CC BY
22
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.
Gladysheva М.М., Tutarova V.D. About a choice of mathematical disciplines at formation of curricula of bachelors in a direction «Computer science and computer facilities». In connection with transition to the state education standart of higher professional education of the third generation the Computer science and computer facilities is recommended to reconsider curricula of bachelors in a direction. Thus it is necessary to pay attention to a cycle of mathematical disciplines which makes a basis of professional work of the future experts.
Key words: state education standart of higher professional education of the third generation; mathematical disciplines; bachelors; technical college.
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
Гладышева Мария Михайловна, Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова, г. Магнитогорск, Российская Федерация, кандидат педагогических наук, доцент кафедры вычислительной техники и прикладной математики, заместитель директора института энергетики и автоматики, e-mail: [email protected].
Тутарова Власта Диляуровна, Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова, г. Магнитогорск, Российская Федерация, кандидат технических наук, доцент кафедры вычислительной техники и прикладной математики, e-mail: vlasta [email protected].
УДК 517.917
ОБ ОПТИМИЗАЦИИ ГАРАНТИИ ПРИ ЗАПАЗДЫВАНИИ ПО
УПРАВЛЕНИЮ
© М.И. Гомоюнов
Ключевые слова: оптимальное управление; дифференциальные игры; запаздывание по управлению.
Для динамической системы, подверженной воздействиям управления и помехи и содержащей последействие в управляющих силах, рассматривается задача об управлении с оптимальным гарантированным результатом для показателя качества, представляющего собой евклидову норму совокупности отклонений движения системы в заданные моменты времени от заданных целей. На основе функциональной трактовки, опирающейся на своеобразный прогноз движений, исходная задача сводится к вспомогательной дифференциальной игре для системы без запаздывания и с терминальной платой. Рассматриваются иллюстрирующие примеры.
В рамках теоретико-игрового подхода [1-4] рассматривается задача управления системой
X(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + BT(t)u(t — т) + C(t)v(t), t0 ^ t ^ $, (1)
x £ M™, u £ P С Mr, v £ Q С Ms, т = const > 0,
при нэ.чэ.льных условиях
х(Ьо) = Х0 е Кп, щ0(•) = {щ0(С) = u(Í0 + О, С е [—т, 0^ = ро(-) е и, (2)
и показателе качества ________________________________________________
7 = у ЦЕгЫЬ) — сл) У2 + ... + ||Ом (х(Ьм) — см) У2- (3)
Здесь х — фазовый вектор, х(Ь) = йх^)/^, и — вектор управления, V — вектор помехи, ¿0 и § — начальный и терминальный моменты времени, Р и Q — компакты, матрицы-функции А(Ь), В(Ь), Вт(¿) и С(¿) кусочнонепрерывны, т — запаздывание, И — множество измеримых ПО Борелю вектор-функций ИЗ [-Т, 0) В Р, Бг — постоянные (рг х и) -матрицы (1 ^ рг ^ п), Сг е К™ — целевые векторы, и е [¿0, §] — оценочные моменты времени, г = 1,М. Предполагается, что > ¿г, г = 1,Ы — 1, и ¿м = §- Символ || • \| означает евклидову норму. Цель оптимизации — доставить показателю (3) как можно меньшее значение. Действия помехи неизвестны и могут быть нацелены на его максимизацию.
Известны методы решения задачи (1)-(3), когда Вт(¿) = 0, т. е. отсутствует запаздывание по управлению [1, 2, 4], или когда N = 1, т. е. показатель качества терминальный [3]. В статье конструкции из этих работ развиваются для случая одновременного наличия как запаздывания по управлению, так и промежуточных оценок качества движения.
Допустимой стратегией управления и(•) считаем произвольную функцию [¿о, §) х Кп х И х К э (¿, х,р(^),е) ^ и(•) = и(¿, х,р(),е) е Р, где е > 0 — параметр точности [1]. Стратегия и(•) действует в дискретной по времени схеме на базе некоторого разбиения = {т^ : Т\ = ¿0, 0 < т^+\ — т^ ^ 5, ] = 1, 1, ТJ+l =
= ^, формируя управляющее воздействие по шагам этого разбиения согласно правилу
и(Ь) = иТ ,х(т3 ),итз (•),е, Ь е Т ,Тj+1), итз () = {иТз (С) = и(тз + О, С е [—Т, 0Я . (4)
При этом в согласии с условием (2) предполагается, что и^) = Ро(Ь — ¿о) при Ь е [¿о — т, ¿о).
