Потеря устойчивости конических прецессий неуравновешенного роторав квазилинейных упругих опорах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.36:534.1

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 2

И. А. Пасынкова

ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ КОНИЧЕСКИХ ПРЕЦЕССИЙ НЕУРАВНОВЕШЕННОГО РОТОРА В КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ ОПОРАХ

Введение. Вопросы динамики неуравновешенного жесткого ротора с четырьмя степенями свободы исследовались в [1—5]. Явное представление прецессионного движения оси ротора получено в [1] для статически и динамически неуравновешенного жесткого ротора, укрепленного в линейных упругих опорах. В [4-5] для полностью уравновешенного ротора в нелинейных упругих опорах получены параметры цилиндрической и конической прецессии, при этом силы сопротивления не учитывались. В работах [69] было установлено, что ось динамически неуравновешенного ротора, симметрично (центр тяжести расположен в середине между опорами) укрепленного в нелинейных упругих опорах, может совершать движение по типу прямой синхронной симметричной конической прецессии, когда центр масс неподвижен, а концы оси ротора (шипы) движутся по окружностям одинакового радиуса. Была построена зависимость радиуса окружности от угловой скорости вращения и определены границы асимптотически устойчивых и неустойчивых режимов. В данной работе изучается движение ротора в диапазонах угловых скоростей, где имеет место неустойчивость. Так как прямой синхронной прецессии ротора соответствует состояние равновесия во вращающейся системе координат, стоит задача изучения однопараметрической бифуркации состояния относительного равновесия [10-11].

Уравнения движения. Рассматривается динамически симметричный жесткий ротор, который приводится во вращение двигателем, способным поддерживать постоянную угловую скорость вращения ш. Если пренебречь перемещением ротора вдоль оси вращения, то ротор можно рассматривать как механическую систему с четырьмя степенями свободы. В качестве обобщенных координат можно выбрать декартовы координаты и; , (у = 1, 2) каждого шипа в плоскости, перпендикулярной оси подшипников. Пусть ротор имеет массу М и длину Ь, момент инерции относительно оси динамической симметрии равен А, а экваториальный момент равен В. Ротор моментно неуравновешен и его динамический эксцентриситет равен 6. Относительно нелинейных упругих опор будем предполагать, что их податливость обладает центральной симметрией и зависимость силы реакции опоры от смещения шипа является квазилинейной с кубической нелинейностью. В этом случае реакция опоры имеет только радиальную составляющую Е = — (ао + а\ ^\2)Б;, (у = 1, 2). Здесь Б; = и; + гу; —смещение центра соответствующего шипа от равновесного положения, г2 = —1, а ао, а\ —коэффициенты, характеризующие упругость опоры. Кроме того, учитываются силы внешнего сопротивления, пропорциональные абсолютной скорости движения шипа, = —¡1еБ], а также силы внутреннего сопротивления, пропорциональные относительной скорости [12, 13]: Д ;0 = — — гшББ), (у = 1, 2).

Уравнения вращения ротора в безразмерной форме по отношению к комплексным переменным будут иметь вид [8-9]

«1 + '¿2 + (Це + Мг)(«1 + ¿2) — г П ^(¿1 + 82) + +в1(1 + с\в1\2) + в2(1 + с\в2\2) = 0,

© И. А. Пасынкова, 2005

«2 - «1 + ((Ре + Рг)к I - гОА)(.?2 - ¿1) - (1)

-г О ргк I (¿2 - ¿1) + к1 (¿2 (1 + С ¿2 |2) - ¿1 (1 + С |в 112 )) = = ^Ш2 ехр(г (Г2 т)).

Дифференцирование проводится по безразмерному времени т = шо Ь, где ш2 = 2 ао /М, ¿з = / (Ь6) и О = ш/шо. Остальные параметры, которые можно назвать конструктивными, имеют следующий смысл:

МЬ2 Л А , Л 4Ь262а1

к = 1Щ=АУ Л=Б' < = 1"А' (2)

Безразмерные коэффициенты сопротивления суть ре = 2ре/(Мшо), рг = 2рг/(Мшо). Система (1) допускает решение вида

¿з = ехр (гфз-)ехр(г О т), ] = 1, 2, (3)

