Анализ разрешимости краевой задачи для уравнений смесей вязких сжимаемых жидкостей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

АНАЛИЗ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СМЕСЕЙ ВЯЗКИХ СЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ Н. А. Кучер, Д. А. Прокудин

ANALYSIS OF SOLUTIONS TO THE BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR EQUATIONS OF MIXTURES OF COMPRESSIBLE VISCOUS FLUIDS N. A. Kucher, D. A. Prokudin

В работе исследуется корректность первой краевой задачи для системы уравнений с частными производными, описывающих стационарное движение двухкомпонентных смесей вязких сжимаемых жидкостей в общем случае трех пространственных переменных.

The purpose of this work is to explore a first boundary value problem for equations of mixtures of compressible viscous fluids in the steady three-dimensional case.

Ключевые слова: краевые задачи, динамика смесей, решение уравнений Навье-Стокса.

Keywords: boundary value problems, dynamics of mixtures, solution of Navier-Stokes equations.

В данной работе рассматривается задача об установившемся баротропном движении двухкомпонентных смесей вязких сжимаемых жидкостей в следующей постановке.

Задача А.

Смесь занимает ограниченную область й С Я3 евклидова пространства точек х = (хр х2, х3) гра-

2

ница дП которой принадлежит классу С . Требу-

-(i)

г = 1,2

ется наити векторные поля скоростей и и скалярные поля плотностей рг^, г = 1,2 составляющих смеси, удовлетворяющие уравнениям [1-3]

div

Pi U

= О в ПП i = 1,2,

2

Е LijU(i) + div ( U(i) ® U(i)) + j=1

+Vp, = J(i) + pf(i) в n, i = 1,2, краевым условиям прилипания U(i) = О на дП, i = 1,2 и условиям нормировки

/ ptdx = Mt > О, i = 1,2 .

(1)

(2)

(3)

(4)

В уравнениях (2) операторы

Ц3 = --%Л - (( + а-)У ^ г, 3 = 1>2,

•\.2 + 2а12 = 0

определены так, что для некоторой постоянной С0 > 0 выполняется неравенство:

Е / L/ ’ >

h і=1 П

dx.

Кроме того, предполагаются выполненными следующие соотношения:

Рг = р! , г = 1,2, т > 1

- давление г -ой составляющей смеси,

JV> = ( —1

i +1

-І2) -І1)

U — U

- интенсивность обмена импульсом между составляющими смеси. Массовые силы /(1) и /(2) в уравнениях (2) считаются заданными достаточно гладкими векторными

полями. Величины

Ы-, Х--, а--, 7 и а считаются заданными констан-

г г- г-

тами. Вопросы корректности задачи А при некоторых упрощениях рассматривались в работах [4-7].

Определение 1. Обобщенным решением краевой задачи А называются неотрицательные функции

р.1 & 1} (П), г = 1,2 и векторные поля

и^ & ^д’2(П), г = 1,2 , удовлетворяющие следующим условиям:

/ р^х = Ы,1, р^(г) & Ь1(П),

П

(М) Рг (Рг) & 4С (П)’

Pt I U(І) Г Є L1oc (П)

г = 1,2;

(Л2) для любых дифференцируемых функций 011

с ограниченными производными 3' & С (Я),

г = 1,2 и произвольных функций ^ & С1 (П), г = 1,2 выполняются интегральные тождества:

/( Сг(Рги ' У^г + ( 3() - 3г(Рг)Рг ) сХ = 0’

П

i = 1,2;

(A3) для любых векторных полей & Сд°(П)

г = 1,2 выполняются интегральные тождества:

2

^ а- / уи(3): ур(г) * + (\ + а-)/ (Му—тф{г) г

3 =1 П П

П

Вестник КемГУ

№ 1 (45) 2011

/ Ри^) ® и(*) : )<х = ^ р7 <Цуф() <х +

П П

+/ ) + рг/1)) ' 0(г)<х, г = 1,2.

П

Сформулируем теорему о разрешимости задачи А, которая является главным результатом этой работы.

