CC BY
50
УДК 539.4, 669.4
Влияние масштабных уровней поворотных мод пластического течения на сопротивление деформации поликристаллов
Т.Ф. Елсукова, В.Е. Панин
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
При растяжении в широкой области температур поликристаллов свинцовых сплавов, существенно различающихся состоянием объемов и границ зерен, показано, что на характер зависимости сопротивления деформированию от величины зерна значительное влияние оказывает развитие поворотных мод деформации на различных масштабных уровнях. Полученный результат необходимо учитывать при интерпретации параметров уравнения Холла-Петча в представлениях многоуровневого подхода физической мезомеханики.
Ключевые слова: масштабные уровни поворотных мод деформации поликристаллов, параметры уравнения Холла-Петча
Influence of scale levels of plastic flow rotational modes on strain resistance of polycrystals
T.F. Elsukova and V.E. Panin
Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia
For tensile lead alloy polycrystals in a wide temperature range at different states of their volumes and grain boundaries it is shown that the character of the “grain size - strain resistance” dependence is significantly affected by the development of strain rotational modes at the mesoscale levels. The obtained results allow interpreting parameters of the Hall-Petch equation in the context of the multilevel approach of physical mesomechanics.
Keywords: scale levels of polycrystal strain rotational modes, parameters of the Hall-Petch equation
1. Введение
В физической мезомеханике [1, 2] границы зерен в деформируемом поликристалле рассматриваются как самостоятельный мезоскопический структурный уровень деформации, который играет важную функциональную роль в распространении пластического сдвига в структурно-неоднородной среде. Развиваясь внутри зерна, сдвиг сопровождается поворотной модой деформации на более высоком структурном уровне как следствие развития вдоль границ зерен потоков зернограничных дефектов, что сопровождается зернограничным проскальзыванием [3]. Стесненные повороты зерен как целого обусловливают возникновение на границах зерен наведенных концентраторов напряжений и приграничных зон аккомодационной деформации [4]. Их роль может быть оценена с помощью уравнения Холла-Петча, которое в физической мезомеханике отражает про-
цессы аккомодации смежных зерен в поликристалли-ческом агрегате.
В работе [5] на поликристаллах высокочистого свинца проведен анализ уравнения Холла-Петча а = = а0 + Ыв представлениях [1, 2] в широком интервале температур растяжения, что позволяет качественно изменять механизмы деформации на мезоскопических структурных уровнях. Установлена четкая корреляция характера температурных зависимостей пластичности и зернограничных аккомодационных механизмов. Показано, что на характер зависимости сопротивления деформации от величины зерна существенно влияет развитие механизмов деформации мезомасштабных уровней — зернограничного проскальзывания, миграции границ зерен, фрагментации зерен на мезоуровне, формирования зон сильной локальной кривизны и др. При этом зернограничное проскальзывание играет особую
© Елсукова Т.Ф., Панин В.Е., 2009
роль, оно определяет вид уравнения Холла-Петча и влияет на характер зависимости его параметров от внешних условий нагружения.
Целью настоящей работы является дальнейшее развитие проведенного в [5] анализа уравнения Холла-Петча в рамках концепции структурных уровней деформации твердых тел. На примере свинцовых сплавов, существенно различающихся состоянием объемов и границ зерен, ставится задача оценить влияние масштабных уровней поворотных мод пластического течения на сопротивление деформации поликристаллов и параметры уравнения Холла-Петча.
2. Материалы и методика исследования
В качестве материалов исследования использовали бинарные сплавы на основе высокочистого свинца марки С000. Для целенаправленного изменения состояния границ и объемов зерен использовали малорастворимые в свинце элементы двух типов: горофильные, образующие существенную сегрегацию на границах зерен (As, Sn), и горофобные, не склонные к сегрегации по границам зерен и концентрирующиеся на дефектах решетки (Те). Концентрация добавок взята в пределах твердого раствора, включая предел растворимости при комнатной температуре, что составляет для Sn, As и Те соответственно 1.9, 0.01 и 0.03 вес. %. Путем повышения температуры деформации можно изменять близость сплава к пределу растворимости и тем самым состояние его границ зерен.
