Сильное взаимодействие пограничного слоя с гиперзвуковым потоком при локальных возмущениях граничных условий Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Т о м VI 197 5

№ 2

УДК 533.6.011.6

СИЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ С ГИПЕРЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ПРИ ЛОКАЛЬНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

А. А. Коваленко, В. Я. Нейланд

Изучена стационарная задача о влиянии резких изменений граничных условий на локальные и глобальные характеристики течения при сильном взаимодействии исходного пограничного слоя с внешним гиперзвуковым потоком. Показано, что при достаточно большой амплитуде возмущений большая часть пограничного слоя (вне узкого вязкого пристеночного слоя) ведет себя как локально-невязкое течение. Дана классификация режимов течения в зависимости от амплитуды возмущения, найдены параметры подобия, сформулированы соответствующие краевые задачи. Особый интерес представляет течение с большими возмущениями давления, для которого установлены границы безотрывных режимов обтекания ступеньки, обращенной против потока, а также правило отбора решения на основной части тела.

1: Введение. Известно, что при обтекании тонкого тела или пластинки гиперзвуковым потоком вязкого газа толщина пограничного слоя может существенно влиять на распределение давления вдоль обтекаемого тела и, таким образом, на течение в самом пограничном слое. Если индуцированное давление сравнимо с давлением в невозмущенном потоке или значительно превышает его, тогда принято говорить (см., например, [1]) о режимах умеренного или соответственно сильного вязкого взаимодействия.

В этих случаях член с градиентом давления в уравнении импульса для пограничного слоя заранее не задан и определяется в процессе решения из условий совместности течения внутри пограничного слоя с внешним невязким потоком. Подобная постановка задачи для сверхзвуковых отрывных течений ранее изучена в работах [2 — 4]. Оказалось, что при этом появляется однопараметрическое семейство решений, зависящих от граничных условий в области, лежащей ниже по потоку. Эти условия и позволяют отобрать единственное решение из данного семейства.

Для сверхзвуковых и дозвуковых безотрывных течений, рассмотренных в [2, 4] и других работах, обзор которых приведен в [5], области с передачей возмущений вверх по потоку носят локальный характер.

Однако на режимах сильного или умеренного гиперзвукового взаимодействия подобная постановка краевой задачи и тип передачи возмущений могут иметь место для течения на всем теле. Первые результаты в этом направлении получены в работах [6, 7]. Из последующих работ упомянем [8], где результаты обобщены на случай пространственного течения, для которого обнаружена важная аналогия с двумерными дозвуковыми или сверхзвуковыми течениями, соответствующими докритическим и сверхкритическим пограничным слоям. Для докритических пространственных пограничных слоев решения вблизи передних кромок содержат целую произвольную функцию, которая должна быть определена из найденных условий в сечениях „запирания1*, ограничивающих минимальную область влияния и аналогичных окрестностям звуковых линий в двумерном невязком потоке. Сечения „запирания11 лежат вниз по течению. Для сверхкритических пограничных слоев найдены уравнения характеристик, не являющихся поверхностями тока.

Целью настоящей работы является исследование локальных возмущений, вызываемых резкими локальными изменениями граничных условий на теле (бугры, ямки и т. п.), однако, в отличие от режима сверхзвуковых скоростей [9], здесь необходимо изучить не только локальный характер течения, но и изменение картины течения во всей области рверх по течению вплоть до передней кромки.

2. Постановка задачи и качественные физические соображения.

Схема рассматриваемого течения показана на фиг. 1. Гиперзвуко-вой поток вязкого совершенного газа обтекает пластину. На расстоянии L от носка пластины имеется небольшой бугорок, впадина или другое изменение граничного условия с характерной длиной /</, (например, изменяется температура стенки, постоянная до этой области).

Пусть число Рейнольдса /?0 = РсоМсо^/р0 (р°°» и°° и t^o— плотность и скорость газа в невозмущенном потоке и значение коэффициента вязкости при температуре торможения набегающего потока) таково, что взаимодействие пограничного слоя с внешним гиперзву-ковым потоком будет сильным. Согласно теории сильного взаимодействия (см., например, [1]) для параметров течения в пограничном слое справедливы оценки:

U~Uco, р----poo''2, Р--Роо Мет т2, Т=8,Д> г = /?о"1/4, Мю*2>1, (2.1)

где 80 — толщина пограничного слоя.

