CC BY
70ВЛИЯНИЕ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ НА ДИНАМИКУ ЛЕГКОГО ТЕЛА ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ЦИЛИНДРЕ
Ник Козлов
Пермский государственный педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24
Экспериментально исследуется влияние вязкости жидкости на вибрационный гидродинамический волчок [1] - вибрационное возбуждение дифференциального вращения легкого твердого тела, центрифугированного во вращающейся полости с жидкостью. Рассматривается случай гравитационного возбуждения движения тела относительно полости, вращающейся вокруг горизонтальной оси. При этом вынуждающей колебания тела является сила тяжести, вектор которой вращается в системе отсчета полости. Повышение вязкости приводит к снижению интенсивности вращения тела и одновременно повышает устойчивость центрифугированного состояния. Сравнение экспериментальных результатов с теоретическими [2] показывает их согласие.
Ключевые слова: легкое тело, вязкая жидкость, вращение, вибрации, инерционные волны.
ВВЕДЕНИЕ
Вращающиеся системы, включающие несколько фаз различной плотности, обладают интересными инерционными свойствами. В частности, в горизонтальной цилиндрической полости, содержащей две несмешивающиеся среды и вращающейся вокруг собственной оси, на границе раздела под действием осциллирующей в системе отсчета полости силы возникает инерционная волна, распространяющаяся в азимутальном направлении. В случае твердого неде-формируемого тела волна вызвана его круговыми колебаниями. При этом ось тела, смещенная радиально относительно оси полос-
© Козлов Ник, 2009
ти, движется по окружности с частотой колебаний вынуждающей силы 0.0!с (рис. 1). В результате распространения азимутальной волны в колеблющихся вязких пограничных слоях формируется средняя массовая сила, сонаправленная с распространением волны [3].
Рис. 1. Круговые колебания тела в системе отсчета полости; 0.ос - частота осцилляций внешнего поля в неинерциальной системе отсчета
В [1] описано возбуждение интенсивного дифференциального вращения легкого тела во вращающейся полости, эффект, названный вибрационным гидродинамическим волчком. Вращение тела происходит за счет силового поля а, осциллирующего в системе отсчета полости с частотой 0.0!с (рис. 1). Это может быть поле силы тяжести, совершающее вращение относительно полости, или поле сил инерции, связанное с вибрациями полости. В первом случае колебания тела происходят с частотой вращения полости. Во втором случае частота колебаний тела отличается от частоты вращения, при этом возможно резонансное возбуждение интенсивных инерционных колебаний тела и, как следствие, его движения. По своей интенсивности это движение превосходит гравитационное. Вращение тела относительно полости объясняется действием средней массовой силы, формирующейся в вязких пограничных слоях. Эта сила имеет вибрационную природу, поскольку связана с колебаниями тела.
В рассматриваемой работе изучается влияние вязкости жидкости на гидродинамический волчок в случае гравитационного возбуждения колебаний тела относительно полости.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Схема экспериментальной установки показана на рис. 2. Прозрачная цилиндрическая кювета 1 с помещенным внутрь твердым телом 2 устанавливается на столике 3 и заполняется жидкостью. С помощью шагового двигателя 4 и посредством гибкой передачи 5 кювета приводится во вращение. Скорость вращения полости /г изменяется от 0 до 20 об/с.
а
і
і
5
: | 2 4
I 1 )
3
Рис. 2. Постановка задачи
Легкое тело имеет цилиндрическую форму и располагается в полости свободно, его торцы не соприкасаются с торцами полости.
В эксперименте размеры тела и полости варьируются, их характеристики приведены в Таблице. Длина тела изменяется при постоянном диаметре 2Я1 = 3.0 см; плотность тела рі = 0.54 г/см3. В качестве характеристики используется относительная длина тела I' ° I / (Я2 - Я1).
Таблица
Длина полости Ь, см Диаметр полости 2Я2, см Длина тела 1, см Относительная длина тела 1'
1 7.2 5.0 6.8 3.9
2 9.9 6.2 9.3 9.3
3 33.2 5.0 31.4 31.4
Диапазон вязкости рабочих жидкостей (вода и водоглицериновые смеси различной концентрации) изменяется в интервале V = 1 - 50 сСт, плотность жидкости рь при этом изменяется от 1 до 1.20 г/см3. Вязкость жидкости измеряется при помощи капиллярного вискозиметра, температура окружающей среды контролируется в ходе опыта.
