Математические молели процесса ламинарной конденсации пара в вертикальных трубах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.242

© В.А. Иодис, Р.И. Пашкевич, 2014

В.А. Иодис, Р.И. Пашкевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ЛАМИНАРНОЙ КОНДЕНСАЦИИ ПАРА В ВЕРТИКАЛЬНЫХ ТРУБАХ

Представлен обзор математических моделей процесса ламинарной конденсации восходящего и нисходящего потока пара в вертикальных трубах. В уравнениях сохранения энергии при восходящем движении пара часто процесс теплопроводности рассматривается только в поперечном направлении пленки, не учитывается конвективный перенос тепла в пленке конденсата и теплопроводность вдоль нее. В уравнениях сохранения импульса пренебрегают силами инерции, по сравнению с силами вязкости, тяготения и силами трения на границе раздела фаз. При нисходящем движении пара в большинстве работ не учитывается Архимедова сила.

Ключевые слова: математические модели, вертикальные трубы, восходящее и нисходящее движение пара, уравнения сохранения массы, импульса и энергии, граничные условия, коэффициент трения.

Список используемых обозначений:

ц — коэффициент динамическая вязкость, Па-с;

и, V — осевая, поперечная скорость, м/с;

у, г — координаты; г — радиус, м;

р — давление гидродинамическое, Па;

р — плотность, кг/м3; д — ускорение свободного падения,

м/с2;

Т — температура, °С;

ср1 — теплоемкость конденсата при

постоянном давлении, Дж/кг-К;

X — теплопроводность, Вт/м-К;

Яе — критерий Рейнольдса;

8 — толщина пленки конденсата, м;

в, у — коэффициенты неравномерности потока количества движения в продольном и радиальном направлениях;

т — массовый расход, кг/с; < — диаметр, м;

о — поверхностное натяжение, Н/м; а — живой радиус канала, м; ] — интенсивность конденсации пара, отнесенная на единицу площади поверхности пленки конденсата; ц — плотность теплового потока от пара к конденсату, Вт/м2.

Индексы: — верхние

□ — безразмерная величина;

145

Г — массовая скорость потока на

единицу ширины пленки конденсата, — нижние

кг/м-с; — состояние насыщение;

Ь(д — теплота парообразования, 1 — поверхность (граница раздела

Дж/кг; фаз);

т — касательное напряжение, Н/м2; № — стена;

Я — радиус трубы, м; 1 — жидкая фаза;

а — коэффициент теплоотдачи, Вт/м2-К; „ — паровая фаза;

0 — начальное значение.

А — площадь поперечного сечения

трубы, м2;

L — длина, м;

Ф — функция диссипации.

Е, — коэффициент межфазного

трения;

1. Математические модели процесса конденсации пара

в вертикальных трубах при восходящем движении пара

W. Roetzel [1] изучал совместное действие сил тяжести и сдвига между турбулентным потоком пара и ламинарным потоком конденсата. В своих исследованиях автор [1] использовал уравнение сохранения импульса, представляя задачу стационарной и пренебрегая силами инерции, кривизной потока конденсата, волновым движением пленки (табл. 1). В результате рассчитывалась локальная толщина пленки конденсата и адиабатическая температура перемешивания, при расчете толщины учитывался профиль вязкости конденсата, а при расчете температуры локальные свойства конденсата принимались постоянными, а профиль температурым — линейным.

R.A. Seban, J.A. Hodgson [2] рассмотрели решение Нуссельта для пленочной конденсации на вертикальной пластине и в вертикальной трубе при восходящем потоке пара. Особое внимание было обращено на выявление природы потока конденсата. Как показали исследования уменьшение расхода пара при конденсации по высоте трубы вызывает снижение касательного напряжения, удерживающего слой пленки. В своих теоретических исследованиях авторы [1] использовали уравнение сохранения импульса, пренебрегая силами инерции, кривизной потока конденсата (табл. 1). Для определения потерь давления вычислялся коэффициент трения (табл. 2). Авторы пришли к выводу, что на входе в трубу принятый метод расчета занижает величину межфазного трения.

