Расчет акустического поля в геологической скважине (ГС), окруженной радиально-неоднородной средой. Часть 1 Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 541.132

Расчет акустического поля в геологической скважине (ГС), окруженной радиально-неоднородной

средой. Часть I.

H.A. Ковальчуков*,

* Кафедра общей физики, Российский университет дружбы народов, Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 + ВНИИГеосистем (Государственный научный центр Российской Федерации Всероссийский научно-исследовательский институт геологических, геофизических и геохимических систем), Россия, 113105, Москва, Варшавское шоссе, 8

Проанализировано распространение в среде продольных и сдвиговых волн с учетом их взаимодействия. Установлено явление вязкого скин-эффекта, с которым связано затухание всех типов волн.

В. Н. Крутин

Часть I. Связь акустического поля в ГС с

импедансом окружающей среды

В работе рассматриваются процедуры определения акустического поля и поля сдвиговых волн в ГС, заполненной вязкоупругой сжимаемой жидкостью и окруженной радиально-неоднородной средой, а также полей смещений и напряжений в окружающей среде.

Если ГС необсажена, то для поля горного давления она является концентратором напряжений, так как создает в массиве разгрузку. В результате этого в пограничной зоне образуется радиальный градиент напряжений. На глубинах, больших некоторой предельной величины, зависящих от плотности и реологических свойств горных пород, связь напряжений и деформаций нелинейна. Это изменяет модули упругости при малых деформациях и создает радиальный градиент скоростей распространения продольных и поперечных волн.

На градиент влияют также проникновение фильтрата бурового раствора в пограничную зону, изменяющего эффективную плотность среды, и возникновение термоупругих напряжений при обмене теплом скважинного флюида и окружающих горных пород.

В обсаженных ГС сами обсадные колонны, отличающиеся по своим свойствам от массива, являются радиальными неоднородностями. к радиальным неоднород-ностям также относятся слои цементного камня и прослои флюида при плохом качестве цементирования. Возможно наличие градиентных зон и в затрубном пространстве.

Влияние любой радиально-неоднородной осесимметричной среды на колебания жидкости в ГС определяется тензором пространственно-спектрального импеданса среды на стенке ГС и акустическим источником. В данной работе поле в ГС выражено через импеданс ее стенки для любой радиально-неоднородной осесимметричной среды. Также получены формулы для компонент тензора импеданса однородной безграничной почти упругой среды, окружающей цилиндрическую поверхность. Показано, что поле в ГС, определенное через импеданс ее стенки, в этом случае совпадает с уже известным. Мы ограничились определением поля, созданного центрированным точечным источником. Рассмотрение в данной работе ограничено осесимметричным случаем.

1. Продольные и сдвиговые вязкоупругие волны в скважинной жидкости

Пусть бесконечная цилиндрическая полость радиуса R заполнена линейной вяз-коупругой жидкостью с плотностью pq, комплексной скоростью звука в ней с и динамической сдвиговой комплексной частотнозависимой вязкостью rj [1]. Уравнение малых гармонических колебаний вязкоупругой жидкости имеет вид [2]

Д- erad • div ■ и — J-rot • rot • и + v — 0 , (1)

1.2 ° ¡u2 ' v '

Kt

J2

где и — вектор скорости жидкости,

kl = ш/v, (3)

где (^ — комплексная объемная вязкость, v = ri/po — кинематическая комплексная

сдвиговая вязкость, ту — динамическая комплексная сдвиговая вязкость, ki и kt — комплексные частотно-зависимые волновые числа для продольных и поперечных волн, со — изотермическая скорость звука.

Определим колебательную скорость жидкости в виде:

V = grad Ф + vt, div vt не 0. (4)

Подставляя в уравнение (1), получаем

(Д + fc?) Ф = 0, (5)

(-rot • roti>t + Ц})Vt = 0 или (Д + kt)pt = 0, (6)

где Д —оператор Лапласа.