Теорема 1. Для любых

/(г) & С(п), г = 1,2, 7 > 3 краевая задача А

имеет по крайней мере одно обобщенное решение.

Ограниченный объем статьи позволяет лишь кратко охарактеризовать основные этапы доказательства этого утверждения. Обобщенное решение задачи А получено как предел обобщенных решений следующей регуляризованной краевой задачи:

-еЛр\ + йт(р^и^) + ере =

Ы.

|П

Іє )

в П, і = 1,2,

(5)

V Ь "(]) + -0є"(і) + Є мі -(і)

и є ^ 2 і и є 2 I П 1и

+ ~ рі (и Є) ' У )и Є) +

(6)

+-----(Ііу( Р є

) + V рЄ = у Є) +

+ р 'ї у(і) в П, і = 1, 2,

*(і)

= 0, VрЄ ■ п = 0 на дП, і = 1,2,

§ р Є (їх = М і, і = 1, 2,

(7)

(8)

которую условимся называть задачей А є. Здесь

рє = (рє)т, ^ = (-1)і+'<є2) - и?), і = 1,2,

|П |= твав(П), є Є (0,1], п - вектор единичной

внешней нормали к границе дП области П. Сначала доказывается существование сильного обобщенного решения задачи А є.

Определение 2. Сильным обобщенным решением задачи А называются неотрицательные функции рє є IV2,9 (П) V 1 < д < ^, § рі (х = Мг,

П

і = 1,2 и векторные поля ^) Є V2,9 (П) V

1 < д < ^, і = 1,2 такие, что уравнения (5)-(6) выполнены п.в. в П и п. в. на дП - краевые условия

(7).

Теорема 2. Для любых ^ Є С(П), і = 1,2,

7 > 3 краевая задача А є имеет по крайней мере

одно сильное обобщенное решение, которое удовлетворяет неравенству

V

і=1

Ь^ (П)

+

-(і)

“є

ІИр

^■2(П)

+

є II 6Т

ІЬ7+3(П)

< С,

(9)

где постоянная С > 0 зависит только от

(і)

, щ,ц, 7, П, Мі, а и не зависит от

С (П)

параметра є .

Доказательство. Предположим, что рє > 0,

< і)

і = 1,2 , принадлежащие

IV2,2 (П) V 1 < <2 < ж удовлетворяют (5)-(8). Докажем сначала, что при этом имеет место неравенство (9), не зависящее от параметра е . Умножая

< і)

і = 1,2.

обе части уравнений (6) скалярно на

интегрируя результат по области П и суммируя по і = 1,2 , получим:

с0 V /іу;“'і2 (х + £ V §,

і=1 п 2 і=1 П

1 2

+є—V мі §1 7.(і) I2 (х

-(і) |2

(х

2 | П

и

1П

+є—V § р] (х + є^V § рі 2 | Урі I2 (х +

і=1

+ а§ I и(1) - и(2) 12 (х <

< є -

П | 7 — 1

2

V Мі § рг7 — 1 (х +

(10)

-V § рг У (!) ■ и (!) (х-

Здесь и далее, для простоты записи опустим у решения задачи А е индекс е . В силу ограниченности вложения W01’2(П) в £0(П), из (10) следует неравенство

! 11“ 11^0* ,2( П )

11с (П )

<С иі у V |р

(11)

+ 1

= 1 Ь5(П )

Для вывода других оценок решений задачи А є, будем использовать линейный оператор

В : •! д Є ь

(П) | § д(х = 0І ^ ^1’2(П), п і

обла-

дающий следующими свойствами [8]: 1) функция

V = В[д] - решение задачи (іуу = д в П, V = 0

на

дП; 2) 1Ид]Щп) < С\\д

ІІЬ2 (п)

■ Взяв в качест-

ве тестовых функций ф(і), і = 1,2 в слабой форму-

и

2

П

и

£

П

П

П

лировке уравнений (6) такие, что фг = В[ді ], где

р2-----— § р. (х, г = 1,2 , другими словами

I П I ^

ді =

(т ф(г) = р]-------------------1— § р. (х

в П,

-(г)

