Влияние осевой симметрии дипольных кластеров на диэлектрическую релаксацию Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 538.956-404

ВЛИЯНИЕ ОСЕВОЙ СИММЕТРИИ ДИПОЛЬНЫХ КЛАСТЕРОВ НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКУЮ РЕЛАКСАЦИЮ

АРБУЗОВ А.А., НИГМАТУЛЛИН Р.Р.

Казанский государственный университет им. В.И. Ленина, 420111, г. Казань, ул.Кремлёвская 18

АННОТАЦИЯ. Рассмотрено обобщение фрактальной теории диэлектрической релаксации [1] на случай кластеров, обладающих цилиндрической симметрией. Применяя метод Мори-Цванцига [2] и используя гипотезу о самоподобной кластерной структуре рассматриваемой среды, удалось решить соответствующие линейные кинетические уравнения для макроскопической поляризации, содержащие дробные операторы дифференцирования и интегрирования с действительными и комплексно-сопряжёнными показателями. Впервые получено точное решение функционального уравнения для функции памяти рассматриваемой системы, что позволило найти непротиворечивую связь «микроскопики» и «мезоскопики». Также было получено обобщение известной формулы Рябова-Фельдмана-Пузенко [3], определяющей связь между характерным временем диэлектрической релаксации и степенным показателем, входящим в функцию Коула-Коула [4].

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: теория диэлектрической релаксации, метод Мори-Цванцига, фракталы, кинетические уравнения в дробных производных.

ВВЕДЕНИЕ

Известно, что электрическое поле в диэлектрике отлично от электрического поля в вакууме:

3 = Ё + 4пР = 5-Ё (в системе СГСЭ), (1)

где е - диэлектрическая проницаемость, Р = %■ Ё - дипольный момент единицы объема, X - диэлектрическая восприимчивость.

Помещая некоторый материал в переменное электрическое поле ё (ю) , можно получить его диэлектрический спектр. Рассматривая диэлектрические спектры, мы будем иметь ввиду, прежде всего, частотные зависимости вещественной и мнимой е"(а)

частей комплексной проницаемости. е"(а) называют фактором потерь, а - дисперсией диэлектрической проницаемости. Современная диэлектрическая спектроскопия анализирует поведение проницаемости е изучаемого материала в широком частотном (ю = 10-5Гц...10пГц) и температурном (Т= -170 °С... +300 °С) интервале. Такое широкое температурно-частотное окно способствует получению уникальной информации по релаксационной динамике исследуемого образца. Основная цель диэлектрической спектроскопии заключается в том, чтобы связать структурные и динамические параметры анализируемого материала с параметрами правильно подобранной аппроксимирующей функции на промежуточном (мезоскопическом) уровне пространственных и временных масштабов. Эта проблема имеет фундаментальный интерес, так как зачастую мы понимаем физику, контролирующую поведение отдельных атомов и молекул («микроскопику») и «макрофизику», объясняющую поведение больших макроскопических частей вещества. Но в большинстве случаев мы мало знаем о сложном поведении молекул внутри кластеров, а эти знания могут быть положены в основу понимания сильно-коррелированных движений больших групп молекул в области мезомасштабов.

Несмотря на существенный прогресс техники диэлектрических измерений [5], состояние современной теории диэлектрической релаксации далеко от совершенства. В настоящее время (как и ранее) для описания широкополосных диэлектрических спектров

большого класса гетерогенных материалов зачастую используется набор эмпирических функций, физический смысл которых остается неясным до сих пор. Наиболее популярной среди них является функция Гаврильяка-Негами [6], используемая для аппроксимации уширенного асимметричного пика потерь. Обычно, данные о частотной зависимости диэлектрической проницаемости интерпретируются и количественно описываются одной функцией Гаврильяка-Негами или их линейной комбинацией [7]. Однако при таком описании желаемая связь подгоночных параметров с физическими величинами, связанными со структурой материала и различными протекающими процессами не может быть установлена.

Некоторые другие подходы к описанию диэлектрических спектров, такие как теория связанных мод [8] и концентрационная флуктуационная модель [9], позволяют качественно рассмотреть только часть спектра стеклообразующих материалов и в настоящее время не могут использоваться для описания поведения комплексной диэлектрической проницаемости различных гетерогенных материалов в широком температурном/частотном диапазоне. Таким образом, построение единой и непротиворечивой теории, которая позволила бы описать одновременно как частотные, так и температурные данные - составляет основную проблему диэлектрической спектроскопии.

Не разработан также надежный инструментарий (набор методов анализа исходных диэлектрических спектров), позволяющий с большой долей достоверности распознавать, обосновывать выбор аппроксимирующей функции и интерпретировать диэлектрические спектры, т.е. позволяющий выбрать наиболее подходящую модель для описания данного спектра и, соответственно, вещества.

В последних работах одного из авторов этой работы (РРН) и его коллег были реализованы первые этапы построения общей теории диэлектрической релаксации (ОТДР), основанной на дробной кинетике. Было показано, что «универсальное» степенное поведение (изложенное в работе [1]) следует из сокращенного описания многочисленных микродвижений, которые сводятся к небольшому числу движений групп частиц, на промежуточном масштабе частот (мезомасштаб). Данный эффект аналитически доказан для слабо [1] и сильно [10] коррелирующих фрактальных структур, обладающих сферической симметрией. Показано, что такая кинетика процессов релаксации/переноса в гетерогенных диэлектриках описывается уравнениями, содержащими дробные интегралы и производные с действительными и комплексно-сопряженными показателями степени. Данная «нецелая» (дробная) кинетика следует из самоподобной (фрактальной) структуры среды [1], [10]. Частично были реализованы специальные процедуры распознавания данной степенной кинетики в диэлектрических спектрах [11]. Данный подход помог найти более широкую интерпретацию известного закона Фогеля-Фалчера-Таммана [12] как зависящего от температуры перехода от одного типа коллективного движения к другому, а также получить некоторые обобщения данного эмпирического соотношения, которые были подтверждены экспериментально [11] на доступных экспериментальных данных.

Однако на настоящий момент ОТДР находится на стадии проверки, и некоторые проблемы остаются по-прежнему нерешенными. Во-первых, данная теория разработана для сферически-симметричных систем, а далеко не все системы обладают сферической симметрией. Во-вторых, были получены лишь приближённые решения функциональных уравнений на функцию памяти рассматриваемой системы.

