Влияние сил поверхностного натяжения на течение пленки и теплоотдачу при конденсации пара на наклонных некруглых трубах Текст научной статьи по специальности «Физика»

І

УДК 536.24

ВЛИЯНИЕ СИЛ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ НА ТЕЧЕНИЕ ПЛЕНКИ И ТЕПЛООТДАЧУ ПРИ КОНДЕНСАЦИИ ПАРА НА НАКЛОННЫХ НЕКРУГЛЫХ ТРУБАХ

В работе приведена модель расчета теплоотдачи при пленочной конденсации неподвижного пара на гладких некруглых трубах с произвольной заданной формой поперечного сечения с учетом действия сил поверхностного натяжения. Произведен расчет гидродинамической картины течения конденсатной пленки по поверхности некруглых наклонных труб для нескольких частных случаев поперечного сечения.

Ранее проведенные исследования условий теплообмена при конденсации неподвижного пара на гладких горизонтальных некруглых трубах показали их более высокую тепловую эффективность в сравнении с круглыми трубами [1-6]. Увеличение коэффициента теплоотдачи на некруглых трубах происходит за счет действия сил поверхностного натяжения, перераспределяющих конденсатную пленку по поверхности трубы.

Вместе с тем остается малоизученным вопрос теплоотдачи при конденсации неподвижного пара на наклонных некруглых трубах. Известные нам модели ограничиваются рассмотрением теплоотдачи при конденсации пара на некруглых наклонных трубах с поперечным сечением в форме эллипса (далее эллиптические трубы) и не учитывают действие сил поверхностного натяжения [7, 8].

Сопоставление результатов, представленных авторами [9-10], позволяет сделать вывод, что наклон круглых труб приводит к снижению теплоотдачи, в то время как наклон некруглых труб может (в зависимости от угла наклона и профиля поперечного сечения) приводить как к увеличению, так и снижению теплоотдачи.

Основной задачей данного исследования является построение математической модели для описания гидродинамической картины течения конденсатной пленки и расчета теплоотдачи при конденсации на некруглых наклонных трубах, учитывающей действие сил поверхностного натяжения.

Постановка и решение задачи

Рассматривается пленочная конденсации неподвижного пара на гладкой наклонной некруглой трубе с углом наклона Э (рис. 1). Задача решается в классической постановке Нуссельта, но с учетом влияния сил поверхностного натяжения. Действие сил поверхностного натяжения учитывается на основе предположения о пренебрежимо малой толщине конденсатной пленки по отношению к радиусу кривизны поверхности конденсации, что позволяет производить расчет сил поверхностного натяжения как сил, определяемых формой поверхности конденсации.

Постановка и решение задачи проводится в ортогональной криволинейной системе координат, связанной с поверхностью конденсации. Ось х направлена вдоль

Н.Н. НИКИТИН, В.П. СЕМЕНОВ Магнитогорский государственный университет

Введение

© Н.Н. Никитин, В.П. Семенов

Проблемы энергетики, 2007, № 11-12

периметра поперечного сечения трубы, ось у - всюду перпендикулярна х, а ось і направлена вдоль образующей трубы сверху вниз (рис. 1).

Рис. 1. Система координат, используемая при постановке и решении задачи

Форма профиля поперечного сечения задается натуральным уравнением кривой (путем задания функции кривизны) к (х).

При рассмотрении участка трубы с ламинарным режимом течения уравнения движения принимают вид:

Д-

ду2

д 2 п,

Д-

ду

+ Рк 8 С0«(Р )ео8(д) -

+ Рк 8 «ІПФ) = 0,

dх

= 0,

(1)

(2)

где в - угол между касательной плоскостью к точке поверхности и плоскостью, в которой лежит вектор ускорения свободного падения (рис. 2); $ - угол наклона трубы к горизонту (рис. 2); g - ускорение свободного падения; ц - динамический

коэффициент вязкости; р^ - плотность конденсата; ра = стк(х) - давление сил

поверхностного натяжения; к(х) - кривизна поверхности трубы; wx и м>г -

соответственно составляющие скорости конденсатной пленки в направлении осей х и I .

