CC BY
17
УДК 530.1
В.Ю. Белашов, Е.С. Белашова
КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ И АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ОКП - КЛАССА
Методами качественного и асимптотического анализа исследуются обобщенные уравнения класса Кадомцева-Петвиашвили. Построена классификация решений уравнений данного класса в 8мерном фазовом пространстве и по характеру асимптотик.
Ключевые слова: нелинейные волны, солитоны, уравнение КП, уравнение ОКП, качественный анализ, асимптотический анализ, фазовое пространство, классификация решений.
В настоящей работе методами качественного и асимптотического анализа изучаются решения обобщенных уравнений класса Кадомцева-Петвиашвили и строится их классификация в фазовом пространстве и по характеру асимптотик. Для исследования запишем обобщенное уравнение КП (уравнение ОКП) в форме [1]:
3ч(3ем + + уд^и) = кЛ±и. (1)
Чтобы избежать громоздкости получающихся выражений, будем рассматривать уравнение (1) в двумерном виде, положив Д± = д^. Примем также для определенности а = 6 (что легко получить путем масштабного преобразования и -» (^/аиУ Введем новые переменные г} = Г] + £,£ = Т] — ^. В результате, выполнив разделение переменных, вместо уравнения (1) будем иметь систему одномерных уравнений
дц{дги + бид^и — г?3|и + /?д|и + бд^и + уд^и) = кд^и,
(д^и + бид^и — рд^и + рд^и + бд^и + уд^и^ = кд^и, (2)
записанную в системе координат, оси которой ?7 и —£ повернуты относительно г/ и £ на +45°. Интегрируя, как это было сделано в работе [2], уравнения (2) соответственно по г} и £, получаем одинаковые по форме обобщенные уравнения КдВ
Зеи + (—к + 6 и)дщи — уд^и + рд^и + 8д^и + уд^и = 0,
д{и + (—к + 6и)д^и — + рд^и + бд^и + уд^и = 0, (3)
связанные друг с другом через произведенную выше замену координат. Переходя далее в систему координат, движущуюся вдоль соответствующей оси со скоростью - к, т.е. выполняя в уравнениях (3) замену Г]' = Г) +
кС, = £ + М и опуская штрихи, запишем уравнения (3) в стандартном виде [2]
д(и + 6 идци — рд%и + рд^и + 8д%и + уд^и = О, дьи + бид^и — рд^и + рд*и + 8д%и + уд*и = 0. (4)
Таким образом, теперь мы можем провести анализ одного обобщенного уравнения системы (3), а затем распространить результаты на уравнение (1), выполнив обратную замену переменных.
Чтобы учесть наиболее общий случай, расширим класс уравнений
(1), введя произвольный положительный показатель степени нелинейности р, и рассмотрим для определенности первое уравнение системы (4):
дги + 6 иРд^и — + рд^и + Зд^и + уд%и = 0. (5)
Уравнение (5) при V = 6 = у = 0 представляет собой известное уравнение КдВ [3], если р = 1, и модифицированное уравнение КдВ (МКдВ) [4], если р = 2. Асимптотики уравнения (5) при V = 3 = 0, р = 1 впервые были исследованы в работах [5-7], в которых было показано, что в зависимости от знаков коэффициентов Р и у могут иметь место решения солитонного типа с монотонными либо осциллирующими асимптотиками. Полное уравнение (5), включающее наряду с высшей дисперсионной поправкой члены, описывающие диссипацию (V Ф 0) и неустойчивость (3 Ф 0), с произвольным показателем нелинейности не является точно интегрируемой системой, вследствие чего известные аналитические методы (например, метод ОЗР) к этому уравнению неприменимы. В связи с этим в работах [2; 8] уравнение (5) исследовалось методами асимптотического и качественного анализа, в результате была построена достаточно полная классификация решений обобщенных уравнений класса (5). В настоящем разделе мы будем в основном следовать идеям и технике работы [2].
Отметим, что с физической точки зрения наиболее интересны случаи, когда в уравнении (5) р = 1,2 приложения же с р > 2 в настоящее время неизвестны [4]. Однако в связи с тем, что уравнения семейства (5) с произвольным целым р > 0 обнаруживают в значительной степени сходные математические свойства, будем использовать общий подход, выясняя, помимо прочего, зависимость параметров решений от величины показателя нелинейности.