Ниже приводится обобщение ОТДР (предполагающей сферическую симметрию кластеров) на случай кластеров, обладающих цилиндрической симметрией. Очевидно, что многие тонкие пленки, а также макромолекулы, обладают данным типом симметрии, поэтому такое обобщение является, по мнению авторов этой работы, актуальным.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Мы начинаем наше исследование с бесконечной цепочки интегро-дифференциальных уравнений Мори-Цванцига [2]. Цепочка уравнений на произвольную временную корреляционную функцию (в нашем случае пропорциональную полной поляризации) может быть записана как:

^ = -} \ (Г - и) Р (и),

= -{ ^ (/ - и) ^ (и), (2)

где k1(t), k2(t) - это функции памяти соответствующих порядков.

Основная проблема, при использовании метода Мори-Цванцига, - это сделать правильное расцепление функции памяти, для того, чтобы оборвать бесконечную цепочку интегро-дифференциальных уравнений. Представим первое уравнение в виде

t

P (t)-P ( 0 ) + JM (t - и ) P ( и ) du = 0,

t t0 (3)

M (t) = J(t - и) k1 (и) du.

Причина такого представления в том, что уравнения Мори-Цванцига, записанные в традиционной форме (2), плохо описывают уширенные диэлектрические спектры. Возможно, это связано с тем, что в природе существуют обширные классы процессов, которые меняются медленнее, чем скорость процесса релаксации, связанная с первой производной. Такой релаксационный процесс должен описываться кинетическим уравнением, содержащим производную ниже первого порядка:

Dv0rvP (t) + P (t ) = 0. (4)

Уравнение (4) в частотной области приводит [13] к известному выражению Коула-Коула [4[ для комплексной восприимчивости. Данный тип кинетических уравнений в настоящее время не может быть выведен напрямую из традиционного формализма Мори-Цванцига. Поэтому необходимы новые методики получения уравнений Мори-Цванцига в чистой интегральной форме из первых принципов неравновесной статистической механики. В работе [1] предлагается достаточно общая процедура расцепления, связанная с вычислением функции памяти M(t), основывающаяся на самоподобных свойствах рассмотренного релаксационного процесса. С целью найти аналитическое выражение для Лаплас-образа функции памяти M(s) (s - параметр преобразования Лапласа), описывающей процесс релаксации/переноса с термостатом, сделаем следующие предположения (Assumptions):

А1. Рассмотрим релаксационный процесс (или процесс переноса) в некотором гетерогенном материале, имеющем самоподобную структуру и обладающем цилиндрической симметрией. Этот процесс может быть создан совокупностью электрически активных кластеров (т.е. каждый кластер состоит из группы сильно коррелирующих диполей или носителей электрического заряда), существующих в данном материале. Различные релаксационные процессы, происходящие в кластерах, могут слабо и сильно взаимодействовать друг с другом. Теория сильно взаимодействующих кластеров, обладающих сферической симметрией, адекватно описана в работе [10], и для экономии места мы не приводим её обобщение на кластеры, обладающие цилиндрической симметрией.

A2. Пусть элементарный акт релаксационного процесса (или процесса переноса) с термостатом, связанный с объемом Vn, описывается микроскопической функцией f (sz^z^.

Здесь тц, т - это характерные масштабные/релаксационные времена, описывающее процесс

релаксации/переноса с термостатом для группы сильно коррелированных диполей, находящихся в кластере объема Vn, вдоль продольной оси и вдоль радиуса цилиндра, соответственно. Если n-ый кластер содержит Nn1« диполей, то процесс релаксации/переноса

с термостатом для совокупности сильно коррелированных кластеров описывается функцией

M (s) =2 Nnlrh f (sv«2 ), (5)

Щ, «

где s = ja + 5 - это параметр преобразования Лапласа.

А3. Предполагается, что Лаплас-образ функции fz), зависящий от некоторой комплексной переменной z и описывающий акт взаимодействия электрического диполя с другими участниками релаксации/переноса, должен иметь такую зависимость от z, чтобы пределы при малых и больших z имели бы конечные значения (рассматривается общий случай) f (z ) = ( a0 + a1z + ••• + aKzK )/( b0 + \z + ••• + bPzP ), P > K . (6)

Таким образом, для |z| << 1 ( c0 = a0 /b0, c1 = a1 /b0 - a0bjb02, c2 = a2 /b0 + a1b1/b02 )

f (z )= c0 + ciz + C2z2 + . (7)

А для \z\ >> 1 ( A1 = aK/bP , A2 = aK_JbP - aKbP_Jbp , A3 = aK_2/bP + aKbp_j2bp - aK_1bP_Jbp )

f ( z ) = Aj zP_K + Aj zP_K+1 + Aj zP_K+2 + ■■■. (8)

А4. Предполагается, что распределения значений Nn1« и набора времен релаксации тП[,тП2 удовлетворяют следующим граничным условиям:

N««, = ЩЬ^т Т = (_N +1 <« <N _1; b>0;i = 1,2) (9)

При « = n2 = 0 определяется число диполей N0 и характерное время релаксации т0, соответствующие кластеру с минимальным (при b, Ç > 1) или максимальным (при b, Ç < 1) числом коррелирующих диполей. Не теряя общности рассуждений, можно предположить, что минимальный кластер содержит один диполь. Итак, для N0 = 1, т0 определяет характерное время элементарного акта релаксации/переноса одного диполя или элементарного носителя заряда с термостатом.

В результате сделанных выше предположений Лаплас-образ M(s) функции памяти M(t) приобретает вид

N1_1 N, _1

1 s )=Z Nnlnhf ( STnlTrh )= N0 2 2

«1,«2 «1=_N1+1 «2 =_ N2+1

Здесь, z = st0. С физической точки зрения, функция памяти M(z) в выражении (10) представляет собой полный набор функций памяти, которые аддитивно складываются между собой на каждом этапе процесса релаксации/переноса.

Хочется отметить, что к выражению (10) можно прийти, рассмотрев электрические самоподобные цепи следующего вида [14] (рис. 1).

Значения сопротивления R= R0 • b1«1 b"2 и ёмкости C= C0Çn1Ç22 отличаются на

различных участках цепи. Проводимость Y(ja>) и импеданс Z(jœ) таких цепей определяются выражениями (11) и (12), соответственно. Видно, что цепь, расположенная на рисунке слева, является трёхмерной моделью двойного электрического слоя, а цепь, расположенная на рисунке справа, моделирует фрактальную электролитическую среду (т.е. состоящую из самоподобных объёмных кластеров, электрические свойства которых можно охарактеризовать двухпараметрическими ёмкостью и сопротивлением). Здесь Rnn2 = R0 • b"1 b"2- омическое сопротивление, C = C^"1^"2- емкость, величины которых

различны для разных участков (звеньев) цепи (^ и bi - некоторые числовые константы, определяющие самоподобную структуру цепи, здесь и далее i = 1, 2).

