CC BY
46
Многопараметрический достаточный критерий квазихрупкой прочности для сложного напряженного состояния
В.М. Корнев, В.Д. Кургузов
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
Моделируется поведение атомной структуры в окрестности вершины трещины. Изучается потеря устойчивости и закритическое деформирование трехатомных и четырехатомных ячеек при обобщенном растяжении. Предложен достаточный дискретноинтегральный критерий прочности для трещин нормального отрыва, когда поля напряжений имеют сингулярную составляющую, а вектора полей напряжений и деформаций коллинеарны. При формулировке указанного критерия в соответствии с гибридной моделью Новожилова используется новый класс решений, который отличается от решений, применяемых при формулировке классического достаточного критерия прочности. Предложенный достаточный критерий допускает предельный переход к необходимому критерию, когда в пределе можно пренебречь энергетическими характеристиками закритического деформирования ячеек. Величины критических нагрузок, полученные в соответствии с достаточным критерием, существенно отличаются от полученных в соответствии с необходимым критерием.
Multiparameter sufficient criterion of quasi-brittle strength under complex stress
V.M. Kornev and VD. Kurguzov M.A. Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
We simulate the behavior of the atomic structure in the vicinity of a crack tip. The loss of stability and postcritical deformation of triatomic and tetraatomic cells under tension is studied. A sufficient discrete-integral strength criterion is proposed for opening mode cracks when stress fields have a singular component while stress and strain field vectors are collinear. According to Novozhilov’s hybrid model, this criterion is formulated with the use of a new class of solutions that differ from solutions used in formulating the classical sufficient strength criterion. The proposed sufficient criterion allows a limiting passage to the necessary criterion when, in the limiting case, the energy characteristics of postcritical deformation of cells can be ignored. The critical loads calculated with the use of the sufficient criterion differ significantly from those obtained with the necessary criterion.
1. Введение
При исследовании прочности и разрушения твердых тел все большее значение придается подходам, связанным с дискретным строением материала. Рассматривая разрушение идеального кристаллического твердого тела с трещиной как дискретный процесс, Новожилов [1] для оценки прочности хрупкого упругого тела в окрестности сингулярных точек поля напряжений предложил осред-нять последние в пределах межатомного расстояния и сравнивать их с теоретической прочностью на разрыв. Кроме того, он ввел необходимый и достаточный критерии хрупкой прочности [1]. В работе [2] предложены
дискретно-интегральные критерии для трех простейших типов трещин (по терминологии Новожилова, это необходимые критерии). Аналогичный подход развит и для сложного напряженно-деформированного состояния при пропорциональном нагружении [3], причем пределы осреднения напряжений зависят от наличия, размеров и местоположения дефектов в окрестности вершины трещины. В работах [4-6] подход Новожилова использован для получения достаточных критериев для трещин нормального отрыва, когда величина раскрытия трещины определялась с использованием реальных потенциалов межатомного взаимодействия. Сравни-
© Корнев В.М., Кургузов В.Д., 2006
тельный анализ нелокальных критериев разрушения приведен в работе [7].
Для необходимых критериев соответствующие осредненные напряжения не превосходят теоретических прочностей на разрыв или сдвиг. При выполнении необходимого критерия ближайшая к вершине кристаллическая структура находится в критическом состоянии. Однако после исчерпания несущей способности ближайшей к вершине кристаллической структуры возможно дополнительное догружение тела с трещиной за счет закритического деформирования этой структуры и до-критического деформирования следующей кристаллической структуры, когда в окрестности вершины трещины отсутствуют вакансии и примесные атомы. При выполнении достаточного критерия имеет место катастрофическое разрушение исходной системы.
Рассмотрим более подробно классические достаточные критерии [8-11]. Если в континуальной модели воспользоваться представлениями решений для напряжений на продолжении острой трещины у = 0 через коэффициент интенсивности напряжений К10, то с точностью до величин высшего порядка малости в окрестности вершины трещины для линейной задачи можно записать
а у (х, 0)-а^ +
К т°
л/2лх
(1)
где ато — характерное напряжение, заданное на бесконечности, либо на контуре ограниченного тела; К° — суммарный коэффициент интенсивности напряжений. Суммарный коэффициент интенсивности напряжений можно представить в виде [6]:
К 0 = К £ + К0Д, к£ > о, К0Д < 0. (2)
Здесь К^ — коэффициент интенсивности напряжений, порождаемый напряжениями ато; КА — коэффициент интенсивности напряжений, порождаемый напряжениями ат, действующими согласно модели Леоно-ва-Панасюка-Дагдейла в окрестности вершины фиктивной трещины в зоне предразрушения. В модели Лео-нова-Панасюка-Дагдейла исходная внутренняя прямолинейная трещина длиной 210 подменяется фиктивной трещиной-разрезом длиной 21 = 210 + 2А, где А — длина нагруженного участка или длина зоны предразрушения, две зоны предразрушения расположены на продолжении исходной трещины. Схема силового нагружения правой вершины фиктивной трещины в обобщенной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла представлена на рис. 1, а (в классической модели в зоне предразрушения действуют только нормальные напряжения ат, сдвиговые напряжения тто и тт отсутствуют). Напряжения а т совпадают с теоретической прочностью монокристалла [1, 6, 12]. Суммарный коэффициент интенсивности напряжений К10 не может быть отрицательным, так как при К0 < 0 берега трещины налагаются друг на друга, что легко проверить.