Уравнения (5), (6) описывают продольные и поперечные волны в жидкости. При этом ГС может быть заполнена промывочной жидкостью, буровым раствором, нефтью т.п. Ее стенки могут быть покрыты глинистой коркой. Во всех случаях, без уточнения реологической модели жидкости, можно принять, что \kt ■ R\ » 1, [3]. Представим vt в виде лучевого ряда [4]

ос

= eiktT^ ^2(ikt)~n0n(r), (7)

п=О

где г —радиус-вектор точки наблюдения.

Сопоставив (6) и (4) с (7), получаем известные уравнения эйконала, переноса и соленоидальности [4,5]

(Vt)2 = 1, 2(Vt, VVn) + Дтг7„ = bVn_x, (Vrn) = -div ¿7n_ь (n ^ 0).

Определив эйконал как решение задачи Коши

(Vr)» = l, t\s = 0, £

= й, (9)

s

где 5 —граничная поверхность, п — единичный вектор внешней нормали к 5, находим эйконал в окрестности границы г = Д:

т = (Я-г). (10)

Тогда решение уравнения переноса с учетом условия соленоидальности имеет вид [5]

fR

Vt{T,z) = у — • MR>Z) > v0{R,z)±n. (11)

В этом выражении справедливым с высокой точностью на практике примем вблизи стенки ГС г = R

[r

Ut(r, z) = J - ■ v0(R, z) • cxp[ikt(R - r)]ez , (12)

где ez — орт вдоль оси г. Формула (12) описывает цилиндрические сходящиеся сдвиговые волны в жидкости, которые вследствие быстрого затухания практически не претерпевают многократных отражений от стенки и центра ГС. Если стенка кальматирована глиной, то это учитывается величиной kt-

Напряжения в жидкости равны [1]

(k2 \ д\7Ф дР

\Фп + 2т}-^+ rj-^+ri[Hx rot vt]. (13)

Ограничившись главным приближением коротких сдвиговых волн и учтя, что для жидкостей всегда |fctj » \Щ [3], запишем на цилиндрической поверхности г = const

d[f) -шроФёг - iktfji>t(r)ez + 0(\kf/k2\) = -шроФёг - Zt(r)vt(r), (14)

где 2 — гк^ — у/шрог) — удельный импеданс плоских сдвиговых волн в жидкости [1].

Поле продольных волн в жидкости определяется скалярным потенциалом Ф, который удовлетворяет уравнению (5). Если в ГС помещен точечный источник типа центра расширения со спектром объемной скорости (2{и>), то уравнение (5) заменим следующим:

д2Ф 1дФ д2Ф , ^ чг, .5(г)

+ + = - (15)

где ¿(х) —функция Дирака [2]; г, 2 — цилиндрические координаты. Решение уравнения (15) представим в виде интеграла Фурье по г

+ 0О

Ф(г'= Ш I с'и,)е** ^ • (16)

— ею

Подстановка (16) в (15) дает уравнение для пространственного спектра по г скалярного потенциала

¿2Ф 1 с1ф /~0 С2 \ ~ Иг)

Его общее решение

Ф = А1о {1-) + 2т С}(ш)Щ [1-) , (18)

где произвольная постоянная А определяется граничными условиями на стенке скважины т — R, ,/Г((х) и НгР (х) — функции Бесселя и Ханкеля первого рода порядка п от аргумента х, к — к^, I — у/к.2 - С2.

2. Граничные условия на стенке ГС. Тензор пространственно-спектрального импеданса

Далее рассмотрим трансформанты Фурье по 2 рассматриваемых величин, т.е. их пространственные спектры. Так как ранее уже совершено преобразование Фурье по времени, то на самом деле —это пространственно-временные спектры. Для краткости иногда говорится о самих величинах, но подразумеваются их пространственно-временные спектры.

Спектры вектора напряжений а и вектора скорости V на стенке ГС при малых колебаниях связаны тензорной линейной зависимостью [6], т.е.

