CC BY
34
которые в минимальном покрытии должны покрываться кликой, содержащейся внутри конструкции (категория 1), и те, которые могут покрываться вне клики без потери свойства минимальности (категория 2).
Основным содержанием работы можно считать следующее утверждение:
Теорема 1. Пусть R\,..., Rs — минимальное РПК конструкции C, пригодной для разбиения графа, с вычеркнутыми рёбрами категории 2. Пусть также ..., Lr — минимальное РПК оставшейся части графа G. Тогда R\,..., Rs, L\,..., Lr — минимальное РПК графа G.
В работе приводится эвристический алгоритм поиска рёберных покрытий в графе, основанный на использовании данной теоремы и состоящий из следующих основных шагов:
1. Поиск собственных рёбер в графе. Фиксирование соответствующих клик.
2. Поиск конструкции, пригодной для разбиения графа. В случае, если пригодных конструкций в графе не существует, выбирается конструкция, наиболее приближенная к пригодной для разбиения. В случае, если ни одной конструкции не было найдено, для процедуры разбиения в качестве аналога разбивающей конструкции выбирается наименьшее по мощности окружение ребра.
3. Разбиение исходного графа на два графа: в первый из графов входят те рёбра, которые относятся к конструкции, а во второй граф — все остальные рёбра.
4. Рекурсивное применение данного алгоритма к обоим графам.
5. Объединение полученных покрытий.
Для некоторых классов графов данный алгоритм является точным. В работе представлены такие графы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Orlin J. Contentment in graph theory: Covering graphs with cliques. // Indagationes Math. 1977. V. 39. P. 406-424.
УДК 519.5
РАСПОЗНАВАНИЕ ГРАФА ПРИ ПОМОЩИ БЛУЖДАЮЩЕГО ПО НЕМУ АГЕНТА
И. С. Грунский, Е. А. Татаринов
Основной проблемой компьютерной науки является проблема взаимодействия управляющей и управляемой систем (управляющего автомата, агента и его операционной среды) [1]. Взаимодействие этих систем зачастую представляется как процесс перемещения агента по помеченному графу (лабиринту) среды [2]. Определился ряд подходов к моделированию операционных сред, одним из которых является топологический [3]. В этом случае агенту недоступна метрическая или алгоритмическая информация о среде и доступна только информация о связях между различными областями среды.
Постановка задачи. Рассматривается конечный граф G — неориентированный, связный, без петель и кратных ребер, где V — множество его вершин и E — множество ребер. Вершины и инциденторы графа G можно метить специальными красками и/или камнями, где инцидентор — «точка прикосновения» вершины v и ребра (v,u). Изначально предполагается, что все вершины и инциденторы не помечены.
Требуется построить такое множество C = {q}, где Ci = {Vi, Ei} и Vi Ç V, Ei Ç E, и найти такое отображение A, чтобы, используя их, можно было построить граф H, изоморфный графу G, и тем самым распознать граф G с точностью до изоморфизма. Под отображением будем понимать установление взаимно однозначного соответствия между вершинами и ребрами каждого конкретного ci и вершинами и ребрами графа H. Для проведения проверок и выполнения отображения используется агент, который передвигается по неизвестному графу G из вершины в вершину по ребру, соединяющему их. Агент воспринимает некоторую локальную информацию о 1-окрестности v и использует краски и/или камни из множества {b, r, L} для пометки вершин и ин-циденторов графа G. Он обладает конечной, но бесконечно наращиваемой памятью, в которую будут отображаться проверки и строиться таблица графа H .
В данной работе предполагается, что ci — это M-пути и, возможно, одно обратное ребро. Обратное ребро — ребро, соединяющее две вершины M-пути. M-путь [4] — это простой путь в графе, в котором каждая следующая вершина имеет больший M-номер, чем предыдущая. M-нумерацией вершин графа называется нумерация, соответствующая порядку их обхода при поиске в глубину [4]. Правило построения проверок Ci следующее: отбирается M-путь, из конечной вершины которого можно попасть только в ранее пройденную вершину. Агент обладает красками r, b и камнем L. Краска r используется для пометки древесных ребер, а b — для пометки уже исследованных вершин и инциденторов. Камень L используется при исследовании обратного ребра. Агент, блуждая по графу, создает неявную M-нумерацию в графе G, которую отображает в граф H, создавая в нем явную M-нумерацию. Явная M-нумерация позволяет корректно отобразить проверки и обратные ребра. Агент обозревает метки 1-окрестности вершины, в которой он находится: метку на вершине и метку на ближних и дальних инциденторах ребер из 1-окрестности. Процесс выполнения алгоритма разбит на следующие этапы: 1) построение множества проверок; 2) выполнение проверки, построенной по правилу; 3) отображение конкретной проверки в граф H ; 4) отображение в граф H обратного ребра из проверки, если таковое есть.
