Влияние аэродинамических пepeкpecтных связей на свободное продольно-боковое движение летательного аппарата Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ДА Г И Том V 1974 ; .

№ 3

УДК 629.76.015.017.2:533.6.013. 418 / , : ; ?

ВЛИЯНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕКРЕСТНЫХ СВЯЗЕЙ НА СВОБОДНОЕ ПРОДОЛЬНО-БОКОВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

Лукошкин В. В.

Исследуется влияние аэродинамических перекрестных связей на устойчивость возмущенного продольно-бокового движения симметричного летательного аппарата. С помощью предположения о малости собственного демпфирования изолированного продольного (бокового) движения получены приближенные выражения для корней характеристического уравнения продольно-бокового движения.

Полет летательного аппарата на больших углах атаки при-, водит к появлению аэродинамических перекрестных связей,, благо-' даря которым в общем случае осуществляется взаимосвязь движения тангажа, рыскания и крена. В этом сложном движении! самостоятельное значение может иметь так называемое продольнобоковое движение, возникающее при отсутстзии момента крена, от косого обдува и характеризующееся взаимосвязью движений тангажа и рыскания. Свободное продольно-боковое движение сим-' метричного летательного аппарата в специальном случае перекрестных связей, при которых имеется круговая симметрия аэродинамической силы и момента, изучено в работе [1]. В настоящей работе это движение анализируется в общем случае аэродинамических перекрестных связей: выделяются существенные перекрестные связи,, определяется их влияние на устойчивость .движения и корни, характеристического уравнения. , 0

Уравнения продольно-бокового движения. Уравнения свободного возмущенного продольно-бокового движения симметричного летательного аппарата в цилиндрических координатах [1] могут быть представлены в виде :

А®* + 2^о1 Да* -|- <оо1 Да* + ^1 Д^а + Ь.х Д^а = 0; | ^

Д|Ч + 2;„, Дц* + сою Да, : ^ Д а* + Л2 ДяА = 0,' | ■■■■■■■•

где координата Дай определяет движение летательного аппарата в плоскости . угла атаки, а координата Др.*.определяет движение?, этой плоскости относительно связанных осей летательного аппарата.;

6—Ученые записки ЦАГИ № 3

Выражения для .коэффициентов, входящих в уравнения (1), имеют вид.......... - .; ■..■■ ■ ■ ■-

2$о1 = «п + «1,

а

■25,

02 '

а22 +

“и-

81 + 011^1, “ «*,„

§1

°02------- а*2 “Ь Л22

1

а,

а.

й, = а(а32 + а12 а^, где, в соответствии [1],

/г., = (а41 + а21 а,)(

(2)

дс~

■ аи = -т7(?5-^ + Ясо.Йв*),

Л12 —

ж

/П1»а

дс-

<¥«

а.

95

дс'~.

21

^22 — ’

°и—

де-

да*

-"^с^-Рвт а*

/ <Ь*

„ СА д/га~

___Т

#32 —

ЧЪа дт7

д1х* дт~ у

; /а Ч^Ьа

а, = ■

Лв~

—

/ш

/а <¥« дБЬа

дт~

дш.

(3)

д(0 /ш Л

В выражениях (1)—(3) использованы следующие обозначения: 5 — характерная площадь; Ьа — средняя аэродинамическая хорда; т — масса летатёльного аппарата; Р — сила тяги Двигателя; / — момент инерции аппарата относительно поперечной'оси, V — скбрость центра масс аппарата в инер!циальном пространстве; их — проекция вектора скорости центра масс на продольную ось аппарата Фх = ъ с6в&к; д — скоростной напор, а=^аА; ш — нормальная к продольной осй аппарата составляющая вектора угловой скорости; 10 * — угловая скорость тангажа, с~ —коэффициент подъемной силы,

действующей в плоскости угла атаки по нормали к вектору скоростц V, с~ — коэффициент боковой силы в системе координат, связанной с углом атаки, т~, т~ коэффициенты продольного и бокового моментов в системе координат, связанной с углом атаки; шг — Коэффициент момента тангажа.

