Влияние формы области на решение задачи об обтекании препятствия потоком смеси вязких сжимаемых жидкостей Текст научной статьи по специальности «Математика»

2016

Математика и механика

№ 5(43)

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

DOI 10.17223/19988621/43/1

А.А. Жалнина

ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ ОБЛАСТИ НА РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОБТЕКАНИИ ПРЕПЯТСТВИЯ ПОТОКОМ СМЕСИ ВЯЗКИХ СЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ

Изучается зависимость решения неоднородной краевой задачи для нелинейной системы дифференциальных уравнений составного типа, моделирующей обтекание компактного препятствия потоком смеси вязких сжимаемых жидкостей. Полученные результаты могут служить основой для исследования свойств функционалов от этих решений (например, функционала сопротивления), в частности для вычисления производной по области от функционала и последующего построения численного алгоритма поиска оптимальной формы тела, обтекаемого потоком смеси.

Ключевые слова: смесь вязких сжимаемых жидкостей, обтекание препятствия, неоднородная краевая задача, сопряженная задача.

Авторами [1] построено сильное обобщенное решение неоднородной краевой задачи, моделирующей обтекание препятствия потоком смеси вязких сжимаемых жидкостей. Настоящая статья посвящается исследованию зависимости решения данной краевой задачи от формы области течения. Эти результаты имеют важное значение для анализа свойств функционалов (скажем, функционала сопротивления) от решений краевой задачи и, следовательно, для решения задачи об оптимизации формы области течения.

Постановка задачи заключается в следующем. Область течения смеси вязких сжимаемых жидкостей представляет собой область Q = B \ S евклидова пространства К3 точек х = (xj, х2, х3), внешнюю по отношению к обтекаемому препятствию S (которое предполагается компактным множеством) и ограниченную замкнутой поверхностью Е . Пусть х ^ T(х) обозначает векторное поле класса C 2(К3), равное нулю в окрестности границы Е. Определим отображение х ^ y = T (х) = х + еТ (х), задающее возмущение формы обтекаемого препятствия S . Для малых е отображение х ^ Те (х) является диффеоморфизмом области течения Q на область Qe = B \ Se, где Se = Те (S) - возмущенное обтекаемое препятствие.

Стационарное движение в области смеси вязких сжимаемых жидкостей описывается следующими уравнениями [2]:

div(p!eMe(0) = 0 в Qe, i = 1,2, (2)

где и(1), up-1 обозначают поля скоростей компонент смеси; р1е, р2е - функции плотностей компонент, а соответствующие давления pis = pis (pie), i = 1,2, предполагаются известными достаточно гладкими функциями своей плотности; через Re и Ma обозначены числа Рейнольдса и Маха соответственно; L^, i, j = 1,2,

обозначают дифференциальные операторы второго порядка

Lv(u(j)) = -цу.Ди(j) -(цу. +X1})Vdivu(j), i, j = 1,2, причем постоянные (безразмерные) коэффициенты вязкости ^, Xij- удовлетворяют условиям

h1 >0, 4^11^22 - (^12 +^21)2>0, ^11 + 2h1>0, 4(Xjj + 2ци)(Я, 22 + 2ц22) - (Х12 + 2ц12 +Х 21 + 2ц21)2 >0.

Слагаемые J(i) = (-1)(i) а(м,(2) - и®), a = const > 0, i = 1,2, характеризуют интенсивность обмена импульсами между компонентами смеси [3, 4]. Уравнения (1) и (2) отражают соответственно законы сохранения импульсов и массы компонент смеси.

Для постановки граничных условий используем заданные векторные поля U(1), j = 1,2, класса C3(M3), обращающиеся в нуль в окрестности множества S .

С помощью вектор-функций U(1 на границе £ области B выделим участки «втекания»:

£jn = {x e £ :U(1)n <0}, j = 1,2, и участки «вытекания» (см. рис. 1):

£out = {x6 £ :U(1)n >0}, j = 1,2. Будем предполагать выполненными следующие условия: Условие 1. Множества Г1 = cl£Jin n (£ \ £Jin), j = 1,2, («характеристические» части поверхности) представляют собой замкнутые одномерные многообразия, такие, что £ = £jn иГ1 u £0ut и, кроме того,

JU(1)nds = 0, j = 1,2; U(1)V(U(j)n) > C >0 на Г1, j = 1,2, £

где C >0 - некоторая постоянная.

К уравнениям (1), (2) присоединим граничные условия

u(1) = U(j) на £, u(1) =0 на 5Se, рje = р°е на £¿, j = 1,2, (3)

где р°е, j = 1,2, - заданные положительные постоянные.

