CC BY
16
3e* > 0 " C' e W(e*) (iT (C) с L" (C + C')),
и потому задача Zm (C) устойчива.
Теорема 2 доказана.
Выводы
Поскольку при переходе к однокритериальному случаю (m = 1) равенство L (C) = L^ (C) выполняется при любой строке C e R", то из теорем 1 и 2 вытекает
1 п
Следствие. Скалярная задача Z (C) устойчива при любой строке C e R .
Литература
1. Емеличев, В. А. О регуляризации лексикографической векторной задачи целочисленного программирования / В. А. Емеличев, О. А. Янушкевич // Кибернетика и системный анализ. - 1999. - № 6. -С. 125-130.
2. Еремин, И. И. О задачах последовательного программирования / И. И. Еремин // Сибирский матем. журнал. - 1973. - Т. 14. - № 1. - С. 53-63.
3. Червак, Ю. Ю. Оптим1защя. Непокращуваний виб1р / Ю. Ю. Червак. - Ужгород : Ужгородський Нацюнальний ушверситет, 2002. - 312 с.
4. Stability and regularization of vector problems of integer linear programming / V. A. Emelichev [et al.] // Optimization. - 2002. - V. 51, № 4. - P. 645-676.
5. Емеличев, В. А. Об устойчивости векторной булевой задачи минимизации пороговых функций / В. А. Емеличев, К. Г. Кузьмин // Весшк Мазырскага дзяржаунага иедагапчнага ушверсггэта. - 2005. - № 1. -С. 6-10.
6. Гуревский, Е. Е. Об устойчивости векторной булевой задачи минимизации абсолютных уклонений от нуля линейных функций / Е. Е. Гуревский, В. А. Емеличев // Известия вузов. Математика. -2006. - № 12. - С. 27-32.
7. Сергиенко, И. В. Задачи дискретной оптимизации. Проблемы, методы решения, исследования / И. В. Сергиенко, В. П. Шило. - Киев : Наук. думка, 2003. - 261 с.
Summary
A criterion of stability for the vector nontrivial boolean lexicographic problem of minimizing absolute value of linear functions is obtained.
Поступила в редакцию 02.03.07
УДК 519.8
В. А. Емеличев, А. А. Платонов
О РАДИУСЕ КВАЗИУСТОЙЧИВОСТИ ВЕКТОРНОЙ ЗАДАЧИ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ ПРИНЦИПОМ ОПТИМАЛЬНОСТИ В МЕТРИКЕ ГЁЛЬДЕРА
Введение
В статье рассматривается векторная задача целочисленного линейного программирования, принцип оптимальности которой задается способом разбиения частных критериев на группы так, что внутри каждой группы действует паретовский принцип оптимальности, а между группами - лексикографический. Исследуется квазиустойчивость задачи, т. е. дискретный аналог свойства полунепрерывности снизу по Хаусдорфу многозначного отображения, задающего функцию выбора. Получена формула радиуса квазиустойчивости задачи
в случае нормы Iр ,1 < р < ¥, заданной в пространстве параметров векторного критерия. Ранее
подобные формулы были выведены лишь для комбинаторных (булевых) задач с разнообразными
видами параметризации принципов оптимальности в случаях метрик 11 и 1¥ [1-4], а также для
некоторых задач теории игр [5-8].
Результаты исследования и их обсуждение Основные определения и свойства
Рассмотрим m -критериальную задачу целочисленного линейного программирования (ЦЛП) с n переменными:
Cx = (Cix,C2x,...,CmX)T ® min,
x e X
^ ._mxn
где C = [ c.. ] e R ,
L ij Amxn '
m, n e N,
C. - l -я строка матрицы C,
i e N ={1,2, ..., m},
m
nT
X - конечное множество решений в Z , причем | X |>1, x = (xp x2, ..., xn) . Для этой задачи введем параметрический принцип оптимальности.