Для соотношений (1), (2) рассматриваются ограничения
К0 = 0,
к0 > 0.
(3)
(4)
В классических критериях [8, 9] фактически используется ограничение (3): трещина в рамках модели Леонова-Панасюка-Дагдейла образует своеобразную вершину, а профиль модельной трещины имеет точку перегиба при х = - А, в которой берега трещины имеют вер-
<*00 И
У ,
V X
-А О
Рис. 1. Схема силового нагружения правой вершины трещины в обобщенной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла (а); схема раскрытия трещины в классической модели (Щ)
тикальную касательную (рис. 1, б). Ограничение (3) имеет смысл рассматривать только в случае развитой пластичности [11]. Следует отметить, что никакая кристаллическая структура не сможет выдержать без потери устойчивости изменение геометрии берегов трещины в окрестности точек перегиба при выполнении ограничения (3). Достаточно подробное изложение концепции Новожилова, когда выполняется ограничение (4), приведено в [13].
Ниже рассматривается ограничение (4). По мнению авторов, в этом случае удобно пользоваться подходом Новожилова [1, 13].
2. Механическая модель при пропорциональном нагружении
Рассмотрим поведение под нагрузкой тела, имеющего макротрещину. Пусть плоская макротрещина с прямолинейным фронтом не нарушает в макрообъеме структуру монокристалла [14]. Вообще говоря, не все четырнадцать решеток Браве при соответствующей ориентации допускают наличие плоской трещины с прямолинейным фронтом.
На плоскости а-т для выбранных пропорциональных путей нагружения, указанных стрелками i и j на рис. 2, имеем a = const в соотношении
т = аа, (5)
где т — сдвиговые напряжения; а — нормальные напряжения; а — коэффициент пропорциональности. Допустим, что при сложном напряженном состоянии получена предельная кривая, описывающая теоретическую прочность твердого тела. Введем обозначения т1, а1 для критических состояний (рис. 2). Итак, величины т1 и а1 описывают теоретическую прочность тела для выбранных путей нагружения: для i-го пути нагружения имеем т1г- и а1г-, для j-го пути нагружения имеем т1 j
и а1 j.
На рис. 1, а представлена силовая схема нагружения правой вершины фиктивной трещины в обобщенной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла при пропорциональном нагружении. В зоне предразрушения по всей ее длине А действуют постоянные напряжения а m, т m,
о о
М о
О 0^0 о о о
Рис. 2. Пропорциональные пути нагружения для сложного напряженного состояния
Рис. 3. Плотноупакованная атомная решетка, имеющая макротрещину и вакансии (а); схемы деформирования трехатомных ячеек (Щ, е)
которые в общем случае не совпадают с напряжениями критических состояний а1, т1, т.е. ат ^а1, хт 1.
Рассмотрим плоские слои атомов двух типов: плотноупакованный слой атомов с макротрещиной и вакансиями (рис. 3) и слой атомов, образующих квадратную атомную решетку типа №С1, с макротрещиной и вакансиями (рис. 4). На рис. 4 атомы № и С1 помечены значками плюс и минус соответственно. Предположим, что макротрещины в этих слоях образованы частичным удалением ряда атомов, а непосредственно перед вершиной имеются вакансии, отмеченные крестиком на рис. 3, а и 4, а. Перед вершиной трещины может находиться одна вакансия на оси трещины или кластер из двух вакансий, причем одна из этих вакансий расположена на оси трещины. На рис. 3, б, в представлены схемы деформирования трехатомных ячеек при наличии одной вакансии и кластера из двух вакансий соответственно. На рис. 4, б, в представлены схемы деформирования четырехатомных ячеек при наличии одной вакансии, когда вершина трещины попадает на атом № или атом С1. На рис. 4, г, д представлены схемы деформирования четырехатомных ячеек при наличии кластера из двух вакансий, когда вершина трещины попадает на атом N или атом С1. Для слоя атомов, образующих квадратную атомную решетку типа ШС1, предполагается, что отсутствуют внутренние самоуравновешен-ные силы, когда четырехатомная ячейка находится в покое.
