CC BY
46
УДК 536.46; 537.29
В.В. АФАНАСЬЕВ, СВ. ИЛЬИН, [НИ. КИДИН
ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ РАЗРЯДОВ НА ДИФФУЗИОННО-ТЕПЛОВУЮ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОГО ФРОНТА ГОРЕНИЯ*
В работах [1, 7] было показано, что с помощью электрических разрядов можно управлять неустойчивостью горения в модельных камерах сгорания. Так, локализованный в зоне горения диффузный электрический разряд, стабилизированный по току, подавляет акустические неустойчивости, а разряд, стабилизированный по напряжению, раскачивает и усиливает эти неустойчивости.
Дальнейшее развитие этого подхода показало [3], что с помощью электрических разрядов можно управлять и турбулентной скоростью горения в полузакрытых каналах. Это позволяет использовать электрические разряды для активного управления длиной переходного участка при инициировании детонации.
В работе [8] было исследовано воздействие высокочастотных разрядов на турбулентную скорость горения в полузакрытых каналах. Показано, что высокочастотный разряд, стабилизированный по амплитуде напряжения, увеличивает скорость горения более чем в 1,5 раза по сравнению со скоростью распространения без разряда.
Экспериментальное исследование влияния допробойных высокочастотных электрических полей на нормальную скорость горения проводилось в работе [9]. Показано, что при наложении высокочастотного электрического поля с эффективной напряженностью порядка 40 кВ/м и несущей частотой 5 МГц нормальная скорость горения стехиометрических углеводородовоздушных смесей увеличивается на 10-15%. Эти результаты согласуются с теорией, приведенной в работе [5], в которой рассмотрен тепловой механизм влияния электрических полей на нормальную скорость горения. Ряд авторов указывают и на другой механизм воздействия высокочастотных электрических разрядов и полей на скорость горения органических соединений в воздухе. Этот механизм связывают с селективным возбуждением колебательных уровней молекул азота и дальнейшей передачей колебательного возбуждения молекулам кислорода [6].
В работе [2] в рамках диффузионно-тепловой теории горения была предложена качественная модель влияния разрядов на турбулизацию фронта горения. Данная работа посвящена теоретическому исследованию влияния электрических разрядов на устойчивость плоского фронта горения в рамках диффузионно-тепловой теории горения [4].
* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект №05-03-32900а).
Рассмотрим плоский фронт горения. В приближении одностадийной бимолекулярной реакции система уравнений для определения температуры Т, относительной концентрации находящегося в недостатке реагента а и электронной плотности пе с учетом наложенного высокочастотного электрического поля имеет вид
дТ ^ + + оЁ2 + 0
— = -(«У)Т + хАТ + ^—+ ^— Ж (а, Т),
д/ СрР Срр
да ^
— = -(ыУ)а + ВАа - Ж(а,Т), (1) д,
'дП^ = -(М^)пе + Ва Апе + Же - У еПе . д,
В этих выражениях: р - плотность газа; м - скорость газового потока; х -коэффициент температуропроводности; Ср - теплоемкость при постоянном давлении; 0 - тепловой эффект химической реакции; Ж (а, Т) - скорость химической реакции; о = е2пе/т\т - проводимость пламени. Согласно [5] процессами ионизации электронным ударом мы пренебрегаем, а реальную квадратичную зависимость пе от скорости электронно-ионной рекомбинации линеаризуем, положив п2е « птпе, где пт - плотность электронов в зоне реакции.
Стационарное одномерное решение этой системы уравнений с граничными условиями
х = -да Т = Т0, а = а0, пе = 0
ёТ „ ёа ёп,
х = да -----= 0, — = 0, —- = 0
ёх ёх ёх
было получено и исследовано в той же работе [5] в приближении бесконечно узкой зоны химической реакции, для которой скорость химических реакций можно аппроксимировать Ж (а, Т) = риа0 5( х). Следуя этой работе, выпишем стационарные решения. Для электронной плотности решение будет следующим:
пе = птеа 1х, а1 = —^- (
е т 1 2Ва 1
4у В
1 + —еТа +1), х < 0,
и
пе = пте~а 2 х а 2 = 2В Ч1 +~^ - 1) х > 0.
