CC BY
43
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м IX 197 8
УДК 532.526:533.694.71/72
ВЛИЯНИЕ ЭНТРОПИЙНОГО СЛОЯ НА ОТРЫВ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
В. Я- Нейланд, Л. А. Соколов
Проведено исследование гиперзвуковых течений вязкого газа, имеющих энтропийные слои, около затупленной пластины со щитком.
1. Рассмотрим обтекание гиперзвуковым потоком вязкого газа пластины конечной длины /, параллельной набегающему потоку .(Моо» 1). На заднем конце пластины установлен щиток, отклоненный на малый угол 6 к набегающему потоку. Предположим, что
число Рейнольдса Ке0= ?°ие1 велико. Здесь р, и, [а — плотность,.
М-о
тангенциальный компонент скорости и коэффициент динамической вязкости соответственно; индексом „нуль11 отмечены значения параметров, вычисленные при температуре торможения набегающего потока. Будем считать, что до области взаимодействия со щитком взаимодействие гиперзвукового потока с пограничным слоем слабое. Для этого, как известно, необходимо, чтобы выполнялось условие
МооКеГ1/2«1.
Пусть между пограничным слоем и гиперзвуковым потоком имеется энтропийный слой толщиной 8ЭНТ, т. е. область невязкого течения, в которой энтальпию торможения можно принять равной ее величине в гиперзвуковом потоке, а давление торможения и плотность значительно меньше соответствующих величин в гиперзвуковом потоке. Поэтому число Мэнт — 0(1) и плавно меняется от некоторого обычно сверхзвукового значения на внешней границе пограничного слоя до Моо>1.
Ограничимся такими значениями угла отклонения щитка 6, при которых отрыв пограничного слоя только зарождается, и рассмотрим влияние энтропийного слоя на течение.
Пусть сначала около щитка 8ЭНТ = 0. В соответствии с общей теорией [1] и ее применением к режиму слабого гиперзвукового
взаимодействия при температурном факторе = 0 (1) около угло-
вой точки и точки отрыва имеются три характерные области течения, отличающиеся масштабом возмущений. Пока следует считать, что схема течения, показанная на фиг. 1, не содержит •области энтальпийного слоя 4, область 3-—это узкая пристеночная зона вязкого пограничного слоя, в которой малые перепады
давления <С 1 из-за большой величины градиента давления
(Дх//<1) вызывают изменение скорости того же порядка, что и сама скорость. Для описания течения в двухсторонней окрестности точки отрыва необходимо, чтобы в уравнениях Навье—Стокса для области 3 главные вязкие и инерционные члены и градиент давления имели одинаковый порядок величин при совершении предельного перехода:
Re0 оо, Мсо -*■ оо.
Основная часть пограничного слоя (область 2) при g'a,~l не оказывает в первом приближении существенного влияния на течение. Область 1 — возмущенная часть гиперзвукового течения. Согласно [2], имеем следующие оценки для функций течения:
-^—(MooS)>/2, (Моо е)3/4, M00e~(Moos)i/2,
-у- — е (Мсо е)1/4, e = A_Re0-1'2.
(1)
Здесь и ниже индексом внизу отмечен номер области, к которой относится соответствующая функция, например, §3 — толщина области 3.
Предположим теперь, что толщина энтропийного слоя около переднего конца тела (немного вниз по течению от затупления носка) начинает расти. Пока расход газа в энтропийном слое около носка тела имеет тот же порядок, что и в пограничном слое около угловой точки перед щитком, в рамках асимптотической теории энтропийный слой при переходе к щитку и пограничный слой описываются общей системой уравнений. Отличие от случая обтекания заостренного тела состоит в том, что при рассмотрении течения на участке для пограничного слоя нужно учиты-
вать начальное условие в виде профиля энтропийного слоя. Это эквивалентно наличию начальной толщины потери импульса и должно приводить к падению напряжения трения в начале области взаимодействия. Очевидно, что при фиксированном 6 это приводит
к росту зоны отрыва. Однако сама теория 11, 2] остается без изменений.