Рис. 1. Схемы обтекания препятствия j-й компонентой смеси: a - трехмерный поток; b - плоское сечение Fig. 1. Schemes of aflow around an obstacle jth component of the mixture: a) a three-dimensional flow; b) plane section

Сила сопротивления набегающему потоку со стороны препятствия ^ выражается посредством формулы

2 ( 2г, -1-ш- Л

Л

(Se) = -UJ I XL.( )diva^/l--^Pi(p)I

ds\ j=lL V ' J Ma

■nds, (4)

где иш - постоянный вектор, имитирующий скорость потока на «бесконечности». Проблема минимизации этого функционала означает решение задачи выбора оптимальной формы обтекаемого препятствия.

Задачу (1) - (3) удобно свести к краевой задаче в невозмущенной области О для однопараметрического семейства дифференциальных уравнений с возмущен-

ными коэффициентами. С этой целью вводятся функции u(i) и рг-, i = 1,2, определенные в Q согласно формулам:

u(г) (x) = N(x)u() (x + ef (x)), рг (x) = pie (x + ef (x)), x e Q, i = 1,2,

где N (x) = (detM (x))Mx), M (x) = I +eDf(x), Df(x) = J 9f (x) 1 - матрица

I dx1 J

Якоби отображения x ^ f (x).

В результате такого преобразования задача (1) - (3) трансформируется в задачу

2 2

Ди( 1) -Vq = ZhyA(u(1);N) + Reb(рг,u(l),u(l);N) + (-1)гs(м(2) -u(1);N) в Q, 1=1 j=1

2 2

divи(г) = Zgстуpj - ZgYij^j в Q (5)

j=1 1=1

2 2

•VP! +Pi Zgjj = Pi ZgYy^j в Q

j=1 j=1

u(i) = U(i) на £, г!(i) =0 на dS, рг = р° на £|n, i = 1,2.

Здесь g = g (x; N) = -у/det N (x) ; линейные операторы a, b и нелинейное отображение s определены по формулам

a (и; N ) = Дм-(Nf )-1div (g - NNf v(n --,

b(p,u, w; N) = p(Nf --1 (u V(N_1w--, s(u; N) = g • a (Nf --1 Nu;

2 Re

qi = - Z g- (цу + Xu) div u(1 +--- pi (рг-), i = 1,2, - эффективные вязкие давления;

;=i Ma2

Yy - элементы матрицы к-1, обратной к матрице к, элементы которой есть Re

Цу + Ху, i, j = 1,2 ; сту = ТТТ Yij .

Ma2

Решение задачи (5) строится в виде возмущения специальным образом выбранного достаточно гладкого течения м*г), р*, q(p, т. е.

2

u(i) = 4° + v(0, Pi = р* + Фг, qi = q* + пг + Л • pi (р* ) + Z(^y + ^у Ж,

j=1

* 0 * Re

где рг- = рг- = const, Л =-, Ж: - постоянные, служащие инструментом кон-

Ma2

троля масс компонентов смеси в области Q . В итоге основным объектом исследования становится задача для возмущений [1]:

2 2

Ду( 1) - Уп. = а (и(1; N) + Яе в (р., и(1), и (); N) + (- 1)г 5 (и(2) - и(1); N) в О, ]=1 1=1

2 1

Шу V(г) = ят.Ф1 - яФг [0] - ят. в О, (6)

1 =1 Рг

+ТЙфг = [0] + ЯШг.рг в °

у(0 = 0 на дО, фг. = 0 на Е|п, Пп. = п. (П# = —— \qclx), I = 1,2;

|О|О

т = (т1, Ш2)Г, т = (Л/ - А)-1 / А = {ау- }2,.=,/ = (/1, Л)Г, к = /ЯСХ, а. = -1 | ЯР; Сг( 1) СХ, = -1 | (¿Сг( 1) Т; [ 0 ] - ЯФ. [0 ]) Сх;

О Рг О Рг О 1 =1

-<Цу(и(0 • $)) + тй • $) = т;гЯ в О, С« = 0 на Е«, г,] = 1,2. Здесь постоянные параметры т^ связаны известным образом с коэффициентами вязкости , и заданными граничными значениями р0; Ф. [0], Т. [0] - известные функции компонент вектора 0 = (V(1), V(2); п1, п2, ф1, ф2), выражения которых приведены в [1], где также доказана теорема существования

Теорема 1. Пусть поверхность Е и векторные поля и(1),и(2) удовлетворяют

* *

условию 1. Тогда найдутся такие числа ст >1 и т е (0,1), что если матрица N выбрана из условия ||/ - N1 |с 2 (О) < т2, те (0, т*], р(р;-) е С3(0, да), ] = 1,2, а параметры задачи таковы, что -Л < т2, Яе < т2 , а < т2 , | т12 |< т, | т21 |< т, т.. > ст*,

г =1,2, те (0,т*], то задача (6) имеет решение 0 = (у(1),у(2);п1,п2,ф1,ф2), mi, 1),] = 1,2, такое, что 0 е У*'г х Х5,г, mi е М, 1) е Х5,г, где показатели

3

5 е (0,1), г е (1, да) удовлетворяют условиям s • г >3, 2 5 — <1. При этом век-

г

тор 0 принадлежит шару Вт радиуса т с центром в нуле пространства ¥*,г х X5,г.

