Влияние отклонений распределения доходности рисковых активов от нормального на инвестиционный спрос Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ

3 1135) - 2006

ВЛИЯНИЕ ОТКЛОНЕНИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДОХОДНОСТИ РИСКОВЫХ АКТИВОВ ОТ НОРМАЛЬНОГО НА ИНВЕСТИЦИОННЫЙ СПРОС

И.Г. НАТАЛУХА,

кандидат экономических наук

Кисловодский институт экономики и права

Финансовые рынки в современных условиях (особенно зарождающиеся рынки, к числу которых относится и российский фондовый рынок) характеризуются различного рода нестационарными, кризисными и катастрофическими явлениями [1 — 4]. В таких условиях традиционная портфельная теория [5, 6] часто оказывается неадекватной и неспособной объяснить как поведение финансовых временных рядов, так и несоответствие практических рекомендаций финансовых аналитиков по размещению рисковых активов теоретическим предсказаниям [7]. Фундаментальное значение имеет проблема анализа ситуации, когда распределение доходности финансовых инструментов существенно отклоняется от нормального. Имеются многочисленные свидетельства того, что распределение доходности рисковых активов на финансовых рынках характеризуется значительными асимметрией и эксцессом (так называемые «жирные» хвосты распределений, когда на концах хвостов, т.е. в области очень больших и очень малых доходностей, имеет место повышенная плотность распределения по сравнению с нормальным, а также «лептоэксцесс» — островершинность и «платоэксцесс» — плосковершинность). Поскольку модель оценки финансовых активов (САРМ) и большая часть методов эконометрического анализа предполагают, что ожидаемые доходности подчиняются нормальному или логнормальному распределению, возникает проблема распространения этих теорий и методов на ситуации, когда доходности активов не распределены нормально.

В настоящей работе получено приближенное аналитическое выражение, определяющее портфельный выбор («спекулятивный» спрос) инвестора как функцию математического ожидания, дисперсии, асимметрии и эксцесса распределения избыточной доходности рисковых активов. Полученное решение показывает, как отклонения распределения доходности влияют на инвестиционный спрос на рисковые активы. Предполагаем,

что инвестор максимизирует свою ожидаемую полезность в следующем периоде

max Etu(Wt+1)

0 '

инвестируя средства в безрисковый актив (банковский счет) и один рисковый актив, так что для капитала инвестора можно записать следующее уравнение

Wt+1 = Щ [0t (R t+i - Rf)+Rf ],

где Et — оператор математического ожидания, u(-)— функция полезности, W и W+1 - начальный и конечный капиталы инвестора, R1 t+1 — доходность рискового актива, Rf — доходность безрискового актива, — вес рискового актива в портфеле инвестора.

В предположении о вогнутости функции полезности и(-) запишем следующее условие первого порядка, которому должно удовлетворять оптимальное решение

Et [u'(Wt+i)(R , t+i _ Rf)] = о

(1)

Решение этой статической (однопериодичес-кой) задачи определяет спекулятивный спрос инвестора на рисковый актив, соответствующий игнорированию инвестором изменения инвестиционных возможностей. Предполагая, что распределение доходности рискового актива имеет конечные моменты, разложим предельную функцию полезности инвестора и'(Щ+1) в ряд Тейлора в окрестности ожидаемого капитала в следующем периоде Е. [^+1]. Подставляя полученное разложение в условие первого порядка (1), получаем следующее уравнение

0 = u '(Et[WJK + u (Et[WtJ)WtQtmt +

+2 u(3)(Et (Wt+J)Wt2e? х(щ, + m2txt) +

1 u(4)(Et [Wt+i])W3e3(m4t + тзх) + O(e4),

(2)

где

xt = EtRi, t+i - Rf.

Ожидаемая избыточная доходность рискового ак-

ДАЙДЖЕСТ-ФИНАНСЫ

15

РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ

3 (135) - 2006

тива, тп— п-й центральный момент распределения доходности рискового актива R1 , а и(п)(•) — п-я производная функции полезности.

Заметим, что традиционный результат портфельной теории, основанный на анализе математического ожидания и дисперсии распределения, следует из уравнения (2)в первом приближении:

0 _ u(1)(EIW,|)x, ' u(2)(E [WtJ)Wtm2,

am.