Уравнения (1) получены в предположении, что коэффициенты подъемной и боковой сил представлены только статическими составляющими, а демпфирующие составляющие коэффициентов продольного и бокового моментов линейно зависят от соответствующих угловых скоростей, Т. е.

тул= ® ®1П - ***>> т7л=т1г Ш С08 — Р*)*

Кроме того, в уравнениях (1) не учитывается влияние силы тяжести на возмущенное движение летательного аппарата около центра масс и считается, что скорость, высота полета и тяга двигателя являются известными функциями времени, определяемыми движением летательного аппарата вдоль опорной траектории.

Такие допущения являются общепринятыми при исследовании устойчивости и динамических свойств движёния летательного аппарата около центра масс. '

' Если в уравнениях (1) положить g^ = gi = Л, = А, = 0, то система уравнений продольно-бокового движения разделяется на два независимых уравнения второго порядка:'

Да* + 2501ай + Ши ДаА = 0, Д;ха + 250г V* + “02 Д^а = 0.

Движения, определяемые этими уравнениями, будем называть парциальными.

Такое разделение может иметь место либо при круговой симметрии аэродинамических сил и моментов в случае произвольной балансировки летательного аппарата, либо при балансировке летательного аппарата в плоскости симметрии в случае отсутствия круговой симметрии аэродинамических сил и моментов. Продольнобоковое движение симметричного летательного аппарата для этих случаев подробно изучено в работе [1]. Входящие в уравнения (1) величины (в01, соо2 по принятой в теории колебаний терминологии будем называть парциальными частотами, а величины g1, £г и ки Л2, определяющие влияние перекрестных связей—коэффициентами связи; величины ?01 и $02 назовем парциальными коэффициентами демпфирования.

Отметим, что в общем виде уравнения движения в форме (1) определяют свободное движение системы с двумя степенями свободы, связь между которыми обусловлена силами жесткости (упругости) и трения. В наиболее общем случае устойчивого колебательного движения такой системы каждая координата совершает затухающие колебания с двумя частотами и ш2 и с двумя коэффициентами затухания ^ и соответственно, причем начальная фаза колебаний одной и той же частоты в различных координатах различная [2]. ‘

Устойчивось продольно-бокового движения. Рассмотрим возмущенное продольно-боковое движение летательного аппарата, описываемое системой дифференциальных уравнений четвертого порядка (1), в случае общих аэродинамических перекрестных связей и при исходной балансировке в произвольной плоскости.

Характеристическое уравнение системы (1) представим в виде

У + + + + (4)

где

А1=2 ($01 + £0г)>

А2 = °»01 + Ш02 + 4?01 ^02 — #1 ё2, лз = 2$01 о>22 _|_ 2£02 ш§1 — — g2 Л:,

Л 4 = ш^2 А1 /г2.

(5)

Коэффициенты связи gu gг, Л, и Л2, как видно из (2) и (3), зависят от перекрестных аэродинамических производных, входящих в а12, а21, а32 и а41. С достаточной для практических целей точностью для коэффициентов а32 и аи можно принять выражения

п________Ч$Ьа дтгс __ ц5Ьа ус

32 — , . “41 — ,

/а Ф* ’ 41 / да*

где т~ и т~ — коэффициенты статических составляющих продольного и бокового моментов. ,

При круговой симметрии сил и моментов а12= а2] = аь2 = а4]=0. Таким образом, отличие этих коэффициентов от нуля характеризует круговую несимметрию сил и моментов. Как видно из (5), влияние круговой несимметрии на движение аппарата можно характеризовать тремя обобщенными параметрами:

±_ |2 дт" дП7с

Го ---- йл 2 А»! йа

Фа да* ’

____________________§Ьа_1[___________________________________

<■12 “41 “Г “21 “32 ' а тх) / | да/г да/г

_ 1 /?5 \2 дс- дс7

:а,

(6)

а \rnti/ д[*а с»ай •

Параметр гл характеризует влияние круговой несимметрии моментов, параметр г3 — влияние круговой несимметрии сил, параметр г2, наряду с гх и г3 — совместное влияние круговой несимметрии сил и моментов. При этом члены, входящие в (5) и зависящие от коэффициентов связи и можно представить в виде

ё^2^г3, g1h2 + g2hi = г2 + 2a]rs, к1к2 = г1 + ахг2 + а\гъ.