Рис. 2. Поперечное сечение трубы © Проблемы энергетики, 2007, № 11-12

Граничные условия с учетом гипотезы прилипания и допущения о пренебрежимо малом действии сил трения на границе раздела жидкой и паровой фаз принимают вид:

у = 0; у = 5;

пх = = 0,

дпх

Уу

дп

ду ду

= 0.

(3)

(4)

После интегрирования уравнений (1)-(2) с учетом граничных условий (3, 4) выражения для компонент вектора скорости запишутся как

Рк dk

-----8 соз(в )соз (5)---------------

_ Д Д dх _

2

5у----------------

Рк 8 зіп(3)

Д

.2 Л

5у -

у

2

(5)

(6)

Дальнейшее интегрирование приводит к следующим выражениям для средних по высоте пленки проекций скорости:

а

, (7)

Рі

о dk

8соз(в)соз(3)-----------

_ Д Д dх _

3

Рк 8 зіп(3) 5 2

3 д

(8)

Рассматривая произвольный элементарный объем конденсатной пленки, составим уравнение материального баланса. При этом учтем, что потоки массы, протекающие через боковые грани элементарной площадки соответственно в направлениях осей х и г , определяются выражениями

мх = пх Р^і, Мі = Рк5^х .

(9)

(10)

Количество жидкости, сконденсировавшееся на поверхности этого

элементарного объема, будет равно —ATdxdz = rdM, и с учетом того, что поток

5

г дш дм л

массы

является

полным

дифференциалом

дМ dM = -V дх

х

dх + -

ді

дифференциальное уравнение материального баланса запишется в виде

1

—ATdхdl = г 5

дМх

дх

-dх + -

ді

dl

(11)

где 1 - коэффициент теплопроводности конденсата; 5 - локальная толщина конденсатной пленки.

2

=

Путем дифференцирования выражений (9)-(10) и соответствующей подстановки полученных формул в (11), после упрощений можно получить следующее уравнение:

.3/ д5(ф,г) дф др(ф) дф 4 л

д5(ф,і) дф

3 5 3(ф,і)--------------соз(Р (ф))-зіп (в (ф))-

V дф дх

Рк 8 соз(3)

3 д5(ф,і) дф dk 4

35 3(ф,і)---------------------+ 5 4(ф,і)

дф дх d 2 k

+ 3Рк8зіп(3)5 (ф,і)

дф дх dх д5(ф,і) 3 дХАТ

dх

2

Рк 8 соз(З) +

ді

(12)

гРк

Добавляя к (12) граничные формулировку физической задачи:

і = 0, 5 = 0 д5

условия, получим математическую

і = <»,

ф = ф 1

ф = ф 2

= 0

ді

д5 — = 0 дф

д5 — = 0 дф

(13)

где ф1, ф2 - углы, задающие начало и конец участка кривой, определяющей форму поверхности конденсации в полярной системе координат.

Дифференциальное уравнение в частных производных (12) с учетом граничных условий (13) позволяет произвести расчет распределения толщины конденсатной пленки по поверхности некруглой трубы произвольной формы, заданной натуральным уравнением кривой, с учетом действия сил поверхностного натяжения.

Частные случаи

Круглая труба

дР(ф,і)

дф 5(ф,і) = 4

1

— зіп(ф) Я

дР(ф,і)

ді

Іап (3) = — 3

1 - Р(ф,і)

соз(ф)

Я

Рфі)-

3д1АТ

гРк 8 соз (3)

где Я - радиус трубы; АТ - тепловой напор; Р(ф,і) - безразмерная толщина пленки.

Труба с профилем в виде участка логарифмической спирали Дальнейший анализ проведем для наклонных труб с поперечным сечением в виде участка логарифмической спирали. В этом случаи форма задается в

о

+

полярной системе координат р(ф) = а ехр[ф- с/£у], где у - показатель

логарифмической спирали, определяющий форму трубы. После замены переменных дифференциальное уравнение (12) принимает вид

дР(ф,і)

дф

4 3

соз (в (ф)) соз (у )зіп (у) о

-----------+ -

Р(ф)

1 - Р(ф,і)

Р 3(ф) Рк 8 соз(3)

зіп(в(ф)) 2соз2 (у) о

+ -

дР(ф,г) 1ап (3) ді зіп (у )

Р(ф)

Р 3(ф) Рк §соз(3)

5(ф, і) = 4 Р(ф, і )-

3цХАТ

гр ё 8 соз(3)зіп(у)

1 2 ф 2 1 . ч

а2 = — Г Г----------Р ф dфdг.