Пусть s e Nm, Nm = u rEN Ir - разбиение множества Nm на S непустых непересекающихся подмножеств (групп), т. е. Ir ^ 0, r e Ns ; p Ф q ^ I n I = 0. В критериальном пространстве Rm каждому такому разбиению (I1,12,..., Is) поставим в соответствие бинарное отношение строгого предпочтения Wm (I1, 12,..., Is) между различными векторами y = (y1, y2, ..., ym) и y' = (y\, y'2,..., y'm), полагая
yW (I,, I2,..., Is)y'»yI fy\ ,
k P k
где k = min{i e Ns : y Ф y' };
у1 и у1 - проекции соответственно векторов у и у на координатные оси пространства
к к
п
К с номерами группы 1к;
у - отношение, порождающее паретовский принцип оптимальности:
р
У1 у у'1 У1 > у'1 & у1 ф у'1 .
к Р к к к к к
Введенное бинарное отношение От (11,12,..., 15) задает такой принцип упорядоченности сформированных групп критериев, в котором каждая предыдущая группа существенно важнее (доминирует) всех последующих. В результате это отношение порождает множество (1 , 1 ,..., 15) эффективных (или, иначе, обобщенно-эффективных) решений в соответствии с правилом
т т
О (С, 11,12, к, 15) = {х £ X : "х'е X (СхО (11,12, ..., )Сх')},
т т
где О (11,12, ., 15), как обычно, означает отрицание отношения О (1 1 ..., 15).
Очевидно, что множество Хт -эффективных решений О™ (С, Хт) (5 = 1) является множеством Парето, т. е. множеством эффективных решений
рт (С) = {х £ X : "X £ X (Сху Сх')}.
р
Легко также видеть, что множество ({1},{2}, ...,{т})-эффективных решений От (С, {1}, {2}, ., {т}) (5 = т) совпадает с множеством лексикографических оптимумов
Ь (С) = {х е X :"х' е X (Сху Сх')}.
Ь
Здесь у - бинарное отношение, задающее лексикографический порядок:
Ь
УуУ' » Ук >у'к,
где к = шт{/ е Ыт : уг ф уг'}, У = (У^ У2,УтX
у' = ( y;, У2, к, Ут).
Таким образом, в данном контексте под параметризацией принципа оптимальности понимается введение такой характеристики бинарного отношения предпочтения, которая позволяет связать такие известные принципы оптимальности, как паретовский и лексикографический.
Нетрудно показать, что бинарное отношение О.т (/1,12,..., I5) антирефлексивно, асимметрично, транзитивно, а следовательно, и ациклично. Поэтому в силу конечности множества X множество обобщенно-эффективных решений От(С, 11,12,..., 15) непусто при любой матрице С и при всяком разбиении (11,12, ..., I5), 5 е Ыт, множества Ыт на группы.
Векторную задачу ЦЛП, состоящую в поиске множества От (С, 11,12, ..., 15), будем
обозначать через 1т (С, 11,12,..., ^).
Следующие свойства непосредственно вытекают из введенных определений.
Свойство 1. От (С, 11,12, к, 15) с р(С) с X,
где
РАС) = {х е X : "X е X {С х у С х')}.
1 р 1
Здесь и далее С1 - подматрица матрицы С, состоящей из строк с номерами группы 11.
1
Свойство 2. Если С, х у С х', то Сх От (I,, 12,..., I „) Сх'.
1 р 1
Свойство 3. Если Сх От (Il, 12,..., 15) Сх', то CI х > С1 х'.
1 1
Свойство 4. Решение х е От (С, I2, ..., ^) тогда и только тогда, когда существует такое решение х', что Сх От (Il, 12, ..., 15) Сх'.
Свойство 5. Решение х е От (С, I2, ..., ^) тогда и только тогда, когда для всякого
решения х' справедливо соотношение Сх От (Il, 12, ..., ^) Сх'. Свойство 6. ^(С) с От (С, Il, 12, ., ^^), где
£ (С) ={х е р(С): "х' е X \ {х} (С1 х ф С1 х')}.