На схемах деформирования трехатомных и четырехатомных ячеек указан угол ф, характеризующий направ-
Рис. 4. Квадратная атомная решетка типа №С1, имеющая макротрещину и вакансии (а); схемы деформирования четырехатомных ячеек (б-д)
ление действия силы f при пропорциональном нагружении. При ф = 0 реализуется растяжение, при ф = ±п/ 2 реализуется чистый сдвиг, при -п < ф < п (ф Ф 0, ф Ф Ф ±п/2) имеет место обобщенное напряженное состояние. Угол ф остается постоянным в процессе последовательного догружения ячеек несмотря на то, что межатомная силовая связь является нелинейной, а геометрия ячеек существенно меняется.
Введем вектор напряжений s = (а; т), модуль которого я = ^| = д/а2 + т2. От усилий/ = ^| к напряжениям я перейдем, используя осреднение для гибридной модели
в механике разрушения: s
= f/r
где re — характер-
ный линейный размер (расстояние между атомами в положении равновесия). Тогда а = s cos ф, т = s sin ф. Угол ф соответствует параметру a в соотношении (5): a = tg ф. Пусть 8 — относительное удлинение ячейки
(смещение подвижного атома, отнесенное к характерному линейному размеру): е = ^/ге, w = ^|, = (и, V).
Особенности деформирования атомных ячеек можно выявить, используя модель деформирования пучка волокон [15, 16], если под волокном понимать межатомную силовую связь. В общем случае в работах [15, 16] были предложены трехпараметрические деформационно-силовые критерии квазихрупкой прочности. По сути дела, силовая/^ диаграмма деформирования атомных ячеек напоминает стандартную s-е диаграмму деформирования материала. В обобщенной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла (см. рис. 1) целесообразно использовать простейшие аппроксимации s-е диаграмм деформирования атомных ячеек для некоторого пути нагружения ф (-п < ф < п):
5 = Ее, Є<Є^ 5 = 5т, Є1 <Є<Єт- (6)
Здесь Е — модуль Юнга. Переходя от деформаций е к смещениям и, V, получаем
V1
wm =л[‘
+ Vi
2 2 Um + V m
(7)
На рис. 5 приведена я-е диаграмма деформирования изучаемого «материала». Предстоит установить связь между тремя параметрами 5,1 = Ее1, sт, ет и характером закритического деформирования как трехатомных, так и четырехатомных ячеек. Подчеркнем, что первые два из них s1, s т — силовые параметры, а третий е т — деформационный параметр [15, 16]; вообще говоря, в отличие от классической модели Леонова-Панасюка-Дагдейла в обобщенной модели имеем s1 Ф sm.
3. Критерий разрушения в вершине трещины при пропорциональном нагружении
Рассмотрим наиболее слабый слой атомов, расположенный перпендикулярно прямому фронту плоской острой макротрещины длиной 21. При построении критериев прочности воспользуемся идеей пучка волокон, вы-
Рис. 5. Простейшая аппроксимация s—є диаграмм деформирования атомных ячеек
сказанной в [15, 16]. Необходимый дискретно-интегральный критерий хрупкой прочности имеет вид (А = 0):
— | ау (х, 0)^ < а1, х > 0,
кге
е 0
(8)
1 ге
— /тху (х,0)ёх <Т1, х > 0.
кге
е0
Достаточный дискретно-интегральный критерий ква-зихрупкой прочности имеет вид (А > 0):
1 пге !е
/а
кГе 0
1 ПГе / ет
кГе / т х 0
:а.
(9)
2у(-А) = К^ К М|-< 2^ т-VI), х < 0,
_ . ., К +1 ,.,,0
2и(-А) =----------------К
(10)
А
2(ит - М1); Х < 0'
Здесь ау (х, 0), тху (х, 0) — нормальные и сдвиговые напряжения на продолжении трещины в континуальной модели, имеющие интегрируемую особенность; Оху — прямоугольная система координат, начало которой совпадает с правой вершиной трещины; ге — расстояние между центрами атомов; п и к — целые числа (п > к, к — число межатомных связей); пге — интервал осреднения; 2v = 2v(х), 2м = 2и(х) — раскрытие трещины и смещение берегов трещины соответственно; 2^т — критическое раскрытие трещины; 2(ит -
- и1) — критическое смещение берегов трещины; параметры и1, v1 , ит, Vт связаны с деформационными параметрами е1, ет соотношениями (6), (7); к = 3 -
- 4v или к = (3 - v)/(1 + V) соответственно для плоской деформации или плоского напряженного состояния, где v — коэффициент Пуассона; G — модуль сдвига; К0, К0 — суммарные коэффициенты интенсивности напряжений.
