CC BY
50
462
Мезо-, нано-, биомеханика и механика природных процессов Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 462-464
УДК 534.7;534:612.014.45;539.3
ВОЛНОВАЯ БИОМЕХАНИКА ТКАНЕЙ © 2011 г. Б.Н. Клочков
Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород
Поступила в редакцию 15.06.2011
Рассмотрены низкочастотные поверхностные упругие волны в биоткани с учетом ее структуры, представлены дисперсионные зависимости распространения волны от частоты. Предложена континуальная модель пространственно-неоднородного распределения крови в ткани, включая механизмы гладкомышечной регуляции микрососудов.
Ключевые слова: поверхностные волны, мягкая биоткань, дисперсия, континуальная модель, крово-
снабжение, активность, автоструктуры.
Исследование акустического ближнего поля, возбуждаемого колеблющимся источником на поверхности биоткани, важно с точки зрения возможности определения ее слоистой структуры и вязкоупругих параметров, зависящих от ее состояния. Продольные волны в тканях обычно дают информацию только о слоистости ткани и ее объемной сжимаемости, поэтому развитие получают исследования при помощи волн сдвиговой природы, в том числе поверхностных. В настоящем исследовании применительно к слоистым тканям используется метод численных расчетов ближних акустических полей от силового поверхностного виброисточника вдоль поверхности ткани и в ее глубине с усреднением по площадке штампа и без усреднения. Этот метод применялся для описания поля нормальных и касательных компонент смещения, а также параметров распространения поверхностных волн [1, 2]. Кратко метод состоит в следующем. Ткань представляется в виде двухслойной среды с сильно различающимися модулями сдвига, причем внутренний слой (жесткое основание — упругий материал с высокой скоростью звука и слабой диссипацией) сцеплен с наружным (мягкий слой — вязкоупругая водоподобная ткань). Это — часто встречающийся случай эндоскелета (кость внутри). Возбуждение упругих волн производилось поверхностным силовым источником, имеющим круглую площадку радиуса a, нормально к поверхности мягкого слоя (ткань занимает область г > 0, ось г — вдоль поверхности). При этом напряжение Огг = с0егШ (с0 — амплитуда, ю — частота) равномерно распределено по поверхности круглой площадки, вне которой <5гг = 0, причем сдвиговая компонента на-
пряжений <5гг = 0 на всей поверхности г = 0. По обе стороны от поверхности контакта слоев г = = И равны нормальные и касательные компоненты смещений Ж" и а также Огг и огг. Спра-
ведливы линейные уравнения теории упругости Ламе в цилиндрических координатах г, г с учетом диссипации в мягкой среде в рамках модели Кельвина — Фойгта. Параметрами являются: Хп, |!п и рп — упругие коэффициенты Ламе и плотности; п = 1 соответствует мягкой среде, причем Ц1 ^ Ц1 + д! д/дt, где — коэффициент вязкости; п = 2 — жесткой среде.
Вводя скалярный и векторный потенциалы, преобразования Ханкеля в уравнениях и граничных условиях, имеем систему алгебраических уравнений, после решения которой для нормальных и касательных к поверхности смещений получим выражения в виде лэмбовского интеграла по тангенциальным волновым числам к (обратные преобразования Ханкеля нулевого и первого порядка):
„и/ ч 7и,(г,а,к,ю,И,Р) ТП п
Ж (г, г)=С0 I——-------—-—^(ка) J2- (кг)йк,
0 А(к, ю,И, Р)
где , = 1, 2 — соответственно тангенциальная ({) и нормальная (п) компоненты смещения; Р — набор упругих и диссипативных параметров слоев; А — определитель системы граничных условий 6-го порядка, а и, — 5-го; Jm — функция Бесселя порядка т. Вычислялась скорость распространения поверхностной волны С (м/с) и декремент ее затухания Q (1/м) в зависимости от частоты / (Гц) (рис. 1, сплошные кривые соответствуют И = 2 см, штриховые — полупространству).
