Влияние низкочастотных флуктуаций тока и напряжения на распространение нелинейных импульсов в длинных линиях с дисперсией Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.3; 530.1

ВЛИЯНИЕ НИЗКОЧАСТОТНЫХ ФЛУКТУАЦИЙ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСОВ В ДЛИННЫХ ЛИНИЯХ С ДИСПЕРСИЕЙ

В.Ю. БЕЛАШОВ, Е.С. БЕЛАШОВА Казанский государственный энергетический университет

Аналитически исследовано влияние низкочастотных флуктуаций тока и напряжения на распространение импульсов ВТН в длинных линиях с дисперсией, включающих нелинейные элементы. Показано, что даже в пренебрежении потерями под влиянием внешних (по отношению к импульсу) низкочастотных флуктуаций импульс деформируется, причем, асимптотически, его характерный размер вдоль направления распространения и амплитуда изменяются,

соответственно, как ^3/2 и ^_3/2.

Ключевые слова: длинные линии, нелинейная нагрузка, волны тока и напряжения, уравнение КдВ, стохастические колебания.

1. Основные уравнения и постановка задачи

Распространение нелинейных волновых импульсов тока и напряжения (ВТН) в длинных линиях с распределенными параметрами, возбуждаемых внешними источниками электромагнитного поля, изучалось теоретически и численно в работах [1, 2]. При этом в [1] для неоднородных телеграфных уравнений, описывающих ВТН в линиях с линейной нагрузкой, были получены точные аналитические решения для источников типа удаленного разряда молнии, индуцирующих ВТН вследствие растекания зарядов, «подтянутых» электростатическим полем грозового облака. Для линий с нелинейной нагрузкой возникающая при этом система неоднородных уравнений Кортевега-де Вриза (КдВ) решалась численно с использованием развитых в [2, 3] методов численного интегрирования нелинейных систем. Однако и в том, и в другом случае предполагалось, что низкочастотные (по сравнению с характеристической длиной импульса) колебания тока и напряжения в линии изначально отсутствуют. Реально же практически всегда мы встречаемся на практике с ситуацией, когда на распространяющиеся в линиях сигналы (например, в сетях управления) оказывают свое влияние внешние ЭМ поля, генерируемые близрасположенным электрооборудованием промышленного или энергетического объекта, суммарное воздействие которых на линию носит хорошо выраженный хаотический характер. Такое воздействие, в результате, можно в достаточно хорошем приближении рассматривать как стохастические флуктуации индуцируемого в линии тока (и, соответственно, напряжения), частоты которых (порядка промышленной частоты) существенно меньше характерных частот управляющих импульсов ВТН, распространяющихся по сети.

В настоящей работе изучается влияние такого рода низкочастотных флуктуаций тока и напряжения на характер распространения импульсов ВТН, распространяющихся в длинных линиях, включающих нелинейные элементы (например, полупроводниковые (параметрические) диоды, варисторы или

© В.Ю. Белашов, Е.С. Белашова Проблемы энергетики, 2011, № 3-4

разрядники в качестве нелинейных емкостей и др.) с дисперсией, определяемой наличием в линии индуктивных элементов. Для линии, элемент которой показан на рис. 1, уравнения, описывающие распространение ВТН, имеют вид системы уравнений КдВ, учитывающих возможные потери в линии [2]:

д ¡I + (а11 д хи + р15 Хи + М)/Ь = 0, д и + (а 2и д Х1 + р 2д 3Х1 + Ои)/С = 0,

(1)

-»< х <х>, ¡ > 0.

где Я, С, Ь, О - распределенные параметры: сопротивление, емкость, индуктивность и коэффициент утечки (проводимость), рассчитанные на единицу длины; а1, а 2 и и 1, р2 - параметры, определяющие вклад, соответственно, нелинейных и дисперсионных эффектов. Следуя [3], перепишем уравнения (1) в безразмерном виде:

Х+(1\~

Рис. 1. Элемент длинной линии с магнитной связью

д ¡I+«11д хи+р1д Хи+~11 = о, д и + ~2ид Х1 + ~2д 3Х1 + ~2и = 0,

(2)