146

Таблица 1

Основные уравнения математических моделей процесса конденсации пара в вертикальных трубах при восходящем движении пара

Автор Фаза Уравнение сохранения массы Уравнения сохранения импульса Уравнения сохранения энергии Граничные условия

при у = 0 при у = 8

W. Roetzel (1976) [1] К* д2щ ф„ -(pi~pv)a = о u, = 0

R.A. Seban, J. A. Hodgson (1982) [2] к* dPv n и,—Pi3 = ° dy dz u,= 0 du, oy Ai(Tsaf-TJ = ' 5 fs

S.J. Chen и др. (1984)[3] к* d2u, dp И-/ —т--- dy dz -(p/ -Pv)S = 0 d2T —f = o dy Uj = Vj = 0; T = T ■ 1 *w> du, oy т, = т;; ^rhfs

R. Girard, и J.S. Chang (1992) [4] G.-H. Chou и J.-С. Chen (1999) [5] к* 3(p,ru,) | dz , 5(P/iv/) _ о dr d(p,u?r) | d(p,u,x,r) dz dr dp. d ( duЛ + r-L-L-|i,— r—L + dz dry dr J + alp, - p> = о S(p,cp,u,rT,) | dz | S(p,cp,u,rT,) dr -хДЩ-0 dr\ dr J u,= 0 9ui i / \l 1

Окончание табл. 1

Автор Фаза Уравнение сохранения массы Уравнения сохранения импульса Уравнения сохранения энергии Граничные условия

при у = 0 при у = 8

R. Girard, и J.S. Chang (1992) [4] G.-H. Chou и J.-С. Chen (1999) [5] п* d(pvruv) dz , 5(Р„™„) _ g дг <5(р vu2vr) d{pvuvxvr) dz дг dp д ( диЛ| + г— -ц — г—- + dz dry дг J + gpvr = 0 и(= 0

Y. Pan (2001) [6] к* dz ду -pjg = о ду д2Т ду Uj = Vj = 0; Т = т ■ 1 1 V» U = U; = 0; (при Z = 0; V=0; uv=0 du, ду T, = Tv-, 1 9Т rh

* К* — уравнения для конденсата; П* — уравнения для паровой фаз.

S.J. Chen, J.G. Reed, C.L. Tien [3] представили математическую модель (табл. 1) кольцевого конденсационного потока в конденсаторе термосифона. В своих аналитических исследованиях они основывались на следующих допущениях: пренебрегали эффектом кривизны пленки конденсата (поверхности раздела), т.е. пренебрегали эффектом лапласовского давления и принимали постоянство давлений по сечению пленки. Пограничный слой кольцевого потока конденсата рассматривался как вертикальная пластина; течение в пленке рассматривалось как безинерционное, без ускорения, т.е. только под действием уравновешивающих друг друга сил гравитации и вязкого трения. Исследовалось в противотоке пар-жидкость влияния сопротивления паров на конденсацию, которое оценивали путем введения коэффициента трения, f (табл. 2), включающего изменение межфазного сдвига и разность скоростей между жидкой и паровой фазой, как и в работе [2]. Результаты показали, что межфазный сдвиг при ламинарном режиме течения паров снижает теплоотдачу незначительно. При турбулентном режиме течения снижение теплоотдачи становится заметным.

R. Girard и J.S. Chang [4] аналитически исследовали явление конденсации в одиночных вертикальных трубах с большим отношением длины трубы к ее диаметру l/D. В своих исследованиях они на следующих предположениях: поток стационарный, кольцевой, противоточный; ламинарный поток пленки конденсата, его толщина пренебрежимо мала по сравнению с внутренним радиусом трубы; профиль осевой скорости в ядре потока пара намного больше скорости пленки конденсата на границе раздела фаз. Давление в каждой фазе одинаково и является только функцией осевого положения; тепловой поток на внутренней стенке трубки является постоянным. Тепловые и гидравлические свойства обеих фаз постоянны и приняты

Рис. 1. Физическая модель конденсации: а — восходящее движение; б — нисходящее движение «пар-конденсат»

149

при температуре насыщения; сдвиговые напряжения на границе раздела фаз имеют небольшое влияние на характеристики базовой потока. В процессе исследования получали поперечные и осевые профили скорости в пленке конденсата, температурные профили пленки конденсата и корреляционную зависимость для градиента давления (табл. 1).