Ограничим рассмотрение такими возмущениями, для которых

*L « I« L, (2.2)

а толщина тела 5Ш может быть положительной (бугор) или отрицательной (впадина).

Проведем оценки величин возмущений параметров течения, задавая характерную величину возмущения давления Ар и определяя, какому размеру 8Ш и какой картине возмущенного течения соответствуют такие значения Др.

В основном пограничном слое вязкие и инерционные члены имеют одинаковый порядок

др_ _р_ дх I '

(2.3)

Рассмотрим возмущение ДР^Р, предполагая, что соответствующий этому значению Др градиент давления по порядку величины превосходит градиент давления в невозмущенном пограничном слое и, следовательно, вязкие напряжения трения. Тогда течение почти во всем пограничном слое на длине Дл// — 0(1) является в первом приближении невязким.

Пусть сначала Др\р— 0(1), а течение остается безотрывным. Тогда согласно уравнению Бернулли, уравнениям неразрывности и состояния возмущения в пограничном слое того же порядка, что и невозмущенные величины

Индексом „0“ отмечены значения переменных в пограничном слое перед областью возмущения граничных условий. Индексами е и ъи отмечаются значения переменных на внешней границе пограничного слоя и на теле соответственно.

Но внешняя граница пограничного слоя уе не может на длине I смещаться на такую величину, поскольку, согласно гиперзвуко-вой теории малых возмущений,

и если Д_у<,~80 на длине Дл:~/, то Ар/р — р(Ь/1)2^> 1.

Поэтому необходимо предположить, что Д5 + ^ 0. Другими

словами, возмущения давления (2.4) могут вызываться на длинах (2.2) только за счет изменения толщины пограничного слоя и тела

Далее, на этом режиме значения Д/?>0 не могут быть получены для безотрывного течения, так как вблизи стенки есть струйки тока с малыми скоростями, которые, согласно формуле Бернулли, не могут попасть в область с конечными Д/?>0. Если Д/;<0, то скорость газа в эффективно невязком течении вблизи тела достигнет значения и — йе и в результате перестанут выполняться граничные условия прилипания. Поэтому вблизи поверхности тела необходимо рассмотреть вязкий подслой, скорости в котором конечны, а градиент давления и инерционные члены уравнений Навье — Стокса имеют тот же порядок величин, что и главные вязкие члены. Это условие определяет толщину вязкого подслоя 8В:

При уменьшении порядка возмущений давления Ар/р<^1, согласно тому же уравнению для продольной составляющей импульса, (с учетом уравнений состояния и неразрывности), для основной части пограничного слоя, где невозмущенные скорости —ие, относительная величина возмущений уменьшается

Зо Ро ие р

(2.4)

(2.5)

Д8~80~Ат.

(2.6)

р 0и2е/1^\10ие/ь1, 8в/80~(//£)1/2.

(2.7)

48 Др Дм Др

Однако поскольку в исходном невозмущенном пограничном слое скорость около тела стремится к нулю, то может найтись область, в которой скоростные напоры малы и относительная величина возмущений велика. Эта область определяется условиями

р0 (ин/«г)~(8н/8о); (2.8)

здесь индекс „н“ — соответствует значениям переменных в области с нелинейными возмущениями. Первое условие показывает, что скоростной напор в этой области должен быть порядка возмущения давления. Второе условие следует из вида профиля скорости около тела в исходном невозмущенном пограничном слое вблизи

тела. Из (2.8) получаем оценку для толщины зоны с нелинейными

возмущениями: ,

(§„Я) ~ (Ьр/р)112, «н/ие ~ (д р/р)112. (2.9)

На дне этой зоны также необходимо вводить в рассмотрение вязкий подслой, используя условие равенства порядков вязких и инерционных членов в уравнении импульса:

(»в/*о)~(1/1*У/2/(Ьр!рУ14, (2.10)

Из сравнения формул (2.9) и (2.10) видно, что толщины областей, в которых существенны нелинейные и вязкие эффекты, совпадают при возмущениях давления:

Др1р ~ (//Л2'3.