Для плоских слоев атомов на рис. 3, а и 4, а имеем п = 2, к = 1. Отношение к/п характеризует поврежден-ность сплошного материала перед вершиной трещины. Напряжения ау, тху для континуальной модели после осреднения с учетом поврежденности материала сравниваются с теоретическими прочностями идеальных кристаллов а1, т1 на заданном пропорциональном пути нагружения в дискретной модели. Длину нагруженного участка разреза А, используемую при формулировке достаточного критерия (9), (10), можно определить, используя как конкретное кристаллическое строение материала в окрестности вершины трещины, так и реальные физические потенциалы межатомного взаимодействия. Взаимодействие между берегами фиктивной трещины имеет место только на нагруженном участке разреза.
И необходимый (8), и достаточный (9), (10) критерии имеют векторное представление и записаны в проекциях на оси декартовой системы. При подобной записи необходимо обращать особое внимание на симметричность записи этих критериев, так как при последующих выкладках будут использоваться первые или вторые соотношения из (8), (9). Окончательные результаты должны получаться тождественными. Например, если трещина находится под действием симметричной нормальной ау (х, 0) и антисимметричной сдвигающей тху (х, 0) нагрузок, то симметричность записи соотношений для коэффициентов интенсивности напряжений К0, КЦ следует из представления [17]:
1 I I/ ± х
К1 - 1КН = I-- / [ау (х, 0) - ^'тху (х, 0)]л/ у_ dх .
\п! -I \/ + х
Здесь К+, К+ и К-, К- — коэффициенты интенсив-
ности напряжений для правой и левой вершин трещины соответственно.
Дополним соотношение (1) аналогичным соотношением для второй оси, воспользовавшись представлением решения для напряжений тху (х, 0) для острой внутренней трещины при у = 0 через коэффициент интенсивности напряжений К п:
К 0
тху (х, 0) ~ т^ + —п=, х > 0,
' 2Пх (11)
л/2пх
К0 = К0>+к0а , К°^ = т^л/П7.
Здесь Кп^ — коэффициент интенсивности напряжений, порождаемый напряжениями , заданными на бесконечности; К^ — коэффициент интенсивности напряжений, порождаемый напряжениями тт, действующими согласно обобщенной модели Леонова-Пана-сюка-Дагдейла в окрестности вершины фиктивной трещины в зоне предразрушения (см. рис. 1, а).
Очевидно, что при ит - и1 ^ 0, v т - v1 ^ 0 имеем А ^ 0, и достаточный критерий (9), (10) превращается в необходимый критерий (8), см. работы [2, 3]. Пределы осреднения напряжений и в необходимом, и в достаточном критериях зависят от наличия, размера и местоположения дефектов кристаллической решетки в окрестности вершины трещины.
Пусть задана острая трещина длиной 2/° такая, что зона предразрушения отсутствует: А = 0. Рассматривается пропорциональное нагружение (а„; т^) = (а„; аа^), см. (5). При последовательном догружении не происходит подрастания трещины до нагрузок а^ < а^ (а^ — критические напряжения для острых трещин, полученные по необходимым критериям [2, 3], которым соответствует длина трещины 2/°). Когда нагрузка превышает критические напряжения для необходимого критерия (а„ > а° ), происходит страгивание трещины и начинают работать в закритическом режиме ячейки, ближайшие к вершине трещины; одновременно форми-
руются силовые связи в окрестности вершины трещины
и сдвигается начало отсчета в обобщенной модели на
рис. 1, а. Из-за действующих силовых связей имеет
место устойчивый рост трещины 2/Пк < 2/пк < 2/Пк до
О* /^0*
определенного уровня нагружения а: (а: — критические напряжения для острых трещин длиной 2/Пк*, полученные по достаточному критерию).