д = -ги, (19)

где 2 — тензор импеданса. При переходе от скорости к смещениям метрика не изменяется, поэтому можно записать

о — -Си, (20)

где и — вектор смещения, б —тензор упругости, причем очевидно

{и = — шй, (2 = —.

Поэтому вместо импеданса 2 можно использовать тензор упругости (7, называя, согласно традиции, метод импедансным [6].

Для осесимметричных колебаний тензоры импеданса и упругости имеют размерность 2x2, причем [6]

2,, 2.И. гфз- (21)

Пусть тензор пространственно-спектральной упругости стенки ГС известен. Пронормируем его компоненты следующим образом: = ЯО^/ца, сделав его для удобства безразмерным. Здесь /хо — произвольная нормирующая упругость. В окружающей ГС среде нормированные компоненты напряжения на стенке, согласно (19), равны

= -бггиг - Огги2 , = -Оггит - 02гиг . (22)

Мо Мо

Умножив (22) на гш, запишем

— Огг^г - Сгг1>г , = —Сггиг - Ог2Уг . (23)

/¿0 /¿О

Учитывая (14), при г = Я имеем:

^ = ^ЯФ(Я), = ^Шщ(Я). (24)

Но До МО МО

Компоненты скорости жидкости на стенке, согласно (4), равны

К = ~(Я), К = ^(Я) + ■ (25)

Согласно граничным условиям все компоненты напряжений при г — Я в жидкости и окружающей среде одинаковы. Сравнивая (24) и (25), пишем при г = К

2

— 77) Т '—* _ —

ОггРг + б«^ = -¿-Ф , 6ггуг + С„1/г = 0(Я)щ{Я), (26)

/г

где

\т = Р0/Р, = (27)

I Мо Мо )

— комплексное демпфирование жидкого волновода сдвиговой волной у его стенки [1]. На стенке ГС также равны компоненты скорости окружающей среды и жидкости. Используя это условие, подставим в (26) вместо компонент скорости окружающей среды ит и и2 компоненты скорости жидкости Уг и Уг, определенные соотношениями (25). Тогда, умножив (26) на Я, запишем при г — Я

+ <5„[гСФ(Д) + - тт2Ф = 0, (28)

аг

+ 6«[*СФ(Д) + Ящ(Щ - 1>(Л)ДЙ(Д) - 0. (29)

Таким образом, используя непрерывность напряжений и смещений на границе, мы преобразовали граничные условия так, что в них вошли только характеристики поля в жидкости и компоненты тензора упругости окружающей среды. Очевидно, что эти условия справедливы для любой окружающей среды, если только тензор пространственно-спектрального импеданса определен. Следовательно, граничные условия (28) и (29) универсальны и можно определить поле в ГС через компоненты тензора импеданса, не рассматривая поле в окружающей среде, которая может быть и радиально-неоднородной.

3. Поле, созданное точечным источником в ГС с

заданным импедансом ее стенки

Поле точечного источника в ГС рассмотрено в ряде работ, например, в [7]. Отличие данного рассмотрения состоит в том, что оно применимо для произвольной радиально-неоднородной среды. Кроме того, здесь впервые рассматривается влияние вязкости флюида в ГС или глинистой корки на акустическое поле.

Подстановка (18) в (28) и (29) дает систему уравнений для определения А и ио(Я). Ее определитель равен

А = + тпт2М1)62г + Б [и^йгг - КМ1)Отг +тпт2М1)\} , (30)

где

с1<Л||С?у||. (31)

5?