Анализ аэродинамических характеристик симметричных летательных аппаратов показывает, что во всем возможном диапазоне балансировочных углов ак и [ла максимальные абсолютные величины производных аэродинамического момента являются величинами одного порядка, а максимальные величины перекрестных производных аэродинамической силы таковы, что абсолютные величины коэффициентов связи gi меньше величины коэффициентов демпфирования Кроме того, обычно для летательных аппаратов ^0 </1 “о г IС 1 • Поэтому в выражениях (5) можно не учитывать члены, содержащие произведения £0, &о2 и gi gt, При этом >-3 = 0.

Для устойчивости продольНо-бокового движения по критерию Рауса — Гурвица необходимо и достаточно выполнение неравенств

Л,> 0, Я=^А1 Л,Л,-Л1-Л?Л4>0. (7)

Так как при положительных Л,, Л2 й Л4 условие /?>0 выполняется только при Л3>0 и обычно ?о<-^>0, то условия устойчивости (7) можно записать в виде

где введены обозначения

)1?'4

^02

I Ю01 I “02 I

( l“01 i

га-

—2 Ш0 ^

"oil й02 1

1/2

(I Ш01 i

"02 I

\3/4

Величина sign<B^ = l, если соответствующее парциальное движение устойчивое, и signrojj^ — 1, если это движение неустойчивое.

В частном случае 50, == ?0j = Б0 условия устойчивости (8) значительно упрощаются и сводятся к следующим

щ sign 0)01 + 4- slSn ш02 >

(

sign 0)2, Sign 0)g2 - г, > 0;

j \2 /*^ ___________________________

о>0 sign 0)01 — Sign 0)02 ) — -4 + 4 гх >0.

- 4с0 ■ •. ■

(10)

На плоскости параметров (ги г2) области устойчивости, соответствующие значениям и2 =_ a и u>g == 1/л, совпадают. Поэтому при анализе допустимых величин параметров несимметрии г} и г2 достаточно рассмотреть значения о)* в диапазоне от 0 до 1.

_ Области устойчивости на плоскости параметров (ru rs) при £0— 0,1 и различных <»2 показаны на фиг. 1 для случая signo)^^ = sign “J} =1 и на фиг. 2—для случая sign = — sign o>j-2== — 1.

Из анализа вида областей устойчивости и условий (8), (10) можно сделать следующие выводы:

1) Наиболее существенными являются перекрестные связи по продольному и боковому моментам, обусловленные круговой не-симметрией этих моментов. Круговая несимметрия сил может оказывать заметное влияние на устойчивость продольно-бокового

Фиг. 1

8.5

движения лишь при круговой несимметрии моментов. При этом в случае статически устойчивых парциальных движений («>^>0 и <»о2>0) круговая несимметрия моментов может приводить как к колебательной нёустойчивости (при г^О), так и к апериодической неустойчивости (при г,>0); круговая несимметрия сил независимо от знака величины г2 приводит только к колебательной неустойчивости.

