Об одном алгоритме решения динамических задач с «Переопределенными» условиями на границе Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБ ОДНОМ АЛГОРИТМЕ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С «ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ» УСЛОВИЯМИ НА ГРАНИЦЕ

Анвар Исмагилович Чанышев

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт горного дела им.

Н.А. Чинакала Сибирского отделения Российской академии наук (ИГД СО РАН) 630091, Россия, г. Новосибирск, ул. Красный проспект, 54, зам. директора по науке, зав. лабораторией разрушения горных пород, тел. 335-97-50, e-mail: belousova [email protected]

Михаил Николаевич Петров

Новосибирский государственный университет, 630090, Россия, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2, e-mail: [email protected]

На границе тела задаются условия Коши: сама функция и её производная по нормали, зависящие от времени. Строится алгоритм решения задачи для стержня, полуплоскости, полупространства. Приводятся конкретные примеры.

Ключевые слова: задача Коши, волновое уравнение.

AN ALGORITHM FOR SOLVING DYNAMIC PROBLEMS WITH «OVERRIDING» CONDITIONS ON THE BORDER

Anwar I. Chanyshev

N.A. Chinakal Institute of Mining Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny Pr., Head. Laboratory of rock, tel. 335-97-50, e-mail: [email protected]

Mikhail N. Petrov

Novosibirsk State University, 630090, Russia, Novosibirsk, 2 Pirogov, e-mail: [email protected]

Defined on the boundary of the Cauchy: the function itself and its normal derivative, depending on the time.An algorithm for solving the problem of the rod, half-half.Theconcreteexamples.

Key words: Cauchyproblem, thewaveequation.

Введение

Традиционно динамическая задача теории упругости предполагает задание начальных и краевых условий. Если в задании краевых условий вопросы не возникают, то определение начальных условий вызывает вопросы. Дело в том, что термин «начальные условия» предполагает задание геометрии всего тела. Кроме того, мы должны знать, как распределены в нем начальные смещения, скорости смещений и, как следствие, как распределены деформации, напряжения, скорости деформаций, скорости напряжений в какой-то фиксированный момент времени t. Про геометрию тела стоит сказать, что она не всегда известна в полном объеме, известна какая-либо одна часть поверхности тела. Про смещения и скорости смещений в теле следует отметить, что практика здесь такова - традиционно они полагаются во всем теле равными нулю.

Другой подход предполагает задание граничных условий: типа Коши, когда на поверхности обнажения задаются сама функция и её производная по

нормали как функции времени. Здесь нет необходимости ставить начальные условия - структура тела и её напряженно-деформированное состояние в любой момент времени будет определяться по этим данным.

Проиллюстрируем сказанное на примере решения динамической задачи об оценке напряженно-деформированного состояния полубесконечного стержня, изображенного на рис. 1. Введем числовую ось х вдоль оси стержня с началом в конце стержня, положительное направление выберем вверх, как указано на рис. 1. Будем считать заданными на конце стержня х = 0 следующие функции: перемещение - и\ = a(t), деформа-

ция -

где p\t) - производная некоторой

ды _Р' (V)

дхх=0 а

известной функции р(г), а - скорость волны, движущейся по стержню. Задача - определить напряженно-деформированное состояние стержня и, если есть источники возмущения, то найти их положение и движение во времени.

Сделаем два замечания: первое касается того, что задание деформации на конце стержня означает также задание напряжения, поскольку напряжение а и 1 ди

деформация е =— связаны друг с другом соотношением а = Ее, где Е - модуль

дх

Юнга.

Второе замечание касается того, что априори информация о начальном состоянии стержня (его истинной длине, распределении перемещения, скорости перемещения вдоль стрежня в момент 1=и0) может быть неизвестной и поэтому использоваться здесь никак не будет. Эту информацию получим в ходе решения задачи.

Построение решения

Рассмотрим динамическое уравнение движения элементов стержня в виде:

d2u 1 d2u

+ ф( x, t),

(1)

где а = ^Р, (Р - плотность, Е - модуль Юнга) - скорость движения частиц,

ф (х , £) -некоторая (известная) распределенная внутри стержня нагрузка. Кроме (1) имеем граничные условия:

u = a(t) ди

lx=0 4 у _______

dx

P(t)

a

(2)

x=0

Решение (1) будем искать как сумму решений однородного уравнения и частного решения неоднородного. Решение однородногоимеет вид, предложенный Даламбером [1-4], которое представляется как сумма двух бегущих волн:

г,х х

ы = /(- - О+g(-+*) ^

а а , (3)

где ^’ & - произвольные функции своих аргументов.

Решение частного будем искать в виде:

и (х, о = /* 1/К (х, £, 0 й £, (4)

где Ш (х, ^, £) - некоторая функция трех переменных.[5]

Продифференцируем (4) по х, тогда по известной теореме получим:

^г = /0Х^7(х,^^) й ^ + Ш (х,£ = х,0 , (5)

Предполагаем, что Далее, берем вторую производную:

д2и гх32Ж. - . д!ЛГ г с л ( .