1 1
Действительно, пусть, напротив, х е £1 (С) и х е О (С, Il, !2, ., ^^). Тогда, согласно свойству 4, существует такое решение х , что
Сх От(I1,12,., Is) Сх'.
Поэтому в силу свойства 3 имеем С1 х > С1 х'. Это вместе с включением х е р (С) дает
1 1
С1 х = С1 х', т. е. х е (С), что противоречит предположению.
1 1
Очевидно, что множество ^ (С) может быть пусто. Непосредственно из определения множеств р(С) и ^(С) вытекает
Свойство 7. " х е ^(С) " х' е X \{х} 3; е (С.х' > С.х).
к
Для всякого натурального числа к в действительном пространстве Я зададим норму
Гёльдера (I ):
р
1
||у||р =( 2 |у; |р)р, 1 < р < ¥.
Будем также использовать чебышевскую норму (¡¥):
|| У ||¥ =max{| У} |: ] е Мк }.
к к * Как известно, норма Гёльдера Iр в Я и норма ¡^ в сопряженном пространстве (Я )
связана равенством
1 1
—+ - = 1,
Р Ч
где 1 < р < да; кроме того, ч = 1, если р = да, и ч = да, если р = 1. В дальнейшем будем считать, что областью изменений чисел р и ч является интервал [1, да], а сами числа р и ч
связаны указанными условиями. Тогда в силу неравенства Гёльдера для любого индекса ; е Ыт справедливо неравенство
С,х <|| СЛр||х||ч . (1)
Введем в рассмотрение оператор проектирования вектора а = (а1, а2,..., ап) е Я" на неотрицательный ортант:
+ + + + +
а = [а] =(а1 , а2 ,..., ап ),
где а+ = [а. ]+ = max{0, а.}. Тем самым, знак «+» над вектором означает положительную срезку этого вектора.
тхп
Свойство 8. Если для некоторой строки ; е Ыт матриц С, С' е Я выполняется неравенство
(С1 + С;)(х ' - х) < 0, (2)
то при любом числе р е [1, да] справедливо неравенство
[С. (х - х)]+ <|| С; ||р||х' - х||ч . (3)
Действительно, при С; (х ' - х) < 0 неравенство (3) очевидно. Если С; (х - х) > 0, то с учетом условия (2) и неравенства Гёльдера (1) выводим
[С.(х-х)]+ = С(х-х)< -с;(х'-х)<||с; |д| х-х.
где
Свойство 9. Если р >1 и векторы у, у' е Ят таковы, что У. = у' 9 1, . е N , то
3 3 т
...... , II9-1
II у IIр =11 у II, .
Действительно, при р = ¥ (, = 1) свойство 9 тривиально, а при 1 < р < да имеем
1 1 , II У Ир =( 2 I у. Iр(9-1))р =( 2 .)р = II У I, = II У II,-1.
т т
Следуя [1-5], задачу 1т (С, I I ..., ^), п > 1 назовем квазиустойчивой, если 1р :={е > 0:" С е Тр(е) (От(С, I!, I2, ..., ^) с От(С + С, I!, I2, ..., I,))} ф 0,
Y,(e) = {C' e R'"" :||C ' \\p< e}
- множество возмущающих матриц. Здесь и далее под нормой матрицы понимаем норму вектора, состоящего из всех ее элементов.
Тем самым, квазиустойчивость задачи 1т(С,Il, 12, ..., ^) является дискретным аналогом свойства полунепрерывности снизу по Хаусдорфу в точке С (при фиксированном р и
способе разбиения Nm на группы) многозначного отображения
От : кп,™ ® 2X,
которое каждой матрице С ставит в соответствие множество обощенно-эффективных решений От(С,Il, I2, ., 15). Очевидно, что свойство квазиустойчивости инвариантно относительно норм I р, поскольку все нормы в конечномерном линейном пространстве эквивалентны ([9, 166]).