1. Основные уравнения. Постановка задачи. Выполняя преобразование ( = Ч - га и интегрируя уравнение (5) по £, получаем
—Уи + —— /* д^и + р д|и + 5д| и + уд^и = 0.
Учитывая, что V > 0,6 > 0 (в соответствии с физическим смыслом членов с первой и третьей производными, описывающих диссипацию и неустойчивость), и полагая без потери общности у>0и/? = +1, после замены и = Уж, % -» |К|-1/4^ уравнение (6) можно записать в форме [2]
5дп(У)уд*№ + здп(У)6\У\ 4д|м/ + 5дп(У)(3\У\ 2д|—
бБ Р + 1
—5дп(У)р\У\ 3/40£У1/ — ю + \У\Р 1wp+1 = 0, (7)
где
= ^дп(У)
при четных р при нечетных р
В зависимости от знаков У и Р в уравнении (7) могут быть выделены четыре случая:
a) У >0, Р =1:
уд*\л/ + 6\У\~^д^ + 8\У\~2д^]л/ — р\У\~*д^ —
-м/+^|К|р-%р+1 = °; (8а)
b) У >0, Р= -1:
уд^\и + 6\У\~4д^\л? — |К|_2д|м/ — у\K|_4^w —
-IV + ^\У\р~^р+1 = 0; (8Ь)
с) У<0, Р =1:
—уд|и/ — 6\У\~4д^ц/ — |К|-2д|м/ + у\У\~*д%и/ —
11 з
14,„ Г|т/|-ТяЗ,„ II/ |-ол2.
-IV + ^ |К|Р"11уР+1 = 0; (8с)
ё) У<0, Р = -1:
—уЗ|и/ — 5|У1~4д|м/ + 5|У1-2д|м/ + —
113 14... Г|т/|-ТлЗ,„ . с|1/|-ол2.
-IV + ^ |У|Р"11уР+1 = 0. (8ё)
Однако, как видно из уравнения (5), скорость волны У зависит от коэффициентов уравнения и ограничена следующими соотношениями:
' < = - 74у - М''/35)1/2. Р = 1; (9.1)
> Ут!„ = - 1/4У - М*/36)*Л р = -1. (9.2)
Правые части неравенств (9) при V = 3 = 0 соответствуют результатам, полученным в работе [7], а сравнение этих соотношений с выражениями (8а) и (8ё) приводит к противоречию в случае (а) и в случае (ё) вне области
Кроме того, следует отметить, что условие (10) имеет смысл только при 3 Ф 0, т.е. когда УрЬ в принципе может быть неотрицательной в неравенстве (9.2). Следовательно, в этих случаях уравнения (8а) и (8ё) не имеют решений солитонного типа, даже если V = 5 = 0. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением случаев (Ь) и (с), а также (ё) в области, определенной неравенством (10), с учетом замечания, сделанного выше.
Поскольку изучать полные уравнения вида (8) весьма сложно, будем в дальнейшем исследовать роль различных членов и групп членов уравнений (8) по отдельности, используя методы качественного и асимптотического анализа.
1. Качественный анализ и асимптотики решений. Отметим, что каждое из уравнений (8Ь)-(8ё) эквивалентно системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [2]:
где точки означают производные по В а знаки в скобках отвечают соответственно случаям (Ь), (с) и (ё), С = | V |_1/4. При этом решения уравнений
(11) будут устойчивыми, если существуют особые траектории изображающей точки в фазовом пространстве (щ хь Х2, хз) системы (11). Каждая из таких траекторий связана с положениями равновесия вблизи максимума солитоноподобного решения и на границах | = оо. Полагая в качестве граничных условий
можно из уравнений (11) определить количество и координаты особых точек:
где точки щь = 0 и 'Ж] отвечают соответственно 1£1 = 00 и точкам перегиба функции и (В ); / = 2 для нечетных и / = 2, 3 для четных р, при этом в последнем случае м/2 = —м/3. Рассматривая только действительные значения корней в вЗыражении (13), можно сразу заключить, используя тео-
[(а - 1)/4і?]2 <2у < [(а + 1)/4 р]2,а = л/1 + 16р8. (10)
/
хг = и/, х2 = хг, х3 = х2, /+\
<
V
0
ух3 = С2Х2 ( — ) рС3х1 + ц?