2 £ 0 5(ф, г)з1п(у)*

Граничные условия (13) трансформируются в

г = 0, Р = 0 дР

г = », — = 0 дг

дР

ф = ф 1, х = 0, — = 0 дф

дР

ф = ф 2, х = Ь, — = 0 дф

где 2 - длина трубы; £ - площадь поверхности конденсации.

Эллиптическая труба

В полярной системе координат форма эллиптической трубы задается

выражением р(ф) = а ■

1 -є 2 соз2(ф)

где є - эксцентриситет эллипса,

определяющий форму трубы; а - показатель масштаба эллипса, определяющий его размеры.

дР(ф(1 -е2 зт2 (ф))3/2

дф

а(1 -є 2)

зіп (ф) - -

3 8

2

2 а"

22

1 - 8 зіп (ф) 1 - 8 2

о зіп(2 ф) Рк 8 соз (3)

дР(ф, і)

+ 1ап(3) =

ді

(

1 - Р (ф, і)

(1 - 82 зіп2 (ф))3/2

а (1 - 8 2)

соз( ф ) --

1 - 82 зіп2 (ф)

X

2

х

а

соз(2 ф)

1 - 82зіп2(ф) 82 зіп2 (2ф)Л

1-8

1-8

Рк 8 соз (3)

Р(ф,і)-

3д!АТ

^Рк 8 соз (3)

а(1 - 8 2)

dфdl

£ 0 0 ^(ф,г) (1 - £2 з1п2 (ф))3/2 Труба с профилем поперечного сечения с постоянным градиентом кривизны ок

соз (в (х)) -

4

I2 Рк есоз(3)

дР(х, і) дР(х, і)

+1ап(3)-

дх

ді

= -(1 - Рх,і^ (х) зіп (в (х))) ,

3

5(хі) = 4

Рх,і)-

3д!АТ

'•Рк 8соз(3)

-dхdl,

а * =-Я

^ 0 0 5(х,і)

где к = I — - показатель формы трубы с постоянным градиентом кривизны dх

х

периметра поперечного сечения; в(х) =---------/k(х)^х ; форма поверхности для

к

данного случае задается натуральным уравнением кривой k (х) = ko +—2 х.

I

Линии тока

Выражения (5)-(6) позволяют произвести расчет линий тока конденсатной пленки без вычисления локальной толщины конденсатной пленки. Угол между вектором скорости и плоскостью поперечного сечения трубы определяется выражением

у(х) =------агйап

2

V у

(14)

Общее уравнение линии тока I в параметрическом виде запишется как

х(/) = / соз(у( s))ds 0 Ґ

і(і) = / зіп(у( s))ds

0

о

х

I

Линии тока были рассчитаны для всех рассмотренных выше частных случаев.

Анализ полученных результатов показывает, что на трубах с постоянно уменьшающейся (от верхней образующей трубы к нижней) кривизной профиля поперечного сечения движение жидкости носит нисходящий характер вне зависимости от того, учитываются ли силы поверхностного натяжения или нет. Вместе с тем, действие сил поверхностного натяжения на верхней части поперечного сечения таких труб приводит к относительному уменьшению длины линий тока, делая их менее пологими (рис. 3, 4).

Рис. 3. Линии тока конденсатной пленки по поверхности трубы с поперечным сечением в виде логарифмической спирали Ь = 15• 10-3 м , у = 29,70, Э = 30о а - линия тока без учета сил поверхностного натяжения, Ь - линии тока конденсатной пленки, рассчитанные с учетом сил поверхностно натяжения

Рис. 4. Линии тока конденсатной пленки по поверхности трубы с постоянным градиентом кривизны

профиля Ь = 15• 10-3 м , к = -8,63, Э = 30о а - линия тока без учета сил поверхностного натяжения, Ь - линии тока конденсатной пленки, рассчитанные с учетом сил поверхностно натяжения

Для труб с увеличивающейся кривизной профиля в нижней части поперечного сечения (в частности эллиптических) расчеты показывают наличие восходящего течения конденсатной пленки в поддонном слое. По всей видимости это ведет к его «разбуханию» и, как следствие, росту полного термического сопротивления (рис. 5).