Здесь К5,г, Х5,г обозначают пространства

Х*,г = Ws,г (О) п Ж и(О), У*,г = Ж5+и (О) п Ж2,2(О),

причем Ж1,р (О) (1 - целое неотрицательное число, 1 < р < да ) - стандартное пространство С.Л. Соболева [5], состоящее из измеримых в О функций, имеющих обобщенные производные в О до порядка 1 включительно, суммируемые со степенью р. Для вещественных 5 е (0,1), г е (1, да) функциональное пространство Ж5 ,г (О) получается методом вещественной интерполяции [6] между ^ (О) и Ж1,г (О) и состоит из измеримых функций с конечной нормой

+ |И|„П,|И|„П= | |х - у |-3 1 ' Х)- 1 I СхСу.

\\иЫ5,г (О) " II "11£г (О) ^ 1 и ,г1 " кг ,О -

□хП V | х - у

В общем случае пространство Wl+5,г (О), 0< 5 <1, 1 < г < да, I > 0 - целое число, определяется как пространство измеримых функций с конечной нормой

+^ (О) = Ь^,Г (О) + ар ||(О) .

Через W0s,г(О), 0 < 5< 1 обозначается замкнутое подпространство Ws,г(М3), состоящее из всех функций и е (М3), обращающихся в нуль вне области О . Для 0<5<1, 1<г <да обозначим через и0,г(О) интерполяционное пространство ^00,г (О)^01,г (О)]5г с нормой, определенной методом вещественной интерполяции.

Пусть 0 < 5 < 1, 1< г < да, — + — = 1. Через м~5,г (О) обозначим замыкание

Г г'

Ьг (О) относительно нормы:

ГII №,г (О) = 5иР

иеИ^' (О)

И ж-' (О) =

|и • уйх

Как известно [7], пространство м 5,г (О) для 0<5<1, 1< г < да топологически и алгебраически изоморфно Банахову пространству (и0,г (О)) , сопряженному

(О), и может быть отождествлено с ним. Для любых 0<5< 1, 1<г <да Банахово пространство Ш,г(О) представляет собой замыкание (О) по норме

Н\ ш-5 ,г (О) = 1К1 г (О))',

где Су (и) =< м,и >= |м(х) • и(х)Сх - непрерывный функционал на пространстве

О

Ws,г (О), непрерывно вложенном в Ьг (О). Известно [7], что если О - ограниченная область в М3 с границей класса С1, то Ш-5,г (О) алгебраически и топологически изоморфно двойственному пространству ,г (О))' и может быть отождествлено с ним. Введем, кроме того, функциональные пространства

и^ = м5-1,г (О) х Ws,г (О) х К, v^ = Ws+и (О) х Ws,г (О) х К,

^ = м5-1,г (О) п ¿2(О),

£*,г = г5,г х X5,г х К Т5,г = У',г х X5,г х к

Принадлежность векторной величины Е прямому произведению пространств х Ж2 х Ж3 следует понимать в том смысле, что Е составлен из трех компонентов (векторных или скалярных), разделенных точкой с запятой Е = (Е; Е2; Е3) и при этом Е е Ж1, Е2 eW2, Е3 е^3. Если = W2 = Ж3 = Ж, то пишем Е е Ж и компоненты вектора разделяем запятой.

Зависимость решений от формы области

Важнейшим этапом исследования задачи оптимизации формы является доказательство единственности решения задачи (6) и дифференцируемости ее решения относительно параметра е. Для этого прежде всего необходимо исследовать зависимость этих решений от матрицы N , полностью определяемой деформацией области течения. На данном этапе структура матрицы N не имеет значения и поэтому полученные ниже результаты справедливы для произвольной гладкой матричнозначной функции N(х), х еП.