2Ва V и
4у П
Плотность электронов в зоне химической реакции связана с массовой скоростью горения соотношением
1иРа0 = птт1и 2 + 4у еВа ,
где у - коэффициент, определяющий количество электронов, образующихся на единицу прореагирующих молекул. Для концентрации недостающего реагента имеем следующее:
а = а0(1 - еих'°) х < 0, а = 0 х > 0.
Стационарное поле температур имеет более сложную структуру. Если ввести понятие увеличения температуры продуктов сгорания за счет адиабатического горения
и ее увеличение за счет нагрева электрическим полем
а 2 г?2
АТ =- '
АТа, = «06/Ср
рически
а0ує2 Е2
Срт\е\т
то для температуры в предпламенной зоне (х > 0) можно из выражений приведенных в [5] получить
Т = То + Та, +АТє
{ —а9х Л
аиє 2 1------------------------
(и + а 2х)(аі +а 2)
1 '*2; у
Температура в зоне химических реакций будет равна
( а «. \ 1 —
Т = Т) + Таё + АТе
\к (и +а 2х)(а! +а 2) у
Для области х < 0 (зона продуктов сгорания) аналогично можно записать
/ АТ а и(еа,х - еих/х)
Т = Т0 + (Т -Т0)е“/х + АТеа2и(е-------е---.
(и -адЖ +а2)
Исследуем на устойчивость данное стационарное состояние к малым двумерным пространственным возмущениям поверхности пламени с амплитудой в0 и инкрементом возмущения ю :
х^ = х(у, ,) =80е(ш,+г4у), ю=ю1 +ю2.
Ось у параллельна направлению поля. Возмущения распределения концентраций недостающего реагента и электронной плотности можно искать в виде экспоненциальных зависимостей от времени и пространственных координат
5а( х, у,,) = в1а0е( ^ х+1к+ю/) х < 0,
5а(х, у,,) = 0 х > 0,
Ъпе (х, у,,) = в2пте(Ц1х+г1к+ш) х < 0,
5пе(х, у,,) = 83пте(Ц2х+1к+ю/) х > 0.
Для возмущений температуры необходимо учитывать, что они состоят из двух членов: однородного 5ТЙ, связанного с собственными модами уравнения теплопроводности, и неоднородного 5Типк, определяемого возмущениями электронной плотности пламени в выражении для электропроводности и изменением напряженности высокочастотного электрического поля.
5Т = 5ТЙ +5ТИПЙ,
5ТЙ = 84АТёе(вх+гку+ш) х < 0 ,
5ТЙ = 85АТаёе(Р2х+гк'+ш/) х > 0.
Коэффициенты 51, s2, ц1, ц2, Р1, Р2 непосредственно находятся из системы уравнений (1):
и ,
51 =-------(л
1 2В \
и /
52 =--------(л
2 2В )
. 4В( Вк2 + ю) 1Ч
1 +----1^---------- +1) х < 0,
и ,
и1 = Ж V
1 4Ва (Вак + ю +v е) .
1 +----—2---------------— +1) х < 0,
и , 1 4Ва (Вак + ю + v е)
ц9 —-----(Л1 +------;------------------— -1) х > 0,
2 2Ва V и2
в- = и (V
в2=^ ч
1 + 4х(хк 2 + ю) +1) х < 0,
1 + 4х(хк2 + ю) - 0 х > 0
Частное решение неоднородного уравнения для возмущения температуры ЬТипк зависит от способа стабилизации разряда. Если период колебаний внешнего электрического поля значительно меньше характерного времени перестройки собственных электрических полей пламени и по величине внешнее электрическое поле больше его максимального значения, то собственными электрическими полями пламени можно пренебречь. Тогда можно считать, что внешнее поле в плоском канале однородно. Данное приближение вполне допустимо, так как радиус Дебая значительно меньше характерной длины электронной диффузии [5]. Для случая стабилизированного по амплитуде напряжения разряда уравнение для неоднородных возмущений температуры будет следующим:
<35Т
ипк
д5Т,
дг
— —и ■
ипк
дх
+ Х
^д 25Т
ипк
дх
+ -
д 2ЪТ
\
ипк
дх
+ -
и 2е2
-Ъпе (х, у, г).