Переходим к рассмотрению полей смещений (м; v) при пропорциональном нагружении. В общем случае деформирования трехатомных и четырехатомных ячеек коллинеарность векторов напряжений и смещений не выполняется, т.е. (и; v) - (аУ; v). Однако, когда в наиболее напряженной межатомной связи атомных ячеек относительное удлинение мало, то имеет место приближенное соотношение
(и; V)- (ау; v), 5 < 5^ (12)
7 2,2 ~
а1 + т1 — первый максимум 5-е диаграммы. Далее соотношение (12) используется при преобразовании неравенств (9), (10). Соотношение (12) заведомо не выполняется на закритическом участке деформирования атомных ячеек, т.е. (и; V)- (аУ; v) при л > ^1. На закритическом участке деформирования атомных ячеек для аппроксимации 5-е диаграммы выполняется некоторое энергетическое соотношение, см. п. 4. Исходная сложная задача нелинейной механики трещин частично линеаризуется: для физических соотношений 5-е диаграмма аппроксимируется соотношением (6), а для геометрических соотношений предполагается коллинеарность векторов напряжений (а; т) и смещений (м; v), см. (5), (12). Таким образом, для преобразованной нелинейной задачи механики трещин используется хорошо разработанный аппарат линейной механики трещин.
При постепенном догружении таком, что а° < а: < < а°*, раскрытие 2v и смещение берегов 2м трещины увеличиваются (V ^ т и < ит - и1). Имеет место устойчивый рост трещины: при увеличении длины I фиктивной трещины увеличиваются и нагрузки, когда А < А* (А* — критическая длина нагруженного участка разреза). Когда длина нагруженного участка разреза А сов-
ч_. ч_. . *
падает с критической величиной А , т.е. v < vт - v1, и < ит - и1, устойчивый рост трещины сменяется неустойчивым.
Получим соотношения, связывающие критические параметры К{*, К^* и А* для острых трещин. Для этих критических параметров соотношения (9), (10) превращаются в равенства. Для коэффициента интенсивности
ТУ 0* Л *
напряжений Кг и длины зоны предразрушения А используются первые соотношения из (9), (10), а для коэффициента интенсивности напряжений К^* и дли-
А *
ны зоны предразрушения А — вторые соотношения из (9), (10). После соответствующих преобразований имеем
0*
0* / а~ V Ге
К
0*
,0*
пп
2
пп
2
а1 к
0* а:, п
т1 к
0* ти п
-1
-1
А* = 2п
к+1
К 0
0*
А* = 2п
( - и1)А 2
к +1 К
(14)
0*
Для коэффициента интенсивности напряжений К {А, К °А, порождаемых самоуравновешенными напряжениями ат,тт (см. рис. 1, а), справедливо представление [17, 18]:
К{А = - ат^I1 - (2/п) arcsin(1 - А//пк ))>
КЦа = -т тл/П/пкI1 - (21 П) arCSІn(1 - А/пк ))•
С учетом действия напряжений а:, т:, заданных на бесконечности, а также напряжений ат, тт, определенных на отрезке [-А, 0], окончательно получим суммарные коэффициенты интенсивности напряжений К0, К° для внутренних острых трещин (см. (1), (11)):
К 0 = а:^П/7к -
- атТПпЛ1 -(2/я)агсяп(1 -А//пк)]>°,
к0=т^л/п/п; - (15)
- т тл/П^кЬ - (2/ П) arcsin(1 - А//пк )] > 0.
В формуле (15) имеют место ограничения 0 < А < А*, 2/1к < 2/пк < 2/0*. Очевидно, что при А = 0 коэффициент интенсивности напряжений, полученный в соответствии с достаточным критерием, становится равным коэффициенту интенсивности напряжений, полученному в соответствии с необходимым критерием, так как в этом случае К {А = 0.
Первое соотношение в (13) с точностью до обозначений совпадает с критическим коэффициентом интенсивности напряжений необходимого критерия хрупкой прочности [2, 3]. Для второго соотношения из (13), содержащего коэффициент интенсивности напряжений К°*, после переобозначений получается первое соотношение из (13), если воспользоваться соотношениями (5) и (15). Легко устанавливается идентичность первого и второго соотношений из (14), если воспользоваться соотношением (12). Итак, при пропорциональном нагружении получена нелинейная система двух уравнений (13), (14) относительно К0*, А* или К^*, А*.
Получим оценки для длины зоны предразрушения А. Соотношения (15) могут быть существенно упроще-
ны, когда длина нагруженного участка много меньше полудлины трещины, т.е. А//пк << 1. По сути дела, рассматривается квазихрупкое разрушение. Тогда имеем
аГС8Ш(1 - А//пк ) - п/2 -л/2 А//пк .
Из первого соотношения (14) и первого соотношения (15) после соответствующих преобразований получим квадратное уравнение для безразмерного параметра
л/Агк~
Л +_ П Ут -У1 G
К +1
/0*
1пк
■ 0.
