CC BY
32ЛЕГКОЕ ТЕЛО ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ ТЯЖЕЛОЙ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
Н.В. Козлов, В.Р. Расулев
Пермский государственный педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24
Экспериментально исследуется влияние тяжелой сыпучей среды на динамику легкого тела во вращающейся полости с жидкостью. Полость ориентирована горизонтально в поле силы тяжести. В эксперименте задается скорость вращения полости, измеряется скорость относительного вращения тела. Количество песка варьируется. В отсутствие песка тело вращается в системе отсчета полости в обратном направлении, скорость отставания тела уменьшается с повышением скорости вращения полости. Наличие сыпучей среды влияет на пороги перехода системы в центрифугированное состояние и обратно, а также обусловливает ее автоколебания. С увеличением толщины слоя песка скорость дифференциального вращения тела возрастает.
Ключевые слова: легкое тело, сыпучая среда, вращение, инерционные волны.
Многофазные вращающиеся системы, неоднородные по плотности, имеют интересные инерционные свойства. Так, во вращающемся горизонтальном цилиндре, содержащем жидкость и легкое тело, при центрифугировании тело занимает устойчивое положение вблизи оси вращения и под действием силы тяжести смещается вниз в лабораторной системе отсчета [1]. В системе отсчета вращающейся полости такое смещение представляется как круговые колебания, т.е. ось легкого тела смещается радиально из центра полости и движется по окружности в направлении, противоположном вращению полости. В результате таких колебаний возбуждается вращение тела в системе отсчета полости. В предлагаемой работе представлены результаты исследования трехфазной системы,
© Козлов Н.В., Расулев В.Р., 2009
включающей кроме легкого тела и жидкости сыпучую среду (записаны в порядке возрастания плотности). Изучена скорость дифференциального вращения тела в зависимости от количества песка и скорости вращения полости.
1. МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Опыты проводятся в цилиндрической кювете 1 (рис. 1) внутренним радиусом Я2 = 3.1 см и длиной 7.2 см. В кювету помещается легкое тело 2 цилиндрической формы радиусом Я1 = 1.5 см и длиной 6.8 см. Кювета заполняется водой (в эксперименте вязкость жидкости остается постоянной) и сыпучей средой 3. Плотность тела составляет pJ = 0.55 г/см3. Сыпучей средой служат стеклянные сферические частицы, средний диаметр которых составляет 50 микрон, плотность р р = 2.5 г/см3.
Рис. 1. Схема экспериментальной установки; положение в кювете 1 тела 2 и сыпучей среды 3 в отсутствие вращения
Кювета приводится во вращение шаговым двигателем 4, связанным с осью 5 кюветы посредством гибкой передачи 6. Частота вращения кюветы /г изменяется плавно, при каждом ее значении измеряется частота вращения тела . Для измерения частоты вращения полости применяется оптоэлектронная пара 7, регистрирующая вращение диска 8 со щелью, закрепленного на валу двигателя. Измерение частоты вращения тела определяется по частоте мерцаний стробоскопа, синхронизированных с частотой вращения тела. Частота вращения тела относительно полости определяется как раз-
ность А/ ° / - /. В эксперименте ее значение оказывается отрицательным, это указывает на отстающий характер движения тела.
При быстром вращении сыпучая среда под действием центробежной силы распределяется на внутренней поверхности цилиндрической полости. Для характеристики количества сыпучей среды вводится безразмерный радиус тела К = Яг/ г , где г - радиальное расстояние от центра полости до границы жидкости и песка при его равномерном распределении вдоль цилиндрической стенки полости (см. рис. 3, а). В отсутствие сыпучей среды радиус составляет К ° К1 /К2 = 0.49, по мере увеличения массы сыпучей среды К изменяется от 0.49 до 0.90.