Пусть Б = Б(1о,хо,ро(^),и(^), ,е) — множество троек {х(^),и()^()} таких, что
v(•) —измеримая функция из [¿о,§) в Q, и(^) —удовлетворяющая (2) измеримая функция из [¿о — т,§) в Р, которая на [¿о ,§) формируется в согласи и с (4), х(^) — удовлетворяющая (2) абсолютно непрерывная функция из [¿о, §] в К™, которая вместе с и(^) и v(•) удовлетворяет уравнению (1) при почти всех Ь е [¿о,§]. Оптимальный гарантированный результат управления определяется равенством
Гои(Ьо,хо,Ро(•)) = ^ Ишвир {7 \{х(^,и(^,и(^)} е Б}. и(•) 40,40
Стратегия и°(-) оптимальна, если она реализует указанный инфимум.
Пусть X(¿, С) — матрица Коши уравнения х = А(Ь)х, х(Ь) — функция Хевисайда. Следуя функциональной трактовке [4], для каждого г = 0^ — 1 рассмотрим вспомогательную дифференциальную игру для системы
N
£ И = В^^и + C[г^(t)v, ¿г ^ ^ §, Ъ[г\(и) = ¿:] е КрН , р[г] = ^ Рк, (5)
к=г+1
при показателе качества
^ = ||и[г](§)П, (6)
где В^(¿) = {Бк{х(¿к, ¿)В(Ь) + X(¿к,Ь + т)Вт(Ь + т)х^к — t — т))х^к — ¿), к = г + 1,Щ, СЩ = {ОкХ(¿к¿)С(Ь)х(Ък — ¿), к = г + 1^}. Известно [1, 2] , что эта игра имеет цену Р[г^[¿г, £*]) И седловую точку ИЗ минимаксной ио*](^ £[г\е) И макспминНОЙ v0г](t, ъ^^)
{ ¿, х, р ( • ) } : ^,х,р(•)) ^'Шк(¿,х,р()), к = г + 1,^ е КрЫ, t е [и,и+1), г = 0^ — 1, 'Шк {¿, х, р(•)) = Бк (х (¿к ,г)х + /-т X (¿к ^ + С + Т )Вт (Ь + С + Т )х^к — t — С — Т )р(С)^ — Ск^.
Следующая теорема устанавливает связь между исходной задачей управления (1)-(3) и дифференциальной игрой (5), (6).
Теорема!.. Справедливо равенство
T0u(to,Xo,Po(-)) = Р[0] (to, w[01(io,xo,po(-))) •
Стратегия U0(t,x,p(-),e) = u0i] (t, wM(t,x,p() ,e), t £ [ti,ti+\), i = 0,N — 1, является оптимальной в задаче (1)-(3).
ЛИТЕРАТУРА
1. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.
2. Krasovskii A.N., Krasovskii N.N. Control under Lack of Information. Berlin etc.: Birkhauser, 1995.
3. Осипов Ю.С., Пименов В.Г. К теории дифференциальных игр в системах с последействием // ПММ. 1978. Т. 42. Вып. 6. С. 963-977.
4. Красовс кий Н.Н., Лукоянов Н.Ю. Задача конфликтного управления с наследственной информацией // ПММ. 1996. Т.60. Вып. 6. С. 885-900.
Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках программы Президиума РАН «Математическая теория управления», при финансовой поддержке УрО РАН (проект 09—И—1—1015), а также Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 09-01-00313).
Gomojunov M.I. On optimization of the guarantee under delay in control. For a dynamical system under control and disturbances, and with delay in control, the problem of control with the optimal guaranteed result is considered for a quality index which is the Euclidean norm of the set of deviations of a system motion at the given instants from the given targets. On the basis of a functional treatment basing on a proper prediction of the motion the problem is reduced to an auxiliary differential game for a system without delay and with a terminal quality index. Illustrating examples are considered.
Key words: optimal control; differential games; delay in control.
Гомоюнов Михаил Игоревич, Уральский государственный университет, г. Екатеринбург, Российская Федерация, студент, e-mail: [email protected].
УДК 517.98
ВОПРОС И.М. ГЕЛЬФАНДА, ИНТЕГРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НА ГИПЕРГРУППАХ
© М.И. Граев, Г.Л. Литвинов
Ключевые слова: интегральная геометрия; гипергруппы; гармонический анализ; обобщенные преобразования Фурье.
Эта работа — попытка ответить на старый вопрос И.М. Гельфанда: почему некоторые важные задачи интегральной геометрии (преобразование Радона и др.) связаны с гармоническим анализом на группах, а для других, очень похожих задач, такой связи не видно [1]? Здесь указаны стандартные задачи интегральной геометрии, порождающие гармонический анализ (теорему Планшереля и т.п.) на парах коммутативных гипергрупп, находящихся в двойственности типа Понтрягина. В результате построены новые содержательные примеры гипергрупп.