1. Задача для разностей. Для разности д0 - дг,

дг =(Ур,н(2);П,п2,ф,ф2,с(Р,с2?,с(2},с22};т,т), . = 0,1,

решений задачи (6), полученных в сответствии с теоремой 1 и соответствующих различным матрицам N,3 и ^, введем обозначения

*( Л = V,Л - У), ю; = п0 , у, = ф0 -ф1, П] = т0 - Ц, ^ = С $-С

к, У = 1,2. (7)

Из (6) следует, что вектор-функция

% - ъ=(*(1), *(2); ®1, ®2, У1, у 2, ^1(1), ¡^ ^1(2), ^22); «1, «2)

является решением следующей линейной задачи:

2 2

Д*(У) -Уюг = ДО?(У)) + Яе£(уг,*(г)) + ц + (-1)г(е + 5,0*(2) -*(1))) (8) У=1 У=1

2 2

Ау *(г) = £ау.у. + £ру.ю. + у.«. + ; ()

У=1 У=1

2 2

«0° -ууг + Т У. = -*(г) •Vф1 +Х<ау У У +ХРу + У.« + 8.ё в П ; (10)

У=1 У=1

- Шу(и0Оф + тй $) = <Иу(*(°ф + в П; (11)

*(.) = 0 на П, у. = 0 на Е|п, ю. = Пю., = 0 на Е0и; (12)

ёх, г,] = 1,2. (13)

2

« /

к=1 П

8 + № к,- У У +в к ю У +У к,- ))

У=1

В записи данных уравнений используются обозначения:

Ак (м>) = а(м>; ), Вк (р,И,м>) = в(р,и,м>; N), Бк (м>) = 5(м>; N), к = 0,1,

ау г, #(г)) = В0 (у,, И0г), И0г))+в (р1, #(г), И[))+в (р 1, И(г), #(0), е = 50 (г?1(2) - И®) - 5; И(2) - г!1(1)),

^ = ix (а0 И1)) - а И1))) + ( (р1, И(°, И(°) - в (р1, И(°, И(°)),

1 =1

с = Я0 - ^ Як = ^к. Символы %°к обозначают элементы матрицы (к(Ы0)I - А(Ы0,90))-1. Коэффициенты а 1, р 1, у,, 5,, а у, в у, у,, 5,, а у, в у, у у, 5,, ,, 1 = 1,2, в правых частях уравнений (9), (10) и (13) зависят от решений д0 и ^ и рассматриваются как известные функции. Выражения для этих коэффициентов весьма громоздкие, в силу чего здесь не приводятся. Мы укажем лишь оценки для них, которые потребуются в дальнейшем. Именно, при выполнении условий теоремы 1 справедливы неравенства

(Ыи ,' * 1 ,||в А,г ,15 \\х^г ,||Ь«1х*,г ,|Iеу||х5,Г ,|I5, |Х5,Г } < СТ,

Ж , ||в 1 Их5 ,г ^ЬАх-г ,||5, Х,г }< ^ (14)

(ай 11х5,г , || У, ||х5,г , ||У, ||х5,г } < С /; 1 = 1, 2, где параметр т обозначает радиус шара в пространстве ¥6,г х х5,г, которому принадлежат решения 60 и 01. Через с обозначена постоянная, зависящая только от области О , векторных полей и(1), и(2) и параметров г, 5, тп , т22. В дальнейшем зависимость той или иной постоянной от О,и(1),и(2),тп,т22 будем коротко называть зависимостью от данных задачи.

2. Сопряженная задача. Задача (8) - (13) для разности д0 - д1 имеет ту особенность, что к уравнениям (10), входящим в состав этой задачи, неприменимы известные результаты [7] о транспортных уравнениях, в силу того, что слагаемое м!() •Уф1 не удовлетворяет нужным условиям гладкости (не является ни гладким ни ограниченным). Однако из теоремы существования вытекает принадлежность слагаемых #(г) •Уф1 пространству м5-1,г(О), и поэтому возникает возможность трактовать разность д0 - д1 как очень слабое решение задачи (8) - (13). В связи с этим сформулируем сопряженную задачу следующим образом.

Для заданных векторных полей Н(,), скалярных полей О,, ,Ми,Мъ и кон-

1 « - (,) * * у( 1 )*

стант ,/ = 1,2 наити векторные поля м>*', скалярные поля ю,,у,,§у' и кон*

станты п, , ,, 1 = 1,2, такие, что

Jjiji () - Vra* - Ao(ww*j)))-ReЦ(w*0) + (-1)i+1 .S0(W*2) -w*!)) +

j=1

+v* .V91 -Vj*= H(,) в Q;

Лун*0 = n£

j=1 2

p « vk+X(n*xk, p jiji юк)

j=1

+ nG, в Q;

(15)

(16)

- div^))+тй v* =ReM (W*°)+S

a ki vt+X(n* xt <* j,a j, )

j=1

^ +t,,If>*= Yy £п*х0 + Mji в Q ;

2

T W

= j "j

k=1

2 A

* f * л *

» = JI Y, Lj, ю* + Y, V,

qv j=1

dx + &

+E в Q; (17) (18) (19)

/

w*° =0 на dQ, v* =0 на E!out, j =0 на Zin, Пю* = ю*, ,, j = 1,2. (20) Здесь линейные операторы Ц и m определены формулами

h (h) = p1 V(N-1^))N0-1Л - (< )-1 div(p&(i) ® (Х-1/?)),

m(h) = («0° V^-1^)))• NI-1/, , = 1,2.