2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТА
При вращении сыпучая среда захватывается жидкостью и распределяется по стенке полости, а тело в лабораторной системе отсчета смещается в направлении вращения полости (рис. 2, а). По мере интенсификации вращения смещение тела становится более выраженным. В преддверии перехода в центрифугированное состояние оно совершает сложные неупорядоченные колебания во всем объеме полости и перемешивает сыпучую среду (рис. 2, б), распределение которой после этого становится равномерным. Лишь по окончании процесса центрифугирования песка происходит центрифугирование тела, которое занимает устойчивое положение в центре полости, параллельно ее оси (рис. 3, а). В области К > 0.62 при медленном повышении частоты вращения /г распределение сыпучей среды после центрифугирования может быть не симметричным относительно оси вращения (рис. 3, б). При дальнейшем повышении /г несимметричное распределение сыпучей среды сохраняется. При быстром вращении сыпучая среда и полость движутся как одно целое.
После перехода в центрифугированное состояние тело вращается с постоянной частотой / и медленнее полости, частота которой /г постоянна. С повышением частоты вращения полости разность частот А/ уменьшается и асимптотически стремится к нулю, т.е. при больших /г вся система (тело - жидкость - песок) совершает твердотельное вращение.
При несимметричном распределении сыпучей среды (рис. 3, б) скорость отставания тела оказывается выше, чем при симметрич-
ном распределении. В экспериментах количественно изучен случай равномерного распределения сыпучей среды вдоль стенки полости (рис. 3, а).
а б
Рис. 2. Захват тела и сыпучей среды жидкостью при вращении
а б
Рис. 3. Распределение сыпучей среды в полости после центрифугирования
Тело, находясь в центрифугированном состоянии, одновременно с вращением совершает круговые колебания, при этом ось тела движется по окружности в системе отсчета полости. Круговые колебания наиболее заметны при низких значениях /г , когда возрастают амплитуда колебаний и скорость отставания тела. Одновременно наблюдается ожижение верхних слоев сыпучей среды.
При изменении безразмерного радиуса в диапазоне Я = 0.49 - 0.80 частота вращения тела изменяется незначительно (рис. 4). Зависимость А/(/) в этой области монотонна. Однако при Я = 0.90 поведение тела меняется качественным образом: вблизи / = 11.0 об/с наблюдается минимальное значение разности частот, составляющее А/ = -1.7 об/с, что соответствует наиболее интенсивному отставанию. При / > 11 об/с с понижением частоты вращения полости амплитуда колебаний тела и интенсификация его отстающего движения увеличиваются, как и в случае меньших значений Я . При / < 11 об/с тело начинает соприкасаться с песком, дальнейшее понижение / ведет к уменьшению интенсивно -сти отстающего движения.
5 15 /, об/с 25
и Г
Рис. 4. Зависимость А/ от / при безразмерном радиусе тела Я = 0.49(7), 0.80 (2) и 0.90 (3)
Центрифугирование и обвал системы (переход тела в исходную позицию) происходят с гистерезисом (рис. 5). Область существования центрифугированного состояния ограничена снизу точками 3. При радиусе Я < 0.62 значения обоих порогов возрастают с безразмерным радиусом тела, т. е. увеличиваются с количеством песка
(точки 1 и 3). При Я = 0.62 наблюдается максимум порога центрифугирования и минимум порога обвала, глубина гистерезиса оказывается наибольшей. Здесь же система переходит в новое состояние, которое характеризуется автоколебаниями, предшествующими обвалу (область автоколебаний заштрихована). Это приводит к тому, что порог обвала скачком снижается, и при дальнейшем увеличении количества сыпучей среды незначительно возрастает. При Я > 0.62 с увеличением безразмерного радиуса порог центрифугирования уменьшается, частота возникновения автоколебаний незначительно возрастает (точки 2).
Рис. 5. Пороги центрифугирования тела (1), возникновения автоколебаний (2) и обвала (3); область автоколебаний заштрихована
При автоколебаниях амплитуда колебаний тела периодически резко и существенно возрастает. Как следствие, происходит интенсификация относительного движения тела (тело дополнительно замедляется в лабораторной системе отсчета). Усиление колебаний тела оказывается кратковременным, и вскоре система возвращается в обычный режим. Такая последовательность переходов периодически повторяется. Измерения средней скорости вращения тела в условиях автоколебаний не проводились.