При дальнейшем росте толщины энтропийного слоя пограничный слой уже развивается внутри его. Однако вблизи щитка в области взаимодействия возмущение струек тока энтропийного слоя (зоны 4) может непосредственно повлиять на течение в зоне взаимодействия. Рассмотрение этих эффектов и является основной темой данной работы.
Таким образом, рассматривается более общий режим взаимодействия, для которого толщины вытеснения энтропийного слоя и области 3 имеют одинаковый порядок по величине. Поскольку изменение толщины энтропийного слоя имеет порядок
для общего режима взаимодействия, согласно (1) и (2), должны быть верны оценки:
Параметр подобия, характеризующий роль энтропийного слоя в процессе взаимодействия, можно записать в виде
При N -> О приходим к теории [2], при N->■ ос распределение давления около щитка, во всяком случае при отсутствии развитого отрыва, зависит от профиля энтропийного слоя и легко получается в квадратурах [-3]. Как будет видно из дальнейшего, при изменении /V от 0 до ос область основного повышения давления смещается вниз по течению, а порядок длины ее меняется от I (Моо е)3/4 до Моо8энт. Полезно также заметить, что если рост параметра JV происходит за счет роста затупления и §энт, тогда тенденция роста области отрыва, которая отмечалась выше, при малых 8ЭНТ должна меняться на обратную. Действительно рост 8ЭНТ при постоянном угле отклонения 9 приводит к росту длины области, на которой давление достигает максимальной величины. При этом градиент давления падает, и отрыв может исчезнуть.
Теперь, используя метод сращиваемых асимптотических разложений, дадим вывод уравнений и граничных условий для общего режима.
2. Полученные выше оценки позволяют ввести асимптотические представления для функций течения и, следуя методу [1], сформулировать краевые задачи. Ниже будут даны две формулировки, обе они пригодны в общем случае взаимодействия, т. е. при N~l. Однако одна удобна для описания случая при N-* О, а другая при N -* оо.
Введем следующие переменные:
°энт
/
г
ДЛГ ^оо ®энт
X
Здесь рэнт, иат — относятся к невозмущенному энтропийному слою, и на его внешней границе рэнт -»оо в масштабах плотности энтропийного слоя. Вывод последней формулы (3) приведен в работе [3];
Формулы (3) одновременно с введением асимптотических масштабов обеспечивают переход к безразмерным переменным. Для области 3 получаем:
(4)
U = 0 при W = О, U —■ -> 1 при W оо или при л: -*■ — оо. Сращивание с решением для области 1 дает:
Р = £(Уш + Д*-^Д9„Т)- (5)
Переменную часть толщин вытеснения запишем в виде
со
A*=j(-lr-vw)dW> А»” = Р> (6)
а = ~dx^ ~ О ПРИ а ^ = const при х>0, (7)
причем значение константы в (7) определяется по 6 и (3).
Для параметра подобия N можно записать формулу:
/ 2 4 1/2
а; i ^-ЭНТ I Р«1 | М00 Роо \ /о\
1_ Р*о I М<х Р./ ‘ (}
Подстановка значений всех параметров в правую часть формулы (8) показывает, что значение N\—N. Задача (3)—-(7) пригодна для N<0 (1). Однако для исследования задачи при N -* оо необходимо ввести новые переменные, отличающиеся от переменных (3) постоянными множителями:
x = (il\ Z.3HT I vw as Ma,)1'31/, A/? = pw (7/1 L3HTi vw a2 M^)2/3 Я,
Д^энт = (т/ I UHTI v„ a* Me.)’/3 Дэнт,
* CO
8* = 4- (тЛ^И.^МсоГА*.
Вид уравнений (4) и (6) для новых переменных не изменится, а вместо уравнения (7) получим:
Можно ввести и другие переменные, для которых в теории свободного взаимодействия получены основные численные результаты:
у = 11/2
f"+v>2 (-1 +ff* - 4-f'A =13/2 -g (/'/'• - /■ л.