В результате получаем

С* гг

А

2т20 I Ш^т + тт2Н(01)Сгг+

д

\ +£> \ш{1}{1)Огг - гСЯо(0СГ2 + тт2Н(ъ\1)

(32)

= + тт26гг). (33)

Даже для вязких глин с модулем вязкости \г)\ и 104 Па-с демпфирование |£) <с 1|. Поэтому с высокой точностью в выражениях (32) и (33) можно принять В = 0. Тогда согласно (18) потенциал скорости жидкости определяется с погрешностью порядка \Б\ выражением

Приняв Б = 0, мы не пренебрегли влиянием вязкости, так как акустическое поле меняется из-за вязкости лишь в тонком приповерхностном слое, в котором возбуждаются сдвиговые вязкие волны. Таким образом, на скалярный потенциал поля вязкость практически не влияет. Однако, в отличие от идеальной жидкости, в пограничном слое возникают сдвиговые вязкие волны, приводящие к дополнительной диссипации акустической энергии.

Учет этой диссипации, существующей и в случае окружения пористой насыщенной средой, особенно существенен при определении проницаемости формаций по дополнительному затуханию различных типов волн, обусловленному трением флюида в порах [11]. Вязкоупругий скин-эффект влияет, прежде всего, на динамику нормальных волн, например, волн Лэмба-Стоунли и псевдорэлеевских [11]. Динамика псевдорэлеевских волн тесно связана с динамикой скользящих поперечных волн.

Из (32) и (33) следует, что дисперсионное уравнение для всех типов осесим-метричных нормальных волн в ГС с учетом демпфирования имеет вид;

А = 0, (35)

где Д определяется формулой (30). Приняв в (35)

С, '! Ш«ф, (36)

находим малые поправки к корням Cj дисперсионного уравнения:

До = lJi(l)$ + mT2Gzz. (37)

Если Cj не слишком близки к точкам ветвления С = Л и ( — т, то компоненты тензора упругости являются гладкими функциями от С- Тогда корни уравнений (35) и (37) определяются, в основном, поведением быстроосциллирующих функций J0(l) и J] (/). Из (37) получаем:

mr2Gzz{ С?)

=--Jo(Zi')' (38)

где lj — ^Jk2 - (Cj )2. a к может рассматриваться как безразмерная частота, причем

Л = кщ„ т — кп8, пр — с/ср, ns — с/cs.

Подставив (36) в уравнение (35) и используя (37), (38) имеем:

I2 \mT2GrZ - ¿Сй| Grz с. — П-Ll__1 HQi

^(12Ш2 + тп2тЮ2г) ' { '

где все компоненты вычисляются при С = Малые затухания нормальных волн, обусловленные различными факторами (стоксовым поглощением акустических волн в жидкости, поглощением продольных и поперечных волн в среде, наконец, рассматриваемым скин-эффектом) аддитивны. Поэтому при определении можно принять вещественными. Малые демпфирования незначительно уменьшают скорость распространения нормальных волн [1]. Для дополнительных затуханий нормальных волн, обусловленных вязкоупругим скин-эффектом, получаем:

а .¡Я — (1т&>0). (40)

Влияние компонент импеданса среды на рассматриваемые затухания нормальных волн обусловлены зависимостью от них осевой колебательной скорости стенки, и следовательно, амплитуды сдвиговой вязкоупругой волны в жидкости. Эта амплитуда определяет часть энергии всего волнового пакета, диссипируемую в сдвиговой

вязкоупругой волне. Выражения для поля скоростей жидкости в ГС имеют вид:

Vr

{r'Z)-R4 iJtiOK + mrVoCOG« Ui{r) ^

-оо

+ оо

(41)

f 1ITw (iL

R2

— oo

-CX) hOC

+ (42)

-oc

+ ЭС

_eifct(r-r)

2Q lR_ik.(r-r)\ f iW + mT2Gzr iC4r

J Ш№ + тт2М1)0„' 4

V— оо /

Вторые слагаемые в (41) и (42) описывают прямую волну в жидкости и точно интегрируются. Они являются компонентами градиента потенциала прямой волны, определенного выражением

Фпр = 2тг<Э

v^T

z*

4. Тензор пространственно-спектрального импеданса

однородной почти упругой окружающей среды

Здесь рассмотрены линейные вязкоупругие консолидированные среды. Модель среды может быть описана феноменологически, например, введением комплексных частотно-зависимых модулей Ламе А и Д

А = А(ш) — ¿A'(w), = ~~ ■

Эти формулы можно представить в другой эквивалентной форме [1].