3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Пороги центрифугирования и обвала определяются отношением силы тяжести, стремящейся вывести систему из равновесия, и центробежной силы, стабилизирующей равновесие. Для его характеристики можно использовать безразмерный параметр Г = g / 02 Я.. На рис. 6 показаны границы переходов на плоскости Я, Г . Видно, что область существования автоколебаний наиболее широка при Я = 0.62 и сужается с увеличением безразмерного радиуса. Возбуждение автоколебаний при значениях Я > 0.62 расширяет область существования центрифугированного состояния системы, когда тело не касается стенок полости.
Отметим, что порог обвала при Я < 0.62 (точки 3) согласуется с границей существования автоколебаний (точки 2) в области Я > 0.62 . Кривая I на данной плоскости является верхней границей существования стационарного среднего вращения тела в системе отсчета полости.
Рис. 6. Пороги центрифугирования тела (1), возникновения автоколебаний (2) и обвала (3)
Поскольку кювета равномерно вращается в поле силы тяжести, в системе отсчета полости вектор силы тяжести совершает вращение. Это значит, что рассматриваемая система находится во внешнем
осциллирующем силовом поле, действие которого приводит к радиальному смещению тела от оси полости [2] и его круговым колебаниям в системе отсчета полости. Колебания тела приводят к распространению инерционной азимутальной волны в коаксиальном зазоре, образованном телом и границей полости, [1]. В результате в вязких пограничных слоях вблизи поверхности тела и стенки полости генерируется средняя вибрационная сила [3], направление которой совпадает с распространением волны. Теоретическая модель, предложенная в [4], позволяет рассчитать скорость вращения тела в случае колебаний малой амплитуды и высокой безразмерной частоты:
Здесь АО = 2яА/ , Ог = 2/ , р = pJ /рх , рх - плотность жидкости. Толщина пограничного слоя Стокса составляет 5 = ^2п / Ог ,
так как частота вынужденных колебаний жидкости совпадает с угловой частотой вращения полости.
|ДО/Ог|
0.1
0.01
0.001
100 1000 10000 ю
Рис. 7. Зависимость |А0/Ог| от ю в отсутствие (точки 1, Я ° Я1/Я2 = 0.49) и при наличии сыпучей среды: Я = 0.51 (2), 0.62 (3), 0.80 (4), 0.90 (5)
Теория справедлива в пределе высоких безразмерных частот Ю°Ог(г-Я1)2/V . Средняя вибрационная сила локализована в тонком слое, в пределах 10 5 , вблизи цилиндрической стенки тела или стенки полости [4]. Следовательно, должно выполняться условие (г - Я1) □ 10 5 , которое можно переписать как ю □ 100. На рис. 7 область применимости теории условно отмечена штриховой прямой и находится слева от нее. Эксперименты, проведенные при большой толщине слоя сыпучей среды (точки 4, 5), заведомо выходят за рамки теории.
Для сравнения экспериментальных результатов и теории на одной плоскости удобно ввести безразмерный комплекс:
ГЯ °Г2 (у) (1 -р)2 (1+Я2 )(1 - Я4). (3.2)
Теоретическая зависимость |Д0/Ог| (ГЯ), рассчитанная по (3.1,
3.2), представлена штриховой линией на рис. 8. Экспериментальные точки 1, полученные в отсутствие сыпучей среды, совпадают с теоретической кривой при Г2Я <1 . Высокие безразмерные ускорения соответствуют низким значениям скорости вращения полости, где возрастает амплитуда колебаний тела. Этим может объясняться расхождение экспериментальных результатов и линейной теории при Г2Я > 1 , когда экспериментально найденная интенсивность движения оказывается выше.
При небольшом количестве песка экспериментальные точки находятся вблизи теоретической кривой и отклоняются от нее в области больших значений безразмерного ускорения (рис. 8, точки 2, 3). При увеличении количества сыпучей среды (точки 4) экспериментальная зависимость остается подобной теоретической: совпадает с нею с точностью до некоторого коэффициента (точки располагаются выше и параллельно теоретической кривой). При Г2Я > 1 наблюдается аналогичное другим случаям отклонение в сторону большей интенсивности движения. Область быстрого роста кривых 1-4 характеризуется большой амплитудой колебаний тела и частичным ожижением поверхности сыпучей среды. Увеличение толщины слоя сыпучей среды приводит к возрастанию интенсивности вращения тела.