I1 /2 4L =
dx
|3/2
(9)
3. Интегрирование задачи (9) начинается при ? = 0 и х-> - оо. Для изучения поведения решения в окрестности этой точки введем следующие переменные и разложения для функций течения:
О, *))->■ (2. л), п = -ф112,
(10)
П*
/-5Т + Ф (Л) S-о.
После подстановки (10) в (7), сохраняя первые члены разложения, получим:
Ф" = -1-(1 +Лф'_ф),
Ф (0) = ф'(0) = Ф"(оо)=0.
Если ввести замену переменных Ф = Ф*, п = а* п можно свести к обычной форме:
ф* = 1 _|_ ц* ф* '_ф*^
Ф* (0) = Ф*' (0) = Ф* " (оо) = 0,
где Ф*'(оо) — отрицательная константа.
Численное решение уравнений (12) дает:
. Ф*'(оо)« —1,45, £ = ехр/-^^
(П)
то уравнения (11)
(12)
N--
Таким образом, при N-+0 получаем b ->■ 0, и передача возму-
щения исчезает. Но это годится только до
м«
так как при
таком масштабе уже появится поперечный градиент давления.
4. Для выяснения качественных закономерностей полезно рассмотреть более простую задачу, сохраняющую некоторые качественные особенности исходной. Заметим, что модельная задача имеет самостоятельное значение. Пусть 0<О, т. е. имеет место течение разрежения, причем выберем величину 0 так, чтобы в слое с нелинейными изменениями скорости влияние вязкости было мало на тех расстояниях Дх, где давление меняется в главном порядке:
Р 00
Для удовлетворения условию прилипания на теле в этом случае нужно ввести более тонкий вязкий подслой. Но нас интересует в данной работе не полное решение задачи, а только распределение давления. Приведем некоторые оценки. Если имеется возмущение давления < 1, то изменение толщин вытеснения энтро-
Роо
пийного слоя и нижней части пограничного слоя можно записать в виде
д^\1/2
Д^ЭНТ ^энт
Ьр
— Аг1
Р /
(13)
где к и А — положительные константы порядка единицы. Знак минус в первой формуле (13) учитывает сверхзвуковой характер течения в энтропийном слое. Во второй формуле падение давления (Д/><0) дает уменьшение Д8*. Распределение давления можно найти из условий совместности с внешйим гиперзвуковым потоком:
где
АЛ а
= тМ -г-
р I со СІХ
68ч
Д р
1/2
+ Уп
(14)
О при х<0 ВТ1,х при л>0,
0.<0.
Если 8ЭНТ = 0, тогда выражение (14) похоже на решение, полученное в работе [4], а при е = 0 получится решение работы [5]. В первом случае вся возмущенная зона лежит до угловой точки (докритический режим), во втором — за угловой точкой (закрити-ческий режим).
Исследуем особенности, возникающие в общем случае. Для этого проинтегрируем выражение (14):
ДрЛ
Р а \ , / 1 1
ТМо
\ ."/о _Ай,
(-т) [V
- Д р
Др_ Р
Л
х<0;
Х=чМ.са
■ Ае./1п
£8ЭНТ 1п
д Р р
Ар
р
\1/2
1/2-
і '’/та* I Р
Ар
1/2
где
Р I Р
'О \ г /шах
=тМоо(-ето).
/ тах
+
Др_\ ■ р)
1/2
В этом решении не определенной осталась величина давления
в угловой точке х =0, обозначенная что ее необходимо искать из условия:
с1 (До^нт
Можно показать,
йЬр
х=0
В самом деле, уравнение (14) можно записать в следующем виде:
Ьр___~ ДД а (А5энт 4- А6*) <1Ар а „
р — -щ Лх +0^,7 Мое.