где коэффициенты «1,2, Р1,2, У1,2 также являются безразмерными, и для

упрощения анализа будем вначале предполагать, что потери в линии пренебрежимо малы: у^ «0, поскольку их наличие может при исследовании

"маскировать" эффекты, обусловленные воздействием стохастических флуктуаций тока и напряжения на распространение импульса ВТН (влияние потерь обсудим в завершающей части работы). Рассмотрим одно (любое) из полученных таким образом уравнений и, опустив «тильды» и индексы при коэффициентах, а также предполагая, например, для первого уравнения (2), что на временах, много меньших характеристического периода флуктуаций, ток и напряжение связаны линейным соотношением и = 1Я, запишем

д и + аид хи + рд Ъхи = 0, где а = а1, р = ~1 Я.

Для упрощения выполним замену и ^ -(6/а)и и введем в уравнение член, описывающий стохастические флуктуации:

д¡и - 6идхи + дхи - п(^) = 0.

(3)

Уравнение (3) представляет собой так называемое «стохастическое» уравнение КдВ, впервые (безотносительно к типу среды) исследованное М. Вадати [4]. Из [3, 5] известно, что это уравнение при п (¡)=0 описывает эволюцию нелинейных волн и солитонов в самых разнообразных средах с дисперсией. Для определенности будем исследовать влияние стохастических колебаний тока и напряжения в линии на солитон уравнения КдВ, поскольку при п (¡)=0 он является устойчивым образованием и распространяется без изменения своей формы и скорости, хотя осуществляемый ниже подход является достаточно общим (так, в разд. 2 решается задача для волн любого типа, описываемых

уравнением, в общей постановке).

В уравнении (3) п (г) описывает внешний "шум", когда характеристические размеры солитона ВТН 4 много меньше когерентной длины шума 1п. Это является частным случаем более общего, когда внешний шум описывается членом вида П (х,г). Однако, будучи более простым для аналитического изучения, рассматриваемый частный случай позволяет получить точный результат и дает нам информацию, которая является весьма полезной и для более общей ситуации,

когда > 1п.

2. Общее точное решение

Прежде всего заметим, что уравнение (1) связано с уравнением КдВ: ду - 6Уд¡У + д^У = 0 преобразованием Галилея:

г

и (, х) = У (, ¡)+ W (), W () = | ), (4)

¡= х + т((), т(( )= W ((

и, следовательно, является полностью интегрируемой системой и может быть проинтегрировано методом ОЗР [6]. Следуя анализу, выполненному в [4], будем предполагать, что внешний шум п (г) является гауссовским:

(л(г1)л('2)."Л('п)) = 0 (нечетные п);

= )ц(tj)) (четные п) (5)

и белым (п(г)п(г ')) = 2гб(г - г'). Здесь угловые скобки ( ) обозначают статистическое усреднение, а символы ЕП, как и в работе [4], означают, что мы выбираем п/2 пар (г,, г'), умножаем п/2 раз и суммируем по всем

различным (п-1)!! В этом случае для W(t) будем иметь: ^ (()) = 0, ^ (^ )W (г 2 )) = атш^, ),

(exp [ (()]] = exp [ 2 с 2( W 2 ())

(6)

с = говд^

Рассмотрим вначале задачу в наиболее общей постановке. Пусть функционал от У(, ^) имеет следующий вид:

^ [у (, ¡)]= ¥)у (г, ¡), д ¡),...]= ^ (г, ¡). (7)

Рассматривая преобразование Фурье

F(, 2- |dkF (,k)ек, #(, k)= / (, ф-кх,

-го -го

с учетом флуктуаций координаты 4 получаем [3]

#(, к) = (, к) ехр [1к т^)], (8)

го

где , к) = # ((, к)от=0 = / dxF(, х)е. (9)

-го

Статистически усредняя, будем иметь

(# (а ))=#0 (а )О(к), (10)

где для О(к )= (ехр[г'кт^)]], используя (5) и (6), можно записать

О(к)=ехр Ц-1к2(т2()) , (т2()) = 24г¡3, ¡ > 0. (11)

Уравнение (10) показывает, что усредненный спектр (8) функционала # [[(, 4, у)] есть произведение #(¡, к, у) в отсутствие шума (9) и гауссовского распределения (11). Таким образом, имеем

1

F[, |)]] = (F((, $ = ^ JdkFo((,k)G(k)eikx . (12)

-го

Используя теорему о свертке, можно также получить из решения (12) [4] го

(f[, 0])= J dsF [((, s)]G(x - s), (13)

-го

го —1/2

где G(s) = 2- JdkG(k)eiks = |2^m2(t) exp[— s2/2 ^m2(t)) . -го

Полученные выражения (12) и (13) могут быть теперь использованы для исследования динамического поведения солитонов уравнения (3), которое мы сейчас и рассмотрим.