N1 _1 N2 _1

M (s)=Z N^f ( s^ ) = N0 Z Z b" b?f ( z^Ç? ) = M ( z ) (10)

Рис. 1. Электрические самоподобные цепи

Очевидно, что проводимость цепи, расположенной на рис. 1 слева, определяется

следующим выражением:

N,-1 N -1

y(j^I^ = I I ,

«,,«2 «,=-N,+1 H2=-N2+1 1

n,=-Nj+1 n2=-N2+1 1 + jaR0C0 ' ^^A"1^ R0

2 hN¡ /,1-Ni

I h - h _y_hL

^ h-1 ti 1 + z•

b«íb2"2

i=1

1 + z •£ "2

. (11)

где z = jaR0C0 = jato (т0 - характерное время RC - ячейки), bi = , = £ibi.

Также легко показать, что импеданс цепи, расположенной на рис. 1 справа, определяется выражением

N1-1 N2-1

Z (j®)=S Z"!"2 = R0 II 7

b1 b2

b"1 b2"2

= R01 1 ,2 , , (12)

0 i + z e ще "2 v 7 "l,"2 z b1 b2

' 1 + 1тЯ С • /" /"2Ъ"1 Ъ"2

где 2 = ]юЯ0С0 = уют0 (т0 - характерное время RC - ячейки), ^ = . Соответствующее функциональное уравнение и его решение приведены в работе [14]. Аналогичный вид имеет также выражение для динамической восприимчивости [15], полученное в рамках ультраметрики, которая описывает сложные жидкости масштабной теорией дефектов. Для получения функционального уравнения заметим, что

^ I Ъ22

"2 =- N-2 +1

1 N2 -1 N2 -1

M (z£ ) = b.M (z ) + bN1-1 I b»2f (zf?1 £"2)- b-N1 I b»2f ( z£-N1 £"2),

bi » =- N +1 » =- N +1

"2=-N2+1 N1 -1

1 N1 -1 N1 -1

M (z£2 ) = 1M (z) + bN-1 I b"1f (z£N2£i )- b-N2 I bi1f (zg*2 tf ),

(13)

(14)

1 = - N1 +1 UN N

1=-N1+1 N N1-1

M(ztä)=~~m(z)+-b— I b"2f(z^"2I Kf^N2)-

b1b2

b1b2 "2=-N2+2

b1b2 n=-N1+2

1 - N2 N1 -1

b1-iV1 N2-1 b jv2 "1-

L I bV(z^"2)-^ I b^f(z£Y2-N2).

(15)

b1b2 »j =-N2 +2

b1b2 n=-N1+1

Комбинируя попарно суммы в последнем выражении и используя соотношения (13) и (14), после некоторых простейших арифметических операций окончательно получаем следующее уравнение (умножив обе части уравнения (15) на Ъ1Ъ2):

ЪА • М () = ^М () + Ъ2Ы () - М (2 ) + ^ ( 2 );

^ (2) = N0ЪN1-1ЪN22"V () + N0Ь[N% N2f () - (16)

- () - NЪ * ЪN2"V ().

1

2

Хочется отметить, что вся «микроскопика» сосредоточилась в слагаемом F(z), которое зависит от N. Покажем, что при N ^ <ж данная функция F(z) вырождается в константу С.

Для определённости рассмотрим случай, когда > £2 > 1. Используя граничные условия, можно представить функцию F(z) в виде

¥ ( 2 ) = _

V > Р-К гР-К)

ъ2^-1 ъ2щ

^г(Р-К) £1-Щ )(Р-К)

Р-К

при условии, что р лежит в следующем диапазоне

+ с0Ъ-" (ъ/2 - ъ"2-1), (17)

А -1 << и << - £Г1-1£"2. (18)

А1 с

Если дополнительно наложить требование

,,2 , Р-К)

Ъ1 \ ъ2 ъ2 1/с0£1 \ ъ2 ъ2

ы >>

А1ъ12"1-1 (ъ^^-ъ2-"2£(^2-1)(^-^)уСо£^1(^-^)(ъ2"2-1 -ъ2-"(\ (19)

то функция вырождается в константу вида

¥ (zС = ^ (ъ-"2 - ъ"2 1). (20)

Таким образом, при больших значениях N конкретный вид микроскопической функции релаксации/переноса /(2) не влияет на функцию памяти М(2) и, следовательно, на диэлектрическую релаксацию рассматриваемого материала.

Далее, для определённости рассмотрим случай / (2) = 1/(1 + 2) (отметим, что цепи,

изображённые на рисунке 1, описываются данной функцией). Согласно теории функций комплексного переменного можно представить данную функцию/(2) в следующем виде:

1 1 ( 11 л 3

/ (2) =-= -|1 — + — - ...\ = ^(-1)П2-"-1 (ряд сходится при 12 > 1). (21)

1 + 2 2 V 22 у „=о Выражение (21) представляет собой разложение функции в ряд Тейлора по отрицательным степеням. Аналогичным образом можно разложить данную функцию /(2) в ряд Тейлора по положительным степеням:

/ (2) = 1/(1 + 2) = (1 - 2 + 22 - •••) = ^(-1)И2" (ряд сходится при ^ < 1). (22)

п=0

Для более сложного случая, например, / (2) = 1/(22 - 22 - 3), помимо разложения в

ряд Тейлора по положительным степеням:

1 12 17 1 II

/(2) =-=---1----2----2 +... (ряд сходится для всех 2 < 1), (23)

4 ' 22 - 22 - 3 3 3 3 3 32 11

а также разложения в ряд Тейлора по отрицательным степеням:

1 ( 12 7 Л

/(2) = —-= I — + — + — +... I (ряд сходится для всех 12 > 3), (24)

2 - 2 2 - 3 V 2 2 2 у

необходимо добавить разложение в ряд Лорана:

1

(„ „2 \

12

/ (2) = —- 1+- +... —-I 1--+-2-.I (ряд сходится при 1 < < 3). (25)

3 3

V 33 у

1 (. 1 1

42 V 2 2

ЗО

Таким образом, для / (2 ) = 1/(1 + 2), можно представить функцию ¥(2), состоящую из

четырёх слагаемых, в следующем виде (см. табл., в которой приведены различные варианты разложения функции ¥(2), в зависимости от того, раскладывается ли соответствующее слагаемое в ряд Тейлора с положительными или отрицательными степенями):

Таблица

Разложение функции F(z) в ряд Тейлора по положительным и отрицательным степеням*

Граничное условие на первое слагаемое в ¥(2), ~ / (z£Nlí2N() Граничное условие на второе слагаемое в ¥(2), ~ / (г^1-"2) Граничное условие на третье слагаемое в ¥(2), ~ /(г^-"2) Граничное условие на четвёртое слагаемое в ¥(2), ~ / (2£1-) Вид функции ¥2)