где Кз, фз —вещественные постоянные и Дз > 0. Это решение представляет собой прямую синхронную прецессию, которая при ¿1 = -¿2 (что возможно при Д1 = Д2 и ф2 = ф1 + п) будет симметричной конической прецессией. При Д1 = Д2 это будет несимметричная гиперболоидальная прецессия. В системе координат, вращающейся с угловой скоростью О, этим движениям отвечают состояния равновесия. Подставим решения (3) в (1), получим линейную неоднородную систему алгебраических уравнений относительно ехр (гфз), разрешим ее, предварительно перейдя к обозначениям х = О2,

Уз=Щ'-

ехр(^) = ехр(гЫ = х^ + ^УЭ (4)

у1Дгез у<2ДтеБ

где Аз = 1 + суз - X, Вз = к( 1 + суз) - х, Дгез = Д - 2 к р2ех + % реу^х((к А2 + В2) + (к А1 + В1)) =0.

Множество Д = А1В2 + А2 В1 = 0 определяет в пространстве {у1,у2,х} (у1 € Д+,У2 € Д+,х € Д+) множество нелинейных резонансов. Это множество недостижимо ни при каких значениях угловой скорости вращения динамически и статически неуравновешенного ротора и, как будет показано позже, вблизи него происходит потеря устойчивости установившихся движений.

Рассмотрим сначала стационарные движения, соответствующие симметричной конической прецессии, когда у1 = у2 = у и ф1 = ф, ф2 = ф + п. При этом множество Д = 0 вырождается в А1 В1 = 0, которое представляет собой две прямые (1 + су - х) (к (1 + су) - х) =0. Амплитудно- и фазово-частотные характеристики имеют вид:

^у{В2+к2р2ех)-\х = 0, = (5)

Обратим внимание на то, что все полученные до сих пор величины, как то ехр(гфз-), ДгеБ, Д, амплитудно- и фазово-частотные характеристики, не зависят от коэффициента внутреннего сопротивления рг. Кроме того, имеет место самоцентрирование жесткого ротора. Предельное значение у-т[ = 1/16 при х ^ ж. Если вернуться к размерным величинам, то это означает, что ротор вращается таким образом, что его ось динамической симметрии стремится занять положение, совпадающее с осью подшипников.

На рис. 1 приведена амплитудно-частотная характеристика симметричной конической прецессии динамически вытянутого ротора (А < 1,к > 0) для следующих значений конструктивных параметров к = 1.6, I = 0.3, с = 0.5 и коэффициентов сопротивления ¡¡е = 0.23, 1 = 0.3. В [9] было проведено исследование устойчивости по линейному приближению. Система (1) в линейном приближении разделяется на две независимые подсистемы, поэтому характеристический полином восьмого порядка представляется в виде произведения двух полиномов четвертого порядка М и N. Границы потери устойчивости определяются появлением нулевых и чисто мнимых корней, что соответствует обращению в ноль свободных членов этих полиномов и определителей Гурвица третьего порядка.

Рис. 1.

Границы перехода через нулевые корни имеют вид [9]

т4 = А1 (1 + 3су — х) + ¡1 х = 0, (6)

П4 = Бг (к(1 + 3су) — х) + к2¡2х = 0, (7)

где т4, п4 — свободные члены характеристических полиномов. На плоскости (х,у) это гиперболы, асимптотами которых являются прямые нелинейных резонансов А1 = 0, В1 =0 и прямые 1 + 3су — х = 0, к(1 + 3су) — х = 0, которые ограничивают зону влияния резонансов.

В [9] показано, что без учета внутреннего трения все коэффициенты характеристических полиномов, кроме т4, п4, и все определители Гурвица вплоть до третьего порядка положительны для всех х > 0, т. е. потеря устойчивости может происходить только в результате перехода через нулевые корни характеристического определителя и, как следствие, получено, что режим самоцентрирования ротора при больших угловых скоростях является асимптотически устойчивым.

При наличии внутреннего трения отрицательными могут быть коэффициенты при линейных членах характеристических полиномов, а также определители Гурвица третьего порядка. Для этого достаточно, чтобы выполнялось условие 1 > шах(^е, I ¡е). Тогда коэффициенты тз и пз отрицательны при достаточно больших значениях х и ограниченных значениях у. Кроме того, при т4 > 0 и п4 > 0 неравенства т3 < 0, п3 < 0 влекут за собой неравенства Д3 (М) = —т2 т4 — т2 т0 + т1 т2 т3 < 0 и Д3 N) = —п2 п4 — п2 п0 + п1 п2 п3 < 0, т.е. на больших угловых скоростях режим самоцентрирования ротора становится неустойчивым.