Выражение (15) преобразуется к виду
Ар
ЛАр ~р ~ 1 М°° 0®
Чх ~ ^ й (АЪЭНТ + Д5*) •
■)г мос---Тар------
Так как в точке ;е = 0 давление не терпит разрыва, а числитель меняет знак, то знаменатель также должен проходить через ноль:
& (Авэнт А5*) ___л
<1Ар — и'
Таким образом, давление в угловой точке на интегральных кривых, проходящих через нее, определяется формулой
Если максимальный перепад давлений, определяемый величиной тМсобц,, по модулю меньше, чем (— Др1р), тогда течение ведет себя как докритическое; все изменение давления реализуется до угловой точки. С ростом толщины энтропийного слоя возмущение давления в угловой точке уменьшается, так как до угловой точки основной вклад должен давать докритический слой с Д8*, а за ней закритический слой с Д8ЭНТ. В пределе почти все изменение давления реализуется за угловой точкой. Если такой переход происходит из-за роста 8ЭНТ, то одновременно растет длина Дл;, на которой происходит изменение давления. Если переход происходит за счет падения е при постоянном 8ЭНТ, тогда падения градиента давления нет. Происходит даже некоторое сокращение размеров области взаимодействия за счет уменьшения ее протяженности до угловой точки.
При очень толстом энтропийном слое возмущение давления в угловой точке, согласно формуле (16), будет близко к нулю. Но из-за вида зависимости (13) для Д8* от возмущения давления всегда существует, хоть и очень малая, область возмущений до угловой точки.
5. Рассмотренная модельная задача хотя и представляет интерес и самостоятельное значение (так как описывает реальное физическое течение при надлежащем выборе постоянных К и А), однако имеет важные качественные отличия от исходной. Прежде всего,, в модельной задаче изменение толщины вытеснения зависит только от величины возмущения давления и, кроме того, течение сначала обязательно докритическое, а потом с ростом разрежения становится сверхкритическим. Эти обстоятельства приводят к тому, что могут существовать полностью докритические режимы, когда интегральные кривые кончаются при х = 0.
Основная задача (4) — (7) решалась методом релаксации. Идеи этого метода изложены в работах [7] и |8]. На фиг. 2 и 3 представлены распределения давления и нормального градиента скорости у стенки о) = ди/ду. Из фиг. 2 видно, что даже при §энт = 0 возмущенная область течения располагается по обе стороны от угловой точки. Это очевидно, если обратить внимание на то, что
при Л/, -> 0 задача (4) — (7) эквивалентна задаче, решенной в работе [6]. Однако при возрастании ./V, область возмущений сдвигается вправо, а в пределе Л/, -* оо или -* О получается задача [5], в которой почти вся возмущенная область течения лежит за угловой точкой, и отрыв возникает на щитке. При УУ, -> оо величина ср0тр.
растет как 0,63 М\,г. Длина, на которой происходит изменение давления, также растет, если изменение параметра происходит за счет роста толщины энтропийного слоя, что приводит к уменьшению градиента давления и, следовательно, к исчезновению отрыва.
ЛИТЕРАТУРА
1. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ*, 1969, № 4.
2. Н е й л а н д В. Я. Распространение возмущений вверх по течению при взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным слоем. „Изв. АН СССР, МЖГ", 1970, № 4.
3. Н е й л а н д В. Я., Соколов Л. А. Влияние энтропийного слоя на обтекание гиперзвуковым потоком аэродинамических органов управления. .Ученые записки ЦАГИ", т. 6, № 1, 1975.
4. Н е й л а н д В. Я. Особенности отрыва пограничного слоя на охлаждаемом теле и его взаимодействие с гиперзвуковым потоком. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1973, № 6.
5. Н е й л а н д В. Я., С о к о л о в Л. А. К асимптотической теории зарождения отрыва около щитка при. обтекании охлажденного тела гиперзвуковым потоком на режиме слабого гиперзвукового взаимодействия. „Ученые записки ЦАГИ‘, т. 6, № 3, 1975.
6. Н е й л а н д В. Я. К асимптотической теории взаимодействия сверхзвукового потока с пограничным слоем. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1971, № 4.
7. Carter J. Е. Solutions for laminar'boundary-layersj with separation and reattachment. „А1АА Paper" N 74-583, 1974.
8. P у б а н A. H. Численный метод решения задачи о свободном взаимодействии. „Ученые записки ЦАГИ", т. 7, № 2, 1976.
Рукопись поступила 26jIX 1977