* 1, следовательно / (zйN'£N( ) = 00 1 ¿(-1)" () "=0 2£-"1£2-"2 > 1, следовательно /() = 0° 1 ¿(-1)" (z£-Nl¿fNl )-"-1 и=0 2£"1£21-"2 > 1, следовательно / (2£Л£2-"2 ) = о 1 ¿(-1)" ( ) и=0 > 1, следовательно / (2£1-ЛГ1£Г2 ) = о 1 ¿(-1)" (2« )-"-1 "=0 ¥ (2) = Ъ1N1-1Ъ1N2-1 • о 1 •¿(-1)" ()-"-1 + "=0 о 1 +ъГ"1Ъ2-"2 ¿(-1)" ()-"-1 -"=0 о 1 -ЪN1-1Ъ2-N1 ¿(-1)" (z£Nl£1-Nl )-"-1 -"=0 о 1 "=0

< 1 , следовательно / () = о ¿(-1)" ()" и=0 ¥ (2) = ъ^ -1 • о 1 •¿(-1)" (££ )-"-1 + "=0 о 1 +№ ¿(-1)" (2£-л£2-"2 )-"-1 -"=0 о 1 ¿(-1)" (25"£2-"2 )-"-1 -"=0 Л-Ч"2 -¿(-1)" (2£11-"1£"2)" "=0

2£"1£21-"2 < 1, следовательно / ( 2££21-) = о ¿(-1)" ()" и=0 > 1 , следовательно / (2£1-ЛГ1£Г2 ) = о 1 ¿(-1)" (2«)-"-1 "=0 ¥ (2) = ъ1"1-1ъ"2-1 • о 1 •¿(-1)" (££ )-"-1+ "=0 о 1 +№ ¿(-1)" (2£-"£2-"2 )-"-1 -"=0 ¿¿(-1)" (25"£2-"2)" -"=0 о 1 "=0

< 1 , следовательно / () = ¿(-1)" ()" 11=0 ¥ (2) = ъ"-1^ -1 • о 1 •¿(-1)" (2^2 )-"-1 + "=0 о 1 +^"2 ¿(-1)" (2£11-"'Й-"2 )-"-1 -"=0 ¿¿(-1)" (2£"1£-"2)" - "=0 "¿(-1)" (2«)" "=0

* Для экономии места приведены лишь четыре случая из 16-ти.

Рассмотрим первый случай, когда все слагаемые раскладываются в ряд Тейлора с отрицательными степенями. Остальные пятнадцать случаев рассматриваются аналогичным образом. Итак, точное функциональное уравнение (16) для функции памяти М(2) для данного случая приобретает следующий вид:

ЬЬМ ($$) = ЬМ (+ЬМ ($) -М (z) + ^ (z);

да 1 да

^ (2) = ь^ -1 • £(-1)п ()-п- + £(-1)п ()-

-Г1 • £(-1)" (Я )-"-1 + № _

п=0 п=0

(26)

да 1 да 1 да

-Г^£(-1)п(2^2)-П- -ЬгХ2-1£(-1)п)-п- = £ип^;

п=0 п=0 п=0

ип = (-1)п [ь^ -1 )-п-1 )-п-1 -Ь^ )-п-1 -Ь^-1 )-п-1'

$2 > 1, 2£-Л1£-Л2 > 1, > 1, 2Я1-ЛЯ2Л2 > 1.

В этом случае будем искать решение данного уравнения в следующем виде (мы предполагаем данную структуру функции 8(2), зная решение 1 для более простого случая):

да

8(2) = (1П 2) + 2в • П2 (1П2) + £^-п-1 , (27)

п=0

где а, в, Сп - некоторые константы, а п1 ( 1п 2) и п2 ( 1п 2) - это комплексные двоякопериодические функции с действительными периодами 1п ) и 1п ($2).

Геометрическая/физическая интерпретация данных функций и оригинальные методы для их вычисления приведены в статье [1]. Подставляя (27) в функциональное уравнение (26) и учитывая периодичность функций п12 ( 1п 2), получаем следующее выражение:

2а (ЬДЯЯЧ ( 1п 2) - ъ^Ж, ( 1п 2) - Ь^Ж, ( 1п 2) + Ь1Ь2П1 ( 1п 2)} +

+2в {ьа^п ( 1п 2) - ь^п ( 1п 2) - ь2^ п ( 1п 2) + \ь2ж2 ( 1п 2)} + (28)

да

£ 2-п-1 [бп (ЬАС""Яп-1 - Ч;"-1 - п-1 + 1) - ип

= 0.

Очевидно, что данный полином равен нулю для произвольного 2, когда соответствующие коэффициенты при различных степенях 2 равны нулю, откуда имеем следующие три уравнения на искомые константы

ьлаа=ьяа+1, (29)

1 2 1 2 1 1 2

= ь$в + 1, (30)

бп («Гп-1$2-п-1 - п-1 - п-1 + 1) = ип . (31)

Введём переменные х: = , у = Ь2$2а; х2 = Ь1$1в, у2 = . (32)

Тогда, учитывая их, получаем следующие простые уравнения

= X + У -1 ^ (х -1)(У -1) = 0 ^ х, = 1 ог у, = 1, (33)

ЗД = Х2 + У - 1 ^ (*2 - 1)(У - 1)= 0 ^ X = 1 ог У2 = 1, (34)

бп = ия/ [(п-1 -1)(Ь2$2-п-1 -1)] . (35) Откуда следует, что а = - 1п Ь1/1п$1 , в = - 1п Ь2/1п$2 .

Введём обозначения: V, = 1пЬ1/1п$1, v2 = 1пЬ2/1п$2 . (36) Тогда, точное решение уравнения (26) принимает следующий вид:

да

М(2) = 2-"1 п ( 1п2) + 2• ж2 ( 1п2) + £ип2-1/ [(Ь^"- -1)(ЬЯ-"-1 -,)]. (37)

Хочется отметить, что показатели степени в выражении (36) имеют вид, подпадающий под общепринятое определение фрактальной размерности, предложенное в работе [16]. Если определить данные степенные показатели как динамическую фрактальную размерность (т.е. размерность, связывающую геометрические (Ь) и динамические (&) параметры самоподобной структуры), то логично рассматривать случаи, когда Ь, & > 1 либо

п=0

ъ;, £; < 1. Случаи ъ; > 1, £; < 1 и ъ; < 1, £; > 1 приводят, согласно (36), к отрицательным значениям размерности и поэтому требуют специального рассмотрения. Очевидно также, что при малых значениях " функция ¥(2) играет ключевую роль и, фактически, определяет функцию памяти М(2) анализируемого материала. Но в таком случае, уже нельзя говорить о самоподобной структуре рассматриваемой гетерогенной среды и поставленная нами задача становится тривиальной (т.к. в этом случае структура сводится к небольшому набору диполей/заряженных частиц). Очевидно, что логопериодические функции

П (1п ^(1п £ • 1п£)) могут быть разложены в ряд Фурье:

П(1пV(1п£))= ¿ С1Ч ехр\_2nnJ• 1п2/(1п£.)].