Таким образом, режим течения, для которого нужно рассматривать локально три области (две области локально невязкого течения с линейными и нелинейными возмущениями и вязкий подслой) соответствует величинам возмущений:

<с др!р <С 1, №)'1Я <С с 1. (2.11)

При выполнении (2.10) основная часть пограничного слоя ведет себя как слабо возмущенный локально невязкий поток, а в области с толщиной

ЪЛ~{Ьр1рУ1*-№)'!* (2.12)

вязкие и инерционные члены имеют одинаковый порядок. Следовательно, там течение должно описываться уравнениями Прандтля. Толщина пристеночной зоны с нелинейными возмущениями (2.12) меняется в главном порядке, а изменение толщины внешней части пограничного слоя остается малым. Но тогда из (2.5) следует, что совместность течения в пограничном слое с внешним гиперзвуко-вым потоком обеспечена, если в главном члене ,

+ Д8В ~ 0. (2.13)

Заметим, что именно на этом режиме из-за нелинейности возмущений вязкой части течения впервые может появляться отрыв при Др>0.

Наконец, для еще меньших возмущений давления Ьр/р <С возмущения становятся малыми (линейными) и в вязком подслое. В этом случае отрыва пограничного слоя не может произойти, а течение состоит из двух областей с линейными возмущениями:

относительно толстой (—80) локально невязкого течения и тонкой—

вязкого подслоя.

3. Режим течения с конечными возмущениями давления. На

основании условия (2.2) и в соответствии с результатами [9] будем исходить из уравнений пограничного слоя, так как отношение продольного размера возмущенной области течения к поперечному велико и уравнение для составляющей импульса поперек пограничного слоя 'вырождается. Предполагаем, что число Прандтля равно единице, вязкость линейно зависит от температуры, а тело теплоизолировано. Тогда уравнение и граничные условия в переменных Дородницына—Лиза имеют вид:

/'"+//"-?(! -/,2) = 21 (/'/'• -/■/"); (3-1)

со

/(0,4)=!, /'(?, ~)-1. /(5, 0)=/(Е, 0)=0, |(1 -Пйщ; (3.2)

о_Л_ і±і

р V Рй%'

7 • 2

где 7 — отношение удельных теплоемкостей газа.

1

]*•

(3.3)

Декартова система координат (х, у) показана на фиг. 1. Безразмерные переменные в (3.1)—(3.3) и размерные величины связаны формулами:

и = Исо/'(1, ч), г=Дш+ ^^-|(1-/'2)^(

6 о

= Роо ^ Х = =

(3.4)

Штрихами и точками обозначено дифференцирование по т) и £ соответственно Дщ, т/, = 8да — толщина препятствия, причем положительные значения соответствуют выступам, а отрицательные — впадинам. В работе [6] показано, что краевая задача (3.1) —(3.3) при Дш = 0 обладает однопараметрическим семейством решений, которые получены численным интегрированием в работах [10—12].

Будем искать решение для следующего распределения Дш(£):

д«“0,

0;

;е<5о, А« = 8Д.(5), ? = (?-д/е, (3.5)

где х <С1 £ <С^ 1 — параметр малости, характеризующий относительную длину возмущенной области. Функция Д№(1) предполагается непрерывной, дифференцируемой.

В настоящем разделе считаем 8=1, ниже будут рассмотрены режимы малых возмущений 3(е)<^1.

Сначала рассмотрим локальные решения задачи для г\ — 0(1), принимая е —* 0. Асимптотические разложения в этом случае имеют вид:

/~/1(5о, Т. ■*)) + ..., Р=РЛ%, !)+•••. , (з

Подстановка (3.6) в (3.1) —(3.3) и внешний предельный переход

е-0, ч = 0(1) (3.7)

дают в первом приближении

^ х 9-+■ ■ - :-1т1 -рг ~

= <3-8>

ж(т¥^. + ^Л-)=0' (3.9)

Уравнение (3.8) допускает интеграл Бернулли: вдоль каждой линии тока

/i = const, f[=V 1 -(1 -/о2)(Л/ЛоИ I (3.10)

где /oh), Рю — решения (3.1) — (3.3) при £ = ?0для области, в кото-

рой Д^еееО. Из (3.9) получаем соотношение, определяющее в явном виде ДИ,(Р1) ' _ _

УЯо Р I 21 д —Р /3 1IV

Л 1 f т-1 w~ Л о 10’ ' *

так как при наличии (3.10) Fx однозначно определяется последней формулой (3.2) как функция Рх.

