , Эм Эу , ЭУ
а21--+ Ь21--+ а99--+ Ь22— = С 2 ,
21 21 22 22 > Эх Эу Эх Эу
соответственно, уравнения импульсов III 1С записываются окончательно
Э§г Э§" Эе N Эрй«
- +1е——+/8ф—=-8ф -
Эу Эу ри2 Эф
дф
В случае параболичности системы (6) существует только одно семейство характеристик
. dw L л=——=—e = Ie .
(9)
ёф М
Вдоль каждой характеристики дифференциальные уравнения системы (6) заменяются дифференциальным соотношением в полных дифференциалах
Б = ((Л + 5)ё8ф*+ Сёе+Мёф+ Ыёу = 0. (10)
о ** ^
-(2 + H - N^ V U дф
-(2I - К )
г8ф* dU U dw
-+ Т
((;8ф* ;v);
д§:
, д§:
M г—^ + Le M 8ф* —+ 2L8ф*E—=
дф dw
дф
N др (
pu2 aw' ф +
ду
и 2Mе5ф* ди U ду и дф
+ eT
(;8ф ;v)
(6)
Для удобства последующих преобразований обозначим коэффициенты в системе (6)
аи =1; Ьи =1е; а12 =0 ; Ь12 = /8ф*; а21 = Ме ; Ь21 = Ье2; а22 = М8"; Ь22 = 2Ь8ф*е ; (7)
C1=^ ^Р §ф* -(2 + H - N ))фди
pU 2 дф
U дф
-(2I - К т (;8ф* ;v);
C 2 = " ^ 8ф*-
pU2 ф и
ду
- -е^ (» ).
и Эф V ф '
Тип системы (6) определяется корнями характеристического уравнения
b11 -Ха11Ь12 -Ла 12 Ь 21 -Ла 21Ь 22 -Ла 22
I e-XI 8ф*
Le2 -XMe2LS **E - XM8ф
= M8 ф*Л2 - 2LS ф*гЛ + IL8 ф*г2 = 0.
(8)
Определим последовательно коэффициенты в уравнении (10), учитывая обозначения в (7):
A =
B =
C =
а11а12
а21а22
Ь12а11
Ь22 а21
Ь12а12
Ь22а22
10
M eM 8
=M 8ф
ТС* ** ! 18ф 1
2L8ф*EM г
= (IM - 2 L )8фф
г;
=MI
(8ф*)2.
Для коэффициента М выполним достаточно громоздкие преобразования
N Эр- 8"-(2+н - N )-8фЭ -
C1b12
M = =2L8;e
C 2b22
pU2 дф
U дф
+18ф
-(2I - К +T ((;8ф* ;vV
V ' U д^ ^ ф А
N др + 2Le28^ ди+2Ме8ф* ди U д^ и дф
я -I-pU2 д^'ф
+eT
(и;8ф* ;v)
окончательно
m=
(ф*)2
pU2
2LN ^ e + ^IN дф ду
<8ф*)2
ди
(2IM - 4L - 2LH + 2LN)+
+
(8ф*)2
г2 ди
U дф
(2IL - 4IL + 2LK)+ г8ф*Т ((;8ф* ;v)(2L + I).
и Эу
Для коэффициента N аналогично получаем вы-
Определим дискриминант уравнения (8)
Б = 4Ье2(8ф*)2 (Ь -М1), следовательно, система (6)
относится к эллиптическому, параболическому или гиперболическому типам, если величина Ь/(М1) соответственно меньше, равна или больше единицы. Согласно данным [2] для различных профилей продольной и поперечной скоростей уравнения импульсов ППС можно считать уравнениями параболического типа, полагая в них Ь/(М1) = 1, во всех случаях эта
ражение
N=
auC1
a22C2
- м (2+H - N8-»
pU2 дф
U дф
(8** )2 e
-M(2I - КM8ф*Т (U;8ф* ;v)
U ду
d w
Обратим внимание, что А,=-=1е (9), и пере-
ё ф
величина отличается не более чем на 0,1, в то время пишем выражение для дифференциального соотно-
как величины Ь разнятся более чем в два раза.
шения (10)
d 8**
D = (( еА+B)—^+С—+M+1 е N, ^ ' dф dф
затем подставим коэффициенты А; В; С; М; N и сгруппируем члены
D = 2(MI - L)5;
;;
mi (5;; )2 ^ ■ d ;
d ;
2
(о ;; \ /о ;; \
^+IN 31.
pU2 д; pU2 дv
-[MI (4 + H)-2L (2 + H)+ N (2 L - MI))
U;;)2
е(5;;)2 ЭЦ U д;
е 2 дU
+ [2L (к -1) + М1 (21 - к — и Эv .
+ [2L +1 -М1 ]е8ф*Т(и;8ф*;V—.
Учтем, что L/(MI) = 1, разделим почленно на 1М
2 / ^ ** \ 2 „-и 8ф— е дР + N (8ф— др +
^ dф^ ри2 дф М ри2 дv
(о ;; \
+к£
(5;;)2
дU
U д; U дv
M+1
M
-е5;;Т (U; 5;;; v) = 0.
Выразим производную параметра е и окончательно запишем выражение для дифференциального соотношения на характеристике
, , dе е др N др , .Меди М—=-MN--—---—-Н)---
dф ри2 дф ри2 д^ 4 и дф
KMе2 дЦ U дv
-(M +1)-^ T (u ;5;; ;v), (11)
где Т(и;8ф*;v) - закон трения (4). Для турбулентного
и I У
распределения скорости —=1 —
и I 8
писывается
T
(и ;5;; ;v)=
o;
pU2
= 0,01256
закон трения за-
( u 5« А-0,25
Во многих случаях потенциального течения в ядре потока удобно использовать несколько упрощенную запись уравнений импульсов (6) и дифференциального соотношения (11).
Во внешнем безвихревом потоке
1 др = иди ; 1 др = иди рдф дф рдv дv
подставим эти выражения в (6) и (11) и получим окончательно: уравнения импульсов ППС для потенциального потока
* де
д5;; д5;; ; +1 15;
д; дv
5;; ^
-(2 + H -(21 - K )
U д;
дv
е5;; ди U дv
-+ T
(и ;5;; ;v)
M е-
д5!
д;
- + Le2
д5
де
де
M 5" — + 2L5;;^= дv д; дv
(2Le2 -n)-
5;;дЦ 2Mе5;; дЦ
+
U дv U д;
+ eT
(U; 5;; ;v)
дифференциальное соотношение
d е
M
MH едЦ / ^ ,, 2\1 дЦ + (U - KM е 2
!)
-(M + 1)-|т T (U; 5;;; v).
d; U д;
U дv
(12)
Дифференциальное уравнение (12) выражает зависимость е (тангенс угла скоса донной линии тока
е = tg9() от ф и 8ф* вдоль характеристик).
Поскольку система уравнений импульсов (6) существенно параболична и имеет одно семейство характеристик, для численного интегрирования системы предлагается совмещенный разностно-характерис-тический метод интегрирования.
Работа выполнена при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований № 06-08-00830а.
Литература
1. Кишкин А.А., Черненко Д.В., Черненко Е.В. Уравнения импульсов трехмерного пограничного слоя // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2007. № 4. С. 35-41.
2. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М., 1962.
3. Зайцев В.Ф., Полянин Ф.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М., 2003.
4. ТурчакЛ.И. Основы численных методов. М., 1987.
Сибирский государственный аэрокосмический университет им. ак. М. Ф. Решетнева, г. Красноярск
5 сентября 2007 г.
**