ф

П

П

= 0 на дП, і = 1,2,

и используя неравенства:

Лі)

ф

< С р, , і = 1,2 (см. свойство 2)

^Р(П) - 11 1"Ь1 (П)

2-т—3

р < С р 7—1

ГЧЬ?7 (П) _ II 'гЬ (П)

+С

40

+СV

]=1

<,2(п) <])

Ір* ІІЬ27 (П)

(12)

и

<,2(П)

где постоянная С = С

+ С, і = 1,2,

(і)"

У

С(П) '

1р.У(П) <С(М• Чр. 11Ь^)’г =12

получаем теперь из (11) и (12) оценку

[Я(р)Г < С[Я(р)]7^ + СЯ(р) +

2т

+1

(13)

+С[Я(р)]3(27—+ С[Я(р)]3<27—1 + С

где

Я(р) = V I|р і ||Ь27 (П) , Р = (Рl, р2) , постоянная

С зависит только от

ї(г)

С (П)

и а . Далее, так как при 7 > 3 верно неравенство

7 > тах

1

2 7 — 3 ______________

27 — 1 , 3(27 — 1) 2 7

, 1 +

3(2 7 — 1)

то из (13) получаем, что

2

я(р) = VII

рі

< С

У

г=1

(і)

ІЬ27 (П)

<

С (П)

(14)

Осталось заметить, что из оценок (11), (14) и соотношений [9, с. 87]

6т <

Ь7+3(П) —

< С

1 +

♦(і)

ги

67

Ь7+3(П)

< С, г = 1,2

(15)

следует неравенство (9) с положительной постоянной С, зависящей только от

(г)

, Л- -, а , 7,П, Ыа и не зависящей от пара-

С(П) г3 г3 г

метра е .

Докажем теперь существование сильного обобщенного решения краевой задачи А , используя

принцип неподвижной точки Лере-Шаудера [10, с. 258]. Для произвольного р > 3 и заданных вектор-функций

оператора В ), в результате получаем, что при

7 > 3

- ( .) и *

Є Вр = {V Є V2р(П) : V = 0 на дП}, г = 1,2 обозначим через р. = 5(и ^')), г = 1,2 - решения

не зависит от параметра є . Используя неравенства вольное

задач

—єАр. + Мр. и *)) + єрг = є М в П,

Р | (16)

Vрг ■ п = 0 на дП, і = 1,2.

Оператор 5 является непрерывным и компактным оператором из Вр в V2,9 (П) V 1 < д < ж и,

кроме того, решения р і Є V2,9 (П), 9 > 1 - произ-§ р. (х = М., г = 1,2 задач (16) единст-

венны, неотрицательны и для них справедливы оценки [11, Лемма 2]:

рг

\Ш 1’р (П)

*( гК

<

^ ( г)

є> и * ьр (П) .

< С

IIрг \ш2'р(П)

< С

; V 1р (П)

р > 3, . = 1,2,

(17)

«С.*°)

Ш2'р (П)

<

->(г) 3 (18)

є, и* Ж1р (П) , Р > -• 2

Далее, обозначим через

с = (с (1),с (2)) = л(^) = лСр (1)> £(2))

(19)

решение краевой задачи для сильно эллиптической системы уравнений:

£ -и) = Р(г) в П, г = 1,2,

^=1 (20)

и(г) = 0 на дП, г = 1,2.

Из классических результатов для эллиптических краевых задач [12, 13] имеем, что при условиях

р(г) & 17 (П), г = 1,2 задача (20) имеет единственное решение и & V2 р (П), причем справедлива оценка

П

2

П

7

1

V " (і) <

и W2■p (П)

2

< С(Р, \, Ші] ,П)V

Р

(г)

(21)

ь (П)

В соответствии со структурой уравнений (6), введем операторы

_ єр "(г) — є Мі ^(г)

и*/ о рг и*

21 П

и*

(22)

—Vрі + у *г) + у

?(г)

где

у (і) = (—1)і+1аг(2) — - (1)) г = 1 2 - _ г(1) - (2))

у * ( 1) а(и * и * г 1, 2, и * = (и * , и * ) .