Решение (3.10), (3.11) имеет простой физический смысл. В области I— О (1) локально невязкий завихренный поток, давление поперек которого пЬстоянно (е<С 1), имеет начальные профили распределения параметров такие же как исходный пограничный слой при £ = ?0. Толщина слоя меняется только за счет смещения стенки 0). Но тцкой поток должен иметь минимальную толщину (Уе~ Дш) при некотором критическом значении Pt. Установим это свойство решения из условия:

^(тО-о, <3|2>

поскольку при заданном профиле скорости величина Т7, зависит только от Рх [см. формулу (3.10)].

Используя (3.10), (3.11) и соотношение для числа М

V- 0 -/о2)рУм.> = 1 - (1 -/о2)pV, (3.13)

получаем условие „запирания1*:

у* ■

f(l-М-2)<*Г = 0. (3.14>

3— Ученые записки ЦАГИ № 2 33“

Чтобы убедиться, что условие экстремума (3.12) действительно соответствует минимуму заметим, что

Г

(1 —/0 )/ойт1

-1)/т

(3.15)

Из (3.15) следует, что толщина области бесконечно возрастает при стремлении Р1 к нулю (для /^>1 безотрывных решений нет). Критическое значение Р^ для которого величина сечения минимальна, соответствует согласно (3.14) среднеинтегральному значению числа М, равному единице. Аналогия с течением невязкого газа в сопле Лаваля очевидна.

Дифференцируя (3.15) по Ри можно показать, что при отрицательном знаке интеграла (3.14) сужение струйки тока [рост Да, в (3.11)] соответствует уменьшению Ри а при положительном — рост Дда соответствует увеличению Р{. Таким образом, задача об обтекании сглаженной ступеньки, показанной на фиг. 1 докрити-ческим („дозвуковым*) пограничным слоем [интеграл (3.14) при I = ?0 отрицательный], допускает решения только при Д^тах, меньшем некоторой фиксированной величины, зависящей от выбора решения уравнений пограничного слоя в области 0

Рассмотрим подробнее задачу обтекания пластины, на заднем конце которой находится ступенька с гладким подъемом, а далее следует донный срез, давление за которым Рп задано.

На фиг. 2 приведены решения Р(Х) для основной части тела, где Дщ, = 0. Значения давления отнесены к их величине для известного автомодельного решения [1]. Каждую кривую семейства

можно охарактеризовать значением параметра Р1П = Р(Х = 1). Для всех значений Р10, кроме минимального Йо согласно [8, 10], интеграл (3.14) отрицателен, а пограничный слой является докритиче-ским.

Таким образом, каждому фиксированному решению на передней части тела соответствует набор решений с различными значениями 0<Дк,<Дшшах, рю И донного давления Рп т|„ < Ри < Р10, где Рп шщ и Д'Шшах соответствуют режиму запирания. На фиг. 3 показаны зависимости высоты ступеньки от донного давления Ри для фиксированных значений Р10, определяющих режимы течения на передней

части тела. Эти зависимости изображены сплошными кривыми, около которых указаны значения Р,0. Пунктирная кривая ВС соответствует режимам запирания. Правая сплошная кривая ВИ соответствует донному давлению Ри (точка /)), при котором точка отрыва появляется на конце пластины без уступа.

С помощью данных фиг. 3 можно построить любое решение задачи для безотрывного течения при заданных значениях высоты уступа Дю и донного давления Рц<Рц. Пусть, например, донное

12У *,0 . 1 ^ Л, 1 К

1-1 т; * £ Л 3

1 ✓ \

^' 1

V Ь*

'-Ю \ 1 \

-С \ А в\

Ю

12

Фиг. 3

давление Ри < Рп, а Дв растет, начиная с нуля. Как видно на фиг. 3, при фиксированном Рп росту соответствует рост Р10, т. е. увеличение давления на основной части тела. Для значений Рп, лежащих левее точки А на фиг. 3, при некотором Дш, определяемом кривой ВС, выполняется условие запирания (3.14) и течение перестает зависеть от донного давления.

При дальнейшем росте Д^, изменение режима течения, (значения Р10) происходит при выполнении условия (3.14), и зависимость •^ю (Дш) определяется пунктирной кривой ВС на фиг. 3. При Дда>Дв течение обязательно будет отрывным. Если донное давление Ри < Р°0, где Р°0 на фиг. 3 соответствует точке С, то оно, согласно [6], на течение не влияет, так как условие запирания уже выполнено при Дщ, = 0. Зависимость Р10(А^ в этом случае также определяется пунктирной кривой ВС. Для значений Ри, лежащих правее точки А на фиг. 3, условие запирания для безотрывных течений не имеет места, так как рост Д^ ранее приводит к появлению отрыва при значении Д^,, определяемом кривой ВО.