Пренебрегая величинами высшего порядка малости, получим простое выражение для меньшего корня квадратного уравнения
,2л/2
-VI
К+1
_0*
(16)
, /пк ^ 1 А /пк а:
Если ограничение А*//Щ* << 1 не выполняется, из соотношений (14), (15) получается трансцендентное уравнение для определения А*//Щ*. Особые трудности при решении этого уравнения отсутствуют, если оно имеет положительный корень, меньший единицы.
Критический коэффициент интенсивности напряжений К0* острой внутренней трещины получим из первого соотношения (15), если А*//Щ* << 1,
1-
(17)
Примем во внимание первое соотношение из (13) и уравнение (17), тогда кривая разрушения по достаточному критерию для острой внутренней трещины запишется в виде:
\-1
а
а
0*
0*
п + 7^ ^ - гк к * ~ Л/ е
1+
(18)
Таким образом, при пропорциональном нагружении (5) и коллинеарности векторов напряжений и смещений (12) получена система двух нелинейных уравнений (16) и (18), описывающая формирование зоны предразруше-ния и кривую разрушения для сложного напряженного состояния, отличного от второй моды разрушения. Очевидно, см. (13), (14), что для второй моды разрушения целесообразно пользоваться эквивалентной системой двух нелинейных уравнений:
2^/2 ит - и О
к + 1 і
0*
0*
п 4п
к + к
21
1+
Уравнения кривых разрушения по достаточному критерию (16), (18) отличаются от уравнений кривых разрушения по необходимому критерию [2, 3] только последним множителем в уравнении (18), зависящим от длины нагруженного участка разреза. В соотношениях (16), (18) возможен предельный переход, когда длина нагруженного участка разреза и длина трещины стремятся к нулю.
Сопоставим критические нагрузки, полученные по необходимым и достаточным критериям для хрупких материалов для одних и тех же длин трещин:
а0* 4л/п ап
а:
а:
= 1+-
пк а
Как видно из полученной формулы, эти критические нагрузки могут существенно отличаться. На рис. 6 схематически показаны устойчивый (кривая 1) и неустойчивый (кривая 2) участки роста трещин, а также кривая разрушения, полученная по необходимым критериям [2, 3] (кривая 3). На устойчивом участке образовавшиеся
новые системы воспринимают увеличивающуюся
0* 0
нагрузку, так как а: > а:, в результате происходит подрастание трещины, поскольку /°к < /^
4. Оценки прочности четырехатомной ячейки
Построенные выше дискретно-интегральные критерии прочности (8)-(10) содержат критические параметры а1, ат, Х1э тт, и1, ит, V!, Vт, которые находятся из численного решения задачи о деформировании атомной решетки.
Изучим поведение атомной структуры в окрестности вершины трещины. Для этого рассмотрим задачу о потере устойчивости четырехатомной ячейки в квадрат-
Рис. 6. Устойчивый (1) и неустойчивый (2) участки роста трещин, а также кривая разрушения, полученная по необходимым критериям (3)
X
X
ной атомной решетке типа №С1 при сложном напряженном состоянии. Возможные типы четырехатомных ячеек, а также схема нагружения, показаны на рис. 4, б-д. Представленные конфигурации моделируют поведение четырехатомной ячейки в вершине трещины при наличии одной вакансии перед ее вершиной (рис. 4, б, е) или кластера из двух вакансий (рис. 4, г, д).
Внешнее воздействие характеризуется силой £ направленной под углом ф к вертикальной оси. Действие межатомных сил предполагается центральным с потенциалом взаимодействия Леннарда-Джонса [12]
\12
V r У
U (r) = D
или Морзе [12]
U(r) = D[e"2а(r-Ге) -2е(r-r')],
где r — расстояние между атомами; re — положение равновесия; D, а — константы. При r = re (равновесное состояние) центральная сила взаимодействия атомов равна нулю; при r < re между атомами действует сила отталкивания (отрицательная); при r > re между атомами действует сила притяжения (положительная), которая достигает максимума fm на некотором расстоянии rm, так что при дальнейшем удалении атомов центральная сила их взаимодействия ослабевает и на расстоянии 2re падает на порядок от ее максимального значения. Первая производная от потенциала Морзе дает выражение центральной силы:
f (r) = ■dU(r) = 2 D a[e ~а (r-re) dr
- e
- 2a (r - re)
],
отКуда Гт = Ге + 1п (21 а), Ут = D а/2.