й mVтСрР
Здесь: и - межэлектродная разность потенциалов, а й - межэлектродное расстояние. Это уравнение должно решаться отдельно как при х > 0, так и при х < 0 . Учитывая, что выполняется равенство
и 2е2 АТеиа1а2
—2-----77“ пт = е + 1 2 ,
й mvтСрР а1 +а2 для неоднородной составляющей возмущения температуры при стабилизированном по амплитуде напряжения разряде получим
ЬТипк =
^Типк —
\ гт! (и х+гку+юг)
АТеа1а2и82е1
(ю + и^1 -хи2 +Хк 2)(а1 +а 2)
АТеа1а 2и83е(-и 21х+гку+юг)
(ю-и^2 -хи2 +хк2)(а1 +а2)
х < 0,
х > 0.
При наложении стабилизированного по амплитуде тока высокочастотного разряда из-за флуктуации проводимости зоны горения происходит изменение плотности электронов и между электродами вследствие изменения проводимо-
и
и
и
и
и
| [пе (х, t )]dxdz — еот1.
сти изменяется прикладываемое к электродам напряжение. Поэтому справедливо соотношение
в2(и + 5и)Гг . . . . Ч1 , , в2и
------------/ [пе (х, t) + опе (х, у, t)\dxdz —--
mvшd mvmd'
Из этого выражения с точностью до бесконечно малых величин второго порядка имеем
0и = ОЕ = /Ч (х, у,t№х = а1а2(82Ц2 + 83Ц1) £,(Ису+fflt)
и Е / пе (х^х (а1 +а 2)ц1ц2
С учетом этого линеаризованное уравнение для неоднородных возмущений температуры для стабилизированного по амплитуде тока разряда будет иметь вид
дОТ
ипк
дОТ
— —и"
ипк
+
дt дх
АТеиа1а 2
+ Х
(д 25Т
ипк
дх2
+ -
д 26Т:,
ипк
дх2
+
(а1 +а 2К
Оп (х у t) — 2а1а2(82Ц2 + 83Ц1) е(гку +fflt)
е (а1 +а 2)ц1ц2
Частное решение этого уравнения будет следующее:
= АТеа1а2и
ипк
(а1 +а 2)
,^1х
(ю + иц — хц +хк )
а1а 2(82^2 + 83Ц1 )е°
(а1 + а2)ц1ц2((ю + иа1 —ха] +%к )
(Псу+юt)
х < 0,
ОТипк =
АТеа^ 2и
— Ц 2 х
(а1 +а2)
а1а 2(82ц2 +83ц1)
(ю — иц2 — хц2 +хС2)
(а1 +а2)ц1ц2(ю— иа2 —ха2 +хС )
х > 0.
Для того чтобы получить замкнутое решение для малых возмущений и исследовать на устойчивость одномерное стационарное решение, необходимо сшить полученные выражения. В модели бесконечно тонкой зоны химических реакций эту зону можно рассматривать как поверхность слабого гидродинамического разрыва. На этой поверхности потоки реагентов, электронной плотности и температуры претерпевают разрыв, а сами эти величины непрерывны. Если х, — х(у, t) координаты поверхности зоны реакции, то на этой
поверхности должны выполняться следующие условия:
Т\х, —0 = Т\х, + 0,
а — а ,
1х/ —0 1х/+0
п — п
Лх, —0 Лх, + 0’
х
dT
dn
х, —0
^Т_
dn
х, + 0 у
+-
6Р
С,
da
dn
х , — 0
Ч
da
dn
х, + 0 у
— 0,
Вг
dne
dn
Л ( Л
dne + урР da da
е
х ч — о п х ч + о п х ч — О п х ч + о
— 0.
