CC BY
64
УДК 539.3
Влияние точечных дефектов на прочность монокристаллов
В.Д. Кургузов, В.М. Корнев
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
Рассматривается плоский слой атомов в плотноупакованной кристаллической решетке с дефектами в виде вакансий. Нелинейная задача по деформированию атомной решетки решается методом молекулярной механики с использованием парного потенциала межатомных взаимодействий Морса. Монокристалл подвергается растяжению (сжатию) в двух взаимно перпендикулярных направлениях в режиме жесткого нагружения до разрушения (под разрушением в задачах наномеханики понимается потеря устойчивости атомной ячейки). На плоскости главных напряжений построены кривые теоретической прочности типа Кулона-Мора для идеальной атомной решетки и для решеток, содержащих вакансии. Обнаружено существенное уменьшение прочностных свойств (на порядок) при сжатии атомных решеток, имеющих вакансии. В области растягивающих напряжений влияние вакансий на критические напряжения пренебрежимо мало.
Ключевые слова: прочность, монокристалл, дефекты атомной решетки, молекулярная механика
Influence of point defects on the strength of single crystals
V.D. Kurguzov and V.M. Kornev
Lavrentiev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia The paper considers a flat atomic layer in a close-packed lattice with vacancies. The nonlinear problem of deformation of the atomic lattice is solved by the molecular mechanical method using the Morse pair potential of interatomic interaction. The single crystal was subjected to hard loading under tension (compression) in two mutually perpendicular directions up to the point of fracture (in nanomechanics, fracture is considered as stability loss of an atomic cell). Theoretical strength curves of the Coulomb-Mohr type were plotted on the plane of principal stress for the perfect atomic lattice and for lattices with vacancies. A considerable (by an order of magnitude) decrease in strength characteristics was found in atomic lattices with vacancies under compression. In the region of tensile stress, the influence of vacancies on the critical stress is negligible.
Keywords: strength, single crystal, atomic lattice defects, molecular mechanics
1. Введение
Известны качественные оценки о резком снижении прочности монокристалла при наличии дефектов кристаллической структуры, однако количественные оценки до сих пор отсутствуют. Ниже рассматривается нагружение кристаллической решетки, соответствующей плотноупакованному слою атомов при наличии точечных дефектов. Р. Томсон отмечает: «Достоинство теории решетки состоит в том, что ее решение может быть изображено графически, из чего можно извлечь множество соображений физического характера» [1, с. 141]. Это замечание будет использовано ниже при обсуждении хрупко-вязкого перехода при разрушении [1, с. 135-136], решеточного захвата [1-3], зарождения разрушения по типу дислокаций, потери устойчивости
кристаллической решетки при наличии точечных дефектов, существенной анизотропии прочностных свойств кристаллической решетки из-за геометрии элементарной ячейки. Авторы придерживаются мнения, что из сравнения графических изображений исходной и деформированной атомных решеток можно извлечь качественные оценки не только физического, но и механического характера. Иногда, кроме качественных, можно получить и количественные оценки. В качестве примера можно привести работу [4], в которой получены зависимости модуля Юнга и коэффициента Пуассона от размеров нанокристалла.
М. Мардер [3] указывает на необходимость привлечения дополнительных характеристик материала для описания процесса разрушения. В качестве таких ха-
© Кургузов В.Д., Корнев В.М., 2010
рактеристик ниже предлагается использовать кривую прочности Кулона-Мора. Свойство разрушаться вязко или хрупко, с заметной пластической деформацией или без нее, не может рассматриваться как абсолютное и неотъемлемое свойство материала. При наложении всестороннего сжатия такие хрупкие в обычных условиях материалы, как мрамор или песчаник, деформируются пластически или текут, разрушение их происходит после большой пластической деформации. Строя предельные круги Мора для разных напряженных состояний, получаем огибающую, касание которой окружности Мора соответствует разным физическим явлениям.
Идеальная кристаллическая решетка представляет собой многократное повторение элементарных кристаллических ячеек. Для реального металла характерно наличие большого количества дефектов строения, нарушающих периодичность расположения атомов в кристаллической решетке. Эти дефекты оказывают существенное влияние на прочностные свойства материала.