На рис. 1 построены также границы перехода через нулевые корни т^ = 0, п4 = 0 и через чисто мнимые корни Д3(М) = 0 (штриховые линии). Граница перехода через

чисто мнимые корни имеет вид

Дз(М) = с2 у2 + 2су(Ах + М2) - (4* + м2) ж — = 0, (8)

где 1 = ¡е + ¡г. При х > 0,у > 0 эта кривая есть часть ветви гиперболы, которая с большой точностью аппроксимируется своей асимптотой

Для заданных параметров имеем Д3^) > 0, 43 > 0 для всех х. Участки асимптотически устойчивых режимов на рис. 1 отмечены жирной линией.

Параметры выбраны таким образом, чтобы неустойчивые режимы на амплитудной кривой были отделены друг от друга. Рассмотрим неустойчивые участки.

«Срыв» амплитуды. В [8, 9] было отмечено, что неустойчивость для частот, где п4 > 0 (рис. 1), и в других диапазонах имеет различный характер. На границе «.4 = 0 потеря устойчивости происходит за счет слияния устойчивого и неустойчивого состояний равновесия. Такая бифуркация носит «жесткий» характер [11], и, действительно, в точках, где п4 = 0, имеет место классический «скачок» или «срыв» амплитуды. При этом тип вращения — симметричная коническая прецессия с неподвижным центром масс — сохраняется. Неустойчивый участок амплитудно-частотной характеристики разделяет области притяжения соответствующих устойчивых режимов.

«Пространственная» неустойчивость. В диапазоне частот, соответствующем т4 > 0, имеет место «пространственная» неустойчивость [14], при этом возбуждается движение центра масс, и ротор может совершать самые разные вращения. Это зависит от того, каким образом происходит потеря устойчивости или бифуркация.

Для выбранных параметров, когда нет пересечения участков неустойчивости, на восходящем участке амплитудной кривой от начала и вплоть до точки срыва все коэффициенты характеристических полиномов М, N, кроме т.4, и все определители Гурви-ца вплоть до третьего порядка положительны [9]. В точках пересечения амплитудной кривой и кривой т4 = 0 происходит переход через простой нулевой корень. Потеря устойчивости носит «мягкий» характер, устойчивое состояние равновесия превращается в неустойчивое с одновременным отделением двух устойчивых состояний равновесия. Как отмечается в [11], такие бифуркации часто встречаются в динамических системах с симметрией. Действительно, в этом диапазоне частот прецессия ротора становится несимметричной гиперболоидальной, т. е. опоры ротора и его центр масс движутся по окружностям разных радиусов, но при этом прецессия остается прямой и синхронной.

Из свойства | ехр(г(^2 — ^ч))| = 1 получим, что параметры прямой синхронной прецессии должны удовлетворять соотношению

[А2 + А2 + А1А2 + (х — 1) (А1 + А2) + ¡2 х] (у2 — уг) = 0. (10)

В пространстве переменных {х,уг,у2} уравнение (10) задает интегральное множество, которому только и могут принадлежать состояния относительного равновесия системы (1). Это множество представляет собой плоскость уг = у2 и поверхность, симметричную относительно этой плоскости и такую, что ее сечение плоскостью (у, х), где у = уг = у2 есть гипербола

(1 + су — х)(1 + 3 су — х) + ¡¡2х = 0. (11)

При fie =0 гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, которые являются ее асимптотами. Сечение поверхности (10) плоскостью x = const при ¡ie = 0 представляет собой эллипс с осью, направленной по биссектрисе yl = y2, и касающийся осей yl и y2, и биссектрису первого координатного угла. При x = 1 эллипс вырождается в точку, а при x < 1 — в пустое множество. При ¡ie = 0 сечение поверхности (10) есть также биссектриса и эллипс, расположенный внутри эллипса, построенного для ¡ie = 0.

На рис.2 сечения построены для x = 2.21. Штрих-пунктирная линия соответствует ¡ie = 0. Состояния равновесия, соответствующие симметричной конической прецессии, принадлежат плоскости yl = y2. Для конкретной частоты радиусы орбит шипов находятся как точки пересечения кривой (10) и кривой, получаемой из условия | exp(i^l)| = 1 (или | exp(i^2)| = 1) (отмечена тонкой линией).