2е
Эти уравнения можно линеаризовать и учесть только члены первого порядка малости [2]. В результате мы получим систему из пяти однородных линейных уравнений с шестью неизвестными. Еще одно уравнение для малых возмущений можно получить, если воспользоваться зависимостью массовой скорости горения от температуры. Согласно [2] это уравнение имеет следующий вид:
( „ Л
ё а
ёх
хг +-
ёх
ёх
5Г|+
= 2- .
хг + 0 (Т1 - То)
г =
А((Ті - То) 2КТ12 '
Здесь А - энергия активации, г - безразмерный интервал температуры в пламени. Считается, что г > 1.
Рассчитав значения постоянных в этой системе уравнений для данного стационарного состояния, можно получить следующее общее решение:
и
81 — 8о,
1 Б
82 —-“Т-1-----[52 + (а1 -а 2) + —2 ]80 ,
(-1 + М 2Т
е — _ (а1 +а2) [^ + (а1 - а2) - -а]8о,
(Мі +^2)
5Т1+о =-5Т1 -о =-
(Ті - То)
о
(Ті2- То)
и
ёЬТ
ёх
°о
ёЬТ
*2 +-ЬТаЛ 2 X
ёх
= -АТ,
и
аё
+о
х
*2 +
Во-
Из этих уравнений можно получить явный вид дисперсионного соотношения, определяющего зависимость частоты ю возмущений от волнового числа к . Дисперсионное соотношение удобно представить в безразмерном виде. Если перейти к безразмерным частотам и волновым векторам
О — 4хю/и2, К — 2%к/и, Л е — 4%уе/и2 и ввести обозначения
Ье — Б/x, Ьеа — Ба1 x, Ае —АТе/АТай :
£ = 1 -
= 1 -
Ье, (^1 + Ье, Ае + 1)
(и + а 2х)(а1 + а2) (2Ьеа + л/ї + ЬеаАе - 1)л/1 + Ьеа А
то для дисперсионного соотношения получим
7(1 + К2 + О) [^(1 + ЬеК2 + ЬеО) + 2Ье -1] -
- 2[Ье -1+ УІ(1 + ЬеК2 + ЬеО) =
(2)
= А (1 + К2 + О) [1 -^ (1 + ЬеК2 + ЬеО) ] + Аег¥ (К, О).
Функция ¥ (К, О) зависит от явного вида неоднородных возмущений температуры, которые определяются способом стабилизации разряда. Формально в общем виде эта функция
х, + о
хг + о
а1и
¥ (К, О) —-
2Бх ^ТипЪ ё8ТипИ
и 2 АТе80 ёх х _0 ёх х+0
_РЛ1 _0 _Р25?и
ип^|х_о ^2 ип^|х+о
Введем безразмерные величины а1,а2,~,~2,~1,~2,Р1,Р2. Они выражаются через прежние параметры а1, а2,51, s2, -1, -2, Р1, Р2 следующим образом:
1 — —«1 —-^(д/О+ЬеХ + 1), <~2 — —«2 — + ЬеаЛе _ 1),
и Ьеа и Ьеа
1 — 5 — — (л/1 + Ье2К2 + ЬеО +1), ~2 — 52 ——(л/1 + Ье2К2 + ЬеО _ 1),
т 1 и Ье
— ^А/1+ЬёГК1+Ьёоа+Ьё^ +1),
51 —-------51 —
и Ье
~ 2Х
-1 — — -1 — т
и Ье
2х- — — ^л/1+ЬёГК1+Ьёо+Ьё”л7 _ 1,
V V а е ?
-2 — — -2 — .
и Ье
~ — ^Хр1 — (л/1 + К2 +О +1), ~2 — ^р2 — {41 + К2 +О +1).