На тех же предположениях основывались и использовали основные уравнения математической модели в своих аналитические исследованиях пленочной конденсации пара в трубе G.-H. Chou и J.-C. Chen [5] (табл. 1). В результате получали поперечные и осевые профили скорости в пленке конденсата, температурные профили пленки конденсата, критерия Нуссельта и корреляционные зависимости для градиента давления ссылаясь на работу [3].

Y. Pan [6] воспользовавшись уравнениями сохранения массы, импульса и энергии (табл. 1), при следующих допущениях — толщина пленки конденсата мала в сравнении с радиусом трубы, эффектом кривизны пленки можно пренебречь; поток конденсата ламинарный, безинерционный; температура линейно распределена по пленке; теплофизические свойства пара и конденсата постоянны, процесс конденсации стационарен.

Таблица 2

Коэффициент межфазного трения при конденсации пара в вертикальных трубах при восходящем движении пара

Автор Коэффициент межфазного трения, f

Rev< 2000 2000 < < Rev < 4000 4000 < Rev < < 30 000 30 000 < < Rev < < 1 000 000

W. Roetzel (1976) [1] Д.В. Чистяков (1996) [9] 0,08 Re0-25 ' (Rev > 4000)

R.A. Seban, J.A. Hodgson (1982) [2] 16 Re„ Re0-33 1525 0,08 Re0'25 ' (Rev > 4000)

S.J. Chen и др. (1984) [3] G.-H. Chou и J.-C. Chen (1999) [5] Y. Pan (2001) [6] 0,079 Re0'25 0,046 Re0 '2

150

Авторы работ [2, 3, 5, 6] использовали в явном виде коэффициент трения, f в зависимости от критерия Рейнольдса пара (табл. 2) для последующего определения градиента давления в уравнении сохранения импульса. В работах же [1, 9] при моделировании коэффициент трения определяли при численном решении.

2. Обзор математических моделей процесса конденсации пара в вертикальных трубах при нисходящем движении пара

Lucas и Moser [7] исследовали ламинарную пленочную конденсацию чистых паров в трубах, решая уравнения теплопереноса интегральным путем (табл. 3).

В своей работе они исследовали влияние на процесс конденсации внешнего теплообмена, влияние ориентации трубы в пространстве и профиля скорости пара на входе в трубу. Авторами было установлено, что внешний теплообмен и ориентация трубы в пространстве (горизонтальная и вертикальная) существенно влияют на процесс конденсации, профиль же скорости пара на входе большого влияния не оказывает. При решении интегральных уравнений предполагалось, что свойства пара и конденсата постоянны, поверхностные натяжения на границе «пар-конденсат» отсутствовали; термическое сопротивление стенки незначительно, температура линейно распределена по пленке, поток конденсата безинерционный и ламинарный.

Dobran и Thorsen [8] провели аналитическое исследование стационарной ламинарной пленочной конденсации насыщенного пара при его вынужденном поточном течении «пар-конденсат» в вертикальной трубе при развитом полностью профилю скорости пара на входе в трубу. Уравнения математической модели (табл. 3) в совокупности с граничными условиями и допущениями позволили определить основные параметры, описывающие процесс конденсации. Допущения математической модели, представленной в [8] были следующие: пар и конденсат несжимаемы; свойства сред постоянны; поверхностное натяжение на границе раздела фаз (напряжение трения) отсутствует; разность температур в любой точке ядра потока пара по его оси и температурой на входе пара в трубу значительно меньше, чем разница температур пара на входе в трубу и поверхностью трубы. Установлено, что процесс конденсации может быть описан пятью параметрами — отношением числа Фруда к числу Рейнольдса пара, числом плавучести, отношением вязкости пара к вязкости конденсата, числом Прандтля жидкости и числом недогрева.