(38)

п=-

Принимая в рассмотрение определение (36) для ц и выражение (38), можно представить функцию памяти М(2) в виде

М (2 ) = ¿¿ Сщ ехр

; =1 щ =-о

" + А

. 2жп. 1п 2

+ ¿ ип

( ъ?£- "-1 -1)( ъ&-1 -1)'

1п£? • 1п£2

Вводя новые переменные

Ощ = 2ппг/[1п(£1 )• 1п(£2)] и 0П = ип/[(ъ?£-п-1 - 1)(ъ2£Г' -1)], получаем:

2 о о

М(2^ ¿ С^ ехр[(-V + ] •Ощ ) 1п2^¿Ц^-"-' .

;=' щ =-о "=0

(39)

(40)

Здесь, Ощ определяют наборы частот, приводящие к периодам 1п (£) в сумме (39). Предположим, что бесконечный ряд Фурье в (40) может быть приближенно заменен тремя

членами

2

М (2) =¿1^' (С0 + С ехр(у( О) 1п 2) + С*; ехр(-у'( Ц> 1п z))'\+¿Gяz-щi =

1=1 "=0 2 о 2 .

= ¿2^ [С0 + С? сЦ(Ц) 1п 2 -Ц ^¿¿и-"-1 =¿[0,^ + С?2-4+АО;> + С'^

(41)

+¿0,

;=' "=0 ;=1 "=0

Здесь, <О;> - это усредненные частотные моды, связанные с <п;> и комплексными амплитудами С? = |С?| ехр (Ц ). Эти моды <О;> определяют вклад ведущих членов в ряде Фурье в (40). Они определены как

(О,) = 2п(п.)/ [1п(£?)• 1п(£2)] . (42)

Логично назвать выражение (41) одномодовой аппроксимацией (ОМА), которое можно использовать для оценки точного выражения (40) для функции памяти М(2), содержащей бесконечный набор мод. Численные расчеты показали, что ОМА аппроксимирует выражение (40) с хорошей точностью.

Итак, возвращаясь к уравнению (3) и используя выражение (41), можно записать Лаплас-образ кинетического уравнения для полной поляризации Р(0 = р(а) в виде

Р ( 0 )

Р ( s )

¿[1+с02-" + с?2+а+ с

*'2-V; - А о;

+¿0 п

-"-'

"=0

(43)

Уравнение (43) во временной области может быть записано следующим образом:

(Р (t)-Р ( 0 ))+ ¿[С0 + СЩ-^™ + С*'Д-"-А°;> ^¿ЦА-_ ;=' "=0

Здесь, оператор П«а/(X) = — [п«а-1/ (X)] =

I [ ^( X )] = |

оператор Римана-Лиувилля [17]. Из уравнения (44) можно легко найти стационарное

1 X

) I(х - * Г / (*) ф

+ Р (t ) = 0 (44)

дробный

-"-1

2

А'

решение в присутствии переменного электрического поля и получить искомое выражение для комплексной диэлектрической проницаемости:

1 + К (7®) , ,

^ } (45)

2 ш

К (7®) = (® + С ( +^ + С*1 (] + £ип (7®)- -1.

;=1 п=0

Итак, процедура редуцирования/усреднения, реализованная для слабо коррелирующих самоподобных систем с функцией памяти (10), позволила записать кинетические уравнения для полной поляризации, содержащие дробные производные/интегралы, в виде специфических триад. Каждая триада содержит линейную комбинацию дробных операторов: один с действительным показателем и пару с комплексно-сопряженными показателями. Эти уравнения применимы к описанию явления релаксации/переноса в гетерогенном материале, имеющем специфическую функцию памяти. Специфика связана со счетным набором размеров, генерируемых фрактальной структурой, которая, в свою очередь, диктуется соответствующим релаксационным процессом. Для случая <0.; > ^ 0, логопериодические члены сохраняются. Они хранят память о корреляции самоподобных временных интервалов на различных масштабах. Комплексно сопряженные показатели исчезают (<0; > = 0), если соответствующая среда является случайной, и фрактальная структура становится непрерывной. Для такого случая, набор самоподобных временных интервалов становится некоррелированным.

Если Re[R(j®)] >> 1 для некоторого допустимого диапазона частот и система имеет постоянную токовую компоненту проводимости о о, тогда выражение (45) может быть переписано в виде

( ■ \ ( \ о0 е(0)-е(ю)

7® К (7®) (46)

2 г . . , . -, ад

к (7®) = £( г [1+С1 ()7 П;) + С*; ()-^ 1+£ип (7®)-п-1

п=0

Тогда, при условии, что в последнем выражении осцилляционные и поправочные члены достаточно малы, функция К (7®) вырождается в (7®т1 )"' +(7®т2 )У2. В настоящее время обрабатываются диэлектрические спектры, по-видимому, содержащие данный тип проводимости (о0^ (7®т1 )п +(7®т2)У2 ). В некотором диапазоне частот существенное

влияние может оказать лишь одно слагаемое и функция К (7® ) вырождается в (7® Т. Такой случай был экспериментально обнаружен А.К. Джоншером [18]. Он носит название низкочастотной дисперсии (НЧД). Таким образом, член (7®т) У может появиться в результате наличия скрытого (т.е. с пиком потерь, расположенным вне заданного частотного окна) низкочастотного процесса (мы наблюдаем только высокочастотный хвост процесса) или иметь иной смысл (НЧД). Поэтому, необходимо применять специальную процедуру распознавания, которая позволила бы отличить НЧД от высокочастотного хвоста скрытого низкочастотного процесса. Данная процедура для надежного детектирования такого рода процессов была разработана нами в работе [19].