2) При статической неустойчивости обоих парциальных движений «<0 и “02 <^0) продольно-боковое движение неустойчиво. При неустойчивости одного из парциальных движений продольнобоковое движение может быть устойчивым, если ТОЛЬКО 0)^-}-причем устойчивость в этом случае обеспечивается за счет круговой несимметрии моментов при

3) Сближение парциальных частот. заметно сужает область

устойчивости системы на плоскости (г,, г2). Тад, при ®ю и ста" тически устойчивых парциальных движениях даже малые отрицательные величины параметра гх приводят к неустойчивости продольно-бокового движения, если же устойчиво только одно парциальное движение, то при | | 10^21 область устойчивости про-

дольно-бокового движения стягивается в точку с координатами (ш01ш02’ °)-

В связи с этим отметим, что особенности движения консервативных систем с двумя степенями свободы при близких парциальных частотах, указанные в [3], свойственны и системе свободного продольно-бокового движения летательного аппарата, являющейся системой, близкой к консервативной.

Приближенное определение корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение возмущенного продольнобокового движения (4) можно представить в виде

х* + м2 + *4 = *р(Х), (11)

где <р(Х) — полином третьей степени от X.

<?0-) = (с^ + с2)1. (12)

* Исключение могут составлять лишь случаи, когда | + Ид21 ~ £01 £<и-

В ЭТИХ 'Выражениях обозначено' О г: \ , с;. • !

&, = «& + < + 4^502^ • •

С,ГГ;:' ует .....

Если перейти к безразмерным величинам корней 5 = VI“о!» гДе — большее из значений |<о0 г], то получим уравнение

м:.- < гГ - ;Х'.ч8 .

в котором величины Ь{Щ, ЬЦЦ, с1 и сг/т1 практически во всей области изменения коэффициентов (3) аппарата и'меют1 порядок единицы а величина ч/1 <»0 ] — порядок относи^ельнбго коэффициента'парциального демпфирования продольных (боковых) ^ колебаний. Обычно для лётательнйХ аппаратов' ВелйЧина Ц) мала даже при полете у земли. Поэтому можно считать, что в уравнении (11) V — малая величина, и для приближенного определения корней характеристического уравнения вЪспользуемся разложением корней уравнения (12) в ряд По малому параметру.

Если 7 = 0, то уравнение (11) вырождается в биквадратное, имеющее очевидное решение , , ,

-2 4 ;• (14)

При малом, не равном нулю V решение уравнения (11) будем искать в виде ряда

X = Х04г V/1 72/2 + •.. +.Уп/п + • •. • > (15)

где /г — искомые функции коэффициентов характеристического уравнения. /

Функция <р(Х) в окрестности значений Х = Х0 может быть представлена формулой Тейлора для многочлена ,

?(*) = ? (Х«) + ?' (К) (X - Х0 + (X — Х0)* + (X - Х„)». (16)

Если подставить выражение (15) в формулу (16), а последнюю вместе с выражением (15) в уравнение (11), то получим

&>+*/, + *2Л +•••+ V*/*'+-)4 + Ь2 (Х0 -И/, +у2/2+ ...+ ^Л+-)2+^ = ^ ^='*?(Х0) +(Хо)СЛ +:х/я+. • • +^-1/я + • •.)+ ‘

+ 73^Р(/1+7/г + ... + 7»-1 /„+...) + 74^^(/, + 7/2+...-|-7',-1/л+,.,)3. (17)

Приравнивая теперь в выражении (17) члены с равными степенями V, получим следующие рекуррентные соотношения

Хо + Ь2 Хо Ьц = 0, 2 Х0 (2 Хо + Ь2)А = ? (Ю>

2 Х0 (2 Х§ + Ь2)и = ?' (ХсОЛ - {Ы\ + Ь2)/\. (18)

* Исключение составляют сочетания коэффициентов (3), для которых

2 2 2 2 и и '

10 01 ~ ~ “02’ “01 “02 ~ Й1 "2-

87

Неизвестные функции /, в ряде (15) могут быть определены последовательным решением уравнений (18). ,

Рассмотрим первые три члена ряда (15) с учетом соотношений (12) и (18). Если /,0 — мнимая величина, то величина /, действительная, |а величина /2 — мнимая. Если Х0 действительная (комплексная) величина, то /\ и/, также будут действительными (комплексными). Из э:тогб; следует, что если вместо ряда (15) использовать соотношение . ’

: ; : •/.=х0 + '’/1, : ; , а?)

