CC BY
21
ДЕНИСОВ Д.А., НАТАЛУХА И.Г.
ВЛИЯНИЕ СКАЧКОВ ЦЕН РИСКОВЫХ АКТИВОВ НА АСИММЕТРИЮ И ЭКСЦЕСС РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДОХОДНОСТИ
Имеются многочисленные свидетельства того, что доходности по финансовым активам не являются нормально распределенными. В качестве иллюстрации этого утверждения используем индекс Б&Р 500. Табл. 1 показывает статистические свойства доходности по индексу Б&Р 500 при различных временных агрегатах [2]. Из табл. 1 видно, что дневные доходы демонстрируют значительную отрицательную асимметрию (-1,31) и очень большой эксцесс (34,70); обе эти величины должны равняться нулю при нормальном распределении. Агрегация по времени уменьшает величины отклонений от нормального распределения, но со скоростью, значительно более низкой, чем предсказывае-
мые центральной предельной теоремой значения 1/ для асимметрии и _ эксцесса, где п
п
чис-
ло дней в агрегате.
Оааёёба 1. Оадаёдадёпдёёё а/о/аИпдё И ё1ааёпо Б&Р 500
Ж
РГп (т)
_ (Лт)
= е
п!
Число дней в Математическое Стандартное Асимметрия Эксцесс
агрегате ожидание, % отклонение, % У1 У2
1 день 12,64 13,66 -1,31 34,70
6 дней 12,71 14,70 -0,49 7,16
11 дней 12,69 14,52 -0,56 6,09
п 16 дней 12,73 14,46 -0,53 4,37
- 21 день 12,76 14,54 -0,42 3,29
26 дней 12,76 14,51 -0,40 2,91
31 день 12,76 14,45 -0,45 2,44
36 дней 12,76 14,51 -0,46 2,43
41 день 12,77 14,56 -0,42 2,56
46 дней 12,77 14,60 -0,38 2,49
51 день 12,79 14,63 -0,34 2,34
56 дней 12,80 14,64 -0,28 2,14
^ = ( - Л) + (У^ + ( - \)У (Л)
(1)
Будем описывать динамику цены рискового актива р следующим стохастическим дифференциальным уравнением
где — стандартное броуновское движение, ¡Лг — тенденция, ( — волатильность (мгновенное среднее квадратическое отклонение) цены актива, а с1У (Л) определяет случайный процесс Пуассона с интенсивностью скачков Л (вероятность появления одного скачка за малый промежуток времени равна Рг(У = 1) = ). Вероятность осуществления п скачков на инвестиционном горизонте т определяется вероятностью Пуассона
С1 я
I-
□
га т
СО □
□
^
о
I—
ф
I—
^
о а ф
>
0
1 I
ф
т
I—
О
а
о <
>
о
о |_
о |_
о <3
т
О
I—
О О сь
о о СО
Член £ = Е (еи -1) (Е — оператор математического ожидания) описывает средний вклад скачков в цену актива в расчете на один скачок, а и — нормально распределенная случайная величина
с N (и .
Скачки цен рисковых активов (и, соответственно, скачки доходности активов) являются источником отклонений распределения доходности от нормального распределения. Если тенденция Ц и волатильность постоянны, математическое ожидание доходности
(2)
(натуральный логарифм относительной цены актива представляет собой непрерывно начисляемую доходность финансового титула за период времени ) на временном горизонте длиной
составляет Используя лемму Ито, из уравнения (1) нетрудно получить
обратное уравнение Колмогорова для характеристической функции доходности (2), определяющее дисперсию и высшие моменты доходности (2):
¡5 К 2 = [а2 + Л(Ц + а2д)]г; К 3 = Лцд (Ц + 3 а])т; К 4 = Л(Ц + вц2да] + 3а>
га где К — .-ый кумулянт доходности. Кумулянты связаны с центральными моментами т. следу-
I
01 г
ющим образом: т2 = к2; т3 = к3; т4 = к4 + 3т22.
Асимметрия и эксцесс определяются, соответственно, как нормированные третий и четвертый кумулянты
8 ц(ц+а ; г =Щ++а4)
Ш Л [а2 + Л(Ц + а])Г4Г' /2 [а2 + Л(Ц + а2д)]2т ' (3)
^ Из соотношений (3) видно, что появление скачков цен активов приводит к возникновению о ненулевых асимметрии и эксцесса, которые равны нулю для нормального распределения. Скачки | также увеличивают дисперсию доходности активов. Дисперсия доходности по активам, как нетруден но видеть, увеличивается с ростом частоты скачков X, абсолютным значением математического ожи-
со
^ 2
^ дания величины скачка и условной дисперсии величины скачка Сд . Коэффициент асиммет-
§ рии зависит от математического ожидания величины скачка с учетом направления скачка. Еще одной Ее интересной чертой стохастического процесса с учетом скачкообразных изменений цен активов яв-£ ляется то, что коэффициенты асимметрии и эксцесса стремятся к нулю при увеличении инвестицией онного горизонта. Коэффициент асимметрии уменьшается пропорционально квадратному корню из
о
<
> о
длины горизонта, а коэффициент эксцесса убывает пропорционально длине горизонта т .