В силу непрерывности вложения V2р (П) в

С1а (П), а = р-3 , р > 3

р

из условий:

р* & V2р (П), и*& V2,р (П), г = 1,2 следует непрерывность в П вектор-функций

х ^ р(!)(Л(х),и*(х)), г =1,2

причем имеют место оценки:

рЧр„

с*

< С

р.

1С(П)

< С(П)

-(г) и*

С(П) +1 ргС(П)

-(г)

и*

+1рг 11с1(П)

-(г)

и*

С1(П)

2

ІІС (П)

(г)

с(п) +1рг 1с1(П) + г = 1,2.

+

-(а)

и*

С (П)

С(П)

(23)

Более того, нетрудно убедиться в справедливости неравенств

,.Ч . II ^ "

<

^■"(р. С) - ^(рЛ и,)

;с(П)| ^(р. С) - ^(р.Л и *

Ь (П)

<сЛр.'-р. "І +C2V

Ч г г 11с1(П) 2 ^

где

С = С

-0)' и *

. - (])' и *

<

С(П) (24)

, .=1,2,

С1(П)

Vі ІІС 1(П) 1 р. ІІС 1(П)

/ //

и * С1 (П) ’ и * с 1(П),

г = 1,2 - локально ограниченные функции своих аргументов.

Определим теперь оператор

Ф : Вр ^ Вр, р > 3

по формуле:

Ф(С *) = л

р(1) (5(^(1)

Р(2) (5(

и * пи */> (2Х - \

(25)

Уи* /’и*/

где операторы 5, Л и Р(г), і = 1,2 определены

выше.

Неподвижные точки и = (и(1), и^) оператора Ф вместе с соответствующими функциями Рi = ^(и ^)), г = 1,2 являются решениями релак-сированной краевой задачи А . Это очевидно, поскольку построение образа Ф(и )

- = (- (1) - (2)) и * (и* , и * )

элемента и * Є Вр заключается в последовательном

решении задач (16) и краевой задачи:

2 є Мі ^ (.)

2 I П Iи *

<г)

V ь ^(]) = — є о ~(г)

і] и 2г.и *

]=1 2

—1 р. (и*г) ^и*г)—2

—у рі +(—1)г+1а(И 2)—и*)) + р.у

-(.)) — и * /

?(і)

(26)

р. = 5(и*г>) в П г = 12 и(і)

на дП, г = 1,2.

= 0

Покажем, что оператор Ф из (25) удовлетворяет условиям теоремы Лере-Шаудера. Установим сначала непрерывность оператора Ф . Пусть

є Вр

= (- (1) - (2)) (и* ’ и *

п = 1,2,.

п п

+

ж .

и *п ^ ^р ’ и *

и *п ^ и * сильно в Вр при п

Тогда, в силу непрерывности оператора

5 : Вр ^ V2,р (П) имеем:

р. = 5(С*.)) ^ рг = 5(С*г)), п ^ ж, г = 1,2 по норме V2,р (П). Из непрерывности вложения V2,р (П) в С1 (П), р > 3 и свойств (24) операторов

р(. )

Р ’ получаем, что

Р(і) (5(й(п)),и*п ) ^ Р(і) (5()),и* ),. = 1,2

при п ^ ж в пространствах Ь (П) и С(П). Наконец, из ограниченности линейного оператора Л : Ьр (П) ^ V2р (П) (оценка (21)) следует, что

Ф(С*п) ^ Ф(С*), п ^ ж сильно в Вр.