ии
В этом случае функция ¥(К, О) для стабилизированного по амплитуде напряжения разряда будет иметь вид
— ЬеЛе ) (~1 _Р1)[~, + (а1 _а2) + ~2]
¥ (К, О) |ь
+
=С°Ш Ьеа (-1 + М2) 1
(~2 ~2 )[~2 + (а1 _а 2 ) _~1] 1
О _ 2~2 _ -2 + К I
О + 2~1 _ ~1 + К
- +
(3)
Для стабилизированного по току разряда аналогично получим
— ЬеЛ е ( (~1 _~1)
Ьеа ( ~1 + ~2) I О + 2 ~1 _~2 + К2
■ +
+ -
(~2 Р2)[~2 + («1 _а2)_~1] 2Й1Й2
О _ 2 ~2 _ ~2 + К2
а1 +а 2
+
~2 + (а _а2) + ~1 ~2
а1 _в1
~2 + (а _а2) + ~2 ~1
а2 _ Р21
+
(4)
О + 2с~1 _ а2 + К2
+
О _ 2а2 _ а2 + К2
В длинноволновом приближении, когда длина волны возмущения значительно больше ширины зоны прогрева, с учетом того, что Ае < 1, приближенное решение дисперсионного уравнения можно найти в виде
2гА
О * [Ье(г _ 1) _ г]К2 + ¥(К, О)|К О—о.
Ье
При К — 0, О — 0
¥1 — ¥1
17 =с°т1 II
ЬеЛ е Ц1 + Ьеа л е +1)
I/ =с°ж1
л/1 + Ьеа Л е
1 + л/1 + ЬеаЛ
Ьеа
Ьеа
2
2
а
и тогда длинноволновое приближение при наложении любого типа разряда на зону горения (стабилизированного по амплитуде тока или напряжения) в пределе Ле ^ 0 приводит к потере устойчивости плоского фронта пламени. Выражение (4) для функции F(K, Q) отличается от выражения (3) для стабилизированного по амплитуде напряжения разряда тем, что в него входит дополнительный отрицательный член, который обращается в ноль при K ^0, Q^0, и F < F при
, “ f 1 1 11 =CQ„st \U=const г
K Ф 0, Q Ф 0 . Поэтому при I = const инкременты нарастания длинноволновых возмущений должны быть меньше, чем инкременты нарастания этих возмущений для стабилизированного по амплитуде напряжения разряда.
На рис. 1 и 2 приведены результаты численных расчетов апериодической неустойчивости при наложении на плоский фронт горения стабилизированного по амплитуде напряжения и тока разрядов, а также без разряда для различных чисел Льюиса. При численном решении дисперсионного уравнения получались как действительные, так и мнимые корни. Для построения графиков при численном анализе апериодической неустойчивости из всех решений выбирались наибольшие действительные корни.
Как видно из приведенных рис. 1 и 2, наложение разряда в любом случае приводит к развитию неустойчивости плоского фронта пламени. В рамках диффузионно-тепловой теории при числах Льюиса, меньших единицы, плоский фронт пламени устойчив относительно пространственных возмущений [4]. Наложение разряда приводит к развитию длинноволновых пространственных возмущений (см. рис. 1). Инкремент нарастания зависит от способа стабилизации и доли энергии, вкладываемой разрядом в зону горения.
Рис. 1. Ld=60, Л=20, Le=0.8, Z=6, о - без разряда, I=cost, Д=0.01-Д, Д=0.1—U= const, Д=0.01-А, Д=0.1^
Для чисел Льюиса, больших единицы, наложение разрядов (рис. 2) приводит к еще большему увеличению неустойчивости плоского фронта горения. При этом меняется зависимость инкремента нарастания от волнового числа. Эти эффекты должны приводить к изменению структуры ячеистого пламени, условиям возникновения очагового горения при наложении на них разрядов.