ЗАВИСИМОСТЬ СТЕПЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ОТ ХАРАКТЕРНЫХ ВРЕМЁН РЕЛАКСАЦИИ

В ходе расчетов, приведённых во второй главе, получилось, что функция памяти, характеризующая поведение групп дипольных кластеров цилиндрической симметрии при N ^ <ж имеет следующий вид

;=1

M (z) = z(ln (z)) + z~vn2 (ln (z)) + C

(47)

т.е. при изучении групп кластеров цилиндрической симметрии необходимо распознавать два процесса, описываемых двумя степенными выражениями. В результате решения функционального уравнения (16) получилось, что степенные показатели зависят от структуры и динамики рассматриваемых групп кластеров следующим образом

V = ln (bi )/ln (£ ), V2 = ln (b2 )/ln (£2). (48)

Следуя основным положениям данной работы, можно записать динамические параметры как

=т/£2 = Т2 /Т02 , (49)

где т1 и т2 - это соответствующие характерные времена релаксации группы диполей первого поколения вдоль радиуса и вдоль оси цилиндра, а т01 и т02 - это минимальные времена релаксации, соответствующие процессу динамического самоподобия. Можно записать следующую зависимость параметров bi, характеризующих структуру рассматриваемой кластерной среды

bi = Gi (Рро )\ b2 = G2 (l/l0 )\ di + d2 = df, (50)

где d1 и d2 - это соответствующие фрактальные размерности, в сумме равные фрактальной размерности рассматриваемой среды df, Gi - геометрические коэффициенты, зависящие от фрактальной структуры рассматриваемой среды, р0, 10 - минимальные размеры кластера вдоль радиуса и вдоль оси цилиндра соответственно, через р, I обозначены соответствующие координаты. Далее, предполагая возможное диффузионное движение внутри группы коррелированных диполей, запишем уравнения Эйнштейна-Смолуховского

Р = 2dEiD6iTl = 4D6iTl , 1 = 2dE 2D62T2 = 2D62T

.82

(5i)

где dE, dEг - евклидовы размерности рассматриваемой среды вдоль радиуса и вдоль оси цилиндра соответственно, , Б - соответствующие коэффициенты диффузии, параметры в. = 1 соответствуют нормальному процессу диффузии, в > 1 соответствуют супердиффузии, а в. < 1 - субдиффузии. Подставляя (51) в (50), получаем следующие соотношения:

bi =

2/ 6

• G-2 d6 •( 4D6)

-V 6

6idj2

А =

2 6

• G2-2/ **

•( 4D6 )-

\d2¡2

(52)

J 11

Далее, подставляя (52) в (48), получаем следующие обобщенные уравнения для групп кластеров с цилиндрической симметрией

в А 1п (т/ Т) „ =в2 d2 1п (т2/т)

Vi =■

V2 =■

(53)

2 1п О":/ Т01)' 2 1п (Т2/Т02)

Параметры т. можно трактовать как соответствующие характерные времена

диффузионных процессов. В некотором диапазоне частот одно степенное выражение может доминировать, что приводит к одному модифицированному показателю и выражения (53) принимают стандартный вид

в +в2 ) df Ь Т ¡Т? )

V

= 0.5 (Vi +V2 ) =

ln (v Kff )

(54)

(d d V/ df f í d d V/ df

tv 1t22 ) , Ts ^ 77 = ( Tsi vts2 2 ) ,

ff í d d V/ df

т0 ^ t0 = (T0i T02 2 ) . В настоящее время осуществляется проверка данного обобщения на

реальных диэлектрических спектрах.

4

ЧИСЛЕННАЯ ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Развитие вычислительных технологий и программного обеспечения на сегодняшний день позволяет моделировать практически любые физические процессы. Поэтому, все полученные нами аналитические результаты в обязательном порядке проходят численную проверку, что позволяет обнаружить возможные ошибки, а также выявить некоторые скрытые особенности рассматриваемых функций. В данной главе приводятся основные результаты проделанных модельных экспериментов, подтверждающих аналитические исследования.

В ходе исследований было выявлено, что функция памяти (16) представляет собой сумму степенных выражений (41). Мы смоделировали данную функцию (41) и аппроксимировали её степенными выражениями, применив метод собственных координат [20]. Одной из основных особенностей данного метода является определение «глобального» минимума при осуществлении процедуры подгонки. Это становится важным, когда мы не знаем заранее начальные значения параметров подгонки, и особенно в случае, когда число параметров подгонки велико. Хочется отметить, что задание начальных значений комплексных величин также представляет собой сложную задачу. Другой важной особенностью МСК является возможность обоснованного выбора наиболее приемлемой гипотезы среди других возможных гипотез, которые могут быть предложены для аппроксимации реальных экспериментальных данных. В представлении собственных координат графики собственных координат, соответствующие «правильной» функции, должны давать набор наклонных прямых линий с параметрами подгонки, входящими в основное соотношение линейным образом. Они алгебраически связаны с первоначальным набором параметров подгонки исходной рассматриваемой функции. Для целей данной работы необходимо получить основные линейные соотношения для идентификации функций, которые можно представить в виде суммы двух степенных выражений, которые, очевидно, можно преобразовать в пару экспонент. Легко показать [20], что основное

линейное соотношение (ОЛС) для функции, содержащей две экспоненты,

2

у (х ) = Е 4 ехР (Ах), (55)

¿=1

имеет следующий вид:

7 ( х ) = £ СхХ, ( х ). (56)

Здесь

7 (х ) = у ( х )-(...); X! (х ) = { у (и )/и - (...), С = (А+А );

*0

х

Х2 (х) = |(х - и)у (иу!и - (...), С2 = -АА; Х3 (х) = х - (...).

(57)

х

[х ) = |( х - и)

х0

После вычисления коэффициентов С (э = 1, 2, 3) линейным методом наименьших квадратов (МНК) из выражения (56), искомые значения {Ар (р = 1,2)} находятся как корни полинома:

А2 - СА- С2 = 0. (58)

Символ <...> означает, что соответствующее значение арифметического среднего соответствующей величины должно быть вычтено. Например,

1 "

V - V - V . (59)

Эта операция необходима для исключения возможных постоянных величин из соответствующих уравнений и для обеспечения выполнения основного требования линейного МНК, а именно <е>= 0. Индекс у = 1, 2,., N определяет полное число

5=1

х

измеряемых точек (в нашем случае N = 50). Константа С3, входящая в (56), связана с величиной старшей производной в начальной точке и несущественна для дальнейшего анализа. Оставшиеся параметры {А. (. = 1, 2)}, после вычисления искомых корней полинома, легко находятся линейным МНК из выражения (55). МСК с полученными значениями корней помогает реализовать одновременную подгонку (фитинг) действительной и мнимой частей аппроксимируемой функции. Это является существенным преимуществом МСК по сравнению с традиционными нелинейными программами подгонки, которые, часто, обеспечивают удовлетворительный фитинг только той части спектра, которая связана преимущественно с мнимой частью комплексной функции.

В результате была получена хорошая аппроксимация модельной функции (см. рис. 2 и 3), что говорит о том, что функция памяти (16) действительно представляет собой сумму степенных выражений.