Для доказательства компактности оператора Ф возьмем ограниченную последовательность {и * } в

Вр . В силу компактности оператора

5 : Вр ^ V2,р (П) и компактности вложения

V2р(П) ^ С 1(П), из последовательности {С* }

(. X

1

2

Вестник КемГУ

№ 1 (45) 2011

выделим подпоследовательность, сохранив за ней прежнее обозначение, такую что

(і) ч ^(і) сильно в С 1(П), і _ 1,2,

(А _________г, г (А

2

ЄЕ / (рі )7-2 І Vрі |2 йх <

и* и *

і=1

< С

РП _ Я (и *„) ^ Рг _ Я (и *‘)) сильно в IV2р (П), і = 1,2,

^ ^(1) ^(2)) є в

и * _ \и * ’и * > ^ °р-

Повторяя далее предыдущие рассуждения, получим, что Ф(и* ) ^ Ф(и*), п ^ ж в пространстве

Вр . Компактность оператора Ф установлена.

Далее отметим, что множество всех решений

7

(і)

С (П)

(32)

где постоянная С не зависит от параметра е . Из этого неравенства и из уравнений (5) следует, что

еУре ^ 0, е ^ 0

сильно в ТУ (П), 1 < Я <

67

і _ 1,2.

7 + 3

Переходя к пределу по выбранным подпоследовательностям в уравнениях (5)-(6) при е ^ 0 получим, что предельные функции р!1 е I?1 (П) , Рг ^ 0 ,

класса В уравнения іФ(и) _ и, і Є [О;1] °грани- J рі _ М, и(!) Є Ж0!'2(П), і _ 1,2 при 7 > 3

ченно в В, . Другими словами, для решений и Є ВР

следующего семейства краевых задач, зависящих от параметра і Є [0; 1]:

2

ул т ^(і) _ _ ЄІ р ^ (ї) _ _ іМі

і и 2 2 | П | и

<і)

(і)

- 2 Рі (и(і) ■ у)и(і) - 2йцрги(і) ® и(!)) -

(27)

-і^рі + і У (і) + і р,7'і) в П,

(і)

*(і)

_ 0 на дП, і _ 1,2,

где рі _ £(щ ^!)), і _ 1,2, справедлива оценка

2

Е

< С

/ N

р^ 2 / \ + й(і ' <

II ^^(п) а,

7

(і)

С(П)

,хі, иг], тД М ,а

(28)

Итак, в силу теоремы Лере-Шаудера можно утверждать, что задача А е имеет по крайней мере одно сильное обобщенное решение. Теорема 2 доказана.

Предельный переход. Следующий шаг состоит в том, чтобы совершить предельный переход (в слабом смысле) в уравнениях (5)-(6) при е ^ 0. Благодаря априорной оценке (9), можно извлечь подпоследовательности, снова обозначенные как р£. ,

<і)

і _ 1,2 такие, что при є ^ 0

(29)

(30)

р1 ^ рг1 слабо в I?1 (П), г = 1,2,

и« ^ и(г) слабо в Ж01,2(П), г = 1,2,

и, по теореме вложения,

~ие ^ и(г) сильно в I? (П), д е [1; 6), г = 1,2. (31)

Кроме того, из оценок (9) и (10) следует неравенство

удовлетворяют в слабом смысле следующей системе уравнений:

йіу(рги^) _ 0 в П, і _ 1,2,

Е іы + йію(рі

и(і) ® и(і))+

(33)

(34)

(35)

з=1

+Vpг = ,/(г) + рг,/( ) в П г = 1 2 где

(ре )7 ^ рг слабо в 12(П) при е ^ 0, г = 1,2.

Кроме того отметим, что предельные функции рг^, г = 1,2 являются ренормализованными решениями уравнений неразрывности (1) (т. е. данные функции удовлетворяют условию (А2) Определения 1) и справедливы соотношения [7, с. 62-63]

^ рійіуи г'йх _ 0, і _ 1,2,

П

J рі йтФ' йх <

(36)

П

< єС

(і)

С(П)

, иіі, 7,П» Мі,а

(37)

г = 1,2.