Показаны состояния равновесия. Неустойчивое находится на биссектрисе, а два устойчивых расположены симметрично относительно биссектрисы. Условие (6) перехода через нулевой корень и условие (11) ветвления интегрального множества (10) совпадают.

Рис. 2.

Фазы несимметричных прецессий удовлетворяют соотношению

tg(^2 - Vi) =

Цел/хс{у2 ~ Vl) А1 + /¿2 ж

= 0,

следовательно, это прецессии гиперболоидального типа.

Автоколебания. При переходе параметра х через границу появления пары чисто мнимых корней (8) потеря устойчивости (бифуркация) может быть одного из двух типов [10, 11], в зависимости от знака ляпуновского показателя. Бифуркация может иметь «мягкий» характер, когда потеря устойчивости сопровождается отделением устойчивого предельного цикла. Характер бифуркации может быть «жестким», когда потеря устойчивости происходит вследствие слияния с существовавшим ранее неустойчивым предельным циклом. Интегрирование системы (1) показывает, что имеет место «мягкое» возбуждение автоколебаний. Для выбранных значений конструктивных параметров точка амплитудной кривой, где появляется пара чисто мнимых корней, имеет координаты х = 3.739, у = 0.197 (рис. 1). На рис. 3 для значения х = 5 (или О, = у/Ъ) построен предельный цикл на плоскости (Д1 ,Д 1) восьмимерного фазового пространства (отмечен жирной линией). Предельный цикл для Д2, т. е. для второй опоры, имеет точно такой же вид. На рис. 4 приведен предельный цикл для разности фаз ф\ - ф2. Эти графики соответствуют двадцати оборотам ротора в установившемся режиме (после 180 оборотов).

На рис. 5 приведены зависимости от времени радиуса центра масс и радиуса одного из шипов (интервал времени на графике в точности соответствует одному обороту ротора). Отсюда можно заключить, что автоколебания представляют собой сложение высокочастотных, близких к гармоническим, колебаний центра масс с малой амплитудой около некоторого среднего значения и конических колебаний относительно центра масс с частотой в два раза меньшей. Численный эксперимент показал, что с увеличением угловой скорости ротора происходит значительное увеличение частоты колебаний

о

Рис. 5.

центра масс, а также увеличение среднего значения радиуса центра масс, уменьшение амплитуды колебаний центра масс, и малое изменение конической раскачки относительно центра масс, т. е. по характеру движения автоколебания приближаются к цилиндрической прецессии, причем угловая скорость этой прецессии возрастает. Так для угловой скорости вращения ротора = л/20 (соответствующее х = 20) имеем, что частота колебаний центра масс достигает значения 44.5, радиус центра масс изменяется в пределах 3.01 < г с < 3.21, отклонение шипов центра масс |К3 — гс 0.7, а разность фаз ф1 — ф21 < 0.96.

При изучении статически неуравновешенного ротора [15], укрепленного в квазилинейных упругих опорах, в рамках модели ротора с двумя степенями свободы автор предложил приближенный способ отыскания автоколебаний. Следуя этой идее, будем искать автоколебания в виде

83 = гз ехр(г (ит + Ф)) + Кз ехр(г (^г + Фз)), (12)

где Гз ,Яз, фз,ф,и — неизвестные величины. Представление автоколебаний в таком виде позволяет выделить в решении с неизвестным периодом составляющую, имеющую период внешней возмущающей силы. После подстановки (12) в (1) и усреднения по периоду 2п/(& — и) получим приближенные уравнения относительно неизвестных Г3, К3, Ф3,и. Эти уравнения не будут зависеть от ф. Естественно предположить, что потеря устойчивости прямой синхронной симметричной конической прецессии происходит за

счет возбуждения движения центра масс ротора. В таком случае установившийся режим автоколебаний будет представлять собой гиперболоидальную прецессию сложной структуры, как результат сложения цилиндрической прецессии с частотой и и конической прецессии с частотой возмущающей силы О. Это предположение соответствует следующим условиям:

Г1 = Г2 = Г, Й1 = К 2 = К, ф1 = ф2 + п = ф. (13)

Тот факт, что усредненные уравнения не зависят от ф, показывает, что величина фазы цилиндрической прецессии не существенна и может быть выбрана произвольно. Для определения неизвестных и, г, К, ф получим следующие приближенные уравнения:

(14)

(le + Hi ) W - Hi Q = 0, с (r2 + 2R2) + 1 - w2 = 0,

R (к с (2r2 + R2) +k - w2) sin(p) + кнеRQcos(p) = 0, R (кс (2 r2 + R2) + к - w2) cos(p) - 2 kHeRQsin(p) = Q2/4.