Дальнейшее содержание этого раздела посвящается доказательству существования и единственности сильных и слабых решений сопряженной задачи (15) -

(20). Эти результаты позволяют вывести оценки норм разностей w(,), ю, , V,, 1) и n, .

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и дополнительно параметры s, r таковы, что 2< s <1, (1 - s)r >3. Тогда найдутся числа с, стс и тс , зависящие от данных задачи и параметров s, r, такие, что если шт{тп,т22}> стс и 0<т<тс , то для каждой вектор-функции f = (f(1), f(2)), f(l) =(H(г); Gl, F, M,, M 2i; st) e Us,r, задача (15) - (20) имеет единственное решение h = (h(1),h(2)), h(l) = (W*);ю*, v*,if"1*,I^*;»*) e vs,r, удовлетворяющее неравенству

И V s,r < cf |e s,r . (21)

Если наложить более ограничительное условие на правую часть f, а именно f e es,r, то решение h принадлежит классу Fs,r и при этом имеет место неравенство

И F s,r < cf I s,r . (22)

Схема доказательства теоремы 2. Уравнения (15) - (19) сопряженной задачи представим в символическом виде:

А[к*] - Б[к* ] = Р, к* = (ЯР, к*(2)), к*« = ; ю*, у * , ^ ^; п,*)

где интегро-дифференциальные операторы А и Б определяются посредством формул

А[к*] = ( А1[Я*], А2[к*]),

2 2

А [к*] =

Бц , (*1) - Ую* )+б$ •У!

1=1 1=1

2 2

- аму*«!0) + т,, у* - Цк} а

и? )* +тЙ )* 2

Л юк

Л

ц 1,ю 1 +У, у, □ V 1 =1

ёх

Б, [к*] =

□ V 1 =1 Б[к*] = ( Б1[к*], Б2[к*]),

' 2

БцлAo(l^*;)) + ЯеН(I?*0) + (-1)<5ь(#*2) -#Р)-у* •Уф1

1 =1

2

пББ

к=1

Яе М (*>* °) + Б

в к, ук+Б(п*хк^-в ля юк)

1=1

2 Г 2

к, ук+Б(п* а р+ц 1а 1, юк) 1=1

к=1

Е* 0 п* Хи

к=1 2

0

п* Хй

к=1

0

(23)

Рассмотрим следующую краевую задачу, присоединяя к системе уравнений

А[к*] = Р (24)

граничные условия

л5*1) = 0на дО, у* = 0на Егои1, =0,=0на Е'п, Пю* = ю*, / = 1 , 2 . (25) Нетрудно видеть, что для каждой правой части Р = ( Р(1), Р(2)), Р(,) = (Н,Р,M;/,M2/;s/) из пространства Ы",г краевая задача (24), (25) распадается на несколько независимых линейных граничных задач, а именно, функции )*, ,,] =1,2, определяются независимо как решения следующей задачи для

транспортного уравнения

«0г)Уф + тйф = М]г в О, ф =0 на г, ] = 1,2.

После этого компоненты н*г), ю*, г = 1,2, находятся как решения задач типа Стокса, т.е.

(Дн*1 -Ую*) = Н(г) -]ГС« -У^в О,

1=1 1=1 Шу н*г) = пог в о,

(г) * *

н* — 0 на дО, Пю г- = ю,, г =1,2.

Следующий шаг - определение компонент у* как решения краевой задачи

2 2

-аму*и0г))+тггу*=ХХ^агю*+И в □ у*=0 на ^, г=12.

к=11=1

Завершает процедуру построения решения задачи (24), (25) нахождение постоянных п* по формулам

Л

Г * л *

: .1 I У г Х^ 1г ю1 +У г У г

□V 1 =1 у

ёх + 5,-, г = 1,2.

На основании известных результатов о транспортных уравнениях и линейной задачи типа Стокса [1, 7] можем утверждать существование таких констант с и стс,

зависящих от данных задачи О, и(1),и(2) и параметров г, 5, что если ш1п(х11, т22} >стс, то задача (24), (25) однозначно разрешима в пространствах

V5,г и справедливо неравенство

И V 5 ,г - СИ и 5,г . (26)

Сказанное выше мы трактуем в виде существования (обратного) ограниченного линейного оператора А— : и5,г ^ У*,г, сопоставляющего элементу И е и5,г единственное решение к* = А_1[И ] краевой задачи (24), (25).

Обратимся теперь к интегрально-дифференциальному оператору В , заданному формулами (23), и отметим следующие его свойства.