В эксперименте задается и контролируется скорость вращения полости; для каждого ее значения определяется интенсивность вращения тела. В случае быстрого вращения измеряется скорость тела / в лабораторной системе отсчета методом синхронизации частоты мерцаний стробоскопа с частотой вращения тела. При медленном вращении измеряется период обращения тела в системе отсчета полости при помощи секундомера в стробоскопическом освещении с частотой /.
2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТА
По достижении критического значения скорости вращения полости / тело переходит в центрифугированное состояние и занимает устойчивое положение в центральной части полости параллельно ее оси. При этом тело вращается с постоянной скоростью /, меньшей скорости /. В системе отсчета полости скорость тела А/ ° / — / отрицательна (рис. 3).
Рис. 3. Зависимость скорости тела в системе отсчета полости от скорости вращения последней при п= 1.0 (1), 6.0 (2) и 47.8 сСт (3); I' = 9.3
С повышением / разность скоростей А/ уменьшается, и при очень быстром вращении приближается к нулю. При повышении вязкости жидкости точки смещаются к оси / (скорость тела по-
нижается). При этом порог обвала центрифугированного состояния снижается. Так, для V = 1.0 сСт критическое значение частоты вращения составляет / = 7.5 об/с, для п = 6.0 сСт - / = 5.9 об/с (рис. 3, точки 1, 2).
В случае малой вязкости (точки 1) вблизи значения скорости вращения /г = 25 об/с на кривой виден прогиб в сторону большей интенсивности движения тела, который не является результатом погрешности измерений. Это будет обсуждаться ниже.
При большой вязкости (точки 3), во-первых, пороги центрифугирования и обвала выражены нечетко, во-вторых, торцы тела и полости начинают взаимодействовать: тело смещается вдоль оси вращения и «прилипает» к торцу полости. Такая потеря свободы делает невозможным дифференциальное вращение тела и затрудняет проведение эксперимента. В определенном диапазоне значений / с проблемой удается справиться методом вибрационной стабилизации положения тела: в случае резонансных колебаний, вызванных вибрациями, тело занимает центральное вдоль оси положение. Затем вибрации выключаются и проводятся измерения в условиях гравитационного воздействия.
При понижении скорости вращения полости для жидкости любой вязкости характерно повышение амплитуды колебаний тела. В предобвальном состоянии его положение в центральной части полости становится неустойчивым, наблюдаются автоколебания. В первом случае (при большей скорости вращения полости) амплитуда круговых колебаний тела периодически возрастает, одновременно с этим возрастает частота колебаний. Возникает ощущение интенсивных пульсаций тела. Затем система возвращается в стационарный режим. При дальнейшем понижении / эти колебания приобретают еще и нутационную составляющую. Определение А/, являющейся средней величиной, в этих условиях невозможно.
Зависимость |А/| (V) при постоянном значении / имеет вид
степенной функции А/ □ Vй с показателем степени п»-0.5 (рис. 4). С повышением / величина |А/| понижается. При вязкости 1.0 сСт точки 2, 3 отклоняются от общей зависимости в область большей интенсивности движения. Это связано с близостью прогиба (см. точки 1 на рис. 3). При скорости вращения / = 17.0 об/с отклонение больше, чем при / = 15.0 об/с.
Рис. 4. Зависимость интенсивности дифференциального вращения тела от вязкости при /г = 12.0 (1), 15.0 (2) и 17.0 об/с (3)
3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Вибрационный момент
В качестве характеристики эффективности воздействия на тело может быть использован средний момент вибрационных сил МуЬ , приложенный к единице его длины. Поскольку тело вращается с постоянной скоростью, момент вибрационных сил уравновешивается моментом сил вязкого трения [4]:
. аок? к2?
(3.1)
где АО = 2пА/ . При этом не учитывается искажение профиля скорости в пограничных слоях Стокса, т.е. последние полагаются тонкими по сравнению с толщиной коаксиального зазора К? - Я1. Считается, что в среднем ось тела совпадает с осью полости; амплитуда его колебаний полагается малой.
На рис. 5 приведена зависимость абсолютной величины среднего момента вибрационных сил от безразмерной частоты колебаний жидкости ю = Омс (К? - К1)2/ V , где Оос - частота колебаний тела
относительно полости (в нашем случае Омс = —Ого/). Выражение (3.1) соответствует случаю высоких значений ю, поэтому момент, рассчитанный таким образом для низкой безразмерной частоты, неизбежно отличается от действительного и позволяет лишь оценить его величину.