На рис. 2 показаны зависимости реальных и мнимых частей модельной функции

Л1!-1 Л2-1 Ъ^Ъ"2 -6

памяти М (() = Л0 ^ ^ -12 п п , с параметрами Ъ1 = 1,21; £ = 1,28; т0 = 2-10 с

щ=-Л1+1 п2=-Л2 +1 1 + _/'®Т0£1 1£22

Ъ2 = 1,23; = 1,25 , Л0 = 1, Л1 = 220, Л2 = 200, обозначены кружками. Сплошные линии

представляют собой соответствующие действительную и мнимую части

аппроксимирующего выражения Мйеог (7®) = (]отх)+(]от2)"2, с параметрами

V =-0,82; т = 2,4-10-6с, у2 =-0,73, т2 = 1,6-10-8с . Частота меняется в диапазоне

о = 0.01...3- 10-6Гц. Такой качественный фитинг говорит о том, что функция памяти (16) действительно представляет собой сумму степенных выражений.

Re[M(jro)]

Re[M()<J

S 3x10lu E E

E 1x10<°.

Im[M()ro)]

HMHhJ

П(ш)

|п(ш)

Рис. 2. Зависимости реальных и мнимых частей модельной функции памяти

N,-1 N2-1

M(>) = N X Ё т

и,=-N,+1 "2=-N2 +1 1

b "1b "2 b1 b2

+1 1 +

2,5x10

2,0x10

1,5x10

1,0x10

a: ^.„„s

5,0x10

0,0-

0-

-5

0

5

-5

0

5

Если вклады степенных выражений приблизительно равны, то распознать мнимую добавку к степеням не представляется возможным (она слишком мала, по сравнению с действительными показателями). Но, во многих случаях вклад одной степени мал, и, после нахождения действительных составляющих степеней, следует рассмотреть функцию

<(jo)= M(jo)/(jo) , где v - значение ведущего показателя степени. Данная функция

представляет собой, согласно 1, выражение вида

y (jo ) = C0 + \C1 | cos ((П) ln (a)-w). (60)

Её аппроксимация не составляет труда (см. работу [1]), и комплексная добавка к ведущему показателю степени легко находится (см. рис. 3). Таким образом, в результате численных

экспериментов удается подтвердить, что функция памяти (16) действительно представляет собой сумму степенных выражений вида (41), с действительными и комплексно-сопряжёнными показателями.

8,0x103-

<U

а:

ln(ra)

5 10

1п(ю)

Рис. 3. Зависимости реальных и мнимых частей модельной функции <( j®® = S (j® )/(j®)

На рис. 3. показаны зависимости реальных и мнимых частей модельной функции <(j®) = S(j®)/(j®® , с параметром v = -0,82, найденным при аппроксимации данных, обозначены квадратиками. Сплошные линии представляют собой соответствующие аппроксимирующие выражения вида y (®) = С0 + |с| cos ln (®)-у), с параметрами 1С = 4,42• 10-7; C0 = 0, Q = 4,05; у = -1,7 для мнимой части и |С| = 4,42-10-7; C0 = 4,39,

Q = 4,05; у = 2,9 для реальной части. Частота меняется в диапазоне ® = 0,01...3 •lO-6 Гц. Подобные осцилляции говорят о том, что функция проводимости содержит пару степенных слагаемых с комплексно-сопряжёнными показателями степени.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

1) Основываясь на предположении, что структура рассматриваемого материала состоит из групп слабо коррелированных кластеров цилиндрической симметрии, а каждый кластер, в свою очередь, состоит из сильно коррелированных диполей, удалось показать, что функция памяти данной структуры в частотной области представляет собой сумму степенных выражений с действительными и комплексно-сопряжёнными показателями (41). Данный результат можно рассматривать как теоретическое подтверждение (и обобщение на случай комплексно-сопряженных показателей) явления универсального отклика [18], обнаруженного экспериментально во многих гетерогенных материалах.

2) Каждое дробно-степенное выражение отражает, в математической форме, некоторый редуцированный (усредненный на самоподобной структуре) динамический процесс. В роли такого процесса, может выступить, например, микроскопический процесс релаксации элементарного диполя или процесс переноса носителей заряда.

3) Показано, что значения показателей степени связаны лишь с самоподобной структурой рассматриваемого материала и не зависят (при Nг ^ да) от конкретного вида микроскопической функции релаксации/переноса /(2). Удалось также связать данные показатели с динамической фрактальной размерностью (т.е. размерностью, объединяющую геометрические (Ьг) и динамические (£) параметры самоподобной структуры, формула (36)), придав им, таким образом, новый физический/геометрический смысл.

4) Удается показать, что возникновение логопериодических функций в решении функциональных уравнений тесно связано с сохраняющейся при больших N >>1 дискретной

1.50E-007-

8,0x10

1.00E-007

8.0x10 -

5.00E-008 -

0.00E+000 -

8,0x10

-5.00E-008

8,0x10

-1.00E-007-

8.0x10 -

-1. 50E-007 -

8,0x10

-2. 00E-007

-5

0

5

-5

0

15

структурой среды (40) и её фрактальностью, имеющей место на счетном множестве масштабов. Очевидно, что для среды, представляющей собор набор случайных фракталов логопериодические функции усредняются (замена суммы на интеграл приводит к усреднению функций по периоду), и их влияние на структуру среды становится несущественным.

5) В этой работе было получено обобщение формулы Рябова-Фельдмана-Пузенко [3], устанавливающая связь степенных показателей с характерными временами релаксации, для групп кластеров относящихся к цилиндрической симметрии.

6) Несомненно, подобная дробная кинетика потребует тщательного пересмотра существующей теории необратимых процессов, особенно для линейных систем, когда их эволюция со временем описывается дробными операторами дифференцирования и интегрирования с действительными и даже комплексно-сопряженными показателями, возникающими вследствие редуцирования самоподобных процессов, распределенных на соответствующем фрактальном множестве.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Современная диэлектрическая спектроскопия - это мощный метод исследования релаксационных процессов. Главной её проблемой является отсутствие единой теории диэлектрических спектров. Нами разрабатываются основы общей теории диэлектрической релаксации, ключевым моментом которой является процедура редуцирования (усреднения) большого числа различных микродвижений к нескольким коллективным движениям, описываемых функцией памяти (16). Данная процедура помогает понять некоторые скрытые особенности процесса диэлектрической релаксации для широкого класса гетерогенных веществ [21], [22], [23] и [24]. Показано, что явление диэлектрической релаксации может описываться дробными кинетическими уравнениями вида (44), причем показатели могут иметь комплексно-сопряженные значения. Удалось также найти непротиворечивую связь «микроскопики» (детализированное описание взаимодействий) и «мезоскопики» (усредненные на кластерной структуре микроскопические процессы): оказывается, что каждая область информативна в своём частотном диапазоне. «Микроскопику» можно наблюдать на высоких частотах в резонансных ИК-спектрах. «Мезоскопика» проявляет себя в области более низких частот в классических релаксационных диэлектрических спектрах. Предполагается, что вклады обоих слагаемых сравнимы в плохо исследованной на настоящее время терагерцовой области, где наблюдаются переходные, релаксационно-резонансные спектры.