А = А(ш)[1 - ¿хаН] , Д(ш) = д(ш)[1 - г'Хм(^)],

где ха(<^) и Хц(и) тангенсы углов механических потерь.

Зависимости затуханий продольных и поперечных волн в горных породах от частоты многообразны, однако для подавляющего большинства горных пород и металлов затухание обоих типов волн в широком диапазоне частот линейно растет с увеличением частоты [8]. Это соблюдается, если Ха(^) и хЛш) постоянны и не зависят от частоты. Кроме того, практически всегда можно принять ха < 1 и Хц'С 1 и тогда приходим к реологической модели среды

(А + 2Д) = (A + 2jt)(l - ixP) sgnu, Д = /7,(1 -ixs)sgnuj, (43)

которую Уайт назвал почти упругой [8]. Здесь А = const и [л = const, а функции знака sgnи> необходимы для выполнения условий Крамерса-Кронига [2]. Уравнение малых гармонических колебаний среды имеет вид

(А + 2Д) grad • div vu - Д rot • rot и + ш2ри — 0, (44)

где и — вектор смещения ее частиц.

Для осесимметричных колебаний по закону ехр(—гш<) введем скалярный (р и векторный ф потенциалы смещений среды, приняв в соответствии с [9]

{и — grad<p + rot (фео)} , (45)

где eg — орт в цилиндрических координатах г, 9, z. Потенциалы ф и ф в (45) определяются уравнениями

(A + fc> = 0, (А-± + Щ)ф = 0, (46)

где Д — оператор Лапласа, kp — ui/cp, ks = u)/cs — комплексные волновые числа для продольных и поперечных волн, ср = ср( 1 - %хр/2), cs = с.р( 1 - i\s/2) — комплексные скорости распространения этих волн, ср = с3 = —скорости распространения, причем

к2р = 1 + ixP), Щ = к2(1 + ixs), кр = и/ср, ks = и/es .

Далее координаты гиг, смещения й, напряжения 3 и потенциалы обезразме-рим, приняв

- г - Z ~ Û _ (J - V 7 Ф

Г==я' 2=Д' (47)

Нормированные трансформанты Фурье по г пометим чертой сверху, тогда уравнения (46) запишутся в виде

i12ф 1 d(p 9 „ d?é 1 dé ф 97 dr1 г г drг г г г2

где р — ^А2 - С2. s — V7"2 ~ С2, Л- = kpR, т — ksR. Для нормированных спектров смещений из (45) имеем:

dtp - dé ф иг = Тг-Кф, + - + т (49)

Напряжения на любой цилиндрической поверхности г = const, выражаются формулами [10]

г _ п~дит _ /дит диЛ

arr = Adiv и + , Стгг = м + _ J . (50)

Введя спектры векторов нормированных напряжений и смещений,

з=с^л=, (so

\arzJ \а2/ \UrzJ \U2/

из (49) и (50) получаем:

где Д = Д/до-

Тензор .9 не зависит от распространения волн по радиусу, поэтому назовем его поверхностным тензором пространственно-спектральной упругости. Заметим, что

Яг, = ~~9ji< (i Фз)-

Для определения полного тензора Gy окружающей среды на стенке ГС выразим в (52) ф и ф через Hi и Й2 при г — R и воспользуемся формулой (20). Зависимости ф(и\,и2) и ф(й\,й2) определяются полями продольных и поперечных волн при г)йи различны для однородной и радиально-неоднородной сред, окружающих скважину.