2. Критерий прочности Кулона-Мора
В теории пластичности металлов наиболее распространенным является критерий Губера-Мизеса, согласно которому при достижении предела текучести интенсивность касательных напряжений в материале принимает постоянное значение. Однако для хрупких металлов и горных пород наибольшее распространение получил критерий прочности Кулона-Мора [5, 6]. Исследования многих авторов приводят к выводу, что применительно к материалам с существенно различным сопротивлением сжатию и растяжению теория прочности Кулона-Мора обладает несомненными достоинствами и является экспериментально обоснованной. Особо следует отметить, что помимо критических напряжений эта теория позволяет определить положение поверхности разрушения и величину соответствующих нормальных и касательных напряжений.
Теория прочности Мора [5] сформулирована на основе широкого обобщения имевшихся эксперименталь-
ных представлений, в предположении, что причиной разрушения являются касательные напряжения, критическое значение которых зависит от нормальных напряжений. Дальнейшее развитие и обобщение теория Мора получила в работах Филоненко-Бородича [6], где учитывается также промежуточное главное напряжение и строится огибающая поверхность, характеризующая условие прочности. Однако в большинстве случаев, встречающихся в практике проектирования, промежуточное главное напряжение не оказывает существенного влияния, поэтому теория Мора приобретает большое практическое значение.
Простейшей аппроксимацией огибающей Кулона-Мора является прямая, которая касается двух кругов Мора при одноосном растяжении и одноосном сжатии. Уравнение прямолинейной огибающей на плоскости (а, т) имеет вид: т = с - ца, где с — сцепление; ц = tgф; ф — угол внутреннего трения. В частном случае ф = 0 получается критерий максимального касательного напряжения Треска т = с, а сцепление с оказывается равным разрушающему напряжению при чистом сдвиге.
Для двухосных напряженных состояний удобнее критерий Кулона-Мора записывать в главных напряжениях а1, а2. В этом случае кривая разрушения Кулона-Мора представляет неправильный шестиугольник, изображенный на рис. 1, а, где , стс — пределы проч-
ности при одноосном растяжении и одноосном сжатии соответственно. Схема нагружения плоского образца для случая двухосного напряженного состояния показана на рис. 1, б. При таком нагружении получаем так называемое однородное напряженное состояние, при котором напряжения во всех точках тела одинаковы:
ах = Рх, ау = Ру, Тху = °> а1 = Рх, а2 = Ру. При Рх = = Ру получаем всестороннее растяжение, при Ру = 0 имеем равномерное растяжение в направлении оси Ох, случай рх = -Ру соответствует напряженному состоянию чистого сдвига. Именно такая схема нагружения используется ниже при построении предельной кривой типа Кулона-Мора для плоской атомной решетки.
Рис. 1. Кривая разрушения Кулона-Мора на плоскости главных напряжений (а) и схема нагружения плоского образца для случая двухосного напряженного состояния (б)
Рис. 2. Идеальная плотноупакованная решетка, содержащая 116 атомов (а); начальная (штриховые линии) и деформированная (сплошные линии) конфигурации атомной решетки при «чистом сдвиге» (б)
3. Метод молекулярной механики
В настоящее время для численного моделирования деформирования наноструктур разработаны два метода, основанные на молекулярной природе их строения — молекулярной динамике и молекулярной механике. Метод молекулярной динамики [7, 8] позволяет сравнительно просто учесть перестройку связей атомов наноструктуры при решении задачи о ее разрушении, так как этот метод не требует построения матрицы касательной жесткости, а следовательно, и перестройки структуры этой матрицы при изменении связей атомов наноструктуры в процессе ее разрушения.
Основу метода молекулярной механики составляет хорошо развитая техника решения нелинейных задач механики деформируемого твердого тела методом конечных элементов [9]. Поскольку размер конечного элемента согласован с постоянной атомной решетки, решается задача механики деформируемого твердого тела со структурой, причем взаимодействие элементов структуры определяется действующими физическими потенциалами. Характер деформирования атомной решетки близок к характеру деформирования стержневой конструкции (фермы): атомы решетки можно рассматривать как узлы фермы, а отрезки, соединяющие атомы, — как стержни с нелинейным поведением (рис. 2, а). На каждый находящийся в решетке атом действуют внешние силы и силы со стороны ближайших соседей. Уравнения движения атомной решетки следуют из принципа возможных перемещений: виртуальная работа внутренних сил равна виртуальной работе внешних сил и сил инерции. Для интегрирования уравнений движения используется пошаговая процедура [10, 11]: равновесная конфигурация и внутренние силы атомной решетки в момент t предполагаются извест-
ными, и решается задача по определению равновесной конфигурации и внутренних сил в момент времени Дt + При достаточно малом шаге интегрирования Дt решение нелинейной системы уравнений сводится к решению линеаризованной системы уравнений. На каждом шаге по времени это решение уточняется с помощью итерационной процедуры Ньютона-Рафсона, затем происходит переход на следующий шаг.
