Влияние изгибных деформаций крыла на демпфирование короткопериодических колебаний летательного аппарата Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Том V

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

197 4

№ 4

УДК 629.735.33.015.3025.1.533.69.048.3

ВЛИЯНИЕ ИЗГИБНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ КРЫЛА НА ДЕМПФИРОВАНИЕ КОРОТКОПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

И. В. Колин, В. Н. Сухое

Рассматривается влияние изгибных деформаций крыла на демпфирование короткопериодического движения. На основе квазистатического метода получены аналитические соотношения, которые позволяют количественно оценить это влияние. Для гипотетического летательного аппарата с упругим крылом приведены результаты расчета демпфирования короткопериодического движения в зависимости от различных конструктивных параметров.

Задаче о влиянии упругости конструкции летательного аппарата на аэродинамические производные, определяющие его корот-копериодическое движение, посвящено большое число работ (см., например, [1—4]). В них основное внимание уделено влиянию деформаций конструкции на производные с", т*, сьу, тъх.

В данной статье рассматривается влияние изгибных деформаций крыла на величину т™г. Эта задача может рассматриваться как задача о флаттере, форма которого определяется взаимодействием движения самолета как жесткого тела и изгибными колебаниями крыла. Однако это взаимодействие носит не динамический, а квазистатический характер, поскольку частоты короткопериодичес-ких колебаний аппарата значительно меньше частот изгибных колебаний крыла. Поэтому данную задачу правильно рассматривать как задачу о влиянии изгибных деформаций, а не изгибных колебаний крыла на аэродинамические производные. В работе показано, что изгиб-ные деформации крыла при некоторых условиях приводят к значительному уменьшению величины т°гг, а для прямого крыла возможно возникновение неустойчивых короткопериодических колебаний (/и"2> 0).

1. Уравнения движения. Схема гипотетического летательного аппарата с упругим крылом представлена на фиг. 1. При выводе уравнений возмущенного движения воспользуемся обычным методом заданных форм, широко используемых в аэроупругости [5].

Считаем фюзеляж абсолютно жестким телом, крыло жестким на кручение и упругим на изгиб. Изгибные деформации крыла в потоке воздуха аппроксимируются функцией /(г'), представляющей собой форму изгибных колебаний первого тона консольно закрепленного крыла. При этих предположениях летательный аппарат можно рассматривать как механическую систему с тремя степенями свободы, обобщенными координатами которой являются

ЯгУ). Здесь цх {€) — перемещение центра масс летательного

аппарата по вертикали, q-2.it)— угол тангажа, <73 соответствует изгибным колебаниям крыла по форме /(г')-

Вертикальные перемещения фюзеляжа и оси жесткости

крыла у (21 {), поворот крыла относительно оси жесткости можно представить в следующей форме

Линия Фамусова

Центр масс

Линия

центров

масс

Ось жест-яости

Фиг. 1

и*.

»•=i 3

y(z', *) = £/, (О, (1.1)

<=i

3 i= 1

При выбранных обобщенных координатах

fi = h ?, = о,

== & Хц. м> U = -^кр — •*«. М — 2' Sin X, (1.2) f2 = eos х, %з = 0> ?з = о,

где Хц.м — расстояние от носика до центра масс летательного аппарата; хкр — расстояние от носика до точки пересечения оси жесткости крыла с бортом фюзеляжа.

Уравнения возмущенного движения можно получить, используя уравнения Лагранжа П рода

= -' = 1. 2.3, (1.3)

где Т—кинетическая энергия, П — потенциальная энергия, (¿¡-¿-я— обобщенная сила. Т и П представляют собой квадратичные формы обобщенных скоростей и координат соответственно

3 3 3 3

г=1/ = 1 1 = 11=1

В рассматриваемом случае

/ г

си = М; с22 = /; с33 = 2 | т/2 (г') й* \ Сп = Си = 2 | т/(г') ¿г'; (1.5)

о

о

Cz2 = ^23= j rn (xu. „ — хкр — z' sin x — 3 cos x)f(z') dz'; 0

аи = а22 = 0; аи~ 0 при i ф j\ С / rf2/\2

(1.5)

Здесь использованы следующие обозначения: М — масса аппарата; / — момент инерции аппарата относительно центра масс; т — погонная масса крыла; о — расстояние между осью жесткости и центром масс крыла в сечении, перпендикулярном оси жесткости (з>0 при смещении центра масс сечения к задней кромке); EI— жесткость крыла на изгиб.

При вычислении обобщенных сил будем считать, что аэродинамические силы действуют только на крыло и могут быть описаны-подъемной силой Y(z'), действующей в сечении, перпендикулярном оси жесткости,, и моментом VW(z') относительно оси жесткости крыла. Тогда

i

Q, = 2 f (Г (z')¿,+ М (О ?<) dz, i = 1, 2, 3. (1.6)

ó

Используя гипотезу стационарности, можно записать аэродинамические силы, действующие на крыло, в следующей форме [4]:

Л,, /Ч I Х0 L.V , /Ч PV !>3?