Лемма 1. Пусть выполнены условия теоремы 1 и, кроме того, 2< 5 <1, (1 -5)г >3. Тогда В - ограниченный линейный оператор из V5,г в и5,г и из Т5,г

Г*5 г

в Ь ' , и при этом выполняются неравенства

\\Вк\\ и5,г - с -т|| к\; (27)

||Вк||ь5,г - с-хЦИ\^5,г. (28)

Здесь постоянная с зависит только от О , векторных полей и (1),и(2) и параметров г, 5 .

Сейчас мы можем завершить доказательство существования и единственности решения сопряженной задачи.

Пусть выполнены условия теоремы 2. Сопряженная задача (15) - (20) может быть записана в виде операторного уравнения

(I - А~1Б)к = А-/ .

В силу (26), (27) линейные операторы А- : Ы5,г ^ У,г и А'1 Б : V5,г ^ V5,г ограничены, причем

Ца-1^ < су -т , (29)

II 11^5,г) У

где постоянная сУ зависит только от данных задачи и параметров г, 5. На основании условий теоремы 1 параметр т удовлетворяет условиям 0< т<т*(тп, т22). Выберем постоянную тс так, чтобы выполнялись неравенства

0<тс < тс • СУ < Ч < 1

Из (29) следует, что для т е (0; тс ] норма А_1Б 5 г) отделена от единицы и на

II )

основании известной теоремы оператор (I - А^Б)-1 существует и ограничен

I - А->Б)-Ч,^ <■ 1

5,г) 1 - Ч

Таким образом, для указанных значений т и любых / е и5,г сопряженная задача

(15) - (20) имеет единственное решение к е v5,г, и для него имеет место неравенство (21).

Пусть теперь правая часть / задачи (15) - (20) принадлежит пространству е5,г. Так как оператор Арешения задачи (24), (25) является ограниченным линейным оператором, действующим из е5,г в Т5,г, то в силу оценок (26), (28) имеем

||а_1б < сР -т.

II \\ь(Т5,г) Р Если параметр т подчинен условию те(0; тс ], где

0<тс <т*(тП,т22Х тс • сР < Ч <1,

то подобно предыдущему случаю получаем, что при условии / е е5,г решение к

задачи (15) - (20) принадлежит классу т5,г и справедлива оценка (22). Теорема 2 доказана.

3. Оценки разностей. Для 5 е (0,1), г е (1,да) обозначим через (•, •) и (•, -)0 соотношение двойственности между парами пространств м5-1,г(О), и01-'5 ,г' (О) и Ш-5 ,г' (О), ,г (О) соответственно.

Лемма 2. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда векторные поля н(;), 1 = 1,2, скалярные поля ю 1, у 1, |(г),г, ] = 1,2, и постоянные п}-, 1 = 1,2,, определенные по формулам (7) принадлежат соответственно пространствам И01-5 ,г' (О), Ш-5,г' (О), к и удовлетворяют тождеству

Х [<Н(г), н(г) > + <юг, Ог >0 + <уг, и, >0 + ,М1г >0 + <^г),Мъ >0 + пг5г ] =

г =1

2

=ХI

г=1 О

н*0^. + (-1)г Ь) + ё

(„ 2 Л

8 г У* +Х(т у )* + п*4 81 81 ю*) V 1=1 Л

ёх, (30)

где /(г) =(Н(г,М1г,М2г;5г), г =1,2, - произвольные функции из

Ж-1,г(О)х Ж5,г(О)х К , а (н*0;ю*,у*,ф,|(2г)*;п*),г =1,2, - соответствующее решение сопряженной задачи (15) - (20).

Доказательство. Поскольку множество 1г (О) х Ж1,г (О) х К содержится в ь5,г и плотно в и5,г = №5-1,г (О) х Ж5,г (О) х К , то для любого элемента / = (/(1),/(2)), /(г)=(Н(');0'И,М1г,М2г;5г) из пространства и5,г найдется последовательность /п = о™, /п(2)), /П) = (Нг); Оп, Еп, М1ш, М2Ш; ^), /п(г) е 1г (О) х Ж1,г (О) х К, такая, что

1„ ^ / в и5,г, п ^ю. (31)

Поэтому докажем тождество (30) сначала для вектор-функции / из пространства Ьг (О) х Ж1,г (О) х К. В этом случае соответствующее решение (н*),ю*,у*,<(г)*,<2°*,п*), г =1,2, сопряженной задачи (15) - (20) принадлежит

классу У5,г х Х5,г х Ж. = Т5,г (в частности, это означает, что векторные поля Н*г) обладают непрерывными производными первого порядка и производными второго порядка, суммируемыми с квадратом, и скалярные функции ю*, у*, )*, )* непрерывны и обладают производными первого порядка, суммируемыми с квадратом). В силу теоремы 1 можем утверждать, что н(г),и^ е¥5,г,