Действие межатомных сил предполагается центральным с потенциалом взаимодействия Морса [12]
и (г ) = D[e-2a (г-г ) - 2е-а (г-г) ], где г — расстояние между атомами; ге — положение равновесия; D — энергия связи; параметр а характеризует скорость убывания экспоненты. При г = ге (равновесное состояние) центральная сила взаимодействия атомов равна нулю, при г < ге между атомами действует сила отталкивания (отрицательная), при г > ге — сила притяжения (положительная), которая достигает максимума Лт на некотором расстоянии гт, так что при дальнейшем удалении атомов центральная сила их взаимодействия ослабевает и на расстоянии 2ге уменьшается на порядок по сравнению с максимальным значением. Первая производная от потенциала Морса дает выражение для центральной силы:
f (г) = = 2Dа[e_а(г-ге) - е-2а(г-ге) ],
Эг
откуда гт = ге + 1п2/а, Лт = Da/2. В дальнейшем нам потребуется величина
Л = д//дг = 2Da2[2e-2a(г-ге) -е~а(г-ге)].
Значения параметров потенциала Морса для меди приведены в [13]: ге = 0.2866 нм, а = 0.1359 нм-1, D = = 0.343 эВ, масса т = 105 -10-27 кг. Для удобства чис-
ленных расчетов перейдем к безразмерным переменным по следующей схеме: все линейные размеры и смещения отнесем к ге, параметр а, имеющий размерность [длина]-1, умножим на ге, энергию связи отнесем к D. Приведенные ниже результаты получены при следующих безразмерных значениях постоянных: ге = = 1, D = 1, а = 4, т = 0.158. В этом случае гт = 1.17, Лт = 2.
Векторное уравнение движения атомной решетки с заданными начальными условиями имеет вид [11]:
ми + Г(И) = ], и(0) = и0, И(0) = У0, (1)
где и, Р, R — векторы перемещений, внутренних и
внешних сил атомной решетки соответственно;
И
0,
У) — векторы начальных перемещений и скоростей соответственно; М — диагональная матрица масс со значениями масс атомов на диагонали; точка над величиной означает производную этой величины по времени.
Обозначим через Ие вектор перемещений стержневого элемента:
Ие = [и}
и2 из
2-.Т
Здесь ^ —j-я ^ = 1, 2, 3) компонента вектора перемещений г-го (г = 1, 2) узла стержневого элемента. Прямыми вычислениями можно показать выполнение равенства [11]
дг
эие
где В = [-е1 -е2 -е3
е1 е2 ез]> ек = гк/г (к = 1,
2, 3), являются компонентами вектора единичной длины е = г/г, г = х 2 - Х1, г = VгТг — длина стержневого элемента; х1, х2 — радиус-векторы узлов стержневых элементов 1, 2 соответственно. Вектор внутренних сил элемента Ге теперь можно представить следующим образом: Ге = Л В . С использованием стандартной процедуры метода конечных элементов [9] вектор внутренних сил атомной решетки Р определяется ассемблированием векторов внутренних сил Ре (1 < е < Е) всех элементов, составляющих атомную решетку.
Введем матрицу касательной жесткости Ке стержневого элемента [11]:
Ке = У1В Т В + Л (Р -В ТВ ),
(2)
где
"1 0 0"
I -I
, I = 0 1 0
-I I
0 0 1
Заметим, что выражение (2) для матрицы касательной жесткости элемента является точным. В нем учитывается как изменение расстояния между узлами элемента (первый член в правой части (1)), так и поворот элемента (второй член в правой части (1)). Матрица касательной жесткости К атомной решетки опреде-
ляется ассемблированием матриц касательной жесткости Ке всех стержневых элементов.