В связи с изложенным выше радиусом квазиустойчивости задачи 1т(С,Il, 12,..., ^) в пространстве с нормой I р назовем число
m
sup X (C, I), если X (C, I) Ф 0,
pp (Ci) = JP И'* И' ^ '
10 в противном случае.
Таким образом, радиус квазиустойчивости задачи Zm(C,I I ..., Is) задает предел
возмущении элементов матрицы C в пространстве R с метрикой lp, при которых множество обобщенно-эффективных решений может лишь расширяться.
Для вывода формулы радиуса квазиустойчивости задачи Zm(C,I I ..., Is) (см. ниже
теорему) нам понадобится две леммы. Леммы
По двум различным решениям x и x' определим число
II [Ci (x ' - x)]+
Y( x, x') = -
x - x II
Лемма 1. Пусть число ф и решения х и х' таковы, что выполняются неравенства
у(х, х') > Ф >0. (4)
Тогда для любой возмущающей матрицы С' е Тр (ф) справедливо соотношение
(С + с')х о (/1, /2,/5) (С + С')х'. Доказательство. Допустим, наоборот, существует такая матрица С' еТр (ф), что
(С + С')х От (/1,/2, /5) (С + С ')х '. Тогда по свойству 3 для всякого индекса ; е /1 верно
неравенство (2). Поэтому благодаря свойству 8 для каждого ; е /1 имеет место неравенство (3), справедливое при любом р е [1, да]. Отсюда в случае, когда 1 < р < да, находим
1 1 ||[С/ (х' - х)]+ ||р =( 2 ([С. (х - х)]+)р)р < ( 2 || с; ||р|| х - х||р)р =
1 ге/ ге/
= ( 2 \\C.\\P)p \\х' - х\| =|| C\ |М|х' - x \\ < ф||х' - х\| ,
iel 1
1
а в случае, когда p = да, имеем \\[CI (х' - х)]+ \\ш =max[C. (X - х)]+ <\\Х - х \\1 max \\ C \\ш = \\ C\ \\ш \\ X - х^ ф \\ X - х \\1 .
1 iel iel 1
1 1
Полученные неравенства противоречат (4) и доказывают лемму 1.
Лемма 2. Пусть х е Gm (C, Ip I2, к, Is), х ' е X \ {х} и компоненты вектора b = (bj, b2, к, bm) удовлетворяют условиям
Ь1 \\х - х ||q>[C. (х - х)]+, i е Ip (5)
b. =0, i е N \ I,.
i ' m 1
*
Тогда при любом числе е >\\ b \\ существует такая матрица C е Y (е), что
(C + C*)х Wm(Ij, I2, к, Is) (C + C*)х'. (6)
(оказательство. Е
формуле:
Доказательство. Если p >1, то зададим элементы матрицы C = [с..] е R по
v
с. = i i.
\ х. - х. \q-1
bi sign(х. - х;) \\х - х\\9_1 , если i е j е Nn,
0, если / е Ыт \ /,, / е Жп,
^ ' т 1' ^ п'
а если р = 1, то, зафиксировав индекс 5 = а^тах{| х'. - х. |: ] е /1}, определим элементы
*
матрицы С формулами:
* [^ sign(х. - х ;.), если /' е /1, . = 5
Сг" = I .
4 10 в остальных случаях.
Очевидно, что II С Ц1=Ц Ь Ц1 . Учитывая свойство 9, можно показать, что II С II = || Ь II
* *
при р >1. Таким образом, С е Тр (е). В силу строения матрицы С для любого индекса г е ^ верны равенства
* , = |-Ьг || х' - х У» , если р = 1,
С (х - х) = [-Ьг Их' - х II1,-9 2 з-е^ I х'з - х. I9, если 1< р < ¥,
а значит,
*
С. (х' - х) = -Ь. II х' - х II , г е I,.
