CC BY
28
2007
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА Серия Прикладная математика. Информатика
№ 120
УДК 519.81
ВОЗМОЖНОСТЬ ОДНОЭТАПНОГО РЕШЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ЗАДАЧ ВЕКТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ПРИ ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКОМ ОТНОШЕНИИ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ ЧАСТНЫХ КРИТЕРИЕВ
Е.М. ИВЕНИНА, И.Б. ИВЕНИН Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.
Рассматривается задача векторной оптимизации при лексикографическом отношении порядка на множестве частных критериев. Предлагается вариант формирования скалярного критерия для одноэтапного решения задачи лексикографической оптимизации.
Введение
В настоящее время в зависимости от информированности лица, принимающего решение (ЛИР), рассматриваются различные подходы к решению задач обоснования решений по векторному критерию. Если в задачах обоснования решения по скалярному показателю основная трудность состоит в разработке алгоритма поиска экстремума, то в задачах обоснования решений по векторному показателю главное внимание уделяется выработке решающего правила, основанного на компромиссе между значениями компонент векторного показателя.
Будем считать, что качество решения (т.е. выбора стратегии и из множества допустимых стратегий ио) определяется значением векторного показателя
Ш(и) = (Щ(г),Щи),...,№„(и))Г .
Будем также считать, что в рассматриваемых задачах векторной оптимизации система предпочтений ЛИР вводится на значениях частных показателей Щ (и), и предпочтения не меняются скачком. Выбирая более предпочтительную стратегию и*є ио, ЛИР может ориентироваться на свои предпочтения, заданные на множестве значений 2 = Z1 х 22 х---х 2т векторного показателя, где 2{ - множество значений частного показателя Щ.
Если в задаче обоснования решения частные показатели независимы по предпочтению, и значение каждого из них желательно увеличивать, то из двух векторных оценок Щ(1),Ш(2) є 2, для которых выполняются неравенства
ш(1) > щ (2), і=іт, (і)
векторная оценка Щ(1) не менее предпочтительна, чем оценка Щ(2) ( Ш(1) У Ш(2)).
Если хотя бы одно из неравенств (1) - строгое, то векторная оценка Щ(1) более предпочтительна, чем векторная оценка Щ(2), ( Ш(1) У Ш(2)).
Пусть 23 - множество достижимых векторных оценок, соответствующее множеству и0 — допустимых альтернатив решений (допустимых стратегий). На основании отношения строгого предпочтения У на множестве достижимых оценок 23 вводится ядро отношения Мт - множество Иарето недоминируемых результатов:
М„={Ш | $ V є 23 : У> Ш, Ш є 2„} (2)
Множество недоминируемых результатов (2) соответствует множеству стратегий ит.
Uw={u | W (и ) £ Mw, u £U„} . (3)
Стратегии из Uw, векторные оценки которых принадлежат ядру отношения Mw, называются эффективными или недоминируемыми по Парето. Все остальные стратегии U0 \ Uw называются доминируемыми. Очевидно, что решение задачи векторной оптимизации следует искать только на множестве Uw эффективных стратегий. Для дальнейшего сужения множества эффективных стратегий Uw необходима дополнительная информация о предпочтениях ЛПР на множестве оценок Z векторного показателя.
1. Общая постановка лексикографической задачи оптимизации
Частным, но весьма важным случаем такой информации являются сведения об абсолютном превосходстве по важности частных критериев, порождающие так называемый лексикографический порядок на множестве частных критериев, а, следовательно, и на множестве альтернатив решений. В общем случае под лексикографическим порядком [1, 2] будем понимать порядок на прямом произведении X = ^ Xa частично упорядоченных множеств Xa,
где множество индексов L вполне упорядочено, определяемый следующим образом: если {xa}, , {ya}e X , то {xa} £ {ya} тогда и только тогда, когда либо xa = ya для всех ae L , либо
существует такое ae L , что xa < ya и x^= у ^ для всех Ь < a. Множество X в этом случае называется лексикографическим.
В соответствии с введенным лексикографическим порядком отношение нестрогого лексикографического предпочтения ЛПР на множестве Z3 допустимых векторных оценок можно задать следующим образом:
WL^V «(W > V1 )v(W = V1 a W2 > V2)v...v(w; = V;; i = 1,m-1 a Wm > Vm)v(Wj = Vj; j = 1m)
Lex
Отношение У обладает свойством связности [2] и не требует однородности частных показателей. Поэтому связным является соответствующее отношение предпочтений на множестве альтернатив решений
Lex ^ Lex ^
и у v ^ W (и) у W (v).
Формально лексикографическая задача оптимизации заключается в отыскании величины
M°m = max Wm (u) (4)
U£ Um
и точки где
U* =
и *= arg maix Wm (u) (5)
ueU,
m-1
Arg max W; (u) = {u e U*-1 | W; (u) = max W; (v)}
ueUh [ veU*-1 J
1 £ i £ m, U0 = U0
(6)
Многоэтапный способ решения лексикографической задачи оптимизации (4),...,(6) формально сводится к последовательному определению и*—1, г = 1, т — 1, после чего решается (4).