Уравнение движения (1) решается методом пошагового интегрирования следующим образом. Предполагается, что динамическое равновесие атомной решетки в момент времени t известно, т.е. векторы перемещений ‘ И и внутренних сил ‘ Г, а также векторы скоростей ‘ И и ускорений ‘ И известны. Здесь и далее левый верхний индекс обозначает момент времени, в который рассматривается данная величина. Тогда уравнение (1) в момент времени t становится тождеством:
м ‘ И + ‘ Г = ‘ К (3)
Обозначим через Дt шаг по времени, а через Ди — приращение вектора перемещений:
ДИ = ‘И - ‘ И. (4)
Линеаризуя (1), с учетом (3) и (4) получим уравнение м ‘+Д‘ И + ‘ К ДИ = ‘+Д‘ R - ‘ Г. (5)
Используя метод Ньюмарка [14, 15], решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (5) сведем к решению системы линейных алгебраических уравнений
‘ К ди = ‘]
где эффективная матрица касательной жесткости ‘ КС и эффективный вектор внешних сил ‘+Д‘ ] определяются следующим образом:
г К = г К + а0М,
‘+Д‘ ] = ‘+Д‘ ] + М (а2 ‘ И + а3 ‘ И) - ‘ Г.
Здесь введены константы интегрирования
1
рДг2
=2Г1'
= У рдг ’
= 1-1,
1
рДг ’ Дг 9
-1
в ' 3 2
(константы а1, а4, а5 используются в процедуре итерационного уточнения полученного решения). Параметры в и у метода Ньюмарка выбираются из условия устойчивости и точности интегрирования уравнения (1). В численных расчетах используются значения в = 0.25 и у = 0.5. При таких значениях метод Ньюмарка является безусловно устойчивым и имеет второй порядок точности. Полученное приближенное решение и уравнения (1) уточняется на каждом шаге решения одним из итерационных методов, например стандартным методом Ньютона-Рафсона [14, 15]. Сходимость итерационной процедуры контролируется тремя параметрами, характеризующими относительные погрешности вычислений: еи (контроль по смещениям), е^ (контроль по несбалансированному вектору внутренних сил), ее (контроль по энергии деформирования). Во всех приводимых ниже результатах расчеты велись до момента времени, гарантирующего получение решения с точ-
ностью еи = е
= 10-5 и ее = 10-10
Перед началом интегрирования уравнения (1) решаем обобщенную задачу на собственные значения по определению частот и форм собственных колебаний атомной решетки:
(0 К -ЦМ)Ф = 0, (6)
где К — матрица касательной жесткости, определенная в момент времени t = 0. Упорядочим собственные значения щ, г = 1, ..., N, в возрастающем порядке: Ц1 < Ц2 < ■ • • < Цш. Необходимым и достаточным усло-
^ 0 ту
вием положительной определенности матрицы К является выполнение неравенства Ц1 > 0. Полагаем, что условие Ц1 > 0 выполнено и в результате решения вспомогательной задачи (6) определены собственные пары
(<Х>1, Ф1), (Ю1, Ф1),...,(<Х>1, Ф1) с частотами юг- = -\,[Щ, г = 1, ..., I, и соответствующими М-ортонормированными формами Фг- собственных колебаний, где I < N — число собственных форм, вклад в решение задачи которых желательно воспроизвести при пошаговом интегрировании уравнения (1). Для достаточно хорошего воспроизведения высшей из выбранных I нижних собственных форм (период колебаний этой формы в окрестности начального момента времени t = 0 равен Т) шаг интегрирования по времени Дt оценивается следующим образом [14]:
Дг = Ту/10, Тг = 1/(Ъ1, юг = тг/(2п), г = 1, ..., N. Численные эксперименты показывают, что для корректного описания процесса разрушения представленных ниже атомных решеток достаточно положить I = 6.
4. Результаты и обсуждения
Рассмотрим плоский слой атомов в плотноупакован-ной кристаллической решетке. Нелинейная задача по деформированию атомной решетки решается методом молекулярной механики с использованием парного потенциала межатомных взаимодействий Морса. Каждый атом взаимодействует только с ближайшими соседями по кристаллической решетке. Монокристалл деформируется под действием совместных нагрузок растяжения (сжатия) и сдвига до разрушения (под разрушением в задачах наномеханики понимается потеря устойчивости элементарной атомной ячейки, т.е. достижение вектором внешних сил г ] максимума).