M(z/) = (-r—r bYCz'í-^cosx-g—^

(1.7)

где b — хорда крыла; сау — производная коэффициента подъемной силы по углу атаки; х0 — расстояние от носика профиля до оси жесткости; р — плотность воздуха; v — скорость потока; хф — расстояние от носика профиля до линии фокусов крыла.

Величины Ь, х0, Су берутся для сечений крыла, перпендикулярных оси жесткости.

Обобщенная сила Qt является линейной функцией обобщенных: скоростей и координат

з

Qt-JLiduvgj + btjVgj), (1.8)

j=i

где

г

du = р COS г / (fifj + Г/, <?J + S* ъ 9 J + K*fj ь) dz'; о

о

В этих формулах используются следующие обозначения

i °'9>

Подставляя теперь в уравнения (1.3) выражения для Т, П и Q, получим уравнения возмущенного движения летательного аппарата с учетом изгибных колебаний крыла в виде:

3

Z {Си Я¡ 4- t/,j vqj + btJ qj + atJ qj) = 0, i = 1, 2, 3. (1.10)

7 = 1

Непосредственное использование уравнений (1.10) для анализа устойчивости системы вызывает ряд вычислительных трудностей, поскольку соответствующее характеристическое уравнение имеет двойной нулевой корень. Поэтому уравнения целесообразно преобразовать, используя в качестве переменных угол атаки а, угловую скорость тангажа шг и q3. Величины а и ш2 связаны с qx и q% следующими соотношениями:

= q\ = v{q2 — a). (1.11)

Тогда, учитывая, что — dll = bi2, уравнения (1.10) можно преобразовать к следующему виду

— CnV л—dnV2 а—(Cu+ d12) V(s>,

— dn v2 a -f- с22 +

CnÜz + dl3v<j3-\-bnv* Яг С23 Яп + 28 vq3 + ¿аз v2 q3

= 0; =0;

— cai Va — d31 v2 а + с32 шг -f d32 V(oz 4- с33 q3 -f- d33 + («as + hs v*) Яг = 0.

(1.12)

В системе (1.12) часть членов, выделенных сплошной линией, характеризует движение летательного аппарата как жесткого тела; пунктирной линией выделены соответствующие добавки за счет упругих деформаций. Третье уравнение этой системы представляет собой уравнение изгибных колебаний крыла. Часть коэффициентов уравнений (1.12) можно выразить через общепринятые аэродинамические производные для жесткого летательного аппарата:

где Ьл — средняя аэродинамическая хорда; 5, — площадь крыла.

2. Квазистатический метод оценки влияния изгибных деформаций на демпфирование короткопериодических колебаний. Для

качественной оценки влияния изгибных деформаций крыла на демпфирование короткопериодических колебаний летательного

аппарата упростим исходные уравнения движения. Пренебрегая в возмущенном движении перемещением центра масс по высоте, запишем уравнения движения в следующей форме

£22 Я2 + ¿22 Щг + 622 & + с2Ъ + ¿гз Щъ + Ь2а V2 цг = 0; 1 (2 1)

Съг Й2 + ¿82 Щг + Ьгг & + С33 <73 + <*м + (^зз + ¿зз ?з=0. )

Переходя в этих уравнениях к изображениям по Лапласу для переменных ц2 и ц3, имеем

(с32Б2+ d32vS-{-b32v2)qг-\-(c33S2 + d33vS + а33 +b33v2)q = 03, |

где 5 — параметр преобразования Лапласа.

Характеристическое уравнение Д(5)=0 для системы (2.2) запишем в виде

Д (5) = 1 — кУ1» + ЪТ18+тП* + 2ЬТя8+1) =

(с22 + ¿22 5 + г>22 »2) (Г| + 2 5 + 1)

Здесь введены следующие обозначения

/У-_ ¿32 а23 У* Ф _ с23 . л с т* __ ¿23 у .

А— вз» + Аэз v2 ; 1 баз«2' 41 ¿23 v? '

7*2_ Сзз . 9 р у _ ¿32 р . т>2__сзз

2_ ¿32»2 ' 632у> ' «33 + ¿331,2

2?3 7\ ^

«зз+ 1,2

Так как постоянные времени Ть Т2, Т3 обычно на порядок меньше постоянных времени, характерных для короткопериодического движения, то при анализе короткопериодического движения выражение для Д(5) можно упростить и записать уравнение (2.3) в виде

л (~ 1 у 1 + 2 ^ + 2 £2 ^ — 2 £3 Т з 5_л /о 44

Решая уравнение (2.4), можно найти демпфирование 80 и недемпфированную частоту о>0 короткопериодических колебаний

5 1 ¿и V 1 2 ¿22 V2 ,с, е.