Рис. 5. Зависимость вибрационного момента (на единицу длины) от безразмерной частоты колебаний для V = 1.0 (1), 2.7 (2), 6.0 (3), 27.7 (4) и 47.8 сСт (5); /' = 9.3
Величина момента вибрационных сил понижается с увеличением Ю, при различных значениях вязкости жидкости это происходит подобным образом по степенному закону Кй| а Ю-25.
В линейной теории получено выражение для среднего вибрационного момента, приложенного к единице длины тела в приближении высоких безразмерных частот (тонких пограничных слоев) [2]. В системе отсчета полости вибрационный момент записывается как (за положительное выбрано направление вращения полости):
= -2ррх) й2о2.. (3.2)
В выражение (3.2) входят толщина пограничного слоя Стокса 5 = ЛУ2П7оОГ , относительный радиус тела К ° К1 / К2, амплитуда
колебаний тела Ь = (1/2)ГК1(1 -р)(1 - К2) [5, 2], где Ого( - угловая скорость вращения полости, Г = g / Яф2Г0, - безразмерное гравитационное ускорение.
Подстановка выражений для Ь , 5 и Г в (3.2) дает:
Выделяя размерность момента, приложенного к единице длины тела,
находим выражение для безразмерного момента вибрационной силы, действующей на легкое тело:
Экспериментальные результаты, полученные при различной вязкости жидкости, удобно сравнивать, используя безразмерный ком-
На рис. 6 точки 2-5 группируются вблизи одной кривой. В случае воды (точки 1) наблюдается сильное отклонение от общей зависимости в сторону большего момента. Это соответствует «провалу» кривой 1 на рис. 3 в окрестности fr = 25 об/с, который, вероятно, обусловлен нутационными колебаниями тела.
Кривая, построенная по экспериментальным точкам, и кривая, рассчитанная по (3.3), описываются разными законами. Отчасти это
М,*| = 8 рРі (і—р)2 Rlз (і+R2 )2 §02. г2
|м| = ^- р(1 — р)2 (1 + R2 )2 гю—1/2
плекс |м| / Г(1 — р)2
(3.3)
может быть связано с тем, что экспериментальные точки получены в области умеренных и низких значений безразмерной частоты. Так, точки 4 и 5 находятся за пределами невязкого приближения (К2 - К1 □ 5), используемого в теории.
Рис. 6. Зависимость вибрационного комплекса |М| /Г(1 -р)2 от Ю. Обозначения 1-5 соответствуют рис. 5. Штриховая кривая - теоретическая зависимость (3.3); К = 0.61, I' = 9.3
Безразмерная скорость
В случае стационарного движения жидкости вибрационный момент (3.2) уравновешивается моментом вязких сил (3.1). Равенство выражений (3.1) и (3.2) позволяет рассчитать безразмерную скорость дифференциального вращения тела:
|ДО / П„,| = (1/16)Г2 (К / 5)(1 -р)2 (1 + К2 )(1 - К4). (3.4)
На рис. 7 приведена зависимость |ДО /Ото/| от безразмерного вибрационного комплекса ГК °Г2(К1 / 5)(1 -р)2(1 + К2)(1 - К4) для тела средней длины, I' = 9.3. Экспериментальные результаты качественно согласуются с теоретической зависимостью.
Рис. 7. Зависимость безразмерной разностной скорости |ДО/Ого)| от ГК
для К = 0.61 и относительной длины тела I' = 9.3; У = 1.0 (1), 6.0 (2), 47.8 сСт (3). Штриховая кривая - теоретическая (3.4)
В изученном диапазоне значений вязкости (точки 1-3) вращение тела более интенсивное, чем предсказано теорией. С повышением вязкости скорость тела снижается. В случае воды в интервале Г2К = 0.01 - 0.1 наблюдается повышение интенсивности дифференциального вращения тела, соответствующее экстремуму на рис. 6 (точки 1 ).
В случае короткого тела (I' = 3.9) результаты, полученные с маловязкой жидкостью, совпадают с теоретическими в области ГК < 1 (рис. 8, точки 1). При относительно больших значениях безразмерного ускорения, т.е. при медленном вращении полости, амплитуда колебаний тела возрастает, в результате чего скорость тела оказывается выше, чем предсказано теорией, соответствующей малым амплитудам. В преддверии обвала центрифугированного состояния также наблюдаются автоколебания, при которых тело на короткие промежутки времени значительно смещается из центра полости. Это означает, что амплитуда колебаний тела изменяется в этой области значений Г по периодическому закону, тогда как в теории она полагается постоянной и малой. При I' = 3.9 с увеличением вязкости интенсивность движения тела снижается, как и при I' = 9.3 (рис. 7 и 8, точки 2, 3).
