Восстановление графа коллективом автоматов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 1. Вычислительная сложность алгоритма & для предфрактального (п, д, ¿)-графа (Оь) с числом вершин |УЪ| = N равна 0(Мп2).

Вычислительная сложность алгоритма Прима равна O(N2). Сравнив её с вычислительной сложностью алгоритма &, получаем, что при реализации алгоритма & на одном процессоре поиск ОДМВ на предфрактальном графе будет осуществлен быстрее, чем широко известным алгоритмом Прима.

ЛИТЕРАТУРА

1. Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990.

2. Кочкаров А. А., Кочкаров Р. А. Параллельный алгоритм поиска кратчайшего пути на предфрактальном графе // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 2004. Т. 44. №6. С.1157-1162.

3. Кочкаров А. А., Сенникова Л. И. Количественные оценки некоторых связностных характеристик предфрактальных графов // Прикладная дискретная математика. 2011. № 4(14). С. 56-61.

УДК 519.5

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ГРАФА КОЛЛЕКТИВОМ АВТОМАТОВ

Е. А. Татаринов

Рассматривается задача [1] восстановления конечного связного неориентированного графа О без петель и кратных ребер при помощи агента, который перемещается по рёбрам графа О, считывает и изменяет метки на его вершинах и инциденторах. На основе собранной информации агент строит граф Н, изоморфный графу О с точностью до меток на элементах графов. Требуется найти алгоритм обхода и разметки графа О для решения этой задачи.

Известен ряд алгоритмов, реализующих восстановление графа при помощи построения на его вершинах неявной нумерации [2] при помощи агента А, они подробно описаны в [3,4]. Наиболее простым в реализации является Базовый Алгоритм [3], однако он имеет кубическую, от числа вершин в графе, верхнюю оценку временной сложности. Предлагается модификация Базового Алгоритма, понижающая эту оценку. При этом верхняя оценка временной сложности зависит от количества агентов, которые проводят восстановление графа.

В [4] показано, что верхняя оценка временной сложности зависит от длины максимального простого цикла і в графе, цикломатического числа д [5] и количества вершин п исследуемого графа и равна 0(п + ді). В процессе восстановления агент разбивает рёбра графа на два множества: древесные и обратные [5], а все пройденные вершины, у которых не все рёбра восстановлены, образуют красный путь [3].

Наибольшего времени требуют обратные ребра, для восстановления которых агент выполняет проход по вершинам красного пути, длина которого соизмерима с длиной наибольшего простого цикла. Для сокращения этого прохода используются агенты Аі, і = 1,...,]. Они двигаются вдоль красного пути, сохраняя между собой равное расстояние. Для этого они обмениваются сообщениями А С Ау , Аі с Аі-1 для і = 2,...,]. Для каждого агента Аі, і = 1,...,], фиксируется длина красного пути от его начала (конца) до вершины, в которой находится этот агент.

При восстановлении обратного ребра агенту A требуется проходить не весь красный путь (в прямом или обратном направлении), а до первого агента Aj, для которого известна длина пути от него до начала (конца) красного пути. Это позволит вычислить длину красного пути до вершины, которой инцидентно восстанавливаемое обратное ребро, и её неявный номер. После этого агент вернётся обратно в конец красного пути по пройденной его части и восстановленному обратному ребру.

Таким образом, обратное ребро будет однозначно восстановлено. При этом агент выполнит проход по вершинам красного пути (в прямом и обратном направлении), длина которого не превышает наибольшего расстояния между агентами Aj и Ai-i, i = 2,... , j. Поскольку это расстояние поддерживается агентами Ai-1 одинаковым, то агент сделает не более чем O(t/j) шагов.

Очевидна справедливость следующих утверждений.

Утверждение 1. При восстановлении графа коллективом агентов A, Aj,

i = 1,... , j, которые выполняют Базовый Алгоритм и находятся на равном расстоянии друг от друга, верхняя оценка временной сложности модификации базового алгоритма равна O(n + qt/j).

Если агенты Aj не поддерживают между собой равного расстояния, а это расстояние вычисляется при помощи некоторой функции f (t,i), то для восстановления обратных рёбер агент использует не более чем O(qf (t,i)) шагов.

Утверждение 2. При восстановлении графа коллективом агентов A, Aj,

i = 1,... , j, которые выполняют Базовый Алгоритм и находятся на расстоянии f (t, i) друг от друга, верхняя оценка временной сложности модификации базового алгоритма равна O(n + qf (t, i))

ЛИТЕРАТУРА

1. Dudek G. and Jenkin M. Computational principles of mobile robotic. Cambridge Univ. Press, 2000. 280 p.

2. Татаринов Е. А. M-нумерация, как метод распознавания графов // 36ірник наукових праць «Питання прикладної математики та математичного моделювання». 2010. С. 260-272.

3. Грунский И. С., Татаринов Е. А. Распознавание конечного графа блуждающим по нему агентом // Вестник Донецкого университета. Сер. А. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С.492-497.

4. Татаринов Е. А. Базовый алгоритм восстановления графа // Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Т. 21. С. 216-227.

5. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973. 300 с.