Таким образом, если длина уступа ЦЬ 1, то при любом донном давлении течение будет отрывным в случае выполнения условия

-Т->0>17 ~гтР^. (3.16)

Напомним, что согласно (3.10) в локально невязкой области течения разрежения скорость на теле отлична от нуля. Поэтому для выполнения граничных условий прилипания следует в соответствии с общей теорией [13] ввести вязкий подслой, в котором вязкие и инерционные члены (3.1) имеют одинаковый порядок, а скорость /' = о(1). Для этого достаточно использовать внутренние переменные

1=0:-д/е, ч-ч/вча, /=в1/27. (ЗЛ7)

Тогда при подстановке их в (3.1) и совершении внутреннего предельного перехода

е-0, ч = 0(1), /=0(1) (ЗЛ8>

получаем уравнение

дц3 Т Р\ <1$

<7*1

На основании (3.2) и (3.10) при /о = 0 граничные условия записываются в виде:

Ж, 0) =/1(1, 0) = 0, /-(£, со) = [1 -(Л/^о)(т"1),т],/2. (3.20)

Общий подход к решению подобных краевых задач развит в [14]*

4. Режимы течений с малыми перепадами давления. Решения, полученные для случая конечных перепадов давления, пригодны и для режима малых перепадов давления, определяемого условиями (2.11) (пока вязкие эффекты не влияют на распределение давления). Однако результаты можно значительно упростить, если использовать условие 8<^1 в (3.5). При этом

Р~Р10 + 8*ДР1 + ..., (4.1)

Тогда, согласно (3.10), в области ^ — 8 возмущения скорости имеют порядок невозмущенной скорости —8, тогда как Д/' = 0(82) при 4—1. Введем сначала внутренние переменные:

ч=й /-8*/(1, 4). е,/3<С8<С1- (4.2)

В этих переменных уравнение (3.8) после совершения внутреннего предельного перехода и преобразования к переменным %, / примет вид

7—1 1 ЙДР1 — ди — / дт) \ 1 оч

—4-------5------ = и — , и = -4 . (4.3)

2 т Р10 [д/ к '

Интегрирование (4.3) с учетом u0 = V2fowf-\-. . . дает:

1(1, 7) = ~~-1 ^

/п„, \ г 7 ю Т

\1/2 — 4 ■

(4-4)

/(I, 4)~(1/2)/о®42 ~Ь ( 1/^ю)1

Во внешних переменных (т], /) последнее выражение имеет вид /= 8*/«(1/2)/о'. V + 8 (- Д Р,!Р^\ + ....

Поэтому внешнее решение (т)— 1 и /~ 1) следует искать в виде

/~/о(4) + 8Л(Гч) + 0(82). (4.5)

Подстановка (4.5) и (4.1) в (3.8) и совершение внешнего предельного перехода 8 0 , е 0 при 4 = О (1) приводит к уравнению

/0/1 —/0/1 = 0, решение которого имеет вид

/.(Г. ч) = <М6)/о(ч). (4.6)

Сращивание (4.6) и (4.4) позволяет получить два члена внешнего решения:

счет сужения пристеночных линий тока, тогда как собственное изменение толщины внешних линий тока имеет порядок 82.

Используя вторую формулу (4.4) и (4.7) для расчета функции Т7^) (3.11), получаем в явном виде зависимость давления от формы тела:

Простой вид соотношения (4.8) обусловлен тем, что основная часть струек тока пограничного слоя не влияет на распределение давления, оно зависит лишь от тонкого пристеночного слоя, профиль скорости В котором определен значением /ото.

Более сложным является решение задачи для третьего режима, когда на течение в пристеночном слое с нелинейными возмущениями начинает влиять вязкость. Согласно (2.11), в этом случае в (3.5) 8 = £1/3. Изучение этого режима важно потому, что он соответствует переходу от безотрывных течений к отрывным для ДР>0. Однако из-за сложности получающейся задачи универсальных результатов получить не удается, и для каждой формы Дщ,(£) необходимо находить численное решение. Поэтому ограничимся формулировкой, соответствующей краевой задачи.

