Влияние зазора в подшипниках крепления на конические прецессии неуравновешенного ротора Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 1

И. А. Пасынкова

ВЛИЯНИЕ ЗАЗОРА В ПОДШИПНИКАХ КРЕПЛЕНИЯ НА КОНИЧЕСКИЕ ПРЕЦЕССИИ НЕУРАВНОВЕШЕННОГО РОТОРА

Было установлено [1—4], что динамически (моментно) неуравновешенный жесткий ротор, укрепленный вертикально в нелинейных упругих опорах так, что его центр масс находится на равном расстоянии от опор, может иметь режим вращения, который представляет симметричную коническую прецессию. При этом движении центр масс остается неподвижным, а ось вращения ротора зачерчивает в пространстве поверхность прямого кругового конуса. Модель ротора представляла собой механическую систему с четырьмя степенями свободы. Наличие зазора в подшипнике не учитывалось, т. е. предполагалось, что ось ротора во все время движения находится в контакте с поверхностью подшипника. В [5] рассматривалась упрощенная модель гибкого статически неуравновешенного ротора с двумя степенями свободы. Исследовано прецессионное движение с учетом зазора в подшипниках. Предложенные ранее (см. [1, 3]) идеи и методы в данной работе развиваются на случай крепления ротора в подшипниках с зазором. Проводится сравнение с моделью ротора без учета зазора.

Рассматривается динамически симметричный ротор массы M и длины L, имеющий момент инерции относительно оси симметрии A и экваториальный момент инерции B. Под динамической (моментной) неуравновешенностью понимается угол S между осью динамической симметрии и осью вращения ротора (осью геометрической симметрии ротора). Предполагается, что податливость нелинейных упругих опор обладает центральной симметрией, в силу этого реакция опоры имеет только радиальную составляющую. Рассматривается существенно нелинейная зависимость реакции опоры от величины смятия в точке контакта, задаваемая формулой Герца. Кроме того, учитывается наличие зазора в подшипнике, величина которого равна ро. Предполагается, что ротор вращается с постоянной угловой скоростью ш, а смещение вдоль оси ротора считается пренебрежимо малым. В качестве обобщенных координат выбираются координаты центров опор в плоскостях, перпендикулярных оси вращения ротора в положении его равновесия.

В подшипнике с зазором (радиальным люфтом) ротор может совершать движения как находясь в контакте с подшипником, так и не имея такого контакта, поэтому сила реакции опоры предполагается кусочно-непрерывной и задается в виде

S-

pi=) co(\si\-Ро)3/2щ, если |^|>/90, ^

0, если \S\\ ^ ро,

где Si — смещение центра соответствующей опоры от равновесного положения (коплекс-ная переменная), а со —вещественная постоянная, характеризующая нелинейную упругость опоры. Кроме того, учитываются силы сопротивления, пропорциональные скорости движения центра опоры: Ri = -fj,vi, i = 1, 2.

© И. А. Пасынкова, 2005

Система дифференциальных уравнений движения ротора будет иметь вид (см. [6, 7])

М ••

— (Яг + Б2) + (Й! + Д2) + {Р1 + Р2) = О,

Т2 т2

В(Ё>2 - ¿1) - шА{Б2 - ¿1) + —(Д2 - Й1) + —(Р2 - Рг) = (2)

= (В — Л)и2Ь8ехр(шг).

Последовательно перейдем в системе (2) к безразмерному времени г = где с^о = 2со\/Ь5/М, и безразмерным относительным переменным (г = 1, 2). По существу задачи величины и зазор ро малы, поэтому в качестве характерного линейного размера возьмем величину Ь6, введем безразмерный зазор р = ро/(Ь6) и безразмерные относительные смещения центров опор = в^/ро.

Как и раньше, введем безразмерные параметры

Л , _ мь2 _ МЬ2 ^

В' А(В-А) - 4В(1-А)' ш0' о'

Параметры к и А всегда удовлетворяют соотношению к(1 — А) > 0. Следовательно, если ротор представляет собой динамически сжатое тело, то А > 1 и к < 0. Если ротор является динамически вытянутым телом, то А < 1 и к > 0.

Система (2) в новых переменных примет вид

«1 + «2 + ^(¿1 + ¿2) + (Р1 + Р2) = 0, «2 — «1 + (мк(1 — А) — {ПА)(в2 — ¿1)+к(1 — А)(р2 — Р1) = (4)

= -(1 - А)П2ехр (Шт), р

где точкой обозначено дифференцирование по безразмерному времени т. Безразмерные силы р^ определяются по формулам:

р, = ( о"2(М - 1)3/2Щ- ,5)

[ 0, если | | ^ 1.