Разработаны полиномиальные алгоритмы «Покрытие» и «Отображение» для выполнения шагов 1-2 и 3-4 соответственно. Алгоритмы могут выполняться как последовательно, так и параллельно. В работе рассматривается параллельное их выполнение.
Теорема 1. Алгоритмы «Покрытие» и «Отображение» распознают граф G с точностью до изоморфизма. Они требуют две различные метки, их временная сложность ограничена снизу линейной функцией от числа вершин n графа G, а сверху — кубической функцией. Емкостная сложность равна O(n2).
Предложенный алгоритм охватывает более широкий класс графов, чем предложенный в работе [5], хотя верхняя оценка временной сложности на порядок хуже.
ЛИТЕРАТУРА
1. Капитонова Ю. В., Летичевский А. А. Математическая теория программирования вычислительных систем. М.: Наука, 1988. 296 с.
2. Кудрявцев В. Б., Ущумлич Ш., Килибарда Г. О поведении автоматов в лабиринтах // Дискретная математика. 1993. Т. 4. Вып. 3. С. 3-26.
3. Kuipers B. The spatial semantic hierarchy // Artifical Intellegence. 2000. V. 119. No. 1-2. P. 191-233.
4. Евстигнеев В. А. Применение теории графов в программировании. М.: Наука, 1985. 352 с.
5. ГрунскийИ. С., Татаринов Е. А. Алгоритм распознавания графов // Труды Четвертой Междунар. конф. «Параллельные вычисления и задачи управления» РАСО’2008. М.: Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2008. С. 1483-1498.
УДК 519.17
К ВОПРОСУ О ТОЧНЫХ РАСШИРЕНИЯХ ТУРНИРОВ
А. А. Долгов
Ориентированным графом называется пара О = (V, а), где V — конечное непустое множество, называемое множеством вершин, а а — отношение на множестве вершин V, называемое отношением смежности.
Граф с антисимметричным отношением смежности называется направленным графом, или диграфом. Полный диграф без петель называется турниром.
Граф Н называется точным к-расширением графа О, если О изоморфен каждому подграфу Н, получающемуся путем удаления любых его к вершин.
Первое из известных семейств точных расширений турниров — семейство транзитивных турниров — было описано в работе [1]. Транзитивный турнир — это турнир, у которого из существования дуг (и, у) и (у,'ш) вытекает существование дуги (п,/ш). В работе показано, что точным к-расширением турнира Тп при п > 2 является транзитивный турнир Тп+к.
В работе [2] рассматривается схема построения семейства вершинно-симметрических турниров. Оказывается, что графы этого семейства обладают циклической симметрией.
Удалось показать, что любой циклически-симметричный граф является точным 1-расширением. Семейство, описанное в [2], не является единственным семейством турниров с циклической симметрией. В докладе представляется схема, позволяющая построить все графы с заданным числом вершин, обладающие циклической симметрией. Также указывается необходимая модификация алгоритма, позволяющая получить с его помощью только циклически-симметричные турниры.
Рассмотрим операцию над парой графов О1 и О2, назовем ее операцией вершинной подстановки графа О1 в граф О2.
Результатом вершинной подстановки графа О1 = (V1,а1) в О2 = (У2,а2), где
| VI| = п1, |^| = п2, будет граф О = (V, а), такой, что:
1) V = {уг- |г = 1,П1,] = 1, П2}, IV| = П1 х П2;
2) (уг,к ,vj,t) £ а, если к = Ь и (уг, у-) € а1 или если к = Ь и (ук, уг) € а2.
Удалось доказать, что граф, получающийся в результате вершинной подстановки транзитивного турнира в циклически-симметричный турнир, является точным 1-расширением, отличным от графов, принадлежащих описанным семействам.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абросимов М. Б. Минимальные расширения транзитивных турниров // Вестник Томского госуниверситета. Приложение. 2006. №17. С. 187-190.
2. Абросимов М. Б., Долгов А. А. Точные расширения некоторых турниров // Вестник Томского госуниверситета. Приложение. 2007. №23. С. 211-216.