0
б5С4(1-р) р+1
,р+1. (И)
и/ = = 0,п = 1,2,3 при |^| -» оо, (12)
(13)
рему Штурма, что для нечетных р существуют две особые точки, а для любых четных р - три. При этом расстояние между особыми точками определяет амплитуду солитоноподобного решения уравнения (6). Кроме того, значение показателя нелинейности р определяет характер зависимости V = Ф(и)\ для р > 1 такая зависимость становится нелинейной (рис. 1) в отличие от известной линейной при р = 1 (например, в случае уравнения КдВ [9]). Как видно из рис. 1, для четных р решения уравнения (6) могут иметь как положительную, так и отрицательную полярность (и<0) (для любого знака скорости V).
Рис. 1. Зависимость V=f (и) для уравнения (6) при различных значениях показателя нелинейности. Номера кривых соответствуют р =1, 2, 6
Для исследования типов особых точек необходимо линеаризовать систему (11) в окрестности каждой из этих точек. Используя формулу Тейлора, из уравнений (11) получаем [2]:
1) для особой точки н,\ = 0 [что соответствует П\ = 0 в уравнении (6) с учетом граничных условий (12)]
Х1 = ю, х2= хх, х3 = х2
<
\
о
ухз = С2Х2
0
уС3х1 + м/;
(14.1)
\
Поскольку системы (14) суть четырехмерные, будем исследовать их, используя метод разложения соответствующих канонических систем на подсистемы [10] (см. приложение в работе [9]). В этом случае можно рассматривать фазовые портреты линейных систем (14) как проекции особых точек и траекторий на две плоскости [4, 9]. Для упрощения рассмотрим по отдельности задачу для V = 6 = 0 (семейство консервативных уравнений) и /? = у = 0 (диссипативные уравнения с неустойчивостью).
Случай V = 8 = 0 (консервативные уравнения). Пусть в основных уравнениях V = 6 = 0. При этом для особой точки w1 = 0 получим, что собственные значения матриц подсистем системы (14.1) (см. приложение в работе [9]), отвечающих фазовым плоскостям Р1(ж,х1) и Р2(х2,х3), определяются равенством [2]:
В случае (Ь) Л1г Л2 - действительны на фазовой плоскости Р1 и являются чисто мнимыми на фазовой плоскости Р2, кроме того, Х1 = —Л2 на обеих плоскостях. В случае (с) с учетом условий (9) характеристические корни Л1и Л2 и комплексные с положительной и отрицательной действительной частью на плоскостях соответственно Р1 и Р2, причем Я-1 = Л2. В случае (ё) с учетом условия (9.2) при 5 = 0 все четыре корня действительные и Л1 = — Л2 на обеих плоскостях. Следовательно, в фазовом пространстве будут существовать особые точки Wl = 0 трех типов: «седло - центр», «устойчивый фокус - неустойчивый фокус 2 и «седло -седло 2» соответственно в случаях (Ь), (с) и (ё).
Рассмотрев аналогично матрицы подсистем, соответствующих системе (14.2), получим собственные значения для особых точек Wj, определяемых формулой (13), в случаях (Ь), (с) и (ё) для подсистем, отвечающих проекциям на фазовые плоскости Р1^, х1) и Р2(х2, х3) [2]:
(15)
Из формулы (16) видно, что характер особой точки зависит от значения показателя нелинейности р, который определяет скорость волны: V = 6 я(р + 1)_1ир. Тем не менее, условия (9), (10) и в этих случаях остаются справедливыми. Анализ формулы (16) позволяет заключить следующее. Значения Л1гЛ2 и являются комплексными (причем Лг = Я2) с положительными действительными частями на плоскости Р1 и отрицательными на плоскости Р2 в случае (Ь) с учетом условия (9.1). В случае (с) Л1 и Л2 действительны на плоскости Р1 и чисто мнимые на плоскости Р2, причем Лх = — Л2 в обоих случаях. В случае (ё) ситуация аналогична ситуации случая (с). Следовательно, в фазовом пространстве будут иметь место только особые точки Wj типа «устойчивый фокус - неустойчивый фокус» -случай (Ь) и «седло - центр» - случаи (с) и (ё).