юг,уг,рк,,фк, 1 е Х5,г, г,] = 1,2, к = 0,1. Непрерывность вложений К5,г в С1 (О) обеспечивает непрерывную дифференцируемость в О векторных полей н(г),ук'\икг) и, разумеется, принадлежность их Ж2,2(О). Непрерывность вложения Х5,г в С (О) влечет непрерывность скалярных функций юг, уг, <(г),

рк, пк, фк, С« , принадлежащих также пространствам Ж 1,2(О). Отсюда следует, что уравнения (8) - (11), (13) выполнены в сильном смысле. Умножая эти уравне-

- (г) * * 5-0* 5-0* * ■ л г,

ния соответственно на решение н* ,юг,уг,,<2 ,пг,г =1,2, сопряженной задачи (15) - (20), соответствующее элементу / е 1г (О) х Ж1,г (О) х К, и интегрируя по частям, приходим к тождеству

2

Z

i=1

J(ww(i) H(i) +VF M M )+ n,5,

LQ

L

=Zi

i =1 Q

W*;)(d; + (-1); e 5,r) + rf

8 i V* + Z(T i ^r + n 8 j + h, S - ffl,-)

j=i

dx. (32)

Заметим, что вектор-функции (H(i); ю;, у;, |(2г)) и (W(i); G;, Fi ,M1;, M2i)

принадлежат

двойственным

пространствам

w

1-5 ,r'

(Q) x W5,r (Q), соответственно. Действительно, H(i) e W5 ,r (Q) посколь-

W-1,r (Q)> (i)

I' I - 5 ,r'

(Q),

ку Н(,) е¿г(О) и имеет место ограниченное вложение Ьг(О) в м5 1,г(О). Скалярные поля ю,, у,, ) есть элементы Ж5,г(О), а в силу вложений

Ж5,г (О) с Ьг(О) с Ш-5,г'(О) (г >3, 1 < г' =-!— < г ) получаем, что эти функции

г -1

принадлежат Ш-5,г (О).

Далее, векторное поле W(/) е У5,г и, следовательно, м>(') е С1 (О). Кроме того

w

(i) Г, (i)

принимает нулевое значение на dQ. Таким образом, ясно, что W(i) e W01,r (Q). Так как w01-5,r (Q) - интерполяционное пространство [Lr' (Q),W01,r' (Q)]1-5,r- и W01,r' (Q) с Lr' (Q), то W01,r' (Q) с w01-5,r' (Q). Итак, имеет место включение W(i) e w1-5,r (Q). С другой стороны, элементы Gi, F;,M1i,M2i принадлежат, очевидно, W5,r (Q). В силу вышесказанного, интегралы в левой части тождества (32) могут быть записаны в терминах форм двойственности и, таким образом, тождество (30) леммы 2 доказано для вектор-функций (H(i); G; , F; , M1; , M2i; 5t) из более узкого функционального пространства

Lr (Q) x W1,r (Q) x К, т.е. имеем право написать

Z {{ ), WW (i ) >1 +(C0; , Gin >0 , Fm >0 +<|1(;), Mlm >0 +<|(2;), M 2 in >0 +И;5Ш } =

= Zijwn^d; + (-1); e) + d

i=1Q I

8i V*, +Z(T ; j + ПП 8 j + hi,8 j )

J =1

>rfx, (33)

где к() = (#П*);ю*п,у*п,!1(П)*,!2,П*;Пш), , = 1,2, - решение задачи (15) - (20), соответствующее «правой части» /П^-1, , =1,2. Из (31) в силу теоремы 2 имеем, что

hn = (йп(1),h®) ^h = (h(1),h(2)) в V5,r, n ^x.

JO) ¿(2h

(34)

Совершая в (33) предельный переход при п ^да , получаем в силу (31) и (34) заявленное в лемме 2 тождество (30). Лемма 2 доказана.

Доказанное в лемме 2 тождество (30) означает, что разность Ч0 - Ч1 является

очень слабым решением линейной задачи (8) - (13).

и

Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 2. Тогда имеет место неравенство

г =1 ^ 0 '

< С

L1(o)+l ш i1(0) +1ш iL1(Q)+i el L (q) ) ' (35)

где постоянная c зависит от данных задачи и параметров r, s.

Доказательство. Обращаясь к тождеству (30), заметим, что поскольку коэффициенты 5i, 5i, 5i ограничены по модулю константой, зависящей только от данных задачи иг, s (см. (14)), то правая часть этого тождества может быть оценена величиной

È (№1 +IKII +IKII +IK1I +ini]*

Ile( Q) 1ГЧ1с( q) II 1 Ile( q) Р1 Ile( q) P2 Ile( q) 1 1 '/

i =1

L'o+IP^L'O+IP^L'O+IEL'O)-с (36)

Кроме того, в силу теоремы вложения и оценки (21) имеем

2

...................(г )*||

Х(1№1 +IKII +IKII +1(г)1 +lk

Ile ( Q) 1ГгНе ( Q) II 1 Ile ( Q) P1 Ile ( Q) II

-.................... - -.....-- Не ( Q) + ln " <

1=1

< С|Н lv '.Г < c\\f\ I s r (37)

Из (36) и (37) получим

£{{(1 ).W(1)>1 +<®1.Gl >0 +<Vi.F>0 + <ФM11 >0 +<фM2i>0 +ПА] i =1

< c£ (о +1 №(q) +1eM)u'.r (38)

i=1

Из неравенства (38). очевидно. следует оценка (35). Лемма 3 доказана.