Чтобы исключить неконтролируемое влияние посторонних примесей, использовали свинец и легирующие элементы высокой чистоты (не ниже 99.999 %). Плоские образцы с площадью поперечного сечения 4.8 мм2 и расчетной длиной 20 мм деформировали растяжением со скоростью 54.0 %/мин при температурах 77-548 К, что составляет (0.1-0.9) Гпл исследуемых материалов. Каждую кривую течения строили по усредненным данным для 5-7 образцов. По кривым течения строили зависимости напряжения течения а от d для различных степеней деформации (0.2, 1, 2, 3, 5 %) при разных температурах испытания Тисп. Значения параметров а0 и К получали методом наименьших квадратов, экстраполируя прямые а = f(^) к значениям d = 0 и d= 0.
Поверхности образцов для структурных исследований получали электрополировкой. Структурные исследования проводили методами оптической, интерференционной и электронной растровой микроскопии с количественной оценкой зернограничного проскальзывания, миграции границ зерен, фрагментации, одиночного и множественного скольжения.
3. Результаты исследования и их обсуждение
Рассмотрим влияние горофильных по отношению к свинцу добавок (As, Sn), образующих существенную
сегрегацию на границах зерен, на поведение параметров а0 и К в зависимости от степени и температуры деформации. На рис. 1 представлены температурные зависимости а0 и К для сплава РЬ - 0.01 % As. Из их сравнения с аналогичными кривыми для свинца (рис. 2) видно, что кривые а0 (Т) как по уровню, так и по характеру мало отличаются для свинца и сплава: при е < 2 % они полностью совпадают, а при более высоких е кривые для сплава идут незначительно выше.
Однако в зависимость К(Т) легирование мышьяком вносит целый ряд особенностей. Прежде всего, эта зависимость для сплава выражена значительно сильней, чем для свинца, что проявляется в значительном (в 310 раз для разных е) повышении абсолютных значений К для сплава при низких температурах и в незначительном их увеличении при высоких температурах. Во-вторых, для свинца при низких Тисп максимум на кривой К(Т) наблюдается лишь для предела текучести, а для сплава он при е = 0.2 % отсутствует, но проявляется при более высокой степени деформации и выражен тем сильнее, чем выше е. И наконец, для сплава меньше влияние степени деформации на уровень К при низких и средних температурах: для свинца при е = 5 % зависимость К(Т) отсутствует, а для сплава она также сильно выражена, как и при меньших е. Из сопоставления кривых для свинца и сплава Pb-As выявляются и другие
т, к
т, к
Рис. 1. Влияние ТИсп на параметры а0 (а) и К (б') сплава РЬ-0.01 % As при степени деформации 0.2 (1), 1 (2), 2 (3), 3 (4), 5 % (5)
т, к
т, к
Рис. 2. Влияние ТИсп на параметры а0 (а) и К (б) свинца при степени деформации 0.2 (1), 1 (2), 2 (3), 3 (4), 5 % (5)
важные нетривиальные особенности влияния малых добавок на сопротивление деформации поликристаллов. Прежде всего, как было показано в [6], мышьяк, введенный в количестве 0.01 %, весьма существенно повышает предел текучести свинца при низких и средних температурах, а при высоких, наоборот, даже понижает его. Из анализа рис. 1, 2 следует, что ответственным за повышение предела текучести в данном случае является параметр К, так как а0 от легирования мышьяком не изменяется при е до 2 %, а параметр К при этом повышается в 4-5 раз. Причина такого влияния мышьяка, видимо, в том, что он вследствие сильной сегрегационной способности по отношению к свинцу [7] практически полностью концентрируется на границах зерен
и, затрудняя зернограничную деформацию, способствует сильному возрастанию агз при внутризеренных сдвигах.
В качестве другой горофильной добавки взято олово, имеющее по сравнению с мышьяком более высокую (в 200 раз) растворимость в свинце. Исследовали сплавы, содержащие 1.9 (предел растворимости при 300 К) и 0.4 % Sn. Температурные зависимости параметров а0 и К для этих сплавов представлены на рис. 3 и 4. Видно, что для а0 (рис. 3, а, 4, а) при низких и умеренных температурах (77-300 К) наблюдается аномалия температурной зависимости сопротивления деформации, проявляющаяся в наличии локального максимума кри-
т, к
т, к
Рис. 3. Влияние ТИсп на параметры а0 (а) и К (б) сплава РЬ - 0.4 %8п при степени деформации 0.2 (1), 1 (2), 2 (3), 3 (4), 5 % (5)
Т, К
т, к
Рис. 4. Влияние ТИсп на параметры а0 (а) и К (б) сплава РЬ - 1.9 % 8п при степени деформации 0.2 (1), 1 (2), 2 (3), 3 (4), 5 % (5)
Эп, вес.