Система (4) допускает решение вида

¿з = гз ехР (^ Фз) ехР ( ^ т), ] = 1, 2, (6)

где гз, Фз — вещественные постоянные и Г3 > 0. Это решение представляет собой прямую синхронную прецессию ротора, которая может быть гиперболоидальной, конической или цилиндрической. Характер прецессии можно установить по соотношению между фазами Фз. Для гиперболоидальной прецессии фазы могут быть произвольными, при равных фазах гиперболоидальная прецессия вырождается либо в цилиндрическую (если Г1 = Г2), либо в коническую (если Г1 = Г2) с вершиной конуса вне опор. Наконец, если фазы различаются на п, то будет иметь место коническая прецессия с вершиной конуса между опор, при этом соотношение между радиусами может быть любым.

Рассмотрим сначала систему без сопротивления, соответствующую движению с контактом, чтобы определить ситуации, «опасные» с точки зрения возникновения резонан-сов. Система без сопротивления также допускает решения вида (6). Подставим решение

(6) в систему (4), положив ¡л = 0, и разрешим ее относительно «комплексных амплитуд» гу ехр (1фз):

Г1 ехр (гф1) =--—, Г2ехр(гф2 =-т-. 7

р Д р Д

Здесь приняты следующие обозначения:

Д = А В2 + А2 Вь (8)

р1/2 р1/2 Л- = — (г, - I)3/2 - о2, В3 = кР— (г, - I)3/2 - П2. (9)

гз гз

Множество Д = А1 В2 + А2 В1 =0 в пространстве переменных (П, Г1, Г2) определяет резонансное множество или множество нелинейных резонансов. Если рассматривать симметричные прецессии, когда Г1 = Г2 = г, то это множество преобразуется к виду

Д = А1 В1 = (р1/2(г - 1)3/2 - г П2) (^р1/2(г - 1)3/2 - гП2) = 0. (10)

На плоскости (П2, г) это две исходящие из одной точки П = 0,г =1 непересекающиеся кривые. Вдоль одной из них (А = 0) «резонирует» цилиндрическая прецессия, вдоль другой (В = 0) — коническая.

Среди решений (6) системы (4) можно выделить решение вида в2 = —в1 = в, что соответствует симметричной конической прецессии ротора, когда его центр масс неподвижен, а центры опор движутся по окружностям одинакового радиуса. При этом первое уравнение в (4) обращается в тождество, а второе принимает вид

+ (цк(1 - А) - iQX)i + к( 1 - А)р = —(1 - А)П2 ехр (Шт), (И)

2р

решением которого будет функция в = г ехр(гф) ехр(гПт). Здесь г — безразмерная относительная амплитуда, а ф — безразмерная фаза смещения опоры в системе координат, вращающейся с угловой скоростью ротора.

Значение г =1 соответствует смещению центра опоры на величину, равную зазору в подшипнике, и переходу от движения без контакта к движению с контактом, или наоборот. При этом для движения ротора с контактом в подшипнике мы имеем уравнение, соответствующее ненулевому значению силы р, а для движения без контакта, когда величина смещения центра опоры меньше величины зазора, сила р = 0. Переход с одного уравнения на другое происходит при значении |в| = г = 1. После подстановки решения в (11) и несложных преобразований мы получим зависимости амплитуды и фазы симметричной конической прецессии от частоты, соответствующие двум режимам движения ротора, с контактом и без контакта. Удобно перейти к новым переменным (х, у) по формулам х = П2,у = г. Амплитудно- и фазово-частотные характеристики конической прецессии в переменных (х, у) будут

^(ху - куГр{у - 1 ){у - I))2 + к2р2ху2 = у> 1 (12)

у^х + к2р2 = ^, у^ 1 (13)

2 р

чф=--. (14)

ху ~ ¿VР\У ~ !||У ~ 1|

При увеличении частоты вращения ротора предельное значение амплитуды у, как следует из (12) и (13), отлично от нуля и равно уж = 1/(2р), как для движения с контактом, так и для движения без контакта. Это означает, что при большой угловой скорости вращения происходит самоцентрирование ротора, при этом ось динамической симметрии ротора стремится занять положение оси вращения ротора в равновесии. В зависимости от величины зазора это движение будет либо с контактом, либо без него. Если уж > 1, т. е. р < 1/2, то вращение ротора в состоянии, близком к центрированному, будет происходить с контактом в подшипнике. В противном случае самоцентрирование произойдет в состоянии без контакта. Если вернуться к размерным величинам, то неравенство р < 1/2 означает, что зазор в подшипнике меньше отклонения оси динамической симметрии ротора от оси его вращения в плоскости опоры.