151

Таблица 3

Основные уравнения математических моделей процесса конденсации пара в вертикальных трубах при нисходящем движении пара

Автор Фаза Уравнение сохранения массы Уравнения сохранения импульса Уравнения сохранения энергии Граничные условия

при у = 0 при у = 8

F. Dobran and R.S. Thor-sen (1979) [8] К* 1 д(п/,) ди, _ г дг дг сК/. дч, дг дг др. 18.. +^- + 9,9—+ дг г дг + = 0; дг (т т (+ ^ 5г дг ) ди дг Т =2Ц-; дг г 3(Т,) -PW дг - -РМ gz + г dry дг J дг ( ' дг ) Т - Т • 1 v 1 sat' u,(z = 0,г) = 0; v,(z = 0,r) = 0; u,(z,r = K) = 0; v,(z,r = K) = 0; T,(z,r = R) = T ; Т,(г = 0,г) = Т^, p(z = 0,r) = p0 du,(z = -L,r) 3z v,(z = -L,r) = 0; Tj(z,r = К - 8) = Tsat; dT,(z = -L,r) Q dz

П* 1 d{rvv) ^ duv г dr dz dv dv or dz ф„ Id. . dr r dr r dr uv(z = 0,r) = vv{z = 0,r) = 0 u„(z = -L,r) = 0; uv(z = -L,r) = 0

duv(z,y = R) Sr ' vv(z,y = R) = 0

Д.В. Чистяков (1996) [9] К* dp. d2u. u,=0 f ЗиЛ I,, l J y-5 h

П* pv dz dz + & -0 2(d0 - 25)

X.-Z. Du, В.-Х. Wang (2003) [10] К* - dp. dz r 3r ^ 3r J 2 Afb-TJ ln(R/(R-8)) -drt4 =0 dz fs Г = R-V; du. - ц—1 = т,-; dr Pv - Pi = ——

П* + p g +-= 0 dz K-8

D.E. Kim et al. (2011) [И] К* [ r 3r ( 3r j j и, h = и, 1 1 r=R-5 1

Окончание табл. 3

Автор Фаза Уравнение сохранения массы Уравнения сохранения импульса Уравнения сохранения энергии Граничные условия

при у = 0 при у = 8

Ф. И. Шагиева (2011) [12] К* .с/и, . . .. с/р„ ~Т~ ~ (А) ~ аг аг -р,д(Д, - А) + 2жа; - ~ и,) - 2та0ти, = 0 аг т, = 0 (и, = 0); р = р0; т - т ■ -1 -'О' а = а0

п* . <3и . сЬр -т —г--А-5-2-- dz dz -р„дА - 2яат. + ^ / \ п аг с/Т Щ, Ф с/Ч с/г с/г ■сщ(Т-Т})-2рад = 0 Ч = Ч„

* К* — уравнения для конденсата; П* — уравнения для паровой фаз.

Д.В. Чистяков [9] предложил методику расчета локального теплообмена при конденсации движущегося вертикально вниз насыщенного водяного пара внутри вертикальной трубы в условиях ламинарного течения конденсатной пленки и полной конденсации пара в трубе. Решение уравнений (табл. 3) выполнялось автором при допущениях аналогичных модели Нуссельта. Расчет средних значений коэффициентов теплоотдачи, по предложенной модели, показал, что они выше, чем по модели Нуссельта. При этом расхождение растет с увеличением критерия Рейнольдса пленки конденсата.

Du и Wang [10] изучали влияние межфазных волн на интенсификацию теплообмена при конденсации в вертикальной минитрубе. В физической модели процесса рассматривалось совместное действие силы тяжести, напряжения сдвига на поверхности раздела фаз из-за изгиба пленки конденсата. При составлении математической модели (табл. 3) предполагалось, что амплитуда волн и толщина пленки конденсата стремится к нулю, в связи с чем, инерцией в уравнении импульса и конвективным переносом тепла в уравнении энергии пренебрегали.

Kim и др. [11] разработали новую модель для оценки толщины пленки конденсата и коэффициента теплоотдачи при ламинарной пленочной конденсации пара в трубе с поточным движением «пар-конденсат». В уравнениях математической модели учитывалось влияние гравитации, вязкости конденсата и парового потока, передача тепла осуществлялась только поперек пленки теплопроводностью (табл. 3). Новая модель описывает движение жидкой пленки с учетом эффекта истончения за счет сдвигового течения пара.