г 4 ' г 11 м9' 1
Поэтому в силу (5) справедливы соотношения
(С. + С*)(х ' - х) = Сг (х ' - х) + С* (х ' - х) = = Сг (х' - х) - Ьг II х' - х II, < [С. (х' - х)]+ - Ьг II х' - х II, <0, г е I1,
и, тем самым,
(С + С*) х У (С + С*)х '.
1 1 р 1 1
Отсюда, согласно свойству 2, следует (6). Лемма 2 доказана.
Формула радиуса квазиустойчивости
Теорема 1. При любых 1 < 5 < т, 1 < р < ¥ и всяком разбиении множества Nm на 5 групп для радиуса квазиустойчивости рт (С, I1, 12,..., ^) векторной задачи ЦЛП
р
1п(С, Il, 12, ., I) справедлива формула:
т = II[C11(х' - х)] Ир
рр (с, Il, i^ к, ^ )= шт шт -. (7)
хеОт (С, I , I , I ) ^^\{х} || х' - х У0
у 1 2 4
Доказательство. Очевидно, что число, стоящее в правой части формулы (7), неотрицательно. Для краткости обозначим его через ф. Сначала докажем неравенство
рт с Il, ^ . ^) > ф. (8)
Без потери общности можно рассмотреть только случай, когда ф >0. Тогда из определения числа
у(х, х ') следует, что для любых решений х е От(С, !2,..., I) и х' ф х справедливо неравенство (4). Поэтому, используя лемму 1, получаем
"С еТр (ф) "х е От (С, I1, I2,..., ^) "х' е X ((С + С')х От (I1, I2, ..., I,) (С + С')х').
Отсюда, согласно свойству 5, всякое решение х е От(С, !2, ..., I) принадлежит множеству От (С + С', I1,12,..., ^). Таким образом, верна формула
"С е Тр(ф) (От(С, Il, 12,..., ^) с От(С + С ', Il, 12,..., ^)), доказывающая неравенство (8).
Остается показать, что р (C, I1,I2,..., Is) < j. Пусть e > j, а решения
x e Gm (C, I1, I2, к, Is) и x' Ф x таковы (ввиду (7)), что
j II x' - x \\q =||[Cii(x' - x)]+ ||p .
Тогда, учитывая непрерывную зависимость нормы векторы от его компонент, нетрудно понять, что существует такой вектор b = (b1, b2, ..., bm) с компонентами
bi > [C.(x - x)]+ II x - x II-1, i e Ii, b. =0, i e N \ I,,
i ' m 1'
*
что e >|| b || > j. Поэтому в силу леммы 2 существует возмущающая матрица C eYp (e) с
условием (6). Тогда свойство 4 влечет x e Gm (C + C , I,, 12, ..., Is). Из приведенных рассуждений следует, что верна формула
"e > j $C * eY p (e) (Gm (C, I,, I2,..., Is) £ Gm (C + C \ I,, I2, ..., Is)),
что доказывает необходимое неравенство рт (C, I,, 12, ..., Is) < j. Теорема доказана.
Отметим, что в [10] получена формула радиуса устойчивости парето-оптимального решения векторной задачи целочисленного линейного программирования в метрике Гёльдера.
Следствия
Непосредственно из теоремы вытекает ряд следствий. При s = 1 доказанная теорема переходит в
Следствие 1. Для радиуса квазиустойчивости задачи ЦЛП Z (C, N ), m > 1, поиска множества Парето Pm (C) справедлива формула:
m || [C(x' - x)]+ ||p
Pp (C, Nm )= min min -, 1 < P < ¥.
xePm (C) x'eXV!x} II x' - x ||q
Эта формула легко превращается в формулу радиуса квазиустойчивости векторной задачи ЦЛП в метрике l¥ [11].