Рис. 5. Зависимости сопротивления деформации для разных ее степеней е от концентрации олова при ТИсп = -196 (а), 20 (б), 180 °С (в): е = = 0.2 (1), 1 (2), 3 (3) и 10 % (4)
вых а0 (Т) при 300 К. Для зависимости К(Т) (рис. 3, б, 4, б) в низкотемпературной области наблюдается обратное по сравнению со свинцом и сплавом Pb-As влияние степени деформации: значения К тем выше, чем больше е. Как и для сплава Pb-As, на кривых К(Т) при низких температурах имеется максимум, выраженный тем сильнее, чем меньше е. При высоких температурах закономерности изменения а0 и К с температурой качественно такие же, как и для свинца.
Отмеченная особенность зависимости а0(Т) сплавов РЬ^п лежит в основе аномалии концентрационной
О 5 10 15
А1, % (ат.)
зависимости сопротивления деформации твердых растворов РЬ^п, проявляющейся в том, что увеличение концентрации олова от 0 до 1.9 % приводит вначале к повышению а, затем к его резкому понижению и в дальнейшем к постепенному росту (рис. 5) [8]. Проявление указанной аномалии существенно зависит от степени и условий деформации: ее степень максимальна при
А1, % (ат.)
Рис. 6. Зависимость сопротивления деформации при растяжении а Рис. 7. Зависимость параметров а0 (а) и К (б) уравнения Холла-
от концентрации сплавов Си-А1 с различной величиной зерна (е = Петча от концентрации твердого раствора при растяжении сплавов
= 9 %): 0.21 (1), 0.05 (2), 0.025 (3) и 0.01 мм (4) системы Си-А1. Степень деформации е = 0.2 (1), 1 (2), 3 (3), 7 (4)
Рис. 8. Температурная зависимость сопротивления деформации спла- Рис. 9. Одиночное скольжение и экструзия в приграничной зоне АВ:
вов Си + 17.3 ат. % А1 (1, 2) и Си + 17.3 ат. % А1 + 0.5 ат. % Бе (3). а — без интерференции, б — с интерференцией. РЬ - 1.9 % Эп,
Размер зерна — 55 мкм, е = 3 (1), 7 % (2, 3) Тжсп = -196 К, е = 15 %. х200
низких Тисп, высокой скорости и малой степени дефор- ченные для сплавов РЬ-Эп низкотемпературные ано-
мации. Установленная в настоящей работе аномалия мальные эффекты связаны с особенностями их внутри-
зависимости а0 (Т) позволяет полагать, что все отме- зеренной сдвиговой деформации.
Рис. 10. Дисторсия квадратов реперной сетки на границах зерен АВ. РЬ - 1.9 % Эп, ТИсп = -196 К, е = 15 %. х300
Рассмотренные аномалии внешне подобны соответствующим аномалиям для медных сплавов, описанным в [9], где также получены немонотонные зависимости а(С), а0(С), а(Т) (рис. 6-8). Однако для медных сплавов аномалии отсутствуют при малой деформации, но возникают и усиливаются с ее развитием. Их причина объяснялась в [9] задержкой мультиплетного скольжения, связанной с особенностями формирующейся дислокационной структуры. В случае сплавов РЬ-Эп аномалия максимально выражена на пределе текучести, а с ростом е сглаживается и совсем исчезает. Структурными исследованиями установлено, что в основе максимально выраженной аномалии механического поведения сплавов РЬ-Эп являются: преимущественное одиночное скольжение в зернах, локализация в приграничных зонах аккомодационных процессов типа квазивязкой экструзии материала (рис. 9), дисторсия квадратов координатной сетки, включающих границы зерен, при сравнительно слабом изменении формы квадратов внутри зерен (рис. 10). Последнее свидетельствует о повороте зерен как целого, при этом важную роль играет отсутствие зернограничного скольжения.