Такой подход может оказаться конструктивным в случае конечного множества ио, однако даже в этом случае прямая его реализация практически невозможна из-за сложностей определения всех множеств и*. Для приближенного многоэтапного решения задачи лексикографиче-
ской оптимизации используется метод последовательных уступок [3] и ряд других, схожих по идеям, методов.
Возможность одноэтапного решения лексикографической задачи оптимизации при конечном множестве U0 путем ее сведения к одной экстремальной задаче со скалярным критерием показана в [3].
В монографии В.В. Федорова [4] на основе метода штрафных функций сформирован общий подход к построению единого скалярного критерия для одноэтапного решения лексикографической задачи оптимизации в виде взвешенной суммы частных критериев с определен-
m
ным соотношением коэффициентов: Ф(и, Сш ) = I Z (Сш )W (и), где Сш - штрафная константа, а
i=1
z (С )
функции Z1 (Сш ), Z2 (Сш Zm (Сш ) таки^ что Clim 1+' Ш ^ 1 £ i £ m - 1 .
Сш zi (Сш )
2. Одноэтапное решение двухкритериальной лексикографической задачи
В данной работе общие результаты [2, 3, 4] расширяются и конкретизируются для следующего частного случая. Рассматривается задача оптимизации по критерию «эффективность-
стоимость» вектора и, (и = (и1,и2,...,ип)т) характеристик многофункциональной технической системы (например, самолета). Эффективность решения частных функциональных задач оценивается частными критериями Wi, i = 1, m . Считается, что среди задач, для решения которых
предназначена система, имеется одна главная задача (i = 1). Остальные считаются вспомогательными и равнозначными. Эффективность решения главной задачи должна быть не ниже заданного значения W0. Требуется определить такой вектор и * характеристик системы, при котором стоимость решения главной задачи будет минимальной и при этом эффективность решения всех вспомогательных задач будет, по возможности, максимальной. Для рассматриваемой оптимизационной задачи можно определить векторный критерий
W (¡7) = (С.(7), IW («)). (7)
i>1
с заданным лексикографическим порядком, при котором вектор характеристик и лексикогра-
Lex
фически предпочтительнее вектора характеристик v (и У v ), если выполняется одно из условий:
1. ОД < С2(7);
m m
2. ОД = Сг(7), IW(и) > IW(7)
i=2 i=2
при одновременном выполнении ограничений
Щ(и) > W0; W1(v) > W0 .
Особенностью векторного критерия (7) является то, что стоимость решения задачи необходимо минимизировать, а эффективность - максимизировать. Поэтому второй критерий целесо-
образно преобразовать к виду
m
I [W _ - W (и)],
i =2
где Wi max = m ax Wi (и) - максимально достижимое на множестве допустимых стратегий U0 зна-
neUo
чение критерия эффективности решения i-й вспомогательной задачи.
Лексикографическая задача оптимизации (4),.. .,(6) в этом случае заключается в отыскании
величины
m
M2 = lliax 2 [W„,х - ВД] (8)
ueUl ,=2
и точки
m
u = arg n1ax 2 [Wimax - W,(u)] (9)
ulUl i=2
W1(u) > W0
где
U* = Arg imax C1(u) = {u i U0 | C1(u) = max C1(v)| (10)
ulUo I vlUo і
Если множество U0 конечно, то в соответствии с [3] может быть сформирован обобщенный
скалярный критерий для одноэтапного решения лексикографической задачи оптимизации ха-
рактеристик системы
m
W£=*Ci+2[Wm,x -W(U)] , (11)
i=2
где к - весовой коэффициент, определяемый соотношениями:
- m m
к> - , L > 2 [Wi max - Wi (u)]- ПШ1 2 [Wi max - Wi (Uj] , 0 £ l £ min, |C1 U - C1(V)|
l U1U0 ~ U1U0 ~ u,vlU1
г=2 г=2 C1(u )*q(V)
Собственно лексикографическая задача оптимизации характеристик системы в этом случае может быть сформулирована в следующем виде: требуется определить вектор u* характеристик системы из множества U0 допустимых характеристик, доставляющий минимум обобщенному критерию (8):
= arg min і a1C1 + a2 2 [W,max - W (*0]
u
ulU0 . i=2
при ограничении W1(u) > W0.
При этом в работах [2, 3] доказано, что полученные решения необходимо принадлежат множествам эффективных решений в смысле (3). Если множество U0 имеет мощность континуум, когда одноэтапный способ решения особенно привлекателен, определение U* = Arg min C1(u), как уже было отмечено, вызывает существенные трудности.
UgU0
Для одноэтапного решения лексикографической задачи (8),...,(10) на компакте U0 обобщенный скалярный критерий может быть по аналогии с (11) построен в виде:
m
WLe, =OC,(ü) + £[Wmax - W(«)] ■
i=2
где коэффициент a, обеспечивающий эквивалентность решений исходной задачи с векторным критерием и порожденной задачи со скалярным критерием, подлежит определению.