Обратим внимание на тот факт, что в неравенствах (9) У^п и зависят от величины коэффициента у (у > 0 - см. предыдущий подраздел) и в средах, где дисперсия переменна, будут менять свои значения в процессе эволюции волны. Соответственно, в какой-то области пространства (или в какой-то интервал времени) условия (9) могут перестать удовлетворяться, так что даже в рассматриваемом случае V = 8 = 0 уравнения (8а) и (8ё) не смогут уже иметь солитонных решений, даже если до этого такие решения им удовлетворяли - произойдет трансформация структуры с ее разрушением. Возможен и обратный процесс. Отметим, что дисперсионный коэффициент у входит также в выражения (15) и (16), т.е. определяет величину и характер собственных значений матриц подсистем для систем (14).
Для исследования глобальных фазовых портретов, включая особые траектории, отвечающие устойчивым решениям уравнений (11), в работе
[2] использовались критерии Бендиксона и Дюлака [11; 12], а также рассчитывались первая и вторая ляпуновские величины [13]. Опуская математические выкладки ввиду их громоздкости отметим, что как в случае Ь, так и в случаях с и ё имеют место замкнутые траектории. При этом формулы (15) и (16) позволяют получить такие параметры кривых, как их направления и, следовательно, углы по отношению к осям координат на обеих плоскостях, а значит построить глобальные фазовые портреты. Примеры таких фазовых портретов для случаев Ь и с при р = 1, 2 показаны на рис. 2 (а, б) и 3 (а, б).
а
7
лг. -
Рис. 2. Фазовые портреты решений уравнения (8Ь) при V = 5 = 0 дляр=1 (а) ир = 2 (б) (сплошные и штриховые линии отвечают фазовым траекториям соответственно в плоскостях Р1 и Р2) и численные решения уравнения (5) при V = 5 = 0,у=1, /? = —1 для р = 1 (в)
Используя значения характеристических корней Л1иЛ1 и (15) для особых точек Wl = 0 с учетом условий (9) и граничных условий (12), можно получить асимптотики решений уравнения (5) для случаев Ь, с и ё, а именно [2]:
1) для случаев (Ь) и (ё)
IV = Агехр^2у)_1/2[с2 + Л/С4± 4у] 1 (17.1)
[верхний и нижний знаки относятся соответственно к случаям (Ь) и (ё)];
2) для случая (с)
м/ = А2ехр [(2С_1у1/2) 1(2С_2у1/2 - 1)1/2^] х X со5[(2С_1у1у,2)_1(2С_2у1/2 + 1)^2^ + 0], (17 2)
где А1, А2 и 0- произвольные постоянные.
Рис. 3. Фазовые портреты решений уравнения (8c) для тех же параметров, что и на рис. 2,а,б - соответственно позиции (а) и (б), и численное решение уравнения (5) при v = ё = 0,у = 1, /? = 3,16
для p = 1 (в)
Как видно из выражений (17), в решениях уравнения (5) при v = 8 = 0 в зависимости от знаков V и ft могут иметь место солитоны как с монотонными, так и с осциллирующими асимптотиками. При этом величина положительного коэффициента у будет определять как «скорость» спадания асимптотик к нулю, так и может приводить монотонные (d) и осцилляторно-затухающие (с) асимптотики к осциллирующему виду [при у > С4/4 = |К|/4 в случаях (d) и (с)]. Это обстоятельство имеет существенное значение при рассмотрении распространения солитонных структур в средах с переменной дисперсией, когда изменение параметра у может определять трансформацию волны из устойчивого состояния в неустойчивое и наоборот. Отметим, что при ft = 0 и любом значении у > 0 решение уравнения (6) с v = ё = 0 имеет вид w = (Ai + Л2%) exp (у1/4£) и, следовательно, также описывает солитон с монотонными асимптотиками [9], «скорость» спадания асимптотик которого к нулю будет также определяться величиной дисперсионного коэффициента у Фазовые портреты, показанные на рис. 2а и 2b и отвечающие солитонам с монотонными асимптотиками, а также фазовые портреты, показанные на рис. 3 а и 3b и
отвечающие солитонам с осциллирующими асимптотиками, с изменением величины дисперсионного коэффициента у могут, в зависимости от величины этих изменений, также трансформироваться с изменениями особыми точками своего типа. На рис. 2с и 3 с показаны результаты численного интегрирования уравнения (5) при v = 8=0 для начального условия u = U0 exp (-x2/P) и величин коэффициентов в и у, отвечающих представленным на этих рисунках фазовым портретам. Результат подтверждает результаты асимптотического анализа.
