CC BY
71
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТЕНЗОРА ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ ПО СКВАЖИННЫМ ДАННЫМ
Валерий Викторович Плоткин
Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука СО РАН, 630090, г. Новосибирск, пр. Коптюга, 3, ведущий научный сотрудник, e-mail: [email protected]
Проведены численные эксперименты по восстановлению тензора электропроводности анизотропной среды с помощью скважинных данных электромагнитных зондирований. Показано, что на основе анализа зависимости компонент электромагнитного поля вдоль оси скважины возможно полное восстановление тензора электропроводности.
Ключевые слова: тензор электропроводности, электромагнитное зондирование. RECOVERING THE CONDUCTIVITY TENSOR ON THE BOREHOLE DATA Valery V. Plotkin
Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS, Koptyug, 3, Novosibirsk, 630090, Russian Federation, leading research scientist, e-mail: [email protected]
Numerical experiments on the recovering conductivity tensor of the anisotropic medium are carried out using data of electromagnetic borehole sounding. It is shown that the complete recovering the conductivity tensor is possible by the analysis of components of the electromagnetic field changing along the borehole axis.
Key words: the conductivity tensor, electromagnetic sounding.
Известно, что слоистая среда, составленная из многочисленных тонких изотропных пластов с различной электропроводностью, проявляет себя как макроанизотропная среда. Существуют также среды, для которых анизотропия свойств характерна на микроуровне. Важно, что такие среды часто соответствуют реальным породам, в частности, нефтяным коллекторам. При бурении тонкослоистых нефтяных коллекторов возникает проблема определения пространственной ориентации скважины и углов ее оси относительно составляющих пластов. Поскольку такую среду можно рассматривать как анизотропную, возникает предположение, нельзя ли решить данную задачу с помощью восстановления компонент эффективного тензора электропроводности среды по каким либо данным, получаемым при электромагнитном зондировании в скважине. В данной работе показана возможность полного восстановления тензора электропроводности анизотропной среды по данным о компонентах электромагнитного поля на оси скважины, возбуждаемого магнитным диполем.
Рассмотрим однородную анизотропно проводящую среду. В такой среде тензор электропроводности в системе координат его главных осей описывается диагональной матрицей &', а в лабораторной системе координат имеет вид <7:
°x' О О " ґ oxx 0xy ъй
/V / о = О °y' О , о= 0yx 0yy 0yz
V О О 0z' , 0zx 0zy 0 zz j
= Vo V
T
(1)
V=
(2)
где V матрица поворота системы координат. Матрица поворота V унитарна и обратное преобразование осуществляется транспонированной
T
матрицей V . Столбцы матрицы V являются собственными векторами тензора электропроводности в лабораторной системе координат. Матрица поворота может быть вычислена методами приведения тензора к диагональному виду, а также выражена с помощью углов Эйлера, характеризующих поворот системы координат:
^cosycosj-cosJsinysinj - cosy sin j-cosJsinycosj sinJsiny Л sinycosj+cosJcosysinj - sinysinj+cosJcosycosj - sinJcosy v sinJsinj sinJcosj cosJ
где J - угол нутации, y - угол прецессии и j - угол чистого вращения.
В качестве источника поля используем магнитный диполь, направленный вдоль оси OZ и расположенный в точке z = 0. Рассчитаем компоненты электромагнитного поля диполя вдоль этой оси в анизотропной среде с тензором электропроводности в виде (1)-(2). Направление осей OXи OY соответствует выбору (1)-(2). Для расчета компонент поля в этом случае, а также в среде с другими характеристиками будем применять численный метод, описанный в работе [1]. Электромагнитное поле представляем в виде разложения по двумерным пространственным Фурье-гармоникам по осям OX и OY . Амплитуды этих гармоник на нескольких уровнях выше и ниже источника рассчитываем численно по методу [1]. Последующее суммирование рядов в точках на оси скважины дает искомые компоненты поля.
Полученные значения компонент электромагнитного поля диполя вдоль его оси используем как входные “экспериментальные” данные для решения обратной задачи определения параметров анизотропии зондируемой среды -главных значений тензора электропроводности sx', sy, sz' и углов J, y и j.
Задавая произвольными начальные значения этих параметров, попытаемся восстановить их первоначальные значения (при которых были рассчитаны входные значения компонент поля) с помощью минимизации функционала Ф
2
Fp О ( z n )
2
(З)
ф = IФ(Гр), Ф^р) = ^ ) - ¥Р] (2П)
р V П
в котором слагаемые Ф( Гр) соответствуют вкладам учитываемых
компонент (р = х, у, г) магнитного (Г = Н) или электрического (Г = Е) полей. ^ро и Гр] обозначают “экспериментальное” значение р -ой компоненты этих
полей и ее расчетное текущее значение после ] -ой итерации соответственно в точках оси 02 с координатами гп .