то как действительные, $, так и мнимые «> части корней Х = £ + /<о будут определены как функции динамических параметров летательного аппарата, с точностью до (72/о>? (по сравнению, с единицей). Исключение, Очевидні, составят, окрестности, особых точек функции' Л с радиусом порядка у/; у» |, На основании соотношения (19) выражение для /-го корня характеристического уравнения, соответствующего /-му корню Х0/ биквадратного уравнения, можно записать в виде , .

V

4

Х0;./( *■(>/+у)

или, с учетом (12),

У V" • <20)

' ' Из (20) получаем развернутое выражение для корней характеристического уравнения, через Динамические параметры летательного аппарата

Хх, 2, з, 4 = Нг -2“ (“01 *г шог) + У(ш01 — “ог)2 + 4 г1 —

1 (СО2 — (£1 - ^2) “1“ ^*2

........ г --^1+е3)± 01А ь Ч • (21)

; > , 2 V. ■ 2/(о»2!-..4)4-4^ .

„ Из.формулы (21) видно, что при сделанных предположениях влияние круговой несимметрии аэродинамических сил и моментов на корни характеристического уравнения проявляется только через параметры Г1 и г2. Поскольку параметр г2 входит в выражение (21) в виде аддитивной составляющей, основное влияние на вид корней оказывает только параметр круговой несимметрии моментов гх. Так, например1, еСЛи -парйИальные движения статически устойчивы, ТО при Гг.<С<“о1Шо? имеем две пары.-комплексно сопряженных корней, а при г л ;> ю* «>2? — два действительных корня и одну комплексно-сопряженкую пару. Кроме того^ параметр ^определяет особую точку . .

/-;=-4>01-м02)2> (22)

ь Г) ; . ''Гг.. , . . • л - ■ . х

в малой окрестности которой формула (21) несправедлива.

Отметим, что в частном случае линейной зависимости подъемной силы от угла атаки и независимости ее от углов отклонения рулей (^ = ^2 = 0, £01 = $02 = 50) характеристическое уравнение имеет точное решение:

*1.2,з.4==—^о + У^о-----(Шт + “02) +-|-^Л(О)01 — шог)3 + 4г1 . (23)

Приближенная формула (21) в этом случае дает

^1, 2, 3, 4 = — $о ГЬ '

2 '■'"01 I 02 На фиг. 3 приведены графики зависимости корней характеристического

уравнения Х= где X:

К + ш02> ± 4- ^^ + 4 • (24)

(КИ-Ы')

1/4’

0<

1<°ог

от параметра г,, рассчитанные на ЭЦВМ по методу Феррари (сплошная линия) и по приближенной формуле (21) (пунктирная линия). Расчеты проведены для случая устойчивых парциальных движений при г2=г3=0 и ?01 = 0,1, $0г= = 0,2, «о = 0,5. Из фиг. 3 и сравнения выражений (23) и (24) следует, что при реальных значениях парциальных коэффициентов демпфирования ' «ы

<0,3] полученная прибли-

женная формула (21) пригодна для практических расчетов во всей области возможных значений динамических параметров, исключая малую скорость особой точки (22).

Фиг. 3

|

/ с 2

></

/

(

ф, 10

\

4,5

\

N Ч

I

\ ,»//*

Г У

г -2 -1 \ Ч 1 2

1 •

/ \

у Г 4,5 \ ъ

У \

4? Г \

Л

ЛИТЕРАТУРА

1. Свято дух В. К. Динамика пространственного движения управляемых ракет. М., „Машиностроение*, 1969.

2. С т р е л к о в С. П. Введение в теорию колебаний. М.— Л.,

ГИТТЛ, 1950. 1 >'

3. Мандельштам Л..И. Лекции по теории колебаний. М., .Наука', 1972.

Рукопись поступила З/У 1973, г.