Эти данные свидетельствуют о том, что аномалия зависимости а0 (Т) для сплавов РЬ-Эп также связана с задержкой множественного скольжения. В этих условиях одиночное скольжение обеспечивается облегченным квазивязким течением в приграничных зонах стесненной деформации, обусловленным понижением сдвиговой устойчивости решетки при легировании. В основе этого эффекта лежит ряд причин. Во-первых, по данным [10] в твердых растворах, особенно вблизи предела растворимости, атомные смещения столь велики, что может возникать сдвиговая неустойчивость решетки. Во-вторых, сплавы, содержащие 0.4-1.9 % Эп, соответствуют предельной растворимости при температурах, значительно превышающих 77 К. Следовательно, при
77 К все эти сплавы являются в той или иной мере пересыщенными, что создает дополнительную неустойчивость решетки. И, наконец, в приграничных зонах степень возмущения может быть еще увеличена зернограничной сегрегацией.
При температурах деформации Т > 250 К сплавы Pb-As и РЬ-Эп оказываются в области твердых растворов и пересыщение границ зерен легирующими элементами исчезает. Соответственно в ходе деформации в них резко возрастают зернограничное проскальзывание и миграция границ зерен (рис. 11). В этих условиях все аккомодационные поворотные моды реализуются в объеме зерен: множественное скольжение, сильное искривление поверхности зерен, фрагментация материала в объеме зерен (рис. 12). Коэффициент К в уравнении Холла-Петча в этой области температур деформации резко падает, а параметр а0 проявляет аномальное возрастание (рис. 4). Совершенно аналогичные эффекты для а0 = а0(Т) и К = К(Т) наблюдались для сплавов Си-А1 в [9]. Однако в [9] не акцентировалось внимание на связь коэффициента К в уравнении Холла-Петча с поворотными модами деформации и соответственно на важную роль масштабных уровней аккомодационных поворотов.
Горофобной добавкой по отношению к свинцу является теллур. Температурные зависимости параметров уравнения Холла-Петча для сплава РЬ - 0.03 % Те представлены на рис. 13. Из их сравнения с соответствующими зависимостями для свинца (рис. 2) видно, что легирование теллуром приводит к существенному повышению значений обоих этих параметров. В отличие от свинца и эвтектических сплавов для РЬ-Те низкотемпературные максимумы на кривых К (Г) отсутствуют.
Сильное влияние горофобного теллура на коэффициент К в уравнении Холла-Петча качественно подобно
Рис. 11. Зернограничное проскальзывание и миграция границ зерен РЬ - 1.9 % Эп, Тисп = 300 К, е = 15 %. х240
Рис. 12. Множественное скольжение и изгиб поверхности зерен РЬ -1.9 Эп, Тисп = 300 К, е = 30 %. х 180
т, к
т, к
Рис. 13. Влияние Тисп на параметры а0 (а) и К (б) сплава РЬ -0.03 % Те при степени деформации 0.2 (1), 1 (2), 2 (3), 3 (4), 5 % (5)
такому влиянию горофильного мышьяка и поэтому требует самостоятельного рассмотрения.
Прежде всего, отметим, что теллур, близкий по концентрации к мышьяку, но горофобный по отношению к границам зерен свинца, заметно меньше, чем мышьяк, влияет на величину К. Эта разница в эффекте влияния теллура и мышьяка особенно велика при низких температурах, но заметно уменьшается и совсем исчезает при высоких. Объясняется это тем, что сплав Pb-As, относящийся к простой эвтектической системе, с ростом температуры приближается по свойствам к чистому свинцу вследствие растворения сегрегации мышьяка на границах зерен. Сплав РЬ-Те, относящийся к системе с химическим соединением, с ростом температуры все больше превосходит свинец по значениям а0 и К. При этом очень важно, что теллур, не сегрегируя по границе зерна свинца, эффективно подавляет зернограничное проскальзывание в нем (рис. 14). Как показали структурные исследования, его воздействие на зернограничное проскальзывание и величину К связано с тем, что в приграничных зонах с сильными химическими связями затруднены поворотные аккомодационные процессы, необходимые для реализации зернограничного проскальзывания.
Рис. 14. Микроструктура сплава РЬ - 0.03 % Те, ТИсп = 300 К, е = = 30%. х110
4. О физической интерпретации параметров уравнения Холла-Петча
В литературе широко используется эмпирически установленная в [11, 12] связь сопротивления деформации и величины зерна в деформируемом поликристалле:
а = а0 +К^+К2 d ~^2, (1)
где а0, К; и К2 — параметры материала; d—средний размер зерна. Наиболее часто ограничиваются двумя слагаемыми в уравнении (1) а0 и Ыч^2, что было сделано и в настоящей работе. При этом а0 связывают с сопротивлением сдвигу в объеме зерна, коэффициент К — с сопротивлением передачи деформации от зерна к зерну. Существует множество моделей для объяснения уравнения (1), которые предлагают различную интерпретацию параметров а0 и К. В основе большинства из них лежат одноуровневые подходы теории дислокаций.