Ф.И. Шагиева [12] в своей диссертации приводит математическую модель (табл. 3), описывающую гидродинамические и тепло-физические процессы при прохождении пара через вертикальный цилиндрический канал, охлаждаемый извне. Результаты расчетов на основе данной модели могут быть применены для нахождения оптимальных режимов функционирования исследуемых реакторов, обеспечивающих полную конденсацию пара.

В работах [8-12] при моделировании процесса ламинарной конденсации пара в вертикальной трубе, определение коэффициента трения в явном виде не использовалось, он определялся численным решением.

155

Заключение

Обзор математических моделей процесса конденсации пара в вертикальных трубах при восходящем движении «пар-конденсат» показывает, что в уравнениях сохранения энергии (теплопроводности) авторы в большинстве своем не учитывают конвективный перенос тепла в пленке конденсата и теплопроводность вдоль нее, а процесс переноса тепла теплопроводностью рассматривается ими только в поперечном к пленке направлении. В уравнениях сохранения импульса конденсата пренебрегается силами инерции по сравнению с силами вязкости и гравитации, движение рассматривается только по оси г. Во всех рассмотренных работах не учитываются силы трения на границе раздела фаз и на поверхности труб.

При нисходящем движении «пар-конденсат» практически в половине работ кроме пренебрежения силами инерции и рассмотрения движения конденсатной пленки только по одной оси (г), не включается Архимедова сила, уменьшающая массовую силу др1 на величину дрч.

- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Roetzel W. Laminar film condensation in tubes; calculation of local film resistance and local adiabatic mixing temperature // Int. J. Heat Mass Transfer. — 1973. — Vol. 16. — P. 2297-2304.

2. Seban R.A., Hodgson J.A. Laminar film condensation in a tube with upward vapor flow // Int. J. Heat Mass Transfer. — 1982. — Vol. 25, No. 9. — P. 1291-1300.

3. Chen S.J., Reed J.G., Tien C.L. Reflux condensation in a two-phase closed thermosyphon // Int. J. Heat Mass Transfer. — 1984. — Vol. 27, No. 9. — P. 1587-1594.

4. Girard R., Chang J.S. Reflux condensation phenomena in single vertical tubes // Int. J. Heat Mass Transfer. — 1992. — Vol. 35, No. 9. — P. 2203-2218.

5. Chou G.-H., Chen J.-C. A general modeling for heat transfer during reflux condensation inside vertical tubes surrounded by isothermal fluid // Int. J. Heat Mass Transfer. — 1999. — Vol. 42. — P. 2299-2311.

6. Pan Y. Condensation characteristics inside a vertical tube considering the presence of mass transfer, vapor velocity and interfacial shear // Int. J. Heat Mass Transfer. — 2001. — Vol. 44. — P. 4475-4482.

7. Lucas K., Moser B. Laminar film condensation of pure vapours in tubes // Int. J. Heat Mass Transfer. — 1979. — Vol. 22. — P. 431-435.

8. Dobran F., Thorsen R.S. Forced flow laminar filmwise condensation of a pure saturated vapor in a vertical tube // Int. J. Heat Mass Transfer. — 1980. — Vol. 23. — P. 161-177.

156

9. Чистяков Д.В. Теплоотдача при конденсации водяного пара внутри вертикальных труб судовык теплообменных аппаратов: Автореф. дис. ... канд. тех. наук (05.08.05). — Санкт-Петербург, 1996. — 20 с.

10. Du X.-Z., Wang B.-X. Study on transport phenomena for flow film condensation in vertical mini-tube with interfacial waves // Int. J. Heat Mass Transfer. — 2003. — Vol. 46. — P. 2095-2101.

11. Kim D.E., Yang K.H., Hwang K.W. et al. Simple heat transfer model for laminar film condensation in a vertical tube // Nuclear Engineering and Design. — 2011. — Vol. 241. — P. 2544- 2548.

12. Шагиева Ф.И. Термогидродинамические процессы при инжекции газа в насыщенную льдом (парафином) пористую среду и при течении пара в канале: автореф. дис. на соиск. учен. степ. канд. физ. — мат. наук (01.02.05). — Тюмень, 2011. — 20 с.