Предположим, что функции C1(u) и Wi (u), i = 2, m непрерывны на метрическом компакте
U0, и введем внешнюю штрафную функцию Fm = Сш
C1(u) - m in C1(u)
соответствующую в
задаче (8) ограничению и еУ,*. Тогда в соответствии с теорией метода штрафных функций [4] параметрическая последовательность точек
[ т
"1к\ _ _ X"™' Г ЛГ ТТТ'/.^ч! ■ /"^к
Щ (С‘ш ) = arg min і 2 [W max - W (u)] + C‘„
ulU0 1 i=?
С (u ) - im in C1 (u )
ui U 0
0
при Сш ® ¥ сходится к решению лексикографической задачи (8) - (10).
Предположим, что функциональные ограничения, задающие множество X*, регулярны, то есть существуют Ь, 8 > 0 такие, что при всех х из 8 -окрестности X*,
и £ (У8(и;)\и1*)р|и,
справедливо неравенство
>ßpu (u ,U*),
(12)
С1 (u) - min C1 (u)
uG Uo
где r (u ,Uj) - евклидово расстояние от точки U до множества U*.
Предположим также, что функции W (u), i = 1, m, удовлетворяют условиям Липшица с константой M, ( "i, Wi (u) g Lip^y. |W (u) - Wi (v)| < M||u - v|| . Нетрудно видеть, что условие Лип-
m
шица выполняется и для суммы WS (u) = I [W max - W (u)] с константой MS :
i=2
|ws(u) - WS(v)| <MS|\u -v||. (13)
Учитывая, что u и v всегда можно выбрать так, чтобы выполнялось MS ||u - v|| < ри (u, U*), условие (13) можно переписать в виде: |WS(u) - WS (v)| < pu (u,U*), v g U*.
Требования регулярности ограничений (12) практически всегда (согласно лемме 1.12 [4]) выполняются для непрерывно дифференцируемых функций Cj (u). Кроме того, значения констант ß > 0 можно достаточно просто определить, если С1 (u) - выпуклая функция на U0.
Из теоремы о скорости сходимости метода штрафных функций [4] следует, что для задачи
(8) - (10) при выполнении условий (12) и (13) существует конечное значение штрафной кон-
станты Сш, которое определяется из условия нулевого значения погрешности метода штрафных функций [4]:
E(Сш) = Mър„ (u,U*)-C,ßp,, (u.U,') = 0. (14)
MS V
Из (14) следует Сш =-----, где MS - константа для свертки IW(u), а ß - константа из
ß i>1
условия регулярности ограничений (12). Так как min C1(u) не влияет на определение значения
ugUo
x (Сш ) , то для одноэтапного решения лексикографической задачи достаточно выбрать
а > С,,, =
(15)
Этот же результат может быть получен исходя из определения лексикографического отношения порядка.
В двухкритериальной лексикографической задаче (8) - (10) значение весового коэффици-
Lex
ента а для любых u У v должно обеспечивать выполнение неравенства
а{С (u*)- С(v)}
>
I [Wi mx - Wi (V)]
I[W max - W («' ) ]
Lex
Заметим, что из условия регулярности вытекает С (»•)-С (v )\>ßPu (v , U1* ) , а из условия
Липшица
I [Wmax - W (V)]
Z[Wm,x - W('V ) ]
<
MSpu(v,U*) следует, что коэффициент а
M S
должен обеспечивать a > > чт0 совпадает с (15).
Заключение
Лексикографическое отношение порядка на множестве частных критериев, порождаемое наличием главной задачи, реализуется путем формирования единого, инвариантного по отношению множества и0 допустимых решений (возможных значений характеристик системы) критерия оптимизации, обеспечивающего точное одноэтапное решение лексикографической задачи оптимизации при конечном значении весового коэффициента. Кроме того, Ю.Б. Гермейером [5] показано, что решение, получаемое с использованием обобщенного критерия в виде аддитивной свертки, одновременно является эффективным решением в смысле Парето.
ЛИТЕРАТУРА
1. Скорняков Л.А. Элементы теории структур. - М.: Наука, 1970.
2. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. - М.: Наука, 1982.
3. Подиновский В.В., Гаврилов В.М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. - М.: Советское радио, 1975.
4. Федоров В.В. Численные методы максимина. - М.: Наука, 1979.
5. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. - М.: Наука, 1971.
THE POSSIBILITY OF ONE-STAGE DECISION OF CONTINUOUS TASKS OF VECTORIAL OPTIMIZATION WITH LEXICOGRAPHIC ORDERING RELATION ON THE SET OF PRIVATE
CRITERIA
Ivenina E.M.,. Ivenin I.B
The task of vector optimization is examined at the lexicographic ordering relation on the set of private criteria. The variant of forming of scalar criterion is offered for the one-stage decision of task of lexicographic optimization
Сведения об авторах
Ивенина Елена Михайловна, окончила МГУ им. Ломоносова (1986), старший преподаватель кафедры прикладной математики МГТУ ГА, автор 4 научных работ, область научных интересов - методы математического моделирования в механике полета и исследовании операций.
Ивенин Игорь Борисович, 1955 г.р., окончил МАИ им. С. Орджоникидзе (1978), кандидат технических наук, доцент ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, автор более 60 научных работ, область научных интересов - математические методы системного анализа, исследования операций и обоснования решений.
