CC BY
54
Следующая теорема устанавливает связь между исходной задачей управления (1)-(3) и дифференциальной игрой (5), (6).
Теорема!.. Справедливо равенство
T0u{to,xo,Po(-)) = Р[0] (to, w[01(£o,xo,po(-))) •
Стратегия U0(t,x,p(-),e) = u0i] (t, wM(t,x,p(•)) ,e), t £ [ti,ti+\), i = 0,N — 1, является оптимальной в задаче (1)-(3).
ЛИТЕРАТУРА
1. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.
2. Krasovskii A.N., Krasovskii N.N. Control under Lack of Information. Berlin etc.: Birkhauser, 1995.
3. Осипов Ю.С., Пименов В.Г. К теории дифференциальных игр в системах с последействием // ПММ. 1978. Т. 42. Вып. 6. С. 963-977.
4. Красовс кий Н.Н., Лукоянов Н.Ю. Задача конфликтного управления с наследственной информацией // ПММ. 1996. Т.60. Вып. 6. С. 885-900.
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках программы Президиума РАН «Математическая теория управления», при финансовой поддержке УрО РАН (проект 09—П—1—1015), а также Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 09-01-00313).
Gomojunov M.I. On optimization of the guarantee under delay in control. For a dynamical system under control and disturbances, and with delay in control, the problem of control with the optimal guaranteed result is considered for a quality index which is the Euclidean norm of the set of deviations of a system motion at the given instants from the given targets. On the basis of a functional treatment basing on a proper prediction of the motion the problem is reduced to an auxiliary differential game for a system without delay and with a terminal quality index. Illustrating examples are considered.
Key words: optimal control; differential games; delay in control.
Гомоюнов Михаил Игоревич, Уральский государственный университет, г. Екатеринбург, Российская Федерация, студент, e-mail: [email protected].
УДК 517.98
ВОПРОС И.М. ГЕЛЬФАНДА, ИНТЕГРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НА ГИПЕРГРУППАХ © М.И. Граев, Г.Л. Литвинов
Ключевые слова: интегральная геометрия; гипергруппы; гармонический анализ; обобщенные преобразования Фурье.
Эта работа — попытка ответить на старый вопрос И.М. Гельфанда: почему некоторые важные задачи интегральной геометрии (преобразование Радона и др.) связаны с гармоническим анализом на группах, а для других, очень похожих задач, такой связи не видно [1]? Здесь указаны стандартные задачи интегральной геометрии, порождающие гармонический анализ (теорему Планшереля и т.п.) на парах коммутативных гипергрупп, находящихся в двойственности типа Понтрягина. В результате построены новые содержательные примеры гипергрупп.
1. Гипергруппы и обобщенные преобразования Фурье
Пусть X и X имеют структуру гладких многообразий или диффеологических пространств с фиксированными мерами йх и йу соответственно.
Рассмотрим преобразования вида
Р : /(х) ^ /(у) = ! /(х)е(х, у) йх, (1)
где е(х, у) — произвольная обобщенная функцией на X х X. Предположим, что это преобразование порождает такой изоморфизм Ь'^^х) ^ Ь2(}[ ,йу), что справедлива следующая обобщенная формула Планшереля:
У / (х)д(х)йх = ! !(у)д(у)йу. (2)
Дополнительно предположим, что этот изоморфизм можно продолжить на ^-функции и положим д(х) = 6Х(-) ; тогда из формулы (2) следует, что 6Х = е(х,у), так что справедлива следующая формула обращения:
/ (х) = У Яу)е(х,у)йу. (3)
С другой стороны, формула Планшереля (2) следует из формул (1) и (3). Мы предполагаем, что в пространстве х) имеется такое плотное линейное локально выпуклое
подпространство 5 (линеал), что 5 состоит из непрерывных функций (не всех) и линеал Б = Р(Б) обладает такими же свойствами относительно пространства Ь2(Х,йу). Предполагается, что Б и Б являются алгебрами относительно обычного произведения функций, и изоморфизм (1) можно продолжить на ^-функции, принадлежащие пространствам М и М, сопряженным (двойственным) пространствам к Б и >5 соответственно.
Описанная конструкция является формализацией и обобщением эвристических соображений Б.М. Левитана [2].