На рис. 7 представлена зависимость сила-смещение для некоторых углов направления действия силы. При ф < 50.5° на кривой сила-смещение имеется один максимум, при ф > 50.5° появляется второй, что приводит к необходимости разработки различных достаточных критериев прочности: двухпараметрического в первом случае и трехпараметрического во втором. Кривые на
Рис. 8. Зависимость 5-е с одним максимумом и ее аппроксимация
рис. 7 получены для потенциала Морзе, при использовании потенциала Леннарда-Джонса качественный вид кривых не меняется.
От усилий к напряжениям можно перейти, используя осреднение для гибридной модели в механике разрушения. На рис. 8, 9 представлена зависимость 5-е с одним (л1 = лт) и с двумя (л1 Ф лт) максимумами соответственно. Кривую 5-е на рис. 8 аппроксимируем ломаной ОАВС исходя из энергетических соображений: площадь трапеции ОАВС приравняем площади под кривой 5-е [1], т.е. при л1 = лт имеем
SoABC = /л(е)ае. (19)
0
Аналогично аппроксимируем кривую 5-е на рис. 10
(л1 Ф Лт) [16]:
(20)
Параметры е1, ет найдем из соотношений (19) и (20), соответствующие им согласно (7) критические смещения и1, v1, ит, V т находятся из численных расчетов.
Нелинейная задача по деформированию атомной решетки решается методом конечных элементов [19]. Четырехатомная ячейка представляет собой стержне-
Рис. 7. Зависимость сила-смещение для потенциала Морзе для некоторых углов направления действия силы: ф = 5° (1); 30° (2); 45° (3); 60°(4)
Рис. 9. Зависимость s-г с двумя максимумами и ее аппроксимация
20° 40° 60° 80° ф
Рис. 10. Зависимость параметра Дг от угла ф для потенциала Морзе
вую конструкцию, в которой три узла закреплены, а четвертый узел имеет две степени свободы. Конструкция под действием внешних сил подвергается обобщенному растяжению. При численном решении задачи по деформированию атомной ячейки использовалась пошаговая процедура [20, 21]. Из-за больших смещений и поворотов физически нелинейная задача деформирования атомной решетки становится также геометрически нелинейной. Решения подобных задач содержат собственные состояния типа максимальной нагрузки, причем таких собственных состояний может быть несколько. Основная трудность решения таких задач состоит в том, что в качестве монотонно возрастающего параметра деформирования нельзя использовать внешнюю силу, действующую на атомную решетку. Второй особенностью, осложняющей решение задачи, является вырожденность касательной матрицы жесткости при достижении максимальной нагрузки. В этом случае итерационная процедура Ньюгона-Рафсона не дает сходимости к решению задачи. Для преодоления указанных выше трудностей в [20, 21] параметр внешней силы считается неизвестной величиной, а в качестве дополнительного уравнения задается длина дуги в (и, ^-пространстве (и — вектор перемещений, X — параметр внешней силы). В численных расчетах использовался
:
20° 40°\ N 60° 80° ф
Рис. 11. Зависимость параметров 5! и 5т от угла ф для потенциала Морзе
метод Крисфилда с движением вектора неизвестных по сфере в (U, ^-пространстве [22, 23].
Каждому углу наклона внешней силы ф из диапазона от 0° до 90° соответствует свой путь нагружения, показанный на рис. 2: ф = 0° соответствует растяжению, ф = 90° — чистому сдвигу, поэтому в каждом расчете угол ф фиксировался, величина же силы определялась из решения задачи. Численные расчеты проводились при следующих безразмерных значениях констант потенциалов межатомных взаимодействий: re = 1, D = 1, а = 1 для взаимодействия Na-Cl; re = 1.414, D = 0.929, а = 0.976 для взаимодействия Na-Na; re = 1.414, D = = 1.164, а = 1.067 для взаимодействия Cl—Cl.
На рис. 10 представлена зависимость деформационного параметра Де = еm -а на рис. 11 силовых параметров sx и sm от угла наклона внешней силы ф. Скачок на графиках в окрестности точки ф = 50.5° свидетельствует о переходе системы в качественно новое состояние: двухпараметрический критерий прочности переходит в трехпараметрический. Напряженное состояние, близкое к растяжению, описывается двухпараметрическим критерием, а для напряженного состояния, близкого к сдвигу, возникает необходимость в применении трехпараметрического критерия.
Аналогичные расчеты с использованием потенциалов Леннарда-Джонса и Морзе были проведены и для трехатомных ячеек. Качественно результаты для трехи четырехатомных ячеек совпадают, только на рис. 8 и 10 кривые для трехатомных ячеек имеют более ярко выраженный минимум.