Частично данная работа была выполнена в рамках аналитической ведомственной целевой программы "Развитие научного потенциала высшей школы 2009-2010 г/г." по теме РНП-14 "Неинвазивные методы обработки спектров, сигналов и шумов сложных гетерогенных систем, включая микро/наносистемы" (код проекта 2474), и авторы выражают свою признательность Министерству Образования и Науки за финансовую поддержку.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Nigmatullin R.R. Theory of dielectric relaxation in non-crystalline solids: from a set of micromotions to the averaged collective motion in the mesoscale region // Physica B : Physics of Condensed Matter. 2005. Vol.358. P.201-215.

2. Mori H.A continued-Fraction Representation of the Time Correlation Function // Progr. Theor. Phys. 1963. Vol.30. P.578 - 592.

3. Feldman Yu., Puzenko Al., Ryabov Ya. Non-Debye dielectric relaxation in complex materials // J. Chem. Phys. 2002. № 284. P.139-168.

4. Cole K.S., Cole R.H. Dispersion and Absorption in Dielectrics I. Alternating Current Characteristics // J. Chem. Phys. 1941. Vok.9. P.341-351.

5. Kremer F., Serghei A. Broadband dielectric studies on the interfacial dynamics enabled by use of nanostructured electrodes // Rev. Sci. Instrum. 2008. Vol.79. P.025101.1-14.

6. Havriliak S., Negami S. A Complex Plane Analysis of a-Dispersions in Some Polymer Systems // J. Polymer Sci.- Pt C. 1966. Vol.14. P.99-117.

7. Zhang C., Stevens G.C. The Dielectric Response of Polar and Non-polar Nanodielectrics // IEEE Transactions on Dielectrics and Electrical Insulation. 2008. Vol. 15. № 2. P. 606-617.

8. Gotze W., Sjogren L. Relaxation processes in supercooled liquids // Rep. Progr. Phys. 1992. Vol. 55. P. 241-253.

9. Katana G., Fischer E.W., Abetz V., Kremer F., Hack Th. Influence of Concentration Fluctuations on the dielectric arelaxation in homogeneous Polymer Mixtures // Macromolecules. 1995. Vol. 28. P. 2714-2722.

10. Nigmatullin R.R. Mehaute A. Le. Is there a geometrical/physical meaning of the fractional integral with complex exponent? // J. Non-Crystalline Solids. 2005. Vol.351. P.2888-2899.

11. Nigmatullin R.R., Osokin S.I. Signal processing and recognition of true kinetic equations containing non-integer derivatives from raw dielectric data // J. Signal Processing. 2003. Vol. 83. №11. P.2433-2453.

12. Lunkenheimer P. Pimenov A., Schiener B., Böhmer R., and Loidl A. High-frequency dielectric spectroscopy of glycerol // Europhys. Lett. 1996. Vol.33. P.611-616.

13. Nigmatullin R.R. Ryabov Ya.A. Dielectric relaxation of Cole-Cole type and self-similar process of relaxation // J. Physics. 1997. №4. P.6-11.

14. Арбузов А.А., Нигматуллин Р.Р. Проводимость последовательного и параллельного соединений самоподобных электрических цепей // Нелинейный мир. 2008. №8, Т.6. С.34-41.

15. Vasin M.G. General approach to the description of the glass transition in terms of critical dynamics // Phys. Rev. B. 2006. Vol.74. P.214116.

16. Mandelbrot B.B. The fractal geometry of Nature. W.H. Freeman & Co. New York, 1977.

17. Oldham K.B., Spanier J. The Fractional Calculus // Academic Press, NY and London, 1974. P.128-135.

18. Jonscher A.K. Dielectric Relaxation in Solids. Chelsea Dielectric Press, London. 1983.

19. Арбузов А.А. Обобщённый обратный формат и его применение к обработке диэлектрических спектров // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион, 2007. №4. С. 112-121.

20. Nigmatullin R.R. Eigen-Coordinates: New Method of Analytical Functions Identification in Experimental Measurements // Appl. Magnet. Resonance. 1998. Vol.14. P.601-633.

21. Nigmatullin R.R., Arbuzov A.A. , Salehli F., Giz A., Bayrak I., Catalgil-Giz H. The first experimental confirmation of the fractional kinetics containing the complex power-law exponent: dielectric measurements of polymerization reactions // Physica B. 2007. Vol.388. P.418-434.

22. Nigmatullin R.R., Arbuzov A.A., Salehli F., Giz A., Catalgil-Giz H. Experimental confirmation of oscillating properties of the complex conductivity: Dielectric study of polymerization/vitrification reaction // Journal of non-crystalline solids. 2007. Vol.353. P.4143-4156.

23. Yilmaz Y., Gelir A., Salehli F., Nigmatullin R.R. and Arbuzov A.A. Dielectric study of neutral and charged hydrogels during the swelling process // J. Chem. Phys. 2006. Vol.125. P. 234705.

24. Nigmatullin R.R., Arbuzov A., Nelson S. E. Dielectric relaxation in complex systems: honeydew melons from 10 MHz to 1.8 GHz. // Journal of Instrumentation. 2006. Vol. 1. P. 10002.

INFLUENCE OF DIPOLE CLUSTERS WITH AXIAL SYMMETRY ON DIELECTRIC RELAXATION

Arbuzov A.A., Nigmatullin R.R. Kazan State University, Kazan, Russia

SUMMARY. The generalization of the fractal dielectric relaxation theory on clusters with axial symmetry has been considered. Based on the Mori-Zwanzig formalism and the hypothesis of self-similar cluster structure of a medium considered it can be possible to solve the corresponding kinetic equations for macroscopic polarization, containing noninteger operators of differentiation and integration having real and complex conjugated power-law exponents. In the first time the exact solution of functional equation for the considered system memory function has been found, which, in turn, allows to find consistent relation between microscopic and mesoscopic description of relaxation phenomena. We also find the generalization of the well-known Ryabov-Feldman-Puzenko formula which established a relation between the dielectric relaxation characteristic time and the power-law exponent entering initially in the Cole-Cole function.

KEYWORDS: theory of dielectric relaxation, Mori-Zwanzig method, Fractals, kinetic equations with fractional derivatives.

Арбузов Андрей Александрович, магистр физики, аспирант КГУ им. В.И. Ленина, тел. (843)231-53-42, e-mail: andrey. arbuzov@mail. ru

Нигматуллин Равиль Рашидович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики КГУ им. В.И. Ленина, тел. (843)231-53-42, e-mail: [email protected]