В указанном случае (так что справедливы формулы (1) и (3) и, следовательно, формула (2)) назовем преобразование Р обобщенным преобразованием Фурье (сокращенно ОПФ), а функции е(х, у) и е(х, у) — обобщенными экспонентами.
Предложение 1. При указанных предположениях X имеет структуру коммута-
Б
обобщенного сдвига, удовлетворяющих аксиоме ассоциативности Ж. Дельсарта [2]; наличие нейтрального элемента, вообще говоря, не предполагается. Эти операторы обобщенного сдвига определяются формулой
&у/(х) = ! Т(Х) ■ е(у, X) ■ е(х, х) йх,
где х £ X задает характер х(х) = е(х, х) на X. Аналогично х(х) = е(х, х) является характером на X.
Коммутативность гипергруппы означает, что операторы обобщенного сдвига коммутируют друг с другом. Тогда и X является гииергрупиой, двойственной к X; разумеется, гипергруппа X двойственна к X и Р-1($у) = е(х,у).
Например, если X = X = М”, йх и йу — нормированные инвариантные меры, то Р — обычное преобразование Фурье, е(х,у) —экспоненциальная функция ег^Х,уУ, а в качестве
Б
М
Б
функций на компактной гипергруппе X или совпадает с пространством Л. Шварца на гипергруппе X.
Различные версии понятия гипергруппы обсуждаются, например, в [4]. Имеется сравнительно немного нетривиальных содержательных примеров гипергрупп, связанных с гармоническим анализом. Из них наиболее известны пары Гельфанда, связанные с гармоническим анализом сферических функций [4]. Одна из целей статьи — увеличить набор таких примеров.
2. ОПФ, ассоциированные с обобщенным преобразованием Радона на С и
Преобразование Радона на С” ставит в соответствие функциям / на С” их интегралы по гиперплоскостям в С , т. е. функции Я/ на многообразии гиперплоскостей в С . Для
Е”-1 ,
1=1 а х% + а”
и примем а = (а1,..., а”) в качестве локальных координат на многообразии гиперплоскостей в С”. В этих обозначениях, используя символику дельта-функций, можно представить преобразование Радона в следующем виде:
(Я/)(а) = С / (х)5(х” - а1 х1 - ... - а”-1х— - а”) й^(х),
где б(^) — дельта-функция на С, а й^(х) — лебегова мер а на С”. Известно, что справедлива следующая формула обращения: если р = 'Я./, то
/(х) = С" Р(а)5(”-1’”-1)(х” - ах - . ..ап-1хп-1 - ап) й^(а),
ГД6
д)2”— 2
5(”-1’”-1)(ь) = —д--------т 5(г).
дг”-1 дг ”-1
Назовем обобщенным преобразованием Радона на С”, ассоциированным с произвольной обобщенной функцией и(г) на С, интегральное преобразование
(Яи/)(а) = / (х)и(х” - а1х1 - ...- а”-1х— - а”) йц,(х).
■)Ь"
Здесь и в последующих интегральных формулах предполагается, что коэффициенты, обычно стоящие перед знаком интеграла, уже учтены в нормировке меры, по которой ведется интегрирование.
Теорема!.. Если преобразование Фурье и(с) функци и и(г) есть обычная функция, почти всюду отличная от нуля, то обобщенное преобразование Радона Яи обратимо и формула обращения имеет, вид: если р = ,1и/, то
/(х) = !с" Р(а)и(х” - ах - . ..а—х— - а”) й^(а),
где
и (г) = СШ]-1^^^ й»(с).
Следствие 1. Если | и(с) | = | с |п 1, то обобщенное преобразование Радона .]и является ОПФ, т. е. и(Ь) = и(Ь).
Примеры ОПФ. Функциям и(с) = ск^п~к~1, к = 0,1,...,п- 1 отвечают локальные ОПФ с ядрами и(Ь) = 5(к’п~к~1')(Ь). Функциям и(с) = схс^, отличным от приведенных, где И,е (Л + ц) = п — 1 и Л — ^ — целое число, отвечают ОПФ с нелокальными ядрами и(г) = г~х~1г~^~1.
