CC BY
40
УДК 539.374
ВЛИЯНИЕ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ НА ДЕФОРМИРУЕМОСТЬ СРЕДЫ В СРЕДНЕМ
Анвар Исмагилович Чанышев
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт горного дела им. Н.А. Чинакала Сибирского отделения Российской академии наук (ИГД СО РАН), 630091, Россия, г. Новосибирск, ул. Красный проспект, 54, зам. директора по науке, зав. лабораторией разрушения горных пород, тел. 335-97-50, e-mail: belousova [email protected]
Ольга Евгеньевна Белоусова
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт горного дела им.
Н.А. Чинакала Сибирского отделения Российской академии наук (ИГД СО РАН), 630091, Россия, г. Новосибирск, ул. Красный проспект, 54, научный сотрудник лаборатории разрушения горных пород, тел. 335-97-50, e-mail: belousova [email protected]
Лариса Леонидовна Ефименко
Новосибирский государственный университет экономики и управления (НИНХ), 630099, Россия, г. Новосибирск, ул. Каменская, 52, доцент кафедры высшей математики, тел. 224-27-31, e-mail: [email protected]
Рассматривается процесс сжатия одномерных (плоских) образцов с неоднородным распределением модуля Юнга (модуля сдвига). Определяется влияние этого распределения на макрохарактеристики деформирования.
Ключевые слова: неоднородность, сжатие, средняя деформация, модуль Юнга, модуль сдвига.
THE INFLUENCE OF INHOMOGENEITIES ON THE DEFORMABILITY OF THE MEDIUM ON AVERAGE
Anwar I. Chanyshev
N.A. Chinakal Institute of Mining Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny Pr., Head. Laboratory of rock, tel. 335-97-50, e-mail: [email protected]
Olga E. Belousova
N.A. Chinakal Institute of Mining Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny Pr., Ph. D., Researcher Laboratory of rock, tel. 335-97-50, e-mail: [email protected]
Larisa L. Efimenko
Novosibirsk State University of Economics and Management (Ninh), 630099, Russia, Novosibirsk, 52 Kamensky, an assistant professor of higher mathematics, tel. 335-97-50, e-mail: efimenko. larisa@gmail. com
The process of compression (flat)-dimensional models with a nonuniform distribution of Young's modulus (shear modulus). Determined the effect of this distribution on the macro characteristics of deformation.
Key words: heterogeneity, compression, the average strain, Young's modulus, shear modulus.
В механике горных пород исследуются материалы, которые изначально трудно назвать первоначально однородными и первоначально анизотропными. Это объясняется прежде всего разнородностью частиц, составляющих данные среды[1].
Представляет интерес вопрос о степени влияния неоднородности на значения макрохарактеристик среды в целом. Отметим, что учету влияния первоначальной неоднородности и первоначальной анизотропии на напряженно -деформированное состояние конструкций посвящено множество работ [2-10]. Не останавливаясь на их обзоре, отметим, что первоначальная неоднородность является еще источником образования волн маятникового типа[11 -14], источником локализации необратимых деформаций [15-17].
В данной работе рассматривается процесс сжатия геосреды с неоднородным распределением модуля Юнга (модуля сдвига). Исследуются два случая -случай сжатия одномерного и случай одноосного сжатия двумерной пластинки.
Представим себе одномерный стержень, и нагружение сжатием, которое квазистатическое. Предполагается, что стержень имеет постоянное сечение по длине, модуль Юнга имеет следующее распределение:
где Ео, Е1, Я - заданные числа, г - координата сечения. Очевидно, что модуль Юнга Е имеет максимально значение в точках с координатами
Отсюда данное распределение в виде (1) можно трактовать так, что стержень как бы состоит из каких-то жестких элементов с максимальной жесткостью , разделенных некоторыми прослойками с минимальной
жесткостью Е = Е0 — Е1, длина «блоков» определяется посредством числа Я . Задача, которая возникает, - определить распределение напряжений, деформаций, смещений в такой среде, определить влияние указанных параметров Е0, Е15 Я на поведение макрообразца в целом.
Для решение задачи имеем:
уравнение равновесия = 0 , (4)
закон Гука в виде £г = —, (5)
Е
Е = Ео + Е 1 5 іп Яг,
(1)
(2)
минимальные значения находятся в точках с координатами
(3)
ТЛ диг
соотношение Коши £7 = —.
2 дг
(6)
Учтем, что к стержню прикладывается с торца равномерное усилие
^7 ^о.
(7)
Очевидно, что в силу (4) можно считать, что это значение распределено по всему стержню равномерно, то есть .
Для определения распределения смещения щ используем (6), (5). Тогда
(Тп (Ьл.
Е0 + Е^т Хг
и для определения смещения и имеем следующие дифференциальное уравнение:
(Xz
сій = —
Е0+Егзт Хг'
(8)
Произведя в (8) замену переменной, получаем отсюда
сій = — 2а°
ле°(Ф+Ю2МЮ2'
(9)
Возникают три случая интегрирования (9).