0.1
0.01
Рис. 8. Зависимость модуля безразмерной скорости |ДО/| от ГК при
К = 0.48 и I' = 3.9 для У= 1.0 (1), 40 (2) и 74.2 сСт (3). Штриховая кривая построена по (3.4)
|ЛО/Ого(|
0.1
0.01
0.001
Рис. 9. Зависимость безразмерной скорости тела от Г2К для воды (1.0 сСт)
при К = 0.48 и I' = 3.9 (1), 0.61 и 9.3 (2), 0.61 и 31.4 (3). Штриховая кривая построена по (3.4)
В экспериментах с маловязкой жидкостью (при высоких ю) с увеличением длины тела экспериментальные точки смещаются вверх от теоретической зависимости (рис. 9). Одна из мод неустойчивости центрифугированного состояния цилиндрического тела проявляется в том, что ось тела отклоняется от продольного положения. Так, в предобвальном состоянии тело совершает нутационные колебания, сравнимые по амплитуде с радиусом полости. Выражения (3.2) - (3.4) получены из решения двумерной задачи ([2]), в которой оси тела и полости полагались параллельными, т.е. получены без учета угловых колебаний тела.
Таким образом, в эксперименте существуют дополнительные угловые колебания тела. Предположительно эти колебания ответственны за интенсификацию его вращения. Очевидно, что увеличение длины тела приведет к повышению амплитуды колебаний его концов. Этим можно объяснить более быстрое, чем предсказано теорией, вращение тела и рост |ДО / Ого/| с увеличением длины тела.
Заключение. Экспериментально изучено влияние вязкости на динамику легкого твердого свободного тела во вращающейся жидкости в поле силы тяжести. Обнаружено, что при повышении вязкости снижается интенсивность дифференциального вращения тела. Вязкость жидкости повышает устойчивость центрифугированного состояния тела, что имеет своим результатом снижение порога центрифугирования.
Обнаружено, что информативной характеристикой поведения тела является средний вибрационный момент, приложенный к телу. Вид зависимости М (ю) остается подобным при изменении вязкости жидкости. Экспериментальные результаты, полученные при различных значениях вязкости, согласуются между собой на плоскости ю, М / Г .
Показано, что изменение относительной длины I' критически влияет на поведение тела. В случае короткого тела экспериментальные результаты количественно совпадают с теоретическими. С увеличением I' скорость вращения тела повышается, что может быть объяснено угловыми колебаниями оси тела (нутация), которые не учитываются в теории. Вклад угловых колебаний возрастает с увеличением длины тела и приводит к значительной интенсификации движения последнего.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 09-01-00665a) и Рособразования (темплан 0120.0б00475).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Козлов В.Г., Козлов Н.В. Вибрационная динамика легкого тела в заполненном жидкостью вращающемся цилиндре // Изв. РАН. МЖГ. 2008. № 1. С. 12-23.
2. Козлов Ник. О природе вибрационного гидродинамического волчка // Конвективные течения... Вып. 3. Пермь: Перм. Гос. пед. ун-т, 2007. С. 97-114.
3. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 758 с.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. б. Гидродинамика. М.: Наука, 198б. 73б с.
5. Phillips O.M. Centrifugal waves // J. Fluid Mech. 19б0. V. 7. P. 340-352.
INFLUENCE OF VISCOSITY OF LIQUID ON THE DYNAMICS OF A LIGHT SOLID IN A HORIZONTALLY ROTATING CAVITY
Nick Kozlov
Abstract. The influence of viscosity of the liquid on the “vibrational hydrodynamic top” is studied experimentally. It means the vibrational excitation of the differential rotation of a light solid body, centrifuged in a rotating liquid-filled cavity. Here is considered the case of gravitational excitation of the body differential rotation relative to the cavity rotating around a horizontal axis. The gravity force is the driving one; its vector is rotating in the cavity frame. The viscosity increase reveals the body rotation intensity decrease and, at the same time, the higher stability of the centrifuged state. The comparison with the theoretical results [2] finds out their agreement.
Key words: light solid, viscous liquid, rotation, vibration, inertial waves.