На рис. 1 приведены АЧХ конической прецессии ротора с зазором (толстая линия) и без зазора (тонкая линия) при следующих значениях параметров: р = 0.4, к = 2.0, ¡л = 0.09. На правом рисунке представлены те же характеристики в крупном масштабе. Как видно, влияние зазора самым существенным образом сказывается при малых частотах. Так, если зазор мал (р < 1/2), то диапазон частот, в котором возможно движение без контакта, также мал. Координата точки перехода с одного типа движения на другой определяется по формуле х^ = 4 р2 ¡2 к2/(1 — 4 р2) и для данных значений параметров х^г = 0.0576. Кроме того, амплитуда прецессии ротора при движении с контактом существенно больше (левая ветвь АЧХ), хотя максимальное значение амплитуды несколько меньше, чем при вращении ротора в подшипнике без зазора, и «срыв» происходит при меньших значениях частот. Эта же особенность отмечена в работе [5].

Рис. 1.

В зависимости от параметров ротора возможны от одного до трех различных режима симметричной конической прецессии. Проведем исследование устойчивости по линейному приближению сначала для той части АЧХ, которая соответствует движению с контактом, т. е. для у > 1. Пусть безразмерной частоте вращения ротора П отвечают значения г, ф безразмерной амплитуды и фазы, причем г > 1. Введем для каждой опоры малые возмущения г^ и построим систему в вариациях, сохранив обозначения х = О2, у = г. Удобно ввести следующие обозначения:

Си = '¿г + - Ул/ха-г) - 2у^/хсц + р(у - 1) - х)ги

= уа-г + р{уЫг + \fxzi) + + (л/р(у - I)3 - ху)а

£зг = '¿г + ик(1 - А) (¿4 - У\[ха.г) + (А - 2)у0^/хд4 + з _

+ (1 — А ){-ку/р{у-1)-х)г^

Си = у&г + рк( 1 - А)(уо4 + \fxzi) + (2 - \)\[хгг + + (1-\)(ку/р(у-1)3 -ху)сц.

Тогда уравнения в вариациях запишутся следующим образом:

СЦ —С12 =0, £21 —С22 =0, С31 + С32 =0, СЦ + £42 =0. (15)

Характеристический полином системы (15) имеет восьмую степень, но как и в случае подшипников без зазора, приводится к произведению двух полиномов, каждый из которых имеет четвертую степень. Опуская промежуточные вычисления, выпишем эти полиномы:

М1 = аор4 + а1р3 + а2 р2 + азр + а4, ао = 1, а1 = 2р,

а2 = ^ (4х у + (5 у - 2)л//?(з/ - 1) + 2М2 у) , (16)

«з = ^ (4ху + (5у - 2)^(у - 1)) ,

1

2У

а4 = ~— ^(2х — Зу/р(у - 1 )){ху- Vхр(у - I)3) + 2р2ху) .

Здесь l = 1 — А и l > 0, так как рассматривается динамически вытянутый ротор:

M2 = bop4 + bip3 + b2p2 + b3p + 64, bo = 1, bi =2 pkl,

b2 = éi (2(1 + l2)xy + 2)vV(y-l)+ 2p2k2l2 y) , (17)

Uxy + ki(5y_2)y/p{y-lj) , 2 y V /

64 = i(2x - 3Л vV(y -l))(xj,-fc vV(y - l)3) + 2k2p2 xy) . 2y

Как и для ротора без зазора, устойчивость различных режимов конической прецессии определяется знаком коэффициентов 04 и b4. Все остальные коэффициенты полиномов Mi, M2 и определители Рауса—Гурвица первого порядка всегда положительны. Определители Рауса—Гурвица второго порядка имеют вид

det2(Mi) = ^-{Ау{х + р2) + с) >0, (18)

2y

k l

det2(M2) = ^—(Aly(x + p2k2) + kc) >0, (19)

2y

где использовано обозначение с = (5 у — 2) \/р(у — 1) и учтено, что у > 1 и / = 1 — А>0. Определители Рауса—Гурвица третьего порядка приводятся соответственно к виду

ёе^(М!) = (¿ + 4ус(4х + р2)) > О,

4у2

detз(M2) =

12к313 4у2

(к/ё + 4 у с ((1 + I)2 х + к2 I2 ¡л2)) > 0,

(20) (21)

где использовано обозначение ё = р(у3 — 1) + 3р(у2 — 1).

Определители Рауса—Гурвица четвертого порядка равны соответственно det4(Ml) = а4 detз(Ml), det4(M2) = 64 detз (М2), т.е. условия Рауса—Гурвица нарушаются только когда а4 < 0 или 64 < 0.