При s = m теорема переходит в
Следствие 2. При любых m > 1 и 1 < p < да для радиуса квазиустойчивости задачи ЦЛП, состоящей в поиске множества лексикографических оптимумов L (C), справедлива формула:
m C1 ( x' - x) Pp (C,{1},{2}, к ,{m})= min min -.
xeLm (C) x'eX\{x} II x' - x ||q
Частным случаем этой формулы является известная формула радиуса квазиустойчивости векторной задачи ЦЛП с лексикографическим принципом оптимальности в случае метрики l¥ [11], [12].
Следствие 3. Для любого разбиения (I1, 12,..., Is) множества Nm, на S групп, s e Nm следующие утверждения для задачи ЦЛП Zm (C, I1, 12,..., Is), m > 1 эквивалентны:
(1) задача 1™ (С, I,, 12,..., I) квазиустойчива,
(И) " х е От (С, I1, I2, ..., ^) " х' е X\{х} 3 г е I, (Сх > С.х),
(111) от(С, Il, 12,..., ^) = £,(С). Доказательство. Эквивалентность утверждений (1) и (11) следует напрямую из теоремы. Импликация (11) ^ (ш) доказывается методом от противного. Пусть справедливо утверждение (11), а равенство (111) не выполняется.
Согласно свойствам 1 и 6, имеем
£1(С) с От(С, Il, 12,..., ^) с р(А).
Тогда (ввиду предположения От(С, I,, I2,..., I) ф £,(С)) существует такое решение
х е От(С, I,, !2, ..., I)) с рр(А), что хе £,(С). Отсюда следует существование решения
х' е рр (С), для которого выполняются соотношения
что противоречит утверждению (11).
Импликация (ш) ^ (1) очевидна в силу свойства 7. Следствие 3 доказано.
Из следствия 3 легко выводим следующий хорошо известный результат (см., например, [13], [14]).
тт
Следствие 4. Задача 1 (С, Nm), т > 1 поиска множества Парето р (С)
тт
квазиустойчива тогда и только тогда, когда множества £ (С) и р (С) совпадают. Здесь £ (С)
- множество Смейла [15], то есть множество строго эффективных решений:
Бт (С) = {х е рт (С) : "х' е X \ {х} (Сх ф Сх')}. Из следствия 3 получаем также
Следствие 5 [12]. Для того чтобы задача 1™ (С,{1},{2}, ... ,{т}), т > 1, поиска
множества лексикографических оптимумов Ь (С) была квазиустойчива, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
| Ь™ (С) | = | Л^шт{Сх : х е X}|=1. Литература
1. Емеличев, В. А. Многокритериальные комбинаторные линейные задачи: параметризация принципа оптимальности и устойчивость эффективных решений / В. А. Емеличев, Ю. В. Степанишина // Дискретная математика. - 2001. - Т. 13, вып. 4. - С. 43-51.
2. Бухтояров, С. Е. Мера устойчивости конечной коалиционной игры с параметрическим («от Парето до Нэша») принципом оптимальности / С. Е. Бухтояров, В. А. Емеличев // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 2. - 2003. - Т. 10, № 2. - С. 3.
3. Бухтояров, С. Е. Вопросы устойчивости векторных дискретных задач с параметрическим принципом оптимальности / С. Е. Бухтояров, В. А. Емеличев, Ю. В. Степанишина // Кибернетика и системный анализ. -2003. - № 4. - С. 155-166.
4. Бухтояров, С. Е. О квазиустойчивости векторной траекторной задачи с параметрическим принципом оптимальности / С. Е. Бухтояров, В. А. Емеличев // Известия вузов. Математика. - 2004. - № 1. - С. 25-30.
5. Бухтояров, С. Е. Конечные коалиционные игры: параметризация принципа оптимальности («от Парето до Нэша») и устойчивость обощенно-эффективных ситуаций / С. Е. Бухтояров, В. А. Емеличев // Докл. НАН Беларуси. - 2002. - Т. 46, № 6. - С. 36-38.