Построена континуальная модель пространственно неоднородного распределения крово-
Рис. 1
заполнения тканей. Справедливы уравнения неразрывности обеих фаз (кровь и активный упругий тканевой каркас) и их движения. Учитывается фильтрационный закон Дарси.
Предполагается, что фазы и среда в целом несжимаемы, плотности фаз равны. Межфаз-ный переток отсутствует. Пренебрежем инерционными слагаемыми, процессы достаточно медленные. Имеется сильно разветвленная сеть кровеносных микрососудов с мышечными волокнами разного калибра, переплетенных так, что в среднем по малому объему среды скорость фазы крови близка скорости твердой фазы, хотя вдоль любого сосуда скорость тока крови существенно отлична от скорости окружающей ткани. Изотропное активное напряжение ткани у связано с гладкомышечными клетками стенки сосудов и со скелетной нервно-мышечной управляемой системой. Возможны разные случаи нелинейной активной функции у в зависимости от: деформации каркаса г, давления жидкости р, сдвигового напряжения и др. Рассмотрим случай у = у(г) [3]. В результате получим нелинейное уравнение относительно пористости ф (объемного содержания крови ф ~ г).
Рассмотрим одномерный случай:
дф д ( дф^
где фоновое состояние предполагается ненапряженным, П — вязкость жидкости, к — эффективная проницаемость ткани по отношению к крови; Е — коэффициент упругости твердой фазы, у — параметр активности. При этом можно принять аппроксимацию финитной колоколообразной зависимости у(ф) кусочно-параболической или кусочно-линейной функциями. Численные решения уравнения дают процесс изменения распределения ф при различных условиях (см. рис. 2а, б, в). Использована зависимость ^(ф) в виде непрерывной функции. Кривые на рисунках — безразмерные, идут снизу вверх.
Получены динамические структуры пространственного кровотока в ткани. При определенных условиях реализовалась характерная динамика. Получена зависимость ширины от начальной амплитуды: чем больше амплитуда начального распределения, тем больше длительность итогого импульса. Имеют место эффекты обострения импульса, а при определенных условиях уплощения с прогибом в середине, а также мелкомасштабность. Может происходить
а)
-Л
_А /)
К у\ /\
1\ А А
л А л,
л л л
л - л Л_ А л Л
,Л л л 11 л л А
А Л /\_ - Л
А, 1 - Л ¡1 л > А
А А а Л А
А А АЛЛА АЛЛ
б) Рис. 2
в)
0
0
х
х
464
Б.Н. Клочков
удвоение импульса. Реализуется эффект локализации в середине (пропадание концевых импульсов, рис. 2а) или выпадение пика (пропадание промежуточных импульсов, рис. 2б).
Возможны реализации острых импульсов (постепенное обострение без выпадения и без локализации) или тупых импульсов (постепенное уплощение, рис. 2в). Предложенное модельное описание соответствует наблюдениям на ткани и может быть использовано для исследо-
вания функционирования сосудистой периферии кровоснабжающейся ткани.
Список литературы
1. Клочков Б.Н., Елисеева Ю.Ю., Шилягин П.А. // Акустический журнал. 2009. Т. 55, №4-5. С. 506—515.
2. Клочков Б.Н. // Акустический журнал. 2008. Т. 54, №1. С. 143—146.
3. Клочков Б.Н., Рейман А.М. // Изв. вузов. Приклад. нелин. динамика. 2010. Т. 18, №2. С. 131—141.
WAVE BIOMECHANICS OF TISSUES B.N. Klochkov
Low-frequency surface elastic waves in biotissue are considered, taking into account their structure, and dispersion dependences of wave propagation on the frequency are presented. Continual model of spatially inhomogeneous blood distribution in a tissue is presented, accounting for the mechanisms of smooth muscle regulation of microvessels.
Keywords: surface waves, soft biotissue, dispersion, continual model, circulation, activity, autostructures.