В заключение рассмотрим простой и наглядный случай линеаризованного уравнения КдВ с высшей дисперсионной поправкой, положив в уравнении (5) p = 0, что допустимо вдали от вершин солитонов. Выполнив в (5) для упрощения анализа масштабное преобразование и ^ (1 / 6)u, , с учетом v = 8=0 вместо последнего уравнения (14.1) получим:
Тогда для особой точки = 0 собственные значения матриц подсистем, отвечающие фазовым плоскостям Р1 и Р2, будут определяться не выражением (15), а равенствами
и, следовательно, в случаях (Ь) и (ё) будет иметь место особая точка типа «седло - центр», а в случае (с) - «центр - центр» (Вырождение особой точки «устойчивый фокус - неустойчивый фокус», соответствующей собственным значениям (15), в «центр - центр» есть следствие преобразования исходного уравнения и ^ (1/6) и [2]). Асимптотики решений при 1^ = от будут иметь вид: в случаях (Ь) и (ё)
А, В и 0 - произвольные постоянные и величина дисперсионного коэффициента у будет определять «скорость» спадания асимптотик к нулю (случаи Ь и ф и частоту осцилляций (случай с). Это важно учитывать при анализе решений уравнений КдВ- и КП-типов с переменными коэффициентами (в средах с переменной дисперсией). Заметим, что для линеаризованного уравнения КдВ с Р =0 или у=0 асимптотики при \В\ = да есть константы [4].
w = Aexp (Cy~1/20 + B,
в случае (с)
w=Acos (Cy1/2 £ + 0) + B
Случай Р = у = 0 (диссипативные уравнения с неустойчивостью). Положим теперь в = у = 0 в основных уравнениях. При этом вместо систем (14.1), (14.2) из системы (11) для особых точек Ш1 =0 и Wj получим
Знаки в скобках в системах (18) отвечают условиям V > 0 и V < 0, что эквивалентно замене Wl о- Wj, и поэтому мы можем исследовать системы только с верхними знаками (V > 0 в уравнениях).
Поскольку системы (18) являются трехмерными, будем также использовать при исследовании рассмотренный выше метод разложения соответствующих канонических систем. При этом разложение в обоих случаях приведет к двумерной системе и одному уравнению (см. приложение в работе [9]). Такая факторизация позволяет получить собственные значения соответствующих систем с учетом соотношения значений коэффициентов у 5 и скорости V [2]:
3) для д < (4/27)
Хх = (5С/4)-1/37?е«2±),
Л2,3 = -ШСГ^Яе^) + л/3|/т(<2±)|], (21)
где 0,1 = (}+±(}~,
(18.1)
и
(18.2)
1) для д > (4/27)
Лг = (25С)-1/3<?1+,
Х2>3 =-(165С)-1/3[(?1+ ± 1л/3<?г];
(19)
2) для д = (4/27)
= (6С/4)-1/3, 12)3 = -(2 5СГ113,
(20)
<2± = [1 ± ^/1 — 4г?3С8/275]1/3
(22)
и действительно в случаях (1) и (2) и комплексно в случае (3). Для особой точки Ж] формулы (19) - (21) также справедливы с учетом замены в них 6 ^ 6 /р и замены 6 ^ 6р2 в формуле (22), если знаки собственных значений А1, 2, 3 сменить на обратные.
Как следует из равенств (19)-(21), системы (18) имеют особые точки типа седла с координатами ж1 и Ж] для 6 < (4 / 27) у3С8 и седла - фокуса в обратном случае. Таким образом, ситуация отвечает грубому состоянию равновесия 3Б системы. В обоих случаях, при этом, существуют 2Б сепа-ратрисная поверхность и по обе ее стороны - две изолированные сепаратрисы [2]. На сепаратрисной поверхности седла имеет место узел, а на сепаратрисной поверхности седла - фокуса - седло, все другие траектории, проходящие через достаточно малую окрестность седла или седла-фокуса, выходят из окрестности последних. Однако такой информации о локальном поведении решений недостаточно, чтобы построить глобальный фазовый портрет. Поэтому следует использовать тот факт, что при исследовании нелинейных систем направления сепаратрис соответствующих линеаризаций дают направления нелинейных сепаратрис в особой точке. Эти главные направления можно получить из линейного преобразования, связывающего линеаризованную систему с ее канонической системой (см. работы [2; 4] и приложение в [9]).
