CC BY
10
СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКИ
УДК 519.853+517.518.82
Д. Д. Беляев, С. И. Дудов
ВНЕШНЯЯ ОЦЕНКА СЕГМЕНТНОЙ ФУНКЦИИ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ПОЛОСОЙ
С ВАРЬИРУЕМОЙ ШИРИНОЙ И НАИМЕНЬШЕЙ ПЛОЩАДЬЮ
1. В работе [1] рассматривалась задача о внешней оценке сегментной функции полиномиальной полосой постоянной наименьшей ширины за счет выбора полиномиальной оси. Ниже мы рассматриваем аналогичную по характеру задачу, в которой не только ось полосы, но и её ширина могут полиномиально меняться. Итак, пусть сегментная функция Г(£) = [/г(£), /2(£)] задается па отрезке [с, (] непрерывными функциями Ь^) < /2(£)- Через Рп(Л,£) = а0 + а\Ь + • • • + ап£п обозначим полином степени п с вектором коэффициентов Л = (а0,аг,... ,ап) € Кп+1. График сегментной функции Пп,т(Л, Б,£) = [Рп(Л,Ь) — Рт(Б,1),Рп(Л,1) + + Рт(Б,£)] представляет собой полиномиальную полосу, осью которой является график полинома Рп(Л, £), а её ширину в точке £ выражает 2Рт(Б,Ь). Здесь Б = (Ь0,Ь1,... ,Ьт) - вектор коэффициентов полинома Рт(Б, £).
Рассмотрим задачу
Величина (( — с)'ф(Л,Б) выражает площадь полиномиальной полосы Пщт(Л, Б, •) па отрезке [с, (], а условие (2) означает, что она содержит в себе график сегментной функции Г(£) на этом отрезке. Таким образом, задача (1)-(2) требует построения полиномиальной полосы Пп,т(Л, Б, •) с наименьшей площадью, которая содержит в себе график сегментной
(1)
¡р(Л, Б) = шах шах{Р„(Л, £) — Рт(Б,£) — /1(4),
Ь(г) — Рт(ь,£) — Рп(Л,£)}< 0.
(2)
функции Г(г). Легко понять, что при т = 0 данная задача совпадает с задачей из [1].
Цель статьи - получить необходимые и достаточные условия решения задачи (1)-(2).
2. Нетрудно видеть, что функция ^(Л, В) является выпуклой по (Л, В) на всем пространстве Мп+т+25 а функция ф(Л,В) - даже линейной. Поэтому для исследования задачи (1)-(2) можно использовать средства выпуклого анализа.
Введем обозначения: Б = {(А, В) е Мп+т+2 : ^(Л, В) < 0}, д^(Л, В) - субдифференциал выпуклой функции ^(Л, В), со{ } - выпуклая оболочка множества { },
Я(Л, В) = {г е [с, й] : р(Л, В) = 0},
я1(Л, В) = {г е Я(Л, В): РП(Л,г) - Рт(В,г) - &(г) > ¡2(г) - Рт(В, г)- Рп(Л,г)},
Я2(Л,В) = {г е я(Л,В) : ¡2(г) - Рт(В,г) - Рп(Л,г) > Рп(Л,г)-- Рт(В,г) - ь(г)},
я3(Л, В) = {г е я(Л, В): Рп(Л,г) - Рт(В,г) - ¡х(г) = ¡2(г) - Рт(В, г)- Рп(Л,г)}.
Теорема. Для того чтобы функция ф(Л,В) достигала в точке (Л*,В*) е Б своего минимального на Б значения, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось включение
Доказательство. В соответствии с критерием решения задачи выпуклого программирования [2, с. 142] точка (Л*, В*) е Б доставляет минимум функции ф(Л, В) на выпуклом множестве Б тогда и только тогда, когда
где К+((Л*,В *), Б) - сопряженный конус к конусу К ((Л*, В *),Б) возможных направлений множества Б в точке (Л*, В*). Известно [3, с. 31, 39], что
со
'[(-1, -г,..., -гп, 1,г,...,гт), (1,г,...,гп, 1,г,... ,гт)], г е Яз(Л, В),
(1,г,...,гп, 1,г,...,гт),г е я2(А,В), к (-1, -г,..., -гп, 1,г,.. .,гт),г е ях (Л, В).