В процессе минимизации функционала (3) вводились шесть независимых безразмерных переменных X, • • •, Хб
°х', у', 2 = 0о{а шт + а тах [^(Х1, 2,3 ) + 1]},
(4)
0 = 90° [1 + б1и(Х4)], у = 180°[1 + б1п(Х5)], р = 180°[1 + б1п(Х6 )],
где &о - базовое значение электропроводности, атт и атах -предельные параметры, характеризующие априори известные минимально и максимально возможные значения электропроводности в исследуемой среде. Такой выбор продиктован ограничениями в диапазоне изменений этих величин.
Численные расчеты проведены для следующих значений параметров: 0о=1
См/м, ох' = 0о, &у =20о, &г =о.50о 0=45°, у=2о° и р=3о° в объеме с
размерами по осям 1оох15ох8о метров для временного периода Т=11о-4 с. Поле по осям ОХ и ОУ представлялось Фурье-гармониками до 11 порядка.
Графически тензор электропроводности удобно отображать в виде полярной диаграммы угловой зависимости эффективного значения электропроводности 0е^ = е (0 е) от направления электрического поля,
задаваемого произвольным единичным вектором е . Диаграмму будем представлять в полярных координатах, в которых радиальная координата соответствует зенитному углу е относительно оси 02, а угловая - азимуту направления е относительно оси ОХ. Подобные угловые диаграммы позволяют наглядно судить о качестве восстановления тензора электропроводности при решении обратной задачи.
На приведенных рисунках представлены результаты восстановления эффективного тензора электропроводности. Отметим, что результаты восстановления практически не зависят от выбора стартовой модели среды. Рис. 1 соответствует случаю, когда при минимизации в функционале невязок учитывался только вклад компонент магнитного поля, а на рис. 2 отображен вариант с использованием вклада всех шести компонент электромагнитного поля.
Восстановление компонент тензора электропроводности только по компонентам магнитного поля, измеренным на оси скважины, оказывается более простым, и достигается за меньшее количество итераций. Это указывает на возможность определения эффективного тензора электропроводности окружающей скважину среды по измерениям вдоль оси скважины только компонент магнитного поля. Расчеты также показали, что восстановление искомого тензора электропроводности по измерениям лишь одной продольной (вдоль оси скважины) компоненты магнитного поля затруднительно.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 12-о5-
ооо14).
1
1
1
105
100
10
105
100
10
-5
-5
5
0
-5
6.84Є-014
3.05Є-016
ш
ш
ш
-35 -15 0 15 35
1
1
105
10°
10-
1
1
10
її 100
20
©
10
-20
1.75Є-014
9.913Є-014 0 0 1.0376Є-014 1201
500
1000 1500
0
>9
о), См/м
0.2
60
6190 0
/20
. .2 0. 1
>9
о), См/м 0.2
и
0
-0.2
Исходный тензор дік
1.4322 -0.1944 -0.5015 -0.1944 0.9428 0.4826 -0.5015 0.4826 1.1250
Восстановленный тензор
1.4322 -0.1944 -0.5015 -0.1944 0.9428 0.4826 -0.5015 0.4826 1.1250
Рис. 1. Зависимости компонент поля от глубины на оси скважины (верхние три ряда, сплошная линия - входные данные, пунктир - результат минимизации, цифры в титулах - относительная погрешность различия кривых). Четвертый ряд - итоговые значения переменных X, к, Хб (слева) и график минимизации (справа, по оси абсцисс - номер итераций). Пятый ряд - изолинии эффективной электропроводности де^ (в полярных координатах, в См/м) в зависимости от
направления е , задаваемого зенитным углом (радиальная координата) и азимутом (угловая координата). Ось ОХ - азимут 0°, ось ОУ - азимут 90°, ось
02 - вниз
Восстановление производилось на основе подгонки с использованием только трех компонент магнитного поля на оси скважины. После 1201 итерации.
8.18Є-005
105 Xх 100 10-
10
□Н 100 10-
10
100
10-
2
^ 0 -2
-35 -15 0
0.00271
-35 -15 0
2.88Є-005
-35 -15 0 15
ш
15 35
ш
ш
35
1
1
1 1 1
1
1 1
1 1
©
246 0.010778 0 0 7.2396Є-015 1200
1
Исходный тензор д ік Восстановленный тензор д ^
1.4322 -0.1944 -0.5015 1.1628 -0.2282 -0.5227
0.1944 0.9428 0.4826 -0.2282 1.1927 0.5581
0.5015 0.4826 1.1250 -0.5227 0.5581 1.2251
Рис. 2. То же, что на рис. 1
Восстановление производилось на основе подгонки с использованием всех шести компонент электромагнитного поля на оси скважины После 1200 итерации.
1. Карчевский А.Л. Аналитическое решение уравнений Максвелла в частотной области для горизонтально-слоистых анизотропных сред // Геология и геофизика. - 2007. - Т. 48. - № 8. - С. 889-898.
© В.В. Плоткин, 2012