Из табл. 1 нетрудно видеть, что отклонение от нормального распределения в доходности по
о активам уменьшается при увеличении агрегатов по количеству дней. В этой связи может возникнуть
о представление, что если инвестиционный горизонт велик, то финансовым менеджерам необходимо
СО
£ лишь периодически (например, ежеквартально) реструктурировать свои инвестиционные портфели
о в соответствии с конъюнктурой фондового рынка, а влияние асимметрии и эксцесса на больших ин-
сь
^ вестиционных горизонтах становится незначительным в силу их малых величин. На самом деле этот
х аргумент неправилен, поскольку, как следует из [1, с. 46-48], влияние асимметрии увеличивается с
ф ростом среднего квадратического отклонения, а влияние эксцесса усиливается с ростом дисперсии.
со
^ Поэтому для независимо и идентично распределенных динамических рядов доходности по активам,
5 в то время как асимметрия и эксцесс убывают с ростом инвестиционного горизонта пропорциональ-
[I но и п соответственно, их влияние также увеличивается пропорционально ^¡п и п. В резуль-
° тате такой взаимной компенсации получается, что влияние отклонений распределения доходности
° активов от нормального не меняется с ростом инвестиционного горизонта пропорционально п.
О
Простой калибровочный пример, результаты которого иллюстрируются в Табл. 2, показывает относительное влияние отклонений распределения доходов по активам от нормального на характер инвестиционных решений. В этом примере инвестор имеет коэффициент относительного неприятия риска а = 4 и делает портфельный выбор между 5% безрисковым активом и акциями инвестиционного фонда, имитирующего индекс Б&Р 500. В табл. 2 представлены оптимальные размещения
(в процентах) в индекс Б&Р 500 при различных инвестиционных горизонтах (в бизнес-днях). есть вес размещения рискового актива в портфеле в предположении о нормальности распределения до-ходностей у = у2 = 0 ; в2 соответствует нулевому эксцессу; въ соответствует нулевой асимметрии; вес размещения в4 учитывает все четыре первые момента. В последнем столбце табл. 2 приведено процентное изменение в весе размещения капитала инвестора в рисковый актив с учетом и без учета отклонений от нормального распределения:
^ = 100% в в1 *
Qàâëèôà 2. Èiâànôèôèîiiîà ôàoàièà ïî èiaàênô S&P 500
11 Bi 02 Вз е4 А8/8
1 день 102,35 99,55 101,01 98,40 -3,84
6 дней 89,23 87,21 88,06 86,10 -3,51
11 дней 91,30 88,21 89,48 86,55 -5,20
16 дней 92,41 88,92 90,54 -5,63
21 день 91,83 88,76 90,07 87,06 -5,19
26 дней 92,20 89,02 90,34 87,18 -5,44
31 день 92,96 89,17 91,16 87,37 -6,01
36 дней 92,12 88,10 90,13 86,13 -6,51
41 день 91,54 87,73 89,23 85,42 -6,96
46 дней 91,09 87,65 88,66 85,15 -6,52
51 день 90,96 87,80 88,52 85,19 -6,35
56 дней 91,07 88,50 88,70 85,82 -5,76
N
л ь
G ГО J
□I
Z
CO □
□ tu
о
I—
CD
I—
S О d Ф
X
>
О х
О
а
о <
>
о
0
1_
0
1_
о
У
о
m
О
I—
О
о
CL
Построенный пример показывает, что как отрицательная асимметрия, так и положительный эксцесс сокращают инвестиционный спрос на акции инвестиционного фонда. Под влиянием обоих этих факторов инвестор сокращает спрос на акции фонда приблизительно на 6%. Кроме того, как показал предшествующий анализ, влияние отклонений распределения доходности по активам от нормального не уменьшается с увеличением горизонта инвестирования. Таким образом, отклонения распределения доходности по активам от нормального является источником риска, который не может быть описан в рамках традиционного анализа на основе расчета математического ожидания и дисперсии. Увеличение инвестиционного горизонта, хотя и уменьшает величину асимметрии и эксцесса, в целом не снижает их влияние на размещение капитала в рисковые активы.
ЛИТЕРАТУРА. =Е
1. Наталуха И.Г. Влияние отклонений распределения доходности рисковых активов от нормального <d
на инвестиционный спрос // Финансы и кредит. 2006. № 2(206).
2. Hamilton J.D. Time series analysis. Princeton: Princeton University Press, 2001. |
о x О
V
со