Рис. 2. Ь(!=60, Л=20, Ье=0.8, 7=6, о - без разряда, 1=со81,
Д=0.01-Д, Д=0.1-Д и=сопз1, Д=0.01-Л, Д=0.1^
Наличие мнимых корней решения дисперсионного уравнения (2) требует дальнейшего теоретического анализа. Для неустойчивых состояний, когда инкремент нарастания колебаний больше нуля, наложение разрядов должно приводить к изменению условий возникновения и характеристик автоколебательного пульсирующего горения. В устойчивой области, Яе О < 0 при наложении на зону горения модулированных высокочастотных разрядов на определенных частотах должно возникать резонансное поглощение энергии электромагнитного поля. Это может быть использовано для исследования самих процессов горения.
Приведенный теоретический анализ показал, что в рамках диффузионнотепловой теории наложение высокочастотных разрядов на зону горения приводит к существенному изменению областей устойчивости и неустойчивости плоского фронта пламени. Возмущения с длинами волн больше нескольких толщин зоны прогрева будут усиливаться. Качественно это объясняет экспериментальные результаты, полученные в работах [1, 3, 7, 8] по управлению неустойчивостью горения при стабилизированном по напряжению разряде, но не дает должной интерпретации результатам при разряде, стабилизированном по току.
Литература
1. Афанасьев В.В. Активное управление устойчивостью горения электрическими разрядами / В.В. Афанасьев // Физика горения и взрыва. 1999. Т. 35. № 3. С. 43-52.
2. Афанасьев В.В. Воздействие высокочастотных разрядов на преддетонационное ускорение пламени / В.В. Афанасьев, С.В. Ильин, Н.И. Кидин // Вестник Чувашского университета. 2005. № 2 . С. 212-218.
3. Афанасьев В.В.. Управление преддетонационным ускорением пламени в полуоткрытых каналах с помощью электрического разряда / В.В. Афанасьев, С.В. Ильин, Н.И. Кидин // Химическая физика. 2001. Т. 20, № 5. С. 3-9
4. Зельдович Я.Б. Математическая теория горения и взрыва / Я.Б. Зельдович, Г.И. Баренб-латт, В.Б. Либрович, Г.М. Махвиладзе. М.: Наука, 1980. 478 с.
5. Махвиладзе Г.М. Тепловой механизм увеличения нормальной скорости распространения пламени в допробойном электрическом поле / Г.М. Махвиладзе, В.И. Мышенков // ПМТФ. 1977. № 2. С. 29-38.
6. Щебеко Ю.Н. Влияние переменного электрического поля на нормальную скорость горения органических веществ в воздухе / Ю.Н. Щебеко // Физика горения и взрыва.1982. Т. 18. № 4. С. 48-50.
7. Afanasyev V. V., Ilin S.V., Kidin N. I. Active control of Combustion Instabilities by Electric Discharges. Tenth ONR Propulsion Meeting. NPS. Monterey, 1997. P. 118-119.
8. Afanasyev V.V. The effect of high-frequency electric discharge control on deflagration-to-detonation transition in tubes. Advances in confined detonation / V.V. Afanasyev, S.V. Ilyin, N.I. Kidin. Moscow: Torus Press, 2002. С.40-43.
9. Jaggers H.C., von Engel A The effect of electric fields on the burning velocity of various flames // Combustion and Flame 1971. Vol. 16, № 3. P. 275-281.
АФАНАСЬЕВ ВЛАДИМИР ВАСИЛЬЕВИЧ родился в 1952 г. Окончил Чувашский государственный университет. Доктор технических наук, профессор, проректор по научно-инновационной работе Чувашского университета. Область научных интересов - диагностика и управление процессами горения. Автор более 150 научных работ, в том числе 8 свидетельств и патентов на изобретения.
ИЛЬИН СТАНИСЛАВ ВЛАДИМИРОВИЧ родился в 1955 г. Окончил Казанский государственный университет. Старший научный сотрудник кафедры теплоэнергетических установок Чувашского государственного университета. Автор более 70 научных работ в области физики горения.
КИДИН НИКОЛАИ ИВАНОВИЧ (1948-2007). Окончил Московский физико-технический институт. Доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник института проблем механики РАН. Автор более 200 научных работ в области электро- и гидрогазодинамики горения.