3. Динамика солитонов уравнения КдВ

В качестве примера исследуем случай, когда F [V((, £)] (7) является функционалом односолитонного решения уравнения (3). Вычисляя Fq ((, k) и G(k) по формулам (9) и (11), можно легко найти ^F(t, k) и затем получить (u(t, x)) .

Воспользуемся, однако, более наглядным и простым способом, предложенным в работе [4]. Рассмотрим решение

у((,х)= —2у2 зееЬ2[у(х - х0)- 4у3г ]

(14)

(V — константа, имеющая смысл собственного значения, отвечающего солитону — см. [6]) и, учитывая замену х + т(() и формулы (4), запишем решение в виде

и ((, х)= Ж(1)— 2у2 зееЬ2 V (х — х0 )— 4у3г + 6у Ж(г ')йг'

0

Далее, беря статистическое среднее и используя при этом формулы (5), (6), получим

(и(, х)) = —2у2^ееЬ2 у(х — х0)— 4у3г + 6у /^(г 2п | у (х — х0 )— 4у3г + 6у Ж(г')йг'

= 8у2 X (— 1)П^ ехр

п=1 \

Второе и третье соотношения (6) дают [3]

^ехр{ 12пк /V(г= ехр{1(12пк) /0й^/0 й^)((2))} =

= ехр (48п2у 2гг3 ), г > 0.

Таким образом, будем иметь

® 2

(и(,х)) = 8у2 X(— 1)ппепа+п Ь,

п=1

где а = 2 [ у (х — х0) — 4у 3г ]; Ь = 48у 2 г г 3.

(15)

(16)

Отметим, что формула (15) получена в предположении, что "шум" является гауссовским. Для "шума", не являющегося белым, выражение для параметра Ь (16) будет более сложным. Следуя [3], из (15) получим

дь(и(г, х)) = ди(г,х), ,х))|ь=0 = —2у2 вееЬ2(а/2).

(17)

Из первого равенства (17) следует, что динамическое поведение солитона стохастического уравнения КдВ описывается уравнением диффузии, где роль времени играет параметр Ь, а роль пространственной координаты - а. Заметим, что уравнение (15) может быть записано в форме преобразования Фурье, и тогда решение уравнений (17) примет вид

(и(г, х)) = —8у2 /

2 { йк пк ^—ьи2 е1ак

2п зшЬ пк

(18)

Формула (18) дает спектральное представление решения стохастического уравнения КдВ при наличии стохастических гауссовских флуктуаций волнового поля, при этом преобразование Фурье статистического среднего (и((, х))

представляет собой произведение чисто солитонной части — 8у пк/ зшЬ пк и диффузионной части ехр(— Ьк2). Используя теорему о свертке, решение (18) можно

—от

переписать в форме [5]

V2 -

л/Ль

(и(,х)) =—^ / ^«ееЬ2(ж/2)ехр[- (а - ж)2/4Ь ].

Основываясь на результате (18), рассмотрим теперь динамическое поведение солитона при наличии гауссовского "шума". Согласно [5], из (18) можно получить:

а) при Ь = 48у2г*3 < 1

сю 1 д2п

(и((, X)) = -2у2 У — Ьп «ееЬ2(а /2), (19а)

Пп! д а

п=0

б) при Ь >1

<и((, х)=- 1+ у (22п - 2в п2п л л/Л п=1 (2п)! д Ьп

-1= е~а2/4Ь , (19б)

уЬ

где Вп - числа Бернулли. Выражения (19) показывают, что при * = 0 (и(*, х определяется правой частью формулы (14) с * = 0 , а при * ^сю

(и((,х)) =—* 3/2 ехр л/3я£

(X - х0 - 4у2*)2 48г13

Из последнего выражения видно, что при эволюции в результате воздействия внешнего "шума" солитон деформируется, причем, асимптотически, его характерный размер вдоль направления распространения и амплитуда

изменяются, соответственно, как *3/2 и *_3/2, что не является следствием диффузионных или диссипативных эффектов, которые можно было бы связать с потерями, поскольку область, занимаемая солитоном, является инвариантом, т.е.