На рисунках 4а, 4б и 5а, 5б показаны общие фазовые портреты для случаев 6 < (4 / 27) у3С8 и 6 > (4 / 27) у3С8 при в = у= 0 ир = 1, 2; V > 0. Понятно, что фазовые портреты будут такими же и для р > 2, что следует из формул (19)-(22) с учетом упомянутых выше замен.
■0.1 ______—---------------------------------,--------------------,--------------------г-------------------,-------»>
--10 -3 е н п х
Рис. 4. Фазовые портреты решений уравнения (6) при в = 7= 0 и V>0 для случая 6 < (4 / 27)у3С8 при р = 1 (а) и р = 2 (б) и соответствующее численное решение уравнения (5) для V = 0.1,
6 = 1 х 10~6 при г = 3 (в)
Рис. 5. То же, что на рис. 4,а,б для случая 8 > (4 /27) у3С8 (позиции а и б), и соответствующее численное решение уравнения (5) для V = 0,01, 8 = 1 при Г = 3 (в)
Используя значения Я (г = 1, 2, 3) из формул (19)- (21) для особых точек Wl = 0 с учетом граничных условий (12), можно получить асимптотики решений уравнения (5) при в = 7 = 0 [2]:
1) для 8 > (4 / 27) у3С8
м/ = А1ехр\(28С)~1/3(}1};\ + ехр[— (165С)"1/3#! £] х X {Лг^л/З^б^С)-1/3^ + ©Л + + 02]}; (23)
2) для 8 = (4 / 27) у3С8
м/ = Л1ехр[(5С)“1/3^] +А2(1 + А30ехр[-(28С)-1/3%]; (24)
3) для 8 < (4 / 27) у3С8
УМ = Ахехр ) йеОЗ*)^
-уГзитЩ^М + Азехр^бСу^феШ^+^итШЩ}, (25)
где A1, A2, A3, 01, 02 - произвольные постоянные. Из этих формул видно, что решения уравнения (5) имеют осциллирующие асимптотики в случае (1) и экспоненциальные в случаях (2) и (3). На рис. 4в и 5в показаны численные решения уравнения (5), отвечающие случаям соответственно (3) и (1) для начального условия и = и0 ехр(—х2/12).
Рассматривая аналогично тому, как это было сделано выше для
у = 8 = 0, линеаризованное уравнение с в = 7 = 0, легко установить, что
1/2
собственные значения соответствующих систем Х1 = 0, Х2, 3 = ± C (V / 5)
определяют при | = о асимптотики экспоненциального вида:
1/2
w = Аехр [С(у /8) С]. В специальных же случаях, когда V = 0 или 5 = 0, асимптотики, в чем легко убедиться, есть константы.
2. Заключительные замечания. Используя полученные для первого уравнения системы (3) результаты и формально переписывая их для второго уравнения этой системы можно теперь распространить наши выводы на уравнение (1), выполнив переход к исходным переменным г|, С и возвратившись в исходную систему координат. При этом формулы для асимптотик решений (17.1), (17.2) примут следующий вид [2]:
ум = Л1е%р|(2у)_1/2[с2 + ^С4± 4у] 1 (17.1а)
ум = А2ехр [(2С_1у1/2) 1(2С_2у1/2 - 1)1/2/] х X соз[(2С~1у1^2У1(2С~2у1^2 + 1)^2Х + (17.2а)
ум = А^хр^&бСУ^С?! х\ + ехр[— (168С')~113(}1х\ X X {АгСОзЩЦЬбСЪ-^СЦх + ©1] + А35т[л/3(166Су^3д^х + ©2]};(23а)
ум = А1ехр[{8СУ1/3х\ + А2(1 + А3х)ехр[-(2бС)~1/3х]; (24а)
ум = Л1ехр[(5С/4)_1/3йе((2±)х] + А2ехр {-(2бСу^х^е^) --л/зитМ^Ы + Азехр^бСу^х^еШ^+л/зитМЩ}, (25а)
где х = [п ± ^ + (к — V) Г,] а знаки плюс и минус относятся соответственно к первому и второму уравнениям системы (2). Что же касается соответствующей трансформации фазовых портретов и «связывания» их для 2Б уравнения, то, поскольку при у = 8 = 0 фазовое пространство является 8мерным, а при в = 7 = 0 - 6-мерным, мы вынуждены ограничиться полученными выше результатами, связывая характеристики каждой особой точки каждого из уравнений системы (2) соответственно в 8-мерном и 6мерном пространствах, при этом тип особых точек в каждом из 4-мерных или 3Б подпространств при обратном преобразовании координат Г] =
= (fj + 0/2, £ = (^ — 0/2 не изменится [4], изменяются лишь те параметры фазовых портретов, которые для решений одного и того же класса соответствуют изменению таких параметров, как амплитуда, крутизна фронтов, частота осцилляций и т.п.