Рис. 5. Линии тока конденсатной пленки по поверхности эллиптической трубы L = 15 ■ 10-3 м, £ = 0,946 9 = 30о а - линия тока без учета сил поверхностного натяжения, b, с - соответственно нисходящая и

восходящая линии тока конденсатной пленки, рассчитанные с учетом сил поверхностно

натяжения

Выводы

Сформулирована постановка задачи о расчете теплоотдачи при конденсации неподвижного пара на наклонных некруглых трубах с произвольным профилем поперечного сечения. Получены нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, позволяющие произвести численные расчеты распределения толщины конденсатной пленки по поверхности труб, а также определить значения средних коэффициентов теплоотдачи.

Описана гидродинамическая картина течения конденсатной пленки на наклонных некруглых трубах для нескольких частных случаев профилей поперечного сечения. Полученные уравнения для линий тока позволяют произвести их расчет без вычисления распределения толщины конденсатной пленки по поверхности трубы.

Показано, что линии тока на поверхности трубы являются конгруэнтными кривыми, то есть совмещаются при наложении друг на друга.

Обнаружено наличие восходящего потока жидкости в поддонном слое, обусловленное силами поверхностного натяжения, для труб с возрастающей кривизной профиля поперечного сечения в нижней ее части. Показано, что обнаруженное явление обусловлено действием сил поверхностного натяжения.

Summary

The paper under analysis concerns the calculation model of condensation heat transfer during the film-type condensation of immobile gas on plain non-circular pipes with optional profile of cross-section, taking into account a surface tension force action. The calculation of the flow pattern of the condensate film flow on the surface of inclined non-circular pipes for several particular cases of cross-section is also made.

Литература

1. Интенсификация теплоотдачи при конденсации пара на горизонтальной некруглой трубе / В.П. Семенов, Г.Г. Шкловер, А.М. Усачев, Т.П. Семенова // Известия вузов. Энергетика. - 1988. - № 12. - С. 80-83.

2. Sheng-An Yang and Cha'o-Kuang Chen Role of surface tension and ellipticity in laminar film condensation on a horizontal elliptical tube // Int. J. Heat and Mass Transfer. - 1993. - Vol. 36. - P. 3135-3141.

3. S. B. Memory, V. H. Adams and P. J. Marto Free and forced convection laminar film condensation on horizontal elliptical tubes // Int. J. Heat and Mass Transfer. - 1997. - Vol. 40. - P. 3395-3406.

4. S.K. Som and Suman Chakraborty Film condensation in presence of non-condensable gases over horizontal tubes with progressively increasing radius of curvature in the direction of gravity // Int. J. Heat and Mass Transfer. - 2006. - Vol. 49.

- P. 594-600.

5. Никитин Н.Н., Семенов В.П. Оценка эффективности интенсификации теплообмена методом деформации поперечного сечения гладких горизонтальных труб // Инженерная физика. - 2006. - № 4. - С. 7-9.

6. Никитин Н.Н., Семенов В.П., Петрова О.В. Определение оптимальной формы поперечного сечения некруглых горизонтальных труб при конденсации // Инженерная физика. - 2007. - № 1. - С. 15-17.

7. G. P. Fieg and W. Roetzel Calculation of laminar film condensation in/on inclined elliptical tubes // Int. J. Heat and Mass Transfer. - 1994. - Vol. 37. - P. 619-624.

8. Hai-Ping Hu and Cha’o-Kuang Chen Simplified approach of turbulent film condensation on an inclined elliptical tube // Int. J. Heat and Mass Transfer. - 2006. -Vol. 49. - P. 640-648.

9. M. Mosaad Combined free and forced convection laminar film condensation on an inclined circular tube with isothermal surface // Int. J. Heat and Mass Transfer. -1999. - Vol. 42. - P. 4017-4025.

10. W. Kamminga An analytic solution of the film thickness of laminar film condensation on inclined pipes // Int. J. Heat and Mass Transfer. - 1980. - Vol. 23. - P. 1291-1293.

Поступила 07.05.2007