/ Е \ ^
Первый случай 1 — ( — ) = а2 > 0 , что означает | Е1 | < | Е0 | . Тогда
\Е0/
2^0 1 4- 4- ^ I ^1
и =--------аг с £ а-+С , где £ = £ а-г Л— ,
ЛЕ0 а а ’ а 2 Я0
(10)
С — произвольная постоянная. Полагая и|7=о = 0, находим С и смещение и в виде:
иЕ0
1—-
агсід —--------— агсід ■
Ех
Ео
1-----
1----“
(11)
Частные случаи, вытекающие из (11):
1. 1 1 тя^ о и = — ^г,
2. Если Е-. = 0 , то и = — —г.
1 Е0
На рис. 1 показаны зависимости, вычисленные по (11), поведения смеще-
^ у
ния------ от координаты г для различных значений входных параметров. Здесь
точками изображена классическая зависимость
иЕ0
= г, пунктирами обозна-
чены зависимости------------ для случаев — = 0 ,9 и числа полуволн п = 2 0 и 5 (по-
Сто Е0
лагалось Я = —, где L - длина стержня). Видно, что в среднем кривая------------------- ле-
Ь (Т0
жит в два с половиной раза выше, чем классическая зависимость. На рис. 2
^ у ^ ^
представлена зависимость------------ от отношения — для разных значений п =
СТО Ё'о
^ у
5 и 5 0. Различие в поведении зависимости —^ от г происходит здесь, несмотря на то, что среднее значение Еф = Ц/1 ( Е0 + Е-^ т с1г = Е0 —
[ с О5 717Т — 1 ] стремится к Е0 при 71 — 00.
г
Рис. 1. Зависимости поведения смещения
о-о
от координаты г для различных значений параметров
Рис. 2. Зависимость от отношения — для разных 71 = 5 и 5 0.
°о Яо
Во втором случае интегрирования 1------\ < 0 , => | Е1 | 2 > | Е0 | 2. Введя обо-
Ео
£ 2
значение 1 —| = а 2 , получаем следующее выражение для
, 7П1Г Ег иЕ0
Положим как и прежде Я = —. В частном случае:------------------------»оо,----------- 0
Ь Е о (То
Третий случай интегрирования (9): Е-1_ = Е0. В этом случае
(13)
В заключение можно сказать, что второго случая в природе не существует потому, что модуль Юнга должен быть всегда положительным. Третий случай означает, что «блоки» соединяются прослойкой с нулевой жесткостью и он может иметь место. В работе также рассматривалась двумерная пластинка. Из рассмотрения двумерных ситуаций определяются причины локализации деформаций и ее характер.
Выводы:
1. Показано, что среднее значение модуля Юнга для стержня слабо влияет на поведение зависимости смещения от координаты, на последнюю более значительно влияет количество «блоков», разномодульность «блоков» и их прослоек.
2. Аналогичны зависимости наблюдаются и для плоских образцов.
I. Руппенейт К. В., Либерман Ю. М. Введение в механику горных пород, М., 1960.
2 .Шермергор Т. Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М., Наука, 1979
3. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. Новосибирск: Наука, 1985.
4. Борисов Ю. П. Учет неоднородности при проектировании разработки нефтяной залежи // Тр. ВНИИ, 1959, вып. 21.
5. Николаевский В. Н. Механика насыщенных пористых сред. М., Недра, 1970.
6. Швидлер М. И. Фильтрационные течения в неоднородных средах. М., Гостоптехиз-дат, 1963.
7. Шаталов Г.А. Эффективные характеристики изотропных композитов как задача многих тел // МКМ. - 1985 - №1.
8. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977.
9. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд- во МГУ, 1984.
10. Чанышев А.И. О пластичности анизотропных сред // ПМТФ. - 1984.-№2.
II. Курленя М. В., Опарин В. Н., Востриков В. И. О формировании упругих волновых пакетов при импульсном возбуждении блочных сред. Волны маятникового типа // ДАН. — 1993. — Т. 333. — № 4.
12. Александрова Н. И., Шер Е. Н. Моделирование процесса распространения волн в блочных средах // ФТПРПИ. — 2004. — № 6.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
13. Сарайкин В. А. Учет упругих свойств блоков в низкочастотной составляющей волны возмущений, распространяющейся в двумерной среде // ФТПРПИ. — 2009. — № 3.
14. Опарин В. Н., Аннин Б. Д., Чугуй Ю. В. и др. Методы и измерительные приборы для моделирования и натурных исследований нелинейных деформационно-волновых процессов в блочных массивах горных пород. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2007.
15. Райс Дж. Р. Локализация пластической деформации. - В кн.:Теоретическая и прикладная механика. Пер.с англ./Под ред.В.Койтера. - М.: Мир, 1979.
16. Rudnicki J.W., Rice J.R. J.Mech and Phys.Solids, 1975, v.23.
17. Панин В.Е., Егорушкин В.Е. Неравновесная термодинамика деформируемого твердого тела как многоуровневой системы. Корпускулярно-волновой дуализм пластического сдвига // Физ. мезомех. 2008. V. 11. № 2.
© А.И. Чанышев, О.Е. Белоусова, Л.Л. Ефименко, 2013