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -

гИодис Валентин Алексеевич; НИГТЦ ДВО РАН; кандидат технических наук, старший научный сотрудник, e-mail: [email protected]

гПашкевич Роман Игнатьевич; НИГТЦ ДВО РАН; доктор технических наук; директор; e-mail: [email protected]

1Научно-исследовательский геотехнологический центр ДВО РАН

UDC 536.246

MATHEMATICAL MODELS OF THE PROCESS OF LAMINAR

STEAM CONDENSATION IN THE VERTICAL PIPES

1Iodis V.A.; Candidate of Technical Sciences; Senior Research Scientist, e-mail: [email protected]

1Pashkevich R.I. ; Doctor of Technical Sciencts; Laboratory Head; e-mail: [email protected]

Research Geotechnological Center, Far Eastern Branch of Russian Academy of Sciences

The review of mathematical models of the process of laminar condensation of ascending and descending steam flow in the vertical pipes was presented. In the energy-conservation equations under ascending steam motion the process of heat transfer is often considered only in a broadside film direction; the convective heat transfer in condensate film and heat conductivity along the film is not taken into account. In the momentum conservation equations inertial forces are ignored as compared with the forces of viscosity, gravitation and friction on the boundary phases interface. Under the descending steam motion the ascending force is not taken into account in most works.

Key words: mathematical models, vertical pipes, ascending and descending steam motion, equation of mass conservation, impulse and energy, boundary conditions, friction factor.

157

REFERENCES

1. Roetzel W. Laminar film condensation in tubes; calculation of local film resistance and local adiabatic mixing temperature, Int. J. Heat Mass Transfer, 1973, Vol. 16, pp. 2297-2304.

2. Seban R.A., Hodgson J.A. Laminar film condensation in a tube with upward vapor flow, Int. J. Heat Mass Transfer, 1982, Vol. 25, No 9, pp. 1291-1300.

3. Chen S.J., Reed J.G., Tien C.L. Reflux condensation in a two-phase closed thermosyphon, Int. J. Heat Mass Transfer, 1984, Vol. 27, No 9, pp. 1587-1594.

4. Girard R., Chang J.S. Reflux condensation phenomena in single vertical tubes, Int. J. Heat Mass Transfer, 1992, Vol. 35, No 9, pp. 2203-2218.

5. Chou G.-H., Chen J.-C. A general modeling for heat transfer during reflux condensation inside vertical tubes surrounded by isothermal fluid, Int. J. Heat Mass Transfer, 1999, Vol. 42, pp. 2299-2311.

6. Pan Y. Condensation characteristics inside a vertical tube considering the presence of mass transfer, vapor velocity and interfacial shear, Int. J. Heat Mass Transfer, 2001, Vol. 44, pp. 4475-4482.

7. Lucas K., Moser B. Laminar film condensation of pure vapours in tubes, Int. J. Heat Mass Transfer, 1979, Vol. 22, pp. 431-435.

8. Dobran F., Thorsen R.S. Forced flow laminar filmwise condensation of a pure saturated vapor in a vertical tube, Int. J. Heat Mass Transfer, 1980, Vol. 23, pp. 161-177.

9. Chistjakov D.V. Teplootdacha pri kondensacii vodjanogo para vnutri vertikal'nyh trub sudovyh teploobmennyh apparatov. Avtoref. Kand. diss. sciences. [Heat transfer with condensation inside vertical tubes of marine heat exchangers], St. Petersburg, 1996, 20 p.

10. Du X.-Z., Wang B.-X. Study on transport phenomena for flow film condensation in vertical mini-tube with interfacial waves, Int. J. Heat Mass Transfer, 2003, Vol. 46, pp. 2095-2101.

11. Kim D.E., Yang K.H., Hwang K.W. et al. Simple heat transfer model for laminar film condensation in a vertical tube // Nuclear Engineering and Design, 2011, Vol. 241, pp. 2544- 2548.

12. Shagieva F.I. Termogidrodinamicheskie processy pri inzhekcii gaza vnasysh-hennuju l'dom (parafinom) poristuju sredu i pri techenii para vkanale. Avtoref. Kand. diss. sciences. [Thermohydrodynamic processes with injection of gas-rich ice (paraffin) porous medium and in the flow of steam in the channel], Tyumen, 2011, 20 p. EH3

158