Условие интегрируемости метрики Бервальда-Моора Текст научной статьи по специальности «Математика»

8, Бредихин Д-А. О квазитождествах алгебр отношений е диофантовами операциями // Сиб, мат, журн, 1997, Т. 38, С, 29-41,

9, Бредихин Д.А. Об алгебрах отношений е диофантовыви операциями // Докл. РАН. 1998. Т. 360. С. 594-595.

10. Бредихин Д.А. О редуктах алгебр отношений Тарекого // Алгебра и логика.

1998. № 1. С. 3-16.

11. Bredikhin D.A. On classes of Omega-semigroups // Semigroups with Applications, Including Semigroup Rings / St-Petersburg State University of Technology. St-Patersburg,

1999. P. 59-62.

УДК 514.763

A.B. Букушева, C.B. Галаев

УСЛОВИЕ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ МЕТРИКИ БЕРВАЛЬДА—МООРА

В работах [1, 2] было положено начало исследованиям пространств вида (Рп,д), где Рп - алгебра поличисел с заданной на ней п-линейной симметрической формой. На пути обобщения заложенных в этих работах идей естественно было бы рассмотреть гладкие многообразия с подходящей полиаффинорной структурой. Довольно развитая сейчас геометрия пространств над алгебрами имеет обширную библиографию [3]. В обзоре [4], подготовленном В.В. Вишневским, содержатся сведения по интегрируемым аффинорным структурам. В настоящей статье излагаются условия, при которых метрика Верви льда Моора (БМ), согласованная с полиаффинорной структурой, заданной на гладком многообразии, задается с помощью интегрируемой полиформы.

1. Алгебраические метрики, согласованные с полиаффинорной структурой АНп

Рп

В алгебре поличисел Рп существует базис (¿1, е2,..., еп) такой, что

еаев = Ьавеа.

Рп

специальным образом вводится согласованная с алгебраической структурой метрика БМ. В результате задания метрики БМ, алгебра

Нп

Пусть М - связное Ото-многообразие размерности п. Все встречающиеся на М функции и геометрические объекты будем считать бесконечно дифференцируемыми.

Рассмотрим на многообразии алгебраическую метрику п-го порядка, т.е. п-линейную симметрическую дифференциальную форму д с компонентами даьа2..,ап (х) относительно произвольного, вообще говоря, неголономного поля базисов (в1, в2,..., вп). Будем говорить, что ненулевой вектор в определяет нулевое направление формы д, если

д(е,е,Хз, ...,Хп) = 0.

Не нулевая алгебраическая метрика называется метрикой Бервальда-

Моора, если существует базис (в1, в2,..., еп) такой, что каждый вектор еа

д

дд

имеет единственную, отличную от нуля, компоненту д12...п. Свойства метрики БМ хорошо изучены (см., например, [5]).

В области определения поля адаптированных базисов (в1, в2,..., еп) определим п-гладких одномерных распределений Б1,Б2,...,Бп, полагая

Ва = (ва) . (1)

Из сформулированного ниже предложения следует, что распределения Б1,Б2,...,Бп могут быть корректно определены на всем многообразии М.

Предложение. Всякий вектор в, задающий нулевое направление д

(б1,б2, ..., вп)•

Таким образом, определение распределений Ба не зависит от выбора

М

произведения:

ТМ = 00=1 Ба. (2)

д1 д2 ( д1 =

= Л(х)д2) тогда и только тогда, когда они определяют одно и то

же разложение (2). Рассмотрим п распределений Ба, определяемых следующим образом:

Ба = Б 0 • • • 0 Б а-1 0 Ба+1 0 • • • 0 Бп.

Для любого а, таким образом, получаем разложение

ТМ = Ба 0 Ба. (3)

Разложение (3) определяет проектор а : ТМ ^ Ба. Совокупность аффиноров (ра относительно операции композиции образует п-мерную полиаффинорную алгебру АНп, изоморфную

алгебре Pn. Будем говорить, что алгебра AHn согласована с метрикой g. Если на многообразии M существует атлас, состоящий из карт, адаптированных к метрике g то алгебра AHn оказывается

M

как многообразие M (Pn, g) над алгеброй поли чисел Pn. 2. Связности, совместимые с метрикой БМ

Связности, совместимые с метрикой БМ, построены в работе [6]. Предположим, что па M(Pn,g) существует линейная связность V, совместимая с метрикой д. Используя равенство Vg = 0, получаем, что её коэффициенты Г^ обращаются в нуль, если ß = 7, кроме того, выполняется равенство

гв = d«gi2...n

ав = gi2...n '

Для тензора кручения S связности V получаем следующее выражение:

Г 0,Y = ß,Y = ß, Sie =r-rea,Y = ß, Y = a, (4)

[0, y = ß = a.

S

V

^ = fei. (5)

gi2...n

a

V

равенство (4), заключаем, что справедлива

Теорема 1. На многообразии M(Pn,g) существует, единственная связность нулевого кручения, совместимая с метрикой БМ.

Г.И. Кручкович [7] сформулировал следующее утверждение: Если тензорная структура T допускает локально плоскую Т-связность, то Т-структура интегрируема. Всякая интегрируемая Т-структура допускает плоскую связность, по крайней мере, локально. Утверждение

Кручковича и сформулированная теорема позволяют эффективно

g

Будем называть метрику БМ интегрируемой, если интегрируема соответствующая дифференциальная форма. Воспользуемся леммой Кручковича [6]. Используя равенство (5) и выражение в координатах тензора кривизны R получаем, что единственным, отличным от нуля,

компонентом тензора R являются

dc#12...n

KL, = дп

gl2...

n

а = с, по с суммирования нет). Таким образом, имеет место

Теорема 2. Метрика БМ интегрируема тогда и только тогда, когда ее компоненты удовлетворяют следующей системе уравнений в частных производных

О дед12...п Л

да- = 0.

gl2...n

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Павлов Д. Г. Обобщённые аксиомы скалярного произведения // ГЧГФ. 2004. №1. С. 5-19.

2. Гарасъко Г.И., Павлов Д. Г. Геометрия невырожденных поличисел // ГЧГФ. 2007. №1(7). С. 3-25.

3. Широков А.П. Пространства над алгебрами и их применения // Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения/ВИНИТИ. М,, 2002. Т. 73. С. 135-161.

4. Вишневский В. В. Интегрируемые аффинорные структуры и их плюральные интерпретации // Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения/ВИНИТИ. М., 2002. Т. 73. С. 5-64.

5. Рунд X. Дифференциальная геометрия финелеровых пространств. М,: Наука, 1981. 502 с.

6. Галаев C.B. Об одной полиаффинорной структуре на гладком многообразии с метрикой Бервальда-Моора // Тр. Математического центра им. 11.11. Лобачевского: материалы Восьмой молодежной науч. шк.-конф. «Лобачевские чтения - 2009». Казань, 2009. Т. 39. С. 24-28.

7. Кручкович Г.И. Гиперкомплексные структуры на многообразиях, I // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М,, 1972. Т. 16. С. 174-201.

УДК 517.984

С.А. Бутерин

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ПУЧКА ВТОРОГО ПОРЯДКА ПО НЕПОЛНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Введение. Рассмотрим краевую задачу Ь = Ь(до(х),д1(х),к, Н) вида

£у(х) := у" + (р2 - 2рд1(х) - д0(х))у = 0, 0 <х<п, (1) и (у) := у'(0) - Ну(0) = 0, V (у) := у'(п) + Ну(п) = 0, (2)