(3)

0 =

-b+K + (b2 - 3ac)/K 3a

(5)

где

K =

A + У 4(-b2 + 3ac)3 + A2

\l/3

3 , T7„2

А = -2Ь + 9аЬс - 27а Ы.

Для того чтобы выяснить, как отклонения от нормального распределения влияют на портфельный выбор инвестора, вычислим частные производные от веса размещения рискового актива 9 по асимметрии у1 и эксцессу у2. Обозначим /(у1, у2) левую часть уравнения (4). При малых 9 и х получаем:

Э0= df / dYi dYi df / Э0

^(1 + a)o02 > 0,

l

(6)

где коэффициент

а = -и(2)У / и(1) представляет собой коэффициент относительного неприятия риска Эрроу-Пратта.

Дальнейший анализ проведем в предположении, что полезность инвестора описывается степенной функцией с постоянным относительным неприятием риска [6]

У1-а

и(У) = --, а > 0.

1 - а

Из разложения (2) следует, что в этом случае оптимальный вес рискового актива в портфеле 9 ( будет решением следующего кубического уравнения

а93 + Ь92 + с9 + d = 0 , (4)

где коэффициенты а, Ь, с, d суть следующие функции

а = -1 а(1 + а)(2 + а)(у2 + 3)о4 +1 а(1 -а2)у:о3 х -6 6

-1 а(1 - а)о2 х2 + х4;

Ь = R/ [1 а(1 + а)у:о3 -1 а(3 - а)о2 х + 3х3];

с = R2[-аo2 + 3х2]; d = R/х.

Здесь а2, у у2 означают соответственно дисперсию, асимметрию и эксцесс избыточной доходности. Вес размещения 9 находится из уравнения (4):

l^fYr - ¿(1 + a)(2 + a)a203. OY 2 of / o0 6

Частные производные (6) показывают, что:

1) оптимальный вес рискового актива в портфеле возрастает при положительной асимметрии и уменьшается при положительном эксцессе;

2) влияние отклонений распределения доходности рисковых активов от нормального распределения увеличивается с ростом относительного неприятия риска инвестором;

3) влияние асимметрии на оптимальный вес рискового актива в портфеле увеличивается с ростом среднего квадратического отклонения, а влияние эксцесса усиливается с ростом дисперсии.

Таким образом, отклонения распределения доходности рисковых активов от нормального являются источником риска и/или выгоды, которые не могут быть описаны в рамках традиционного анализа на основе расчета математического ожидания и дисперсии. Как «жирные» хвосты, так и отрицательная асимметрия, наблюдаемые на фондовых рынках, предполагают существование дополнительного риска для инвестора и поэтому сокращают спекулятивный спрос инвестора на рисковые активы. Предварительный анализ показывает, что увеличение инвестиционного горизонта, хотя и уменьшает величину асимметрии и эксцесса, в целом не уменьшает их влияния на портфельный выбор. Заметим, что влияние отклонений распределения доходности активов от нормального на динамическое хеджирование должно исследоваться на основе динамической модели финансового рынка с учетом конкретной стохастической динамики цен рисковых активов.

Литература

1. Cochrane J.H. Asset pricing. Princeton: Princeton University Press, 2001. 268 р.

2. Sornette D. Why stock markets crash. Princeton: Princeton University Press, 2002. 214 р.

3. Наталуха И.Г. Моделирование спекулятивного бума на финансовом рынке с учетом психологии инвесторов // Материалы шестого Всероссийского симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии». Кисловодск, 2004. Т 2. С. 7-8.

4. Наталуха И.Г. Оптимальное инвестирование и потребление с учетом привычного уровня потребления // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. Т. 12, Вып. 2. С. 450-455.

5. Шарп У., Александер Г., Бейли Д. Инвестиции. М.: ИНФРА-М, 1997. 1028 с.

6. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. СПб.: Питер, 2000. 382 с.

7. CannerN, MankiwN.G., WeilD.N. Anasset allocationpuzzle // American Economic Review 1997. V. 87. Р 181-191.

1G

ДАИДЖЕСТ-ФИНАНСЫ

x

2