Строго говоря, общепринятые интерпретации параметров а0 и К отражают только трансляционные механизмы пластических сдвигов. В физической мезомеха-нике развивается многоуровневый подход, в основе которого лежит иерархически самосогласованное пластическое течение по схеме «сдвиг + поворот». Пластическая деформация распространяется как автоволновой процесс [2]. Сдвиг зарождается как локальное структурное превращение в зоне концентратора напряжений определенного масштаба и развивается как релаксационный процесс в поле максимальных касательных напряжений ттах. Несовпадение направлений Ттах и оси приложенного напряжения вызывает поворотные моды деформации. Их стесненность порождает новые концентраторы напряжений, которые обеспечивают распространение пластического сдвига как сугубо релаксационного процесса.
В деформируемом поликристалле любой пластический сдвиг в объеме зерна будет создавать стесненные повороты на его границах со смежными зернами. Поля напряжений стесненных поворотов могут релаксиро-вать следующими механизмами:
- потоками деформационных дефектов на границах зерен, вызывая зернограничное проскальзывание;
- множественным скольжением в объеме зерен, которое диспергирует поворотные моды на более низких мезомасштабных уровнях внутри зерен;
- возникновением приграничных полос локализованной деформации аккомодационной природы;
- фрагментацией материала в объеме зерен;
- поворотом зерен как целого;
- миграцией границ зерен и развитием экструзии-интрузии локальных зон материала;
- образованием пор и трещин.
В зависимости от материала, вида и условий нагружения вовлекаются различные механизмы релаксации поля поворотных моментов. Их, естественно, необходимо учитывать в интерпретации параметров а0 и К уравнения Холла-Петча. Результаты настоящего исследования и работы [9] это убедительно подтверждают.
Обобщая рассмотренные выше закономерности, можно констатировать следующие положения: 1) если стесненные поворотные моды локализуются в границах зерен и приграничных зонах, то такой материал ха-растеризуется низкими значениями а0 и высокими значениями коэффициента К; 2) если поворотные моды диспергированы в объеме зерен, то в таком материале очень высокий уровень значений а0 и низкий уровень значений К.
Многоуровневая интерпретация параметров а0 и К имеет простой физический смысл. Условие (1) реализуется при развитии в зернах одиночного скольжения. Связанный с ним материальный поворот порождает в приграничной зоне встречное поле аккомодационных поворотов по механизму Эшби [13]. Это обусловит низкий уровень а0 и высокое значение К. В крупнозернистых материалах, когда в исходном металле развивается множественное скольжение, а его легирование обусловливает переход к одиночному скольжению, механические характеристики материала при легировании будут снижаться (рис. 5, 12). При повышении температуры деформации, когда возникает зернограничное проскальзывание и будет генерироваться в зернах множественное скольжение, сопротивление деформации будет возрастать (рис. 3, 4, 8). В мелкозернистых материалах такой аномалии не будет из-за высокого значения К и большой протяженности границ зерен [9].
Высокие значения а и а0 в условиях множественного скольжения связаны с развитием диспергированных поворотных мод во всем объеме зерен. Неудивительно при этом, что коэффициент К становится очень
малым. Напомним в связи с этим, что в поликристалле с ячеистой дислокационной субструктурой уравнение Холла-Петча выполняется не для размера зерна, а для размера дислокационных ячеек [14]. В работе [15] теоретически показано, что с поворотными модами деформации связано около 40 % деформационного упрочнения. На самом деле значительно больше, если учесть все возможные виды поворотных мод деформации.
Многоуровневый подход физической мезомеханики к анализу параметров а0 и К уравнения Холла-Петча позволяет понять многие закономерности пластической деформации поликристаллов в различных условиях нагружения.
5. Заключение
Результаты выполненных систематических исследований роли масштабных уровней поворотных мод деформации в сопротивлении деформированию поликристаллов с целенаправленным изменением состояния объемов и границ зерен позволили выявить целый ряд новых, принципиально важных закономерностей и эффектов.
Установлено определяющее влияние поворотных мод деформации на величину и характер температурной зависимости сопротивления деформированию поликристаллов на различных масштабных уровнях их пластического течения.