(3)
если Л, В) < 0, если Л, В) = 0.
Здесь под К(др(Л, Б)) понимается коническая оболочка субдифференциала д^(Л, Б).
Функция ф(Л, Б) является дифференцируемой, и поэтому, учитывая её явный вид после интегрирования, получаем
d + c d2 + dc + c2 ЕГ=о dm-kck.
dm- kck
дф(А, B ) = (0,..., 0,1, ^ Г ' 7 ' " , ...^k=0 ). (6)
2 7 ^^
Из (5)-(б) вытекает, что выполнение соотношения (4) возможно только в случае <^(Л*, Б*) = 0. Как и в [1], использование субдифференциального исчисления приводит к формуле
dp(A,B) = co <
'[(-1, -t,..., -tn,-1, -t,..., -tm), (1,t,...,tn,-1, -t,..., -tm)],t e R3(A, B), (-1, -t,..., -tn, -1, -t,..., -tm),t e R2(A,B), ( ) v(1,t,...,tn,-1, -t,..., -tm),t e Ri(A,B).
Подстановка (6) и (7) в (4) с учетом формулы (5) для случая <ß(A*,B*) = 0 и несложный анализ приводят к заключению об эквивалентности соотношений (3) и (4). Теорема доказана.
Включение (3) влечет выполнение включения
[-(1,t,...,tn), (1,t,...,tn)],t e R3(A,B), 0n+i e co{ -(1,t,...,tn),t e R2(A,B), (8)
(1,t,...,tn),t e Ri(A,B).
Как и в [1], можно показать, что соотношение (8) эквивалентно выполнению одного из условий:
1) R3(A*,B*) = 0,
2) 3{ti}n=i e Ri(A*,B*)U R2(A*,B*):
если ti e Ri(A*,B*)(R2(A*,B*)), то ti+i e R2(A*,B*)(Ri(A*,B*)).
Условие 2) является аналогом явления альтернанса для известной задачи П. Л. Чебышева о приближении непрерывной функции полиномом. Однако простые примеры говорят о том, что выполнение одного из условий 1)-2) не является достаточным условием решения задачи (1)-(2).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 1001-00270) и гранта Президента РФ (проект, НШ-4888.2010.1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Выгодчикова И. Ю., Дудов С. И., Сорина Е. В. Внешняя оценка сегментной функции полиномиальной полосой // ЖВМ и МФ, 2009. Т. 49, JVS 7, С. 1175-1183.
2, Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи, М, : Наука, 1980, 320 е.
3, Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация, М, : Наука, 1981. 340 е.
О
УДК 514.764
А. В. Букушева
ФИНСЛЕРОВО ПРОСТРАНСТВО С МЕТРИКОЙ ВЕРВАЛЬДА - МООРА КАК ОБОБЩЕНИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА НЕВЫРОЖДЕННЫХ ПОЛИЧИСЕЛ
На многообразии с метрикой Бервальда - Моора естественным образом определяется полиаффинорная алгебра, являющаяся обобщением алгебры поличисел [1, 2]. Определяются условия, при которых многообразие с полиаффинорной алгеброй наделяется структурой пространства над алгеброй поличисел.
Введение. Под пространством поличисел понимается коммутативная ассоциативная алгебра, естественным образом согласованная с мет-
Рп Рп
существует базис (в\, е2,..., еп) такой, что еаев = 5а@£а- Исследование пространств такого вида получило свое развитие в работах [1, 2]. Если алгебру поличисел рассматривать как гладкое многообразие М, то соответствующая метрика БМ определяется функцией, не зависящей от
ММ с метрикой БМ, определяемой полилинейной формойд, естественным образом задается полиаффинорная алгебра с аффинорами (р\,р2, ...,рп). В случае, когда тензорная структура (р\, р2,..., рп,д) интегрируема, мы получаем уже известное пространство поличисел. Используя сведения по интегрируемым аффинорным структурам и пространствам над алгебрами, содержащиеся в обзорах [3, 4], а также работу по гиперкомплексным структурам [5], мы находим условия, при которых финслерово многообразие с метрикой БМ и согласованной с ней полиаффинорной структурой является пространством над алгеброй поличисел.
М
ное Ото-многообразие размерности п. Все встречающиеся па М функции
6