5. Заключение
В работе построен многопараметрический достаточный критерий квазихрупкой прочности, который содержит два набора параметров: геометрические re , Д, um -щ, Vm -Vj и силовые аг, am, tx, Tm, причем параметры re, Gj, t используются при формулировке необходимого критерия хрупкой прочности, а весь набор параметров — при формулировке достаточного критерия квазихрупкой прочности.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 04-01-00191) и интеграционных проектов РАН №№ 16.3, 4.11.3.
Литература
1. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой
прочности // ПММ. — 1969. — Т. 33. — Вып. 2. — С. 212—222.
2. Корнев В.М. Интегральные критерии хрупкой прочности трещино-
ватых тел с дефектами при наличии вакансий в носике трещины. Прочность компактированных тел типа керамик // ПМТФ. — 1996. — Т.37. — №5. — С. 168—177.
3. Kornev V.M., Kurguzov V.D. A discrete-integral strength criterion for complicated stress states // Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures. — 1999. — V. 22. — No.11. — P. 989—995.
4. Андреев A.B., Корнев В.М., Тихомиров Ю.В. Обрыв атомных связей
в вершине трещины. Потеря устойчивости участка цепочки атомов // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 1993. - №5. - С. 135-146.
5. Корнев В.М., Тихомиров Ю.В. О критерии хрупкого разрушения тел с трещиной при наличии дефекта атомной решетки // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 1994. - № 2. - С. 185-193.
6. КорневВ.М., КургузовВ.Д. Достаточный дискретно-интегральный
критерий прочности при отрыве // ПМТФ. - 2001. - Т. 42. -№2. - С. 161-170.
7. Isupov L.P., Mikhailov S.E. A comparative analysis of several nonlocal
criteria // Archive of Applied Mechanics. - 1998. - V. 68. -P. 597-612.
8. Леонов М.Я., Панасюк В.В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле // Прикл. механика. - 1959. - Т. 5. - № 4. - С. 391-401.
9. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. Phys.
Solids. - 1960. - V. 8. - P. 100-104.
10. Баренблатт Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении // ПМТФ. - 1961. -№4. - С. 3-56.
11. Керштейн И.М., Клюшников В.Д., Ломакин Е.В., Шестериков С.А. Основы экспериментальной механики разрушения. - М.: МГУ, 1989. - 140 с.
12. Макмиллан Н. Идеальная прочность твердых тел // Атомистика разрушения: Сб. ст. 1983-1985 гг. / Сост. А.Ю. Ишлинский. - М.: Мир, 1987. - С. 35-103.
13. ЧерныхК.Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин. - М.: Наука, 1996. - 288 с.
14. Шмитт-ТомасК.Г. Металловедение для машиностроения. - М.: Металлургия, 1995. - 514 с.
15. Корнев В.М. Необходимые и достаточные критерии разрушения композита с хрупким связующим. 1. Слабое армирование // ПМТФ. - 2002. - Т. 43. - № 3. - С. 152-160.
16. Корнев В.М., Демешкин А.Г. Необходимые и достаточные критерии разрушения композита с хрупким связующим. 2. Армирование высокопрочными волокнами // ПМТФ. - 2003. - Т. 44. - №3. -С. 148-156.
17. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами // Механика разрушения и прочность материалов. Т. 2. - Киев: Наук. думка, 1988. - 620 с.
18. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений. В 2 т. / Под ред. Ю. Мураками. - М.: Мир, 1990. - Т. 1. - 448 с. - Т. 2. -1016 с.
19. Bathe K.-J. Finite element procedures in engineering analysis. -Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, 1982. - 735 p.
20. Коробейников С.Н. Применение метода конечных элементов к решению нелинейных задач по деформированию и потере устойчивости атомных решеток. - Новосибирск, 1997. - 34 c. / Препринт Ин-та гидродинамики СО РАН № 1-97.
21. Korobeynikov S.N. Nonlinear equations of deformation of atomic lattices // Arch. Mech. - 2005. - V. 57. - No. 6. - P. 435^53.
22. Bathe K.-J., Dvorkin E.N. On the automatic solution of nonlinear finite element equations // Computers & Structures. - 1983. - V. 17. -P. 871-879.
23. Sokol T., Witkowski M. The equilibrium path determination in nonlinear analysis of structures // Advances in Non-Linear Finite Element Methods: Proc. 2nd Int. Conf. on Computational Structures Technology / Ed. by M. Papadrakakis, B.H.V. Topping. - Edinburgh: Civil-Comp
Press, 1994. - P. 35—45.