^ = /0^(х'^с№ + ^(х^ = хД)' (6)

Предполагаем, что ^ (х, { = х, £) = ф (х, £).

Аналогично дифференцируем функцию и по ?два раза,имеем:

92и гх921У /

з? = /о ^(х^,« (7)

Далее, подставляя (6), (7) в (1), получаем однородное уравнение для Ш при следующих граничных условиях:

д^_ _ 2_д^_ =

дх 2 а2 дС2 ( )

Ш (х, { = х, 0 = 0 , ^ (х, { = х, 0 = ф (х, 0 . (9)

Для решения (8) передем к новой переменной х '=х-^. Тогда (8) примет вид:

д2Ш 1 д2Ш

дх’2 а2 дЬ2

с граничными условиями:

= 0 , (10)

Ш (х, х ' = 0 Д) = 0 , ^ (х, х ' = 0 ,0 = ф (х, £) . (11)

Решение (10) будет при этом иметь вид:

Ш = а( -/0С "«фСхтО йт + /0С+“ ф(х,^йт) (12)

Возвращаясь к «старой» переменной х, получаем:

с | <*-В

Ш = а/ (,°0 ф(?,т)йт (13)

а

Видим, что (13) является решением уравнения (8) и удовлетворяет условиям (9), таким образом, частным решением (1) является:

и О, о = - /о Ф Т) йт й{ (14)

Таким образом общее решение (1) имеет вид:

(х-0

и0,0 = /(— о+8(-+о +-/ / ^ Ф ({,т)йтй{ . (15)

/7 /7 / и /■-----2—

Рассмотри более упрощенную ситуацию: пусть , тогда для оп-

ределения функций /, $ имеем граничные условия (2). С учетом (2), (3) имеем следующую систему уравнений:

/ (-г) + 2 (*) = а(*), (16)

/ '(-*) + 2 '(*) = Р '(* )■ (17)

Продифференцируем (16) по времени и проведя преобразования, имеем

/ (-г) = 1 [«(г) -р(г)], (18)

2 (г) = 1 [а(г)+р(г )]■ (19)

£ =----*

Учтем то, что в (19) —- след переменной а при х = 0, а ? - след пе-

„ х -^ =г — ременной а , поэтому

а( - —) - - —)

а а

Аналогично получаем

Окончательно находим

и =

2

а (/ — —) + а (/ + —) а а

+ -

2

рц+Х)—Р(і—Х)

а а

Схема численного счета

Полученный аналитический пример является тестом для численной схемы, представленной ниже, которую возможно обобщить для решения 2-х, 3-х мерных волновых уравнений в случае полуплоскости, полупространства.

Схема вычислений следующая. Рассмотрим случай, когда ф (х,?)=0. Поскольку функция и задана на границе х=0 (см. рис. 2), то на всей границе х=0 определены производные от этой функции по вре-

дыд д2и0

мени V. д д^2 (индеек «0» выражает слой по координате х). Поскольку на этой

ди

дх

же границе известна производная торая расписывается как

д и дх

ко-

/ 0 чХ 1

-ҐІ

-2ҐІ

Рис. 2. Полуплоскость х < 0 и заданная на ней сетка вычислений

и —! — и0 Р '(*)

—к

а

то отсюда находим

на слое х = -к для любого времени V.

лр ()

и—і = а(і) —

а

(21)

Это означает, что для любого времени ? можно найти первую и вторую

производные по времени ? от функции и !. Для определения функции и-2 используем закон движения (1), записанный в виде:

и—2 — 2и—1 + ио 1

а

Отсюда находим

и—2

а

а

(22)

1

1

и

Эта формула определяет и-2 для любого времени I, то есть через неё опре-

ди_2 д2и-2

деляются д д 2 .

Итак, опускаясь по шагам вниз по координате х, используем все время аппроксимацию:

и - 2и и + 1 д2и_(''_') и-(г +1) - 2и_ _ и-(г-1) + ----Т2---

а дС

Выводы.

В работе рассмотрена постановка задачи Коши с заданными смещением и производной по нормали, получено решение в общем виде. Рассмотрен пример для случая ф (х,?)=0, разработан числено-аналитический алгоритм его решения, трансформирующийся в решение 2-х, 3-х мерных задач.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988

2. Годунов С. К. Уравнения математической физики М.: Наука, 1979

3. Олейник О. А. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.

4. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999.

5. Дифференциальные уравнения гиперболического типа. Решение неоднородного волнового уравнения. Кузнецова О.Б., Булычева С.В. [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://umf.kmf.шu.m/mdex.php?id=20&id1=0

© А.И. Чанышев, М.Н. Петров, 2013