Из неравенства (35) вытекает. во-первых. единственность решения задачи (6). Кроме того. из (35) следует. что отображение. сопоставляющее матричнозначной функции N решение q неоднородной краевой задачи (6) является Липшицевым в слабой норме.

ЛИТЕРАТУРА

1. Жалнина А. А.. Кучер Н.А. О корректности неоднородной краевой задачи для уравнений смесей вязких сжимаемых жидкостей // Сиб. журн. индустр. матем. 2015. Т. 18. № 3. C. 26-39. DOI 10.17377/sibjim.2015.18.303.

2. RajagopalK.R.. TaoL. Mechanics of mixtures. Singapore: World Sci.. 1995.

3. Крайко А.Н.. Нигматулин Р.И. Механика многофазных сред // Итоги науки и техники. Сер. гидромеханика. 1972. Т. 6. С. 93-174.

4. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М.: Наука. 1987.

5. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука. 1988. ^

6. БергЙ.. Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир. 1980.

7. Plotnikov P.. Sokolowski J. Compressible Navier-Stokes equations: Theory and shape optimization. Basel: Springer. 2012. DOI 10.1007/978-3-0348-0 367-0.

Статья поступила 16.07.2016 г.

Zhalnina A.A. (2016) DOMAIN SHAPE INFLUENCE ON THE SOLUTION OF THE PROBLEM ABOUT THE FLOW OF A MIXTURE OF COMPRESSIBLE VISCOUS FLUIDS AROUND AN OBSTACLE Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 5(43). pp. 5-20

DOI 10.17223/19988621/43/1

In this paper, it is studied how the solution of the boundary value problem for the motion equations of a mixture of compressible viscous fluids depends on the shape of the domain. Such a problem arises in connection with the problem of searching for the optimum shape of the obstacle which is flown around by a stream of the mixture. The solution is reduced to studying the dependence of solutions of a nonlinear system of compound-type partial differential equations on the matrix setting the deformation of the domain. Properties of coefficients of the linear system obtained for a difference of two possible solutions (corresponding to two different matrices) allow one to construct only its very weak solutions. Therefore, there appears the necessity to consider the conjugate problem and to construct its solutions (weak and strong ones). The basic results of the work are estimations allowing one to assert that the mapping associating the solution of the abovementioned boundary value problem to the matrix is a Lipschitz mapping. In particular, this implies the uniqueness of the solution of the inhomogeneous boundary value problem for the initial system of equations. On the basis of the obtained results, differentiability of the functional reflecting the drag force of the streamlined obstacle can be established, as well as an explicit formula representing the derivative of the functional.

Keywords: mixture of viscous compressible fluids, flow around an obstacle, inhomogeneous boundary value problem, transposed problem.

ZHALNINA Alexandra Anatolevna (Kemerovo State University, Kemerovo, Russia) E-mail: [email protected]

REFERENCES

1. Zhalnina A.A., Kucher N.A. (2015) On the Well-Posedness of an Inhomogeneous Boundary Value Problem for the Equations of Mixtures of Viscous Compressible Fluids. Journal of Applied and Industrial Mathematics. 9(4). pp. 598-610. DOI 10.17377/sibjim.2015.18.303.

2. Rajagopal K.R., Tao L. (1995) Mechanics of Mixtures. Singapore: World Sci. Publ.

3. Kraiko A.N., Nigmatulin R.I. (1972) Mekhanika mnogofaznykh sred [Mechanics of Multiphase Media]. Itogi Nauki. Gidromechanika. 6. pp. 93-174.

4. Nigmatulin R.I. (1987) Dinamika mnogofaznykh sred [Dynamics of Multiphase Media]. Vol. 1. Moscow: Nauka Publ.

5. Sobolev S.L. (1991) Some Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics. Providence: AMS.

6. Bergh J., Lofstrom J. (1976) "Interpolation Spaces: An Introduction". A Series of Comprehensive Studies in Mathematics. Berlin, New York: Springer-Verlag.

7. Plotnikov P.I., Sokolowski J. (2012) Compressible Navier - Stokes Equations: Theory and Shape Optimization. Basel: Springer. DOI 10.1007/978-3-0348-0 367-0.