5. Тензор упругости стенки ГС, окруженной

однородной изотропной почти упругой средой

Определим тензор упругости безграничной среды, помещенной в область г > г0, на ее цилиндрической границе г = го при произвольных малых гармонических колебаниях этой границы. Пусть окружающая цилиндрическую поверхность г — го среда однородна и безгранична. Тогда решения уравнений (48) при соблюдении условий излучения имеют вид

ф = А1Н^)(1гг), Ф = А2Н[1)(*Г), (53)

где А\ и А2 — произвольные постоянные. Подставив решения (53) в (49), получаем систему уравнений, связывающую А\ и А2 с компонентами смещений на любой цилиндрической границе г = г;о

~рН[1)(рг0) -1(н[1}(зг0)\ /¿Л = /«1(г0А .¿СЯ^^яго) зН^\зг0) )\А2) \и2(г0)) '

(54)

Определитель этой системы с обратным знаком равен

В = 8рН^(8г0)Н[1)(рг0) + С2Я<1)(рг-0)Я1(1)(5г0). (55)

Из (54) находим

А= М - -^(аго)) (щ(го)\

\А2) \ §Я<1)(рто) §Я1(1)(рг0) ) \и2(го))

(56)

Используя (52), получаем выражения для компонент тензора пространственно-спектральной упругости

сгг = д/А т^Н^шн^ШХ

чг0 в у

Г — ¡п Г 19 ^ШЛ^ШХ

2----(57)

— —С, г , с« = 1 ^ (бТо) я{1 ■ (рго) •

Подстановка компонент импеданса в (34) приводит к известному результату для потенциала акустического поля в ГС с точечным источником [7], окруженной однородной упругой средой.

Литература

1. Крутин В. Н. Колебательные реометры. — М.: Машиностроение, 1985. — 160 с.

2. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики, т. 2. — М.: ИЛ, 1960. - 886 с.

3. Крутин В. Н. Акустические импедансные методы эластовискозиметрии. Дисс. д.т.н. акустический ин-т АН. СССР, — М., 1989.

4. Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. — М.: Наука, 1972. — 456 с.

5. Крутин В. Н., Федорюк М. Ф. Смешанные коротко-длинноволновые приближения в динамике вязкоупругих сред // Докл. АН СССР. — 1985. — Т. 280, № 6. - С. 1334-1337.

6. Музыченко В. В. Дифракция звука на упругих оболочках. — М.: Наука, 1993. - 330 с.

7. Крауклис П. В., Крауклис Л. А. Волновое поле точечного источника в скважине. — В кн. Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. - Л., 1976. - Вып. XVI. - С. 41-53.

8. Уайт Дж. Э. Возбуждение и распространение сейсмических волн. — М.: Недра, 1986. - 262 с.

9. Крутин В. Н., Ямщиков В. С. Длинноволновое излучение из цилиндрической полости с жидкостью в упругую среду // Изв. АН СССР «Физика Земли». — 1990. - № 5. - С. 8-15.

10. Ландау Л. Д., Лифигиц Е. М. Теория упругости. — М.: Наука, 1987. — 246 с.

11. Крутин В. Н., Марков М. Г. Волновой акустический каротаж и проницаемость. Теоретические результаты. // НТВ «Каротажник», — Тверь: ГЕРС, 1999. — № 57. - С. 16-22.

UDC 541.132

Calculation of an Acoustic Field in a Geological Void Surrounded with Radially Inhomogeneous Medium. Part I.

N. A. Kovalchukov % V.N.Krutin

* Department of General Physics, Peoples' Friendship University of Russia, 6, Miklukho-Maklaya sir., Moscow, 117198, Russia * VNIIGeosystems (Scientific Institute of Geological, Geophysical and Geochemical Systems, 8, Varshavskoye shosse, Moscow, 113105, Russia

The propagation of longitudinal and offset waves is analyzed with consideration for their interactions. The phenomenon of viscid skin-effect which is related to attenuation of all types of waves is being determined.