Горофильные добавки, образующие сегрегацию на границах зерен поликристалла, стимулируют локализацию поворотных мод деформации на высоком масштабном уровне с понижением сопротивления деформированию. Горофобные добавки, растворяющиеся в кристаллической решетке объемов зерен, приводят к развитию поворотных мод на низком масштабном уровне (в объеме зерен) с резким увеличением сопротивления деформированию.
Количественно показано, что подавление зернограничного проскальзывания в сплаве с горофобной легирующей добавкой (РЬ-Те), образующей химическое соединение с металлом-основой, осуществляется за счет затруднения в приграничных зонах с сильными химическими связями поворотных аккомодационных процессов, необходимых для реализации зернограничного проскальзывания.
Установлена общность природы аномалии а0(Т) медных и свинцовых сплавов, связанной с задержкой в объеме зерен при низких температурах деформации множественного скольжения и локализации поворотных мод деформации в приграничных зонах поликристалла. В этих условиях параметр К резко возрастает.
Сформулированы общие положения о влиянии масштабных уровней поворотных мод деформации на параметры а0 и К уравнения Холла-Петча.
Работа выполнена при финансовой поддержке проекта СО РАН № З.6.1.1.
Литература
1. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1. - 298 с.
2. Панин В.Е. Синергетические принципы физической мезомеханики
// Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 6. - С. 5-36.
3. Кайбышев O.A., Валиев Р.З. Границы зерен и свойства металлов. -
М.: Металлургия, 1987. - 214 с.
4. Гриняев Ю.В., Панин В.Е. Расчет напряженного состояния в упруго
нагруженном поликристалле // Изв. вузов. Физика. - 1990. - № 2.-С. 107-120.
5. ПанинВ.Е., Елсукова Т.Ф., ГриняевЮ.В. Механизм влияния величины зерна на сопротивление деформированию поликристаллов в концепции структурных уровней деформации твердых тел. Часть I. Необходимость учета мезоскопических структурных уровней деформации при анализе уравнения Холла-Петча // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 3. - С. 63-74.
6. Елсукова Т.Ф., Жукова К.П. Влияние температуры и легирования на пластичность и макроскопический механизм деформации свинцовых сплавов // Субструктура и механические свойства металлов и сплавов. - Томск: Изд-во ТПИ, 1988. - С. 77-82.
7. Афанасьев П.П., Елсукова Т.Ф. Влияние примесей на скорость прерывистого распада сплавов Pb-Sn // ФММ. - 1984. - Т. 57. -Вып. 1. - С. 96-101.
8. Елсукова Т.Ф., Жукова К.П., Панин В.Е. Концентрационная зависи-
мость сопротивления деформации твердых растворов Pb-Sn // ФММ. - 1987. - Т. 64. - Вып. 6. - С. 1158-1163.
9. Панин В.Е., Дударев Е. Ф., Бушнев Л. С. Структура и механические
свойства твердых растворов замещения. - М.: Металлургия, 1971.- 205 с.
10. Krasco G.L. Static displacements and shear instability of solid solution crystal lattice // Phys. Lett. A. - 1975. - V. 55. - No. 4. - P. 260262.
11. Hall B. O. Deformation and ageing of mild steel // Proc. Phys. Soc. -1951. - V. 64. - No. 1. - P. 747-753.
12. Petch N.J. The cleavage strength of polycrystals // J. Iron Steel Inst. -1953. - V. 174. - P. 25-28.
13. Ashby M.F. The deformation of plastically non-homogeneous materials // Phil. Mag. - 1970. - V. 21. - No. 170. - P. 399-424.
14. Трефилов В.П., Мильман Ю.В., Фирстов С.А. Физические основы прочности тугоплавких металлов. - Киев: Наукова думка, 1975. -315 с.
15. Смолин П.Ю., Макаров П.В., Бакеев Р.А. Обобщенная модель упругопластической среды с независимыми пластическими поворотами // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - Спец. выпуск. - Ч. 1. -
С. 89-92.
Поступила в редакцию 22.08.2008 г., после переработки 20.05.2009 г.
Сведения об авторах
Елсукова Тамара Филипповна, д.ф.-м.н., внс ИФПМ СО РАН, еЬик^а@уа^ех.ги
Панин Виктор Евгеньевич, д.ф.-м.н., академик РАН, научн. рук. ИФПМ СО РАН, [email protected]