Идеальная плотноупакованная решетка, содержащая 116 атомов (рис. 2, а), подвергается растяжению (сжатию) в двух взаимно перпендикулярных направлениях постоянными скоростями (ср. со схемой нагружения макрообразца на рис. 1, б), т.е. рассматривается случай жесткого нагружения атомной решетки. В экспериментальной механике разрушения жесткое нагружение моделирует движение захватов испытательной машины с постоянной скоростью. На рис. 2, а и1, и2 — приращения перемещений на шаге по времени Д^ на границе AD ставятся условия симметрии. На рис. 2, б штрихо-
выми линиями показана начальная конфигурация, сплошными — деформированная конфигурация атомной решетки при «чистом сдвиге» и1 = 0.01, и2 = -0.01 на 82 шаге по времени. Технология графического представления деформированных конфигураций наноструктур подробно изложена в работе [16]. Для вычисления напряжений суммируем силы, действующие на граничные атомы на гранях АВ и ВС, и делим их на площадь соответствующей грани:
11
-2 А- •
і 11 і
Xїї-, а2 = хJ21-
ВС • геі=і АВ • геі=і
В работе [4] отмечается принципиальная невозможность однозначного определения толщины кристалла (его протяженность в направлении х), поэтому при определении напряжений ст2 будем полагать площади граней, перпендикулярных оси у, равными АВ • ге и DC • ге.
Типичная зависимость величины внешней силы R = = |г ] | от смещения какой-либо грани и приведена на рис. 3. Первый максимум на кривой R = R(u) соответствует предельному состоянию атомной решетки, т.е. началу процесса разрушения или обрыву первой атомной связи в некоторой атомной ячейке. На графике этот максимум помечен звездочкой. Ниспадающий участок характеризует квазивязкий или квазихрупкий тип разрушения в зависимости от того, какие из перенапряженных связей обрываются. При анализе решений, полученных для решеток с точечными дефектами, необходимо обратить внимание на решеточный захват [1-3]. После обрыва перенапряженных связей имеет место перестройка кристаллической решетки. В рассмотренных задачах деформированная решетка возвращается к исходной конфигурации после постепенного снятия нагрузки, напомним, что в расчетах использовалось взаимодействие атомов только первой координационной сферы.
В момент времени, соответствующий первому максимуму на кривой R = R(u), вычисляем значения «главных» напряжений ст1, ст2 и ставим точку на плоскости (а1, ст2). Слово «главные» здесь взято в кавычки, по-
Рис. 3. Типичная зависимость величины внешней силы R = | ] | смещения какой-либо грани и
Рис. 4. Кривые теоретической прочности типа Кулона-Мора для идеального монокристалла (1) и для атомной решетки, содержащей одну вакансию на оси симметрии (2)
скольку для дискретной структуры понятие главных напряжений не определено, можно лишь провести некоторую аналогию с деформированием макрообразца. Изменяя значения смещений и1, и2 в диапазоне от -0.01 до 0.01 и вычисляя напряжения ст1; ст2, получаем множество точек на плоскости (ст1; ст2), соединив которые отрезками прямых линий, получим кривую теоретической прочности типа Кулона-Мора для идеального монокристалла.
На рис. 4 представлены кривые теоретической прочности типа Кулона-Мора для идеального монокристалла и атомной решетки, содержащей одну вакансию на оси симметрии. Следует отметить резкое уменьшение прочностных свойств — на порядок — при сжа-
Рис. 6. Деформированные конфигурации атомных решеток с двумя линии), штриховыми линиями показана начальная конфигурация
Рис. 5. Кривые теоретической прочности типа Кулона-Мора для атомной решетки, имеющей 1 вакансию (1), 2 вакансии (2), 3 вакансии (5)
тии атомной решетки, имеющей вакансию. В то же время в области растягивающих напряжений кривые 1 и 2 отличаются незначительно. Предельные кривые на плоскости (ст1; ст2) не симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (ср. с рис. 1, а), что объясняется несимметрией структуры плотноупакованной атомной решетки в направлении осей х и у (рис. 2, а).