Таким образом, чтобы завершить доказательство Теоремы 1, следует показать, что имеют место равенства

~Рг = р1, г = 1,2. (38)

Следующая лемма показывает слабую регулярность так называемых эффективных вязких потоков компонент смеси, которые определяются формулами:

Рг -(Л1 + 2%М№и(1) -(2)

""(^2 + 2иі2)йіг;и , і _ 1,2

П

П

2

и

и

-(*)

г = 1,2

Лемма 1 [7, ^ 60]. Пусть р!, ие

последовательности решений задачи Ае, существование которых гарантируется Теоремой 2, и пусть рг, и^ и р., г = 1,2 - пределы, определенные в (29), (30) и (35) соответственно.

Тогда, при е — 0

I-

I

р)Т - А -—\2 + 2^г2)(^гУи['>

Рг - А + 2Мг1)сЩ(1) -

~(Аь2 + 2^г2)(‘

т,

т (х

(39)

V т е С°(П), г,з = 1,2.

Перейдем к доказательству равенств (38). Предполагая, что А12 + 2р12 = 0, рассмотрим соотношение (39) при г = з = 1:

ВтI (р)7 -(А11 +2р11 ^у^1 рГсХ = еЧ1п^ ■

= I р1 -( +2/и11 ^у^1 р т^сХ V т еС°(П

(40)

Возьмем неубывающую последовательность неотрицательных функций тп такую, что

тп е С°° (п), тп — 1 при п — ° п.в. в П,

0 < тп < 1. Объединяя (36), (37) и (40), получаем для любых т < п

Пт I рер>{т<т (х < Пт I р! ■ р!т2 (х <

е —— 0^

< Пт I т2 р{ - (Ап + 2^и)(г« ,

е — 0 + ^

(1)

р^ (х +

т 2(гу,.(1)ре (х <

п и е 1 —

+(А11 + 2^11) Пт I

е — 0 + ^

I тп р1 - (А11 + 2^П)(г<

<1т"

П

(1)

р1

(х

+(А11 + 2^п) 11101 11 т2 - 1

е—0+^

-11| (гу,

(1)

р1

(х

+(А11 + 2^11) Пт I (гу^р! (х <

< I рр (х + (А11 + 2МП)11 т2

П П

-1 || (гуи(1) | р1 (х + П\(п) <

I рр (х + П1(п) + п2(п)

(41)

<

Так как функция г ^ г7 (7 > 1) монотонна на

Д+, то

I т'т [ (р! )7 - у7 ] ■ (р! - у)(х > 0 V у е К =

П

= {у е I?1 (П) : у > 0 п.в. в п} и, следовательно,

I т1(АУр1 (х >

< Iт2у7[рГ - у\(х + I т2(рГ)7у(х■

П П

Из (42) и (43) следует неравенство:

I р 1р1(х > I тту 7 [р1- у }(х +

П П

+ Г тт р т =l, 2,■■■

(43)

(44)

Совершая в (44) предельный переход при т — ° , приходим к неравенству

I (р1 - у 1 )(р1 - у)(х > 0 V у е К. (45)

П

Полагая здесь у = р1 + пф , п > 0, ф е К , получим

-пI [р 1 - (р1 + пФ)7 }Ф (х > 0,

П

т. е. V ф е К имеет место неравенство:

I [р 1 - р + пФ)7}Ф (х < 0.

П

Устремляя п — 0 отсюда получаем:

I [р 1 - р17 }Ф (х < 0 V ф е К.

П

С другой стороны (в силу выпуклости г ^ г7) р1 > р± п.в. и, следовательно, имеет место равенство

I [р1 - рг }Ф (х = 0 V ф е К. (46)

П

Замечая, наконец, что произвольная функция ф е I?7 (П) может быть представлена в виде разности двух неотрицательных п.в. функций из I?7 (П)

(ф = ф+ - ф-) получим, что равенство вида (46) справедливо для произвольной функции ф из

Е?7 (П) и поэтому имеет место равенство

р1 = р

(47)

где п1 (п), п2 (п) — 0 при п — ° . Переходя к пределу при п — ° в неравенстве (41), имеем

ре ре тт (х < I р р (х V т = 1,2,... (42)

П

П

Из формул (29) и (47) (в силу теоремы Рисса) вытекает, что р\ — р1 сильно в I? (П) из чего, в свою очередь, следует

р! — р1 сильно в I? (П), д е [1,27). (48)

Рассмотрим теперь соотношение из (39) при

г = 1,3 = 2, т. е.