Коэффициенты X и ¡а равны

¿23 ¿32 а2 ¿32 ¿23 , ¿33 ¿23 ¿32 v*

\ _ 1 _ "23 "32 "__"32 "23 " i

¿2! «33 + ¿33 v2 ¿22 («33 + ¿33 ¿22 («33 +" ¿33 v2)2

„ __ 1__¿23 ¿32 v'

^ ¿22 («33 + ¿33 г"2) '

(2.6)

Эти коэффициенты характеризуют влияние изгибных деформаций на аэродинамические производные /га™* и от®. Действительно, если обозначить через т™г и /га* отношение соответствующих коэффициентов для упругого и жесткого самолета, то

/га/ = X, тг =

Приведенные выше выкладки справедливы только для стреловидного крыла при хфО. Для прямого крыла Ьп — Ьгг=0, поэтому-характеристическое уравнение имеет вид

а(5)=1 _л^. „ (2.7)

«33 (с22 52 + ¿22 ьб -

-Ъ-п V2) ( 7'| 52 + 2 53 7'3 5 -

1)

где величина

«23

В области частот короткопериодических колебаний

&32 ¿23 1,3 я_

«33

с22 Зз+б^^ + ^г^

= 0.

(2-8)

Параметр X, характеризующий влияние упругих деформаций на демпфирование короткопериодических колебаний, равен

Х= 1

б^2

(2.9>

¿22 «33

Из формулы (2.9) можно определить величину vкp, при которой демпфирование короткопериодичессих колебаний равно нулю. Эту скорость можно также рассматривать как критическую скорость флаттера, обусловленного взаимодействием короткопериоди-ческого движения и изгибных колебаний крыла:

< = (2.Ю)

«23 «32

Для крыла постоянного сечения г>кр можно выразить явным образом через конструктивные параметры:

,-2

V?.

«зз

кр

■ -*кр + хо — хф

— ¡с;/(г'} а*

(2.11)

2Р V

где Ьй = -у- (Ькот + ¿Корн).

Рассмотрим более подробно физический характер предположений, использованных выше. Можно показать, что характеристическое уравнение (2.8) соответствует следующей системе уравнений

^22 Я2 + ¿22 Щч. + ¿>22 V2 д2 щ3 = 0, (2.12)

¿32 V* Я2 + «33 Яз = 0.

(2.13)

V-

Уравнение (2.12) есть уравнение короткопериодических колебаний,, в котором учитываются дополнительные воздействия за счет скорости упругих деформаций и пренеб-регается инерционными силами упругих колебаний. Уравнение (2.13) представляет собой уравнение статического равновесия для упругих деформаций крыла, возникающих при действии на крыло подъемной силы, пропорциональной в каждый момент времени углу атаки аппарата Яъ- При составлении уравнения равновесия упругих деформаций пре-небрегалось силами инерции и силами, зависящими от скоростей колебаний. Предлагаемый приближен-"Г Г ный метод можно назвать квазиста-

Фиг. 2 тическим, поскольку он базируется

и.

Ъ-4

а

на вычислении деформаций для каждого момента времени из условий статического равновесия. Эффект уменьшения пС/ за счет изгибных деформаций для прямого крыла поясняется на фиг. 2.

Если крыло совершает движение относительно набегающего потока со скоростью vк, то на нем возникает сила Р, направленная против скорости движения и пропорциональная Vк. Если летательный аппарат совершает колебания и в плоскости тангажа то крыло как твердое тело имеет скорость 1>т, т, направленную вниз. Под действием подъемной силы крыло испытывает упругие деформации и при увеличении угла атаки скорость упругих деформаций 1)у. л направлена вверх, следовательно, составляющая силы демпфирования за счет упругих деформаций Гу. д направлена по скорости движения точки фюзеляжа, в которой крепится крыло. Это означает, что упругие деформации уменьшают демпфирование короткопериодического движения. При определенных скоростных напорах в ряде концевых сечений крыла ъу.д может быть больше г»т. т, т. е. в этих сечениях появляется сила, которая может привести к потере устойчивости короткопериодических колебаний. Отсюда следует, что если крыло расположено впереди центра масс аппарата, то упругие деформации крыла будут увеличивать демпфирование короткопериодических колебаний.

3. Результаты расчетов. Для оценки влияния изгибных деформаций крыла на демпфирование короткопериодических колебаний были проведены параметрические расчеты для гипотетического летательного аппарата, обладающего следующими характеристиками

//т2 = 0,0326; 1//рЬ8 = 4,9 • 104; т/рЬ2 = 2,45;

= 0,03; ЦЪ = 3,02; х0/Ь = 0,37; = 0>25: ¿>корн/£конц = 1,0.

При вычислении коэффициентов Ьц и использовались значения Су, полученных по теории несущей линии [6].

Величину демпфирования короткопериодических колебаний определяли путем нахождения корней характеристического уравнения, соответствующего системе дифференциальных уравнений (1.12). Величину демпфирования короткопериодических колебаний можно определить, используя выражение (2.16) для параметра X, с помощью которого можно