Рис. 2.

На рис. 2 показаны ассимптотически устойчивые (толстая линия) и неустойчивые (тонкая линия) участки АЧХ, построенной при тех же значениях параметров. Пунктирными линиями проведены границы выполнения условий устойчивости Рауса—Гурвица а4 =0 и 64 = 0, которые представляют собой криволинейные гиперболы. Одна из асимптот для а4 = 0 — это нелинейный резонанс Л\ = 0 из (10), а для 64 = 0 асимптотой является нелинейный резонанс В1 = 0, т. е. неустойчивость возникает в зоне влияния нелинейных резонансов. Неустойчивость участков в диапазоне а4 < 0 левой ветви и в диапазоне 64 < 0 правой ветви АЧХ имеет различный характер. Так, при 64 =0 (вблизи резонанса для конической прецессии) наблюдается классическое явление «срыва» и при этом характер прецессии (симметричная коническая) сохраняется. Неустойчивость при а4 < 0 (вблизи резонанса для цилиндрической прецессии) приводит к качественному изменению характера движения. В этом диапазоне частот вовлекается в движение центр масс ротора, и прецессия перестает быть конической. Такое явление качественного изменения характера движения носит название «пространственной неустойчивости» (по терминологии [8]). Для разных значений параметра к взаимное расположение нелинейных резонансов может быть разным, и явление пространственной неустойчивости может иметь место как в докритическом диапзоне частот (рис. 2), так и в закритиче-ском.

Можно предположить, что коническая прецессия ротора при вращении без контакта не будет асимптотически устойчивой. И действительно, характеристический полином

2

системы линейного приближения в этом случае имеет вид

Р = Р Р2 Рз, (22)

где полиномы

Р! = (р2 + х)2, Р2 = р2 + 2/р + X + /2, Рз = р2 + 2/к(1 - \)р +(1 - Л)2 (х + I2 к2) (23)

имеют чисто мнимые корни.

Рис.

Что касается динамически сжатого ротора (Л > 1), то вращение с контактом возможно только при малых зазорах (р < 1/2), причем резонанса не будет ни прика-ких значениях частоты, так как tg ф всегда ограничен, что следует из формулы (14). На рис. 3 приведена АЧХ конической прецессии динамически сжатого ротора при р = 0.4,к = -2.0,/ = 0.09 для значений у > 1. Кривая асимптотически стремится к своему предельному значению у^ = 1/(2 р). Исследование устойчивости показало, что при всех частотах имеет место асимптотическая устойчивость, за исключением очень узкого диапазона малых частот, когда при очень малых значениях р может возникнуть пространственная неустойчивость. Если зазор р > 1/2, то ротор при своем вращении не имеет контакта с подшипником, и такая прецессия не является асимптотически устойчивой.

Аналогичные результаты справедливы для цилиндрической прецессии статически неуравновешенного ротора.

Summary

I. A. Pasynkova. An influence of bearings clearance on the rigid unbalanced rotor conical precessions.

The existence, characteristics and stability of the conic precessions of a rigid dynamically unbalanced rotor supported by bearings with radial clearance are investigated. It is assumed that the restoring forces are non-linear and vary according to the Hertz formula and the resistance forces are linear functions of velocity. The resonance curves are obtained and compared with the characteristics like these in the case with non-clearance bearings. The stability conditions are obtained with the Hurwitz criteria.

Литература

1. Пасынкова И. А. Прецессии жесткого неуравновешенного ротора в нелинейных упругих опорах // Проблемы и перспективы прецезионной механики и управления в машиностроении: Материалы международной конференции. Саратов. 1997. С. 83-85.

2. Пасынкова И. А. Гиперболоидальная прецессия ротора в нелинейных упругих опорах // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1997. Вып. 4 (№22). С. 88-95.

3. Пасынкова И. А. Устойчивость конической прецессии жесткого неуравновешенного ротора // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1998. Вып. 1 (№1). С. 82-86.

4. Архипова И. М., Пасынкова И. А. Исследование прецессионного движения неуравновешенного ротора // В сб.: Вторые Поляховские чтения: Избранные труды. СПб. 2000. С. 65-72.

5. Pascal M. Non linear vibrations of an unbalanced rotor with radial clearance // Третьи Поляховские чтения: Избранные труды. СПб. 2003. С. 123-131.

6. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М., 1959. 440 с.

7. Кельзон А. С., Циманский Ю.П., Яковлев В. И. Динамика роторов в упругих опорах. М., 1982. 280 с.

8. Ганиев Р. Ф., Кононенко В. О. Колебания твердых тел. М., 1976. 432 с.

Статья поступила в редакцию 27 мая 2004 г.