интеграл J (и((, х)) dх сохраняется. Это легко проверить прямым вычислением:

Г < и((,х) dх = -8V2 и Г е-Ьк2ешк =

«1-ю \ " J J 2я зшЬпк

-Ю -ю

= 2 Г ^-^е^пбМ^.

2п зшЬ пк

-ю

В заключение заметим, что выше мы рассмотрели влияние на структуру и эволюцию солитона КдВ, описывающего импульс ВТН, стохастических колебаний, присутствующих в системе (в нашем случае, в линии), - внешнего (по отношению к распространяющемуся в линии импульсу) белого "шума" вида п (*). В более общем случае уравнение КдВ может принимать вид [4]

д*и - 6идхи + д^и + уи - п(*, х)= 0, (20)

(причем четвертый член - ср. (20) с уравнениями (2) - описывает потери в линии), однако проведенный анализ остается справедливым, когда характеристическое

время ts << 1/у и характеристический размер солитона ls << ln (ln - когерентная "длина" шума). В случае, когда ls ~ ln , преобразование Галилея (4) оказывается

уже неверным и необходимо обобщить метод обратной задачи рассеяния, как это было сделано, например, для уравнения КдВ в работах [7, 8]. Получить же точные (аналитические) решения уравнения (20) не представляется возможным и единственным путем исследования динамики его решений остается численное интегрирование, которое может быть успешно осуществлено с использованием методов, развитых в [2, 3, 5].

Summary

Influence of low-frequency fluctuations of a current and voltage on propagation of the impulses of the current and voltage waves in long lines with a dispersion, including nonlinear elements is analytically investigated. It is shown, what even in neglect losses the impulse is deformed under influence of the external (in relation to an impulse) low-frequency fluctuations, and, asymptotically, its characteristic size along a direction of

propagation and amplitude vary, accordingly, as well as t3/2 and t_3/2.

Key words: long lines, nonlinear loading, waves of current and voltage, KdV equation, stochastic fluctuations

Литература

1. Белашов В.Ю., Белашова Е.С., Денисова А.Р. Исследование распространения ВТН в электрических линиях с линейной и нелинейной нагрузкой // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2006. № 11-12. С. 25-34.

2. Белашова Е.С. Математическое моделирование распространения нелинейных импульсов в линиях с дисперсией и потерями // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2007. № 5-6. С. 35-40.

3. Белашова Е.С., Белашов В.Ю. Солитоны как математические и физические объекты. Казань: КГЭУ, 2006. 205 с.

4. Wadati M. Stochastic Korteweg-de Vries equation. J. Phys. Soc. Jap., 1983. V. 52. P. 2642-2648.

5. Belashov V.Yu., Vladimirov S.V. Solitary Waves in Dispersive Complex Media. Theory, Simulation, Applications. Springer-Verlag GmbH & Co. KG Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo, 2005. 303 p.

6. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. 319 с.

7. Белашов В.Ю. Эволюция солитонов КдВ на "этапе нестационарности": Препринт. Магадан: СВКНИИ ДВНЦ АН СССР, 1984. 11 с.

8. Мозес Г. Обобщение обратной задачи рассеяния для одномерного уравнения Шредингера и соответствующие приложения к уравнению Кортевега-де Вриза. Вариационный принцип. В кн.: Солитоны в действии / Пер. c англ. под ред. А.В. Гапонова-Грехова. М.: Мир, 1981. С. 2-44.

Поступила в редакцию 15 февраля 2011 г

Белашов Василий Юрьевич - докт. физ.-мат. наук, профессор кафедры «Физика» Казанского государственного энергетического университета (КГЭУ). Тел.: 8 (843) 519-43-44. E-mail: [email protected].

Белашова Елена Семеновна - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Инженерная кибернетика» Казанского государственного энергетического университета (КГЭУ). Тел.: (843) 519-42-64.