6. Бухтояров, С. Е. Об устойчивости конечной коалиционной игры с параметрической концепцией равновесия («от Парето до Нэша») / С. Е. Бухтояров, В. А. Емеличев // Доклады НАН Беларуси. - 2006. -Т. 50, № 1. - С. 9-11.
7. Бухтояров, С. Е. Мера устойчивости конечной коалиционной игры с параметрическим («от Парето до Нэша») принципом оптимальности / С. Е. Бухтояров, В. А. Емеличев // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2006. - Т. 46, № 7. - С. 1274-1280.
8. Емеличев, В. А. Конечные коалиционные игры с параметрической концепцией равновесия в условиях неопределенности / В. А. Емеличев, К. Г. Кузьмин // Известия РАН. Теория и системы управления. -2006. - № 2. - С. 96-101.
9. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функци и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. - М. : Наука, 1972.
10. Емеличев, В. А. О радиусе устойчивости эффективного решения векторной задачи целочисленного линейного программирования в метрике Гёльдера / В. А. Емеличев, К. Г. Кузьмин // Кибернетика и системный анализ. - 2006. - № 4. - С. 175-181.
11. Емеличев, В. А. О количественной мере устойчивости векторной задачи целочисленного линейного программирования / В. А. Емеличев, Д. П. Подкопаев // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1998. - Т. 38, № 11. - С. 1801-1805.
12. Stability and regularization of vector problems of integer linear programming / V. A. Emelichev [etc.] // Optimization. - 2002. - Vol. 51, № 4. - P. 645-676.
13. Сергиенко, И. В. Исследования устойчивости и параметрический анализ дискретных оптимизационных задач / И. В. Сергиенко, Л. Н. Козерацкая, Т. Т. Лебедева - Киев : Наукова думка, 1995. - 172 с.
14. Сергиенко, И. В. Задачи дискретной оптимизации. Проблемы, методы решения, исследования / И. В. Сергиенко, В. П. Шило. - Киев : Наукова думка, 2003.
15. Smale, S. Global analysis and economics, V. Pareto theory with constraints / S. Smale // J. Math. Econom. - 1974. - Vol. 1, № 3. - P. 213-221.
Summary
Had been obtained a formula of radius of quasistability of an integer linear programming problem with parametrical principle of optimality in the case of Helder metric in a criterial space.
Поступила в редакцию 08.10.07
УДК 512.542
Н. С. Косенок
О F-s-ДОБАВЛЯЕМЫХ ПОДГРУППАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Введение
Все рассматриваемые в данной работе группы конечны. Строение группы тесно связано со свойствами максимальных подгрупп ее силовских подгрупп. Так, в работе [1] было доказано, что группа сверхразрешима, если все ее такие подгруппы нормальны. В дальнейшем было доказано, что группа G сверхразрешима, если либо каждая максимальная подгруппа любой силовской подгруппы из G c-нормальна в G [2], либо каждая такая подгруппа дополняема в G [3]. В работе [4] было установлено, что разрешимая группа G сверхразрешима, если каждая максимальная подгруппа любой ее силовской подгруппы из F(G) обладает сверхразрешимым добавлением в G. Дополняя эти результаты в данной работе, мы даем новые критерии p-замкнутости и p-нильпотентности группы на основе свойств максимальных подгрупп силовских подгрупп.
Предварительные сведения
Пусть A, B - два экземпляра группы кватернионов порядка 4. И пусть G - произведение этих групп с объединенным центром. Тогда ясно, что подгруппа A не имеет в группе G абелевого добавления, но в то же время G = AB, где B/B n AG - абелева группа. Данный пример является мотивировкой для введения следующего определения.
Определение. Пусть F - класс групп. И пусть H - подгруппа группы G. Тогда подгруппу T группы G назовем F-s-добавлением к H в G, если HT = G и
T/TnHGeF.