На рис. 5 изображены кривые теоретической прочности типа Кулона-Мора для атомной решетки, имеющей 1, 2, 3 вакансии на оси симметрии соответственно (полностью кривая для атомной решетки с одной вакансией показана на рис. 4). Как видно из рисунка, появление второй вакансии приводит к снижению прочност-
и тремя (б) вакансиями в состоянии «чистого сдвига» (сплошные
Рис. 7. Кривые теоретической прочности типа Кулона-Мора для атомной решетки с двумя отдельными вакансиями (1) и одной вакансией (2)
ных свойств при сжатии примерно в 6 раз, в то же время различие между двумя и тремя вакансиями уже не столь значительно. Дальнейшее увеличение числа вакансий не имеет смысла, поскольку при таком небольшом числе атомов, составляющих рассматриваемую атомную решетку (116 атомов), на результаты численных расчетов начинают влиять граничные условия. Кроме того, точечные дефекты постепенно переходят в линейные, для исследования которых необходимо увеличить количество атомов в структуре как минимум на два порядка. В области положительных (растягивающих) напряжений различие между кривыми 1, 2, 3 мало: при ст1 ~ 0 для всех трех решеток ст2 ~ 2.5, при ст2 ~ 0 критические значения ст1 находятся в диапазоне от 2 до 3, что опять
же можно объяснить наличием анизотропии у плотно-упакованной атомной решетки, а также месторасположением точечных дефектов. Напомним, что расчеты проводились в безразмерных переменных, все значения напряжений являются относительными и могут быть использованы только в сравнительных оценках.
На рис. 6 показаны деформированные конфигурации атомных решеток с двумя и тремя вакансиями в состоянии «чистого сдвига» (растяжение по оси х и сжатие по оси у), штриховыми линиями показана начальная конфигурация. Хорошо видны сдвиги, порождающие дислокации. Эти сдвиги возникли в точках расположения дефектов кристаллической структуры и распространяются под углом примерно 60°. Моделирование краевых дислокаций проводилось в работе [17], в которой изучались две модели дислокаций Френкеля-Конто-ровой [18] и Пайерлса [19]. Очевидно, что простейшая одномерная модель Френкеля-Конторовой [18] плохо описывает процессы деформации атомных решеток (рис. 6). Модель Пайерлса [19] более удачно описывает деформации атомных решеток при сдвиге, так как в первом приближении можно рассуждать о взаимном смещении трех почти жестких блоков друг относительно друга путем сдвига. Эти блоки помечены цифрами I, II и III на рис. 6.
Рассмотрим теперь взаимодействие двух отдельных вакансий (рис. 7), одна из которых расположена на вертикальной оси симметрии, а другая отстоит от первой на расстоянии >/3ге вдоль горизонтальной оси симметрии. Предельная кривая для такой решетки обозначена цифрой 1 (сплошная линия), для сравнения на том же рисунке показана предельная кривая 2 для атомной решетки, содержащей одну вакансию (штриховая линия).
Рис. 8. Деформированные конфигурации (сплошные линии) атомной решетки с тремя вакансиями на оси симметрии при равномерном растяжении в горизонтальном (а) и вертикальном (б) направлениях, штриховыми линиями показана начальная конфигурация
Как видим, и здесь наблюдается та же картина: появление дополнительной вакансии не влияет на прочностные свойства атомной решетки при растяжении, существенные различия возникают только при всестороннем сжатии.
На рис. 8 представлены исходные и деформированные решетки с тремя вакансиями на оси симметрии при равномерном растяжении в горизонтальном и вертикальном направлениях. Эти деформированные конфигурации решеток соответствуют критическим состояниям (ст1;0) и (0, ст2). Перенапряженные связи помечены стрелками. Если сравнить деформированные конфигурации решеток на рис. 6 и 8, то напрашивается вывод о том, что схемы разрушения при сдвиге и растяжении существенно отличаются: для сдвига характерна квази-вязкая схема разрушения, для растяжения наиболее близка квазихрупкая схема разрушения.