В заключение отметим, что нами рассмотрены специальные случаи, когда v = 8 = 0 и в = у = 0 в уравнении (5), для других значений коэффициентов могут наблюдаться более сложные волновые структуры, обусловленные наличием всех рассмотренных эффектов в их совокупности. Так, численные результаты, полученные в работах [6; 7; 14], показывают, что для Д v, 8 * 0 в процессе временной эволюции в присутствии гауссовских случайных флуктуаций волнового поля для гармонических начальных условий и начальных условий в форме уединенного импульса также могут формироваться устойчивые волновые структуры солитонного типа. Более того, устойчивые солитонные структуры могут формироваться и при у * 0. В контексте рассматриваемой в работе проблематики особый интерес представляют также ситуации, когда в, у ^ const, а зависят от времени и/или пространственных координат. В этих случаях, как было показано в настоящем разделе, фазовые портреты уравнений в процессе эволюции волны могут трансформироваться с изменением типов особых точек и траекторий фазовых кривых. Однако аналитическое изучение таких случаев весьма сложно, хотя при этом также можно использовать рассмотренный в данной статье подход. Для исследования характера и структуры решений, при этом, следует использовать численный эксперимент. Отметим в заключение, что полученные в работе [2] и рассмотренные выше результаты могут быть весьма полезны при изучении решений и интерпретации многомерных фазовых портретов и других, более сложных, неодномерных модельных уравнений (например, работы [1; 4]).
Источники
1. Белашов В.Ю. Уравнение КП и его обобщения. Теория, приложения. Магадан: СВКНИИ ДВО РАН, 1997. 158 с.
2. Belashov V.Yu., Belashova E.S. Qualitative analysis and asymptotics of solutions of the GKP-class equations with variable dispersion // New Geometry of Nature. Mathematics, Mechanics, Geophysics, Astronomy & Biology. Joint Intern. Sci. Conf., Aug. 25 Sept. 5, 2003. Kazan State University, Russia. V.
1. P. 35-44.
3. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973. 175 с.
4. Belashov V.Yu., Vladimirov S.V. Solitary Waves in Dispersive Complex Media. Theory, Simulation, Applications. Springer-Verlag GmbH & Co. KG Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo, 2005. 303 p.
5. Kawahara T.J. Oscillatory solitary waves in dispersive media // J. Phys. Soc. Jap, 1972. V. 33. № 1. P. 260-264.
6. Карпман В.И., Белашов В.Ю. О структуре двумерных осциллирующих солитонов в слабо диспергирующих средах : Препринт ИЗМИРаН № 25 (972). М., 1991. 19 с.
7. Karpman V.I., Belashov V.Yu. Dynamics of two-dimensional solitons in weakly dispersive media // Phys. Lett. 1991. V. 154 A. № 3-4. P. 131-139.
8. Белашов В.Ю., Тюнина С.Г. Качественный анализ и асимптотики решений обобщенных уравнений КдВ-класса // Изв. вузов. Радиофизика, 1997. T. XL. № 1. C. 328-344.
9. Белашова Е.С., Белашов В.Ю. Солитоны как математические и физические объекты. Казань: КГЭУ, 2006. 204 с.
10. Эрроусмит Д.К., Плейс К.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1986. 243 с.
11. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. 488 с.
12. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. 568 с.
13. Бaутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. M., Л.: ОГИЗ Гостехиздат, 1949. 526 с.
14. Kawahara T. Formation of saturated solitons in a nonlinear dispersive system with instability and dissipation // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 51. № 5. P. 381-383.
Зарегистрирована 26.11.2009 г.