Из первого уравнения системы (14) находим

•■- № О. (15)

Не + Н

Из третьего и четвертого уравнений (14) исключим ф и получим систему двух уравнений относительно г, К, затем определим tg(ф). На рис. 3 тонкой линией построен предельный цикл, соответствующий значениям г, К, ф и и, найденным из уравнений (14). На рис. 5 пунктирной линией построена зависимость от времени отклонения конца оси ротора от равновесного положения, вычисленная по формуле

Д = л/г2 + R2 +2rR сов((П - ш)г + 1р). (16)

Наблюдается достаточно хорошее совпадение точного и приближенного решений для максимальных значений отклонений, что наиболее важно. Следует, однако, отметить, что с ростом О точность приближенных значений падает.

Вопросы нахождения автоколебаний в такой же постановке затронуты в [16]. На рис. 3 пунктирной линией построен предельный цикл по приближенным уравнениям для величин г, К, ф и и из работы [16].

Summary

I. A. Pasynkova. Stability loss of conical precessions of an unbalanced rotor supported in quasilinear elastic bearings.

The one-parameter problem of a conical precession bifurcation is investigated. A rigid rotor is assumed to be dynamically unbalanced. The restoring forces are quasi-linear with cubic nonlinear terms. It is shown that the bifurcations could be «hard» (amplitude jump) and «soft» with changing a conical type of precession to hyperboloidal one. It is shown also that under the influence of an internal friction super-critical Hopf bifurcation could take place. The approximate formulae for limit cycles are given and compared with the results of the numeric computations.

Литература

1. Timoshenko S. P. Vibrations Problems in Engineering. Toronto, 1955. (В пер.: Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М., 1959. 440 с.)

2. Кельзон А. С. Самоцентрирование и уравновешивание жесткого ротора, вращающегося в двух упругих опорах // Докл. АН СССР. 1956. Т. 110, №1. С. 31-33.

3. Кельзон А. С., Циманский Ю.П., Яковлев В. И. Динамика роторов в упругих опорах. М., 1982. 280 с.

4. Кельзон А. С., Меллер А. С. Динамика статически неуравновешенного ротора в подшипниковых опорах // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318, №1. С. 69-72.

5. Меллер А. С. Динамика высокооборотных роторных машин. Автореферат дисс. канд. физ.-мат. наук. СПб., 1997, 16 с.

6. Пасынкова И. А. Прецессии жесткого неуравновешенного ротора в нелинейных упругих опорах // Проблемы и перспективы прецезионной механики и управления в машиностроении: Материалы международной конференции. Саратов, 1997. С. 83-85.

7. Пасынкова И. А. Гиперболоидальная прецессия ротора в нелинейных упругих опорах // Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 1. 1997. Вып. 4 (№22). С. 88-95.

8. Пасынкова И. А. Устойчивость конической прецессии жесткого неуравновешенного ротора // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1998. Вып. 1 (№1). С. 82-86.

9. Архипова И. М., Пасынкова И. А. Исследование прецессионного движения неуравновешенного ротора // Вторые Поляховские чтения: Избранные труды. СПб., 2000. С. 65-72.

10. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1978. 304 с.

11. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М., 1987. 424 с.

12. Диментберг Ф. М. Изгибные колебания вращающихся валов. М., 1959. 248 с.

13. Болотин В. В Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М., 1961. 339 с.

14. Ганиев Р. Ф., Кононенко В. О. Колебания твердых тел. М., 1976. 432 с.

15. Tondl A. Some Problems of Self-Exited Vibrations of Rotors. Praha, 1974. (Пер.: Тондл А. Автоколебания механических систем. М., 1979. 429 с.)

16. Архипова И. М. Установившиеся движения жесткого неуравновешенного ротора в нелинейных упругих опорах // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 4. С. 551-558.

Статья поступила в редакцию 14 октября 2004 г.