П

П

П

П

ь

П

П

lim Г т2 (р£)7 — (Л11 + 2p11)div,

e—o ^ L

(i)

Ue

P2

dx =

= I т2 [ р1 - (А11 + 2м11)(гущ(1) р2 (х V т е С°°(П).

П

Из соотношений (9), (47) и (48) получаем:

I т2(р1)7р| (х — I т2 р^р2 (х при е — 0

П П

и поэтому в силу (49) справедлива формула

Пт I т2(гу,.(1)р2 (ж =

е—0^ ие 2

П

= I т2(гу,(1)р2 (х V т е С°° (П).

(49)

(50)

Далее, из соотношения (39) при i = 2, j = 2

lim f

e —— o J n

= /T

n

PT — (Л21 + 2 ^21 )div U (e1) — ^ (2)

—(Л22 + 2 ^22 )divUe

pe dx =

P2 (Л21 + 2 ^21 )div u

(2)

(51)

p2 dx

(Л22 + 2^22 )diVU и формулы (50) следует, что

lim Г т2 I (р22)7 — (Л22 + 2^22 )divUfl ^ dx =

e—0^ L J

n

= Г T Lp2 — (Л22 + 2^22)divU(2)] P dx V T e C'o°°(Q)-n

(52)

Из соотношения (52), дословно повторяя вывод формулы (47), получаем, что

Р2 = Р2 •

Теорема 1 доказана.

(53)

Литература

1. Нигматулин, Р. И. Динамика многофазных сред. Ч. 1 / Р. И. Нигматулин. - М.: Наука, 1987.

2. Rajagopal, K. R. Mechanics of mixtures / K. R. Rajagopal, L. Tao. - London: World Scientific Publishing, 1995.

3. Антонцев, С. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей / С. Н. Антонцев, А. В. Ка-жихов, В. Н. Монахов. - Новосибирск: Наука, 1983.

4. Frehse, J. A Stokes-like system for mixtures / J. Frehse, S. Goj, J. Malek // SIAM J. Math. Anal. -2005. - V. 36. - № 4. - P. 1259 - 1281.

5. Frehse, J. A uniqueness result for a model for mixtures in the absence of external forces and interaction momentum / J. Frehse, S. Goj, J. Malek // J. Appl. Math. - 2005. - V. 50. - № 6. - P. 527 - 541.

6. Frehse, J. On quasi-stationary models of mixtures of compressible fluids / J. Frehse, W. Weigant // J. Appl. Math. - 2008. - V. 53. - № 4. - P. 319 - 345.

7. Кучер, Н. А. Стационарные решения уравнений смеси вязких сжимаемых жидкостей / Н. А. Кучер, Д. А. Прокудин // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2009. - Т. XII. - № 3 (39). -С. 52 - 65.

8. Боговский, М. Е. О решении некоторых задач векторного анализа, связанных с операторами div и grad / М. Е. Боговский // Труды семинара С. Л. Соболева. - Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР. - 1980. - Т. 1. - С. 5 - 40.

9. Lions, P.-L. Mathematical topics in fluid mechanics: Compressible Models / P.-L. Lions. - New York: Oxford University Press, 1998.

10. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, Н. Трудингер. - М.: Наука, 1989.

11. Mucha, P. Weak solutions to equations of steady compressible heat conducting fluids / P. Mucha, M. Pokorny // J. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. - 2010. - V. 20, № 5. - P. 785 - 813.

12. Солонников, В. А. Об общих краевых задачах для систем эллиптических уравнений в смысле А. Дуглиса - Л. Ниренберга, II / В. А. Солонников // Труды математического института им. В. А. Стек-лова. - 1966. - Т. XCII. - С. 233 - 297.

13. Agmon, S. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. II / S. Agmon, A. Douglis, L. Nirenberg // J. Comm. Pure Appl. Math. - 1964. - V. 17. - P. 35 - 92.