5. Заключение
Рассмотрен плоский слой атомов в плотноупако-ванной кристаллической решетке с дефектами в виде вакансий. Нелинейная задача по деформированию атомной решетки решена методом молекулярной механики с использованием парного потенциала межатомных взаимодействий Морса. Полученные результаты отвечают приближению, при котором в кристалле учитывается взаимодействие только атомов 1-й координационной сферы: каждый атом взаимодействует с ближайшими соседями по кристаллической решетке. Монокристалл подвергается растяжению (сжатию) в двух взаимно перпендикулярных направлениях в режиме жесткого нагружения до разрушения (под разрушением в задачах наномеханики понимается потеря устойчивости атомной ячейки). Задача решена в динамической постановке. На плоскости главных напряжений построены кривые теоретической прочности типа Кулона-Мора для идеальной атомной решетки и для решеток, содержащих вакансии. В изучаемых кристаллических решетках оборванные межатомные связи могут восстанавливаться (некоторый аналог решеточного захвата), а тип их разрушения может быть квазихрупким или квазивязким в зависимости от вида нагружения. Обнаружено существенное уменьшение прочностных свойств (на порядок) при сжатии атомных решеток, имеющих вакансии. В области растягивающих напряжений влияние вакансий на критические напряжения пренебрежимо мало. Картины деформированных конфигураций показывают, что нали-
чие точечных дефектов вносит дополнительную анизотропию в механические свойства кристаллов.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10-08-00220) и Президиума РАН (проект № 22.16).
Литература
1. Томсон Р. Физика разрушения // Атомистика разрушения. - М.: Мир, 1987. - С. 104-144.
2. Thomson R., Hsieh C., Rana V Lattice trapping of fracture cracks // J. Appl. Phys. - 1971. - V. 42. - P. 3154-3160.
3. Marder M. Effects of atoms on brittle fracture // Int. J. Fract. - 2004. -V. 130. - P. 517-555.
4. Кривцов A.M., Морозов Н.Ф. О механических характеристиках наноразмерных объектов // ФТТ. - 2002. - Т. 44. - Вып. 12. -С. 2158-2163.
5. Поль Б. Макроскопические критерии пластического течения и хрупкого разрушения // Разрушение. Т. 2. - М.: Мир, 1975. -С. 336-520.
6. Филоненко-Бородич М.М. Об условиях прочности материалов, обладающих различным сопротивлением растяжению и сжатию // Инженерный сборник. - М.: МГУ, 1971. - С. 91-123.
7. Кривцов A.M. Деформация и разрушение твердых тел с микроструктурой. - М.: Физматлит, 2007. - 304 с.
8. Фомин В.М., Головнев И.Ф. Молекулярно-динамические исследования термомеханических свойств наноструктур // Механика — от дискретного к сплошному / Под ред. В.М. Фомина. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2008. - С. 8-87.
9. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. -Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. - 262 с.
10. Korobeynikov S.N. The numerical solution of nonlinear problems on deformation and buckling of atomic lattices // Int. J. Fract. - 2004. -V. 128. - No. 1. - P. 315-323.
11. Korobeynikov S.N. Nonlinear equations of deformation of atomic lattices // Arch. Mech. - 2005. - V. 57. - No. 6. - P. 435-453.
12. Рит М. Наноконструирование в науке и технике. Введение в мир нанорасчета. - Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. - 160 с.
13. Каплан И.Г. Введение в теорию межмолекулярных взаимодействий. - М.: Наука, 1982. - 312 с.
14. Bathe K.-J. Finite element procedures. - New Jersey: Prentice Hall, 1996. - 1050 с.
15. Zeinkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. - Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000. - 707 p.
16. Бабичев A.B. Автоматизация построения моделей и визуализация результатов численного моделирования деформирования наноструктур // Вычислительная механика сплошных сред. - 2008. -Т. 1. - № 4. - С. 21-27.
17. Корнев В.М., Кургузов В.Д. Моделирование процесса движения краевых дислокаций методом конечных элементов // Физ. мезо-мех. - 2008. - Т. 11. - № 5. - С. 27-33.
18. Конторова Т.А., Френкель Я.И. К теории пластической деформации и двойникования. II // ЖЭТФ. - 1938. - Т. 8. - Вып. 12. -С. 1340-1348.
19. Peierls R. The size of a dislocation // Proc. Phys. Soc. - 1940. -V. 52. - P. 1. - P. 34-37.
Поступила в редакцию 09.0З.2010 г.
Сеедения об аеторах
Кургузов Владимир Дмитриевич, д.ф.-м.н., проф., внс ИГИЛ СО РАН, [email protected] Корнев Владимир Михайлович, д.ф.-м.н., проф., гнс ИГИЛ СО РАН, [email protected]