Рис. 8. Зависимость интенсивности относительного вращения тела от безразмерного параметра ГЯ ; обозначения соответствуют рис. 7
При значениях параметра Г2 < 1 полученные зависимости (точки 1—4) описываются подобными законами, однако при больших Г2 для разных серий точек законы изменения различны. Это указывает на существенную роль ожиженного слоя сыпучей среды (в интервале Я = 0.51 - 0.80) именно в области больших амплитуд колебаний тела, при ГЯ > 1. В области меньших значений парамет-
т^2 _ __ _
ра ГЯ роль сыпучей среды сводится лишь к изменению внутреннего радиуса полости.
Среди прочих выделяется значение Я = 0.90 (точки 5). При ГЯ < 0.2 экспериментальный закон изменения |ДО /Ог| с ГЯ подобен теоретическому: экспериментальные точки располагаются практически параллельно штриховой кривой, хотя и существенно выше; скорость движения тела на порядок выше, чем в отсутствие песка. Столь значительное увеличение скорости дифференциального вращения тела в случае предельно тонкого слоя жидкости может быть связано с относительно большой (по сравнению с толщиной слоя жидкости) амплитудой колебаний тела. При ГЯ > 0.2 скорость тела стремительно уменьшается с повышением безразмерного ус-
корения. Как показывают наблюдения, это связано с тем, что тело начинает задевать сыпучую среду. Отметим также, что случай R = 0.90 соответствует области низких безразмерных частот.
Заключение. Экспериментально изучена динамика трехфазной системы, включающей легкое цилиндрическое недеформируемое тело, тяжелую сыпучую среду и маловязкую жидкость (вода), которые находятся в цилиндрической полости, равномерно вращающейся в поле силы тяжести.
В отсутствие сыпучей среды тело вращается медленнее полости, и тем медленнее, чем ниже скорость вращения полости. При добавлении малого количества песка динамика тела практически не изменяется. По мере увеличения толщины слоя сыпучей среды интенсивность дифференциального вращения тела повышается. При rR > 1 (это соответствует медленному вращению полости) амплитуда колебаний тела возрастает, что приводит к частичному ожижению сыпучей среды.
В случае относительно тонкого слоя жидкости, R = 0.90, качественно изменяется вид зависимости скорости вращения тела от частоты вращения полости. В области высоких частот интенсивность его вращения относительно полости возрастает в несколько раз по сравнению с R = 0.51 - 0.80. Это объясняется относительно большой амплитудой колебаний тела, сравнимой с толщиной слоя жидкости. Однако при больших G (в области низких частот) тело начинает задевать песок, и его скорость в системе отсчета полости существенно понижается.
При некотором соотношении параметров обнаружены автоколебания системы, предшествующие обвалу. Это расширяет область существования центрифугированного состояния и повышает порог обвала системы.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 09-01-00665a) и администрации ПГПУ (грант № 1-09).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Козлов В.Г., Козлов Н.В. Вибрационная динамика легкого тела в заполненном жидкостью вращающемся цилиндре // Изв. РАН. МЖГ. 2008. № 1. С. 12-23.
2. Phillips O.M. Centrifugal waves // J. Fluid Mech. 1960. V. 7. P. 340-352.
3. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 758 с.
4. Козлов Ник. О природе вибрационного гидродинамического волчка // Конвективные течения... Вып. 3. Пермь: Перм. Гос. пед. ун-т, 2007. С. 97-114.
A LIGHT SOLID IN ROTATING LIQUID IN PRESENCE OF HEAVY GRANULAR MATTER
N.V. Kozlov, V.R. Rasulev
Abstract. Influence of heavy granular matter on the dynamics of a light solid in a rotating liquid-filled cavity is studied experimentally. The cavity is oriented horizontally in the gravity field.
Its rotation speed and quantity of the sand are the experimental parameters. The relative speed of the body rotation is measured.
In the absence of the sand the solid rotates in the retrograde direction in the cavity frame, the intensity of its lagging decreases with the increase of the cavity rotation speed. The presence of the granular matter influences the thresholds of the system transition to the centrifuged state and from it, and also causes its auto-oscillations. At high thickness of the sand layer an increase of the differential speed of the body rotation is observed.
Key words: light solid, granular matter, rotation, inertial waves.