Определение обычного и обобщенного преобразования Радона на М аналогично комплексному случаю. Все конструкции и результаты также аналогичны.
3. ОПФ, связанные с преобразованием функций на сфере 5” в М"+1
Рассмотрим интегральное преобразование, относящее к четным функциям на сфере 5п их интегралы по геодезическим гиперповерхностям (аналогам больших кругов на в2). В сферических координатах ш эти гиперповерхности задаются у равнениями {£,ш) = 0, а само интегральное преобразование представимо в виде
/М ^ ЫЛ(0=[ /М £({£,ш)) йш
■)яп
где йш — инвариантная мера на сфере. Существует формула обращения, выражающая исходную функцию / через ее преобразование J/.
Определим для любого Л £ С обобщенное преобразование четных функций на Б” равенством
Г I- Л
= I" /(ш) I {(,ш) |Л йш. (4)
Г{~)
Интеграл сходится при И,е Л > -1 и определен при любом Л £ С как аналитическое продолжение по Л. В частности, J-l = J.
Теорема2. Имеет, место следующая формула обращения:
если р = J\/, то / = ,1-Х-”-1 р. (5)
Следствие 2. Преобразования J\ при Л = -(п + 1)/2 + гр, р £ М, являются ОПФ.
В частности, п = 4к + 1 и Л = -2к - 1 отвечает ОПФ с локальным ядром 52к(■).
Аналогично, определим преобразование ,Ти нечетных функций на сфере, заменив в равенстве (4) функцию | {£,ш) Iх функцией | {£,ш) Iх 8§п({^, ш)). При таком определении имеет место та же формула обращения (5), что и на пространстве четных функций, и справедливы те же условия, при которых преобразование ,Ти является ОПФ. Различие лишь в том, что локальное ОПФ существует в случае п = 4к - 1, ив этом случае его ядром является нечетная обобщенная функция 52к-1(■). Наша гипергруппа и двойственная к ней гипергруппа
КОМПАКТНЫ.
Примеры. Имеется много других примеров, включая ОПФ, связанные с комплексами
к С” М”
ЛИТЕРАТУРА
1. Гельфанд М. И., Граев М. И., Виленкин Н. Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. М.: Физматгиз, 1962.
2. Левитан Б. М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.: Наука, 1973.
3. Delsarte J. Hypergroups et operateurs de permutation et de transformation // Colloque International du CNR S. 1956. V. 71. C. 274-290.
4. Litvinov G. L. Hypergroups and hypergroup algebras j j J. Soviet Math. 1987. V. 38. №. 4. C. 1734-1761.
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
БЛАГОДАРНОСТИ: Первый автор поддержан грантом Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 10 01 00041а), второй автор поддержан совместным грантом Российского фонда фундаментальных исследований и CNRS (Франция) (проект № 11 01 93106а).
Graev М. I., Litvinov G. L. I.M. Gelfand’s question, integral geometry, and harmonic analysis on hypergroups. This talk is an attempt to give an answer for the following old I. M. Gelfand’s question: why some important problems of integral geometry (e.g., the Radon transform and others) are related to harmonic analysis on groups but for other quite similar problems such relations are not clear? In the talk we indicate standard problems of integral geometry generating harmonic analysis (the Plancherel theorem etc.) on pairs of commutative hypergroups in a duality of Pontryagin’s type. As a result new meaningful examples of hypergroups are constructed.
Key words: integral geometry; hypergroups; harmonic analysis; generalized Fourier transforms.
Граев Марк Иосифович, НИИ Системных исследований, г. Москва, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник, e-mail: [email protected].
Литвинов Григорий Лазаревич, Независимый московский университет, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, профессор, e-mail: glitvinov@gmail. com.
УДК 621.39
ОЦЕНКА ИНФОРМАЦИОННОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СЕТЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТРИЧЕСКОГО ТЕНЗОРА © С.А. Григоренко, И.И. Пасечников
Ключевые слова: телекоммуникации; метрический тензор; информационные сети; информационная эффективность; кибернетическая мощность.
В работе проведен анализ методов оценки информационной эффективности телекоммуникационных систем и сетей. Обосновано использование применение параметра кибернетическая мощность информационной сети и влияние компонентов метрического тензора на его значение.