Для нахождения внутреннего разложения положим в (4.1) и (4.2) <5 = е1/з, тогда вместо (4.3) получим уравнение пограничного слоя

Для внешнего решения остаются справедливыми формулы (4.5) и (4.6), но при 8 = е1/3. Поэтому сращивание с внешним решением для функции тока дает третье граничное условие для (4.9) и функции <&! (I) для (4.6):

При решении краевой задачи (4.9) — (4.11) соотношение (4.12) используется для определения давления.

Более слабые возмущения течения, возникающие при 8<Сг1/3, хотя и могут вызывать в потоке большие локальные градиенты давления, не могут приводить к отрыву пограничного слоя. Формальное решение внешней задачи (?)—1) для не слишком малых 3 сохраняет вид (4.5) — (4.6). Однако всюду вплоть до поверхности

Второй член (4.7) учитывает смещение внешней области за

(4.8)

(4.9)

На поверхности тела имеем условия прилипания:

7(1 о)=/'/£ 0)=0.

(4.10)

/"(£, оо)=/о„,, Ф1(1)=Нш[(/' -/о®4)//о®].

(4.11)

Тогда (3.11) принимает вид

(4.12)

тела возмущения скорости становятся малыми по сравнению с невозмущенной скоростью /о на той же линии тока. Поэтому уравнения для вязкого подслоя допускают линеаризацию. Решение этой задачи получается из решения (4.9) — (4.12) при Дда<С!1 и существенного интереса не представляет.

5. Заключительные замечания. Важным является вопрос о влиянии температурного фактора на обтекание уступа и отрыв пограничного слоя. В работе [8J показано, что пограничный слой около холодной пластины на режиме сильного взаимодействия является сверхкритическим, и передача возмущений вверх по потоку отсутствует. Кроме того, интеграл в (3.14) в этом случае будет положительным. Следовательно, характерные течения будут вести себя обратно тому, как это имеет место для докритического режима течения, рассмотренного выше. Небольшие выступы и впадины могут вызывать возмущения давления противоположных знаков для докритического и сверхкритического случаев. Поэтому при экспериментальных исследованиях течений рассматриваемого типа моделирование температурного фактора, а также термодинамических и переносных свойств газа приобретает важное значение.

ЛИТЕРАТУРА

1. Хейз У. Д., П роб СТИН Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., Изд. иностр. лит., 1962.

2. Н е й л а н д В. Я. Сверхзвуковое течение вязкого газа вблизи точки отрыва. Сб. Третий Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. М., АН СССР, 1968.

3. Н е й л а н д В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1969, № 4.

4 Stewartson К., Williams P. Q. Self-induced separation.

Proc. Roy. Soc., A. 312, 1969.

5. Нейланд В. Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений. Труды ЦАГИ, М., 1974, вып. 1529.

6. Нейланд В. Я. Распространение возмущений вверх по течению при взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным слоем. „Изв. АН СССР, МЖГ\ 1970, № 4.

7. Козлова И. Г., МихайловВ. В. О сильном вязком взаимодействии на треугольном и скользящем крыле. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1970, № 6.

8. Н е й л а н д В. Я. К теории взаимодействия гиперзвукового потока с пограничным слоем для отрывных двумерных и пространственных течений. „Ученые записки ЦАГИ“, ч. 1 и II, т. V, № 2, 3, 1974.

9. Боголепов В. В., Нейланд В. Я. Обтекание малых неровностей на поверхности тела сверхзвуковым потоком вязкого газа. Труды ЦАГИ, вып. 1363, 1971.

10. Нейланд В. Я. К асимптотической теории взаимодействия сверхзвукового потока с пограничным слоем. „Изв. АН СССР, МЖГ“,

1971, № 4.

11. Коваленко А. А. Исследование отрыва пограничного слоя при сильном взаимодействии с гиперзвуковым потоком газа. „Ученые записки ЦАГИ", т. V, № 6, 1974.

12. W е г 1 е М. Т., D w о у е г D. L., Н a n к е у W. L. Initial Conditions for the hypersonic-shock/boundary-layer Interaction Problem. AIAA, v. 11, N 4, 1973.

13. Нейланд В. Я., Сычев В. В. Асимптотические .решения уравнений Навье—Стокса в областях с большими локальными градиентами давления. „Изв. АН-. СССР, МЖГ“, № 4, 1966.

14. Н е й л а н д В. Я. О решении уравнений ламинарного пограничного слоя при произвольных условиях. ПММ, т. 30, вып. 4, 1966.

Рукопись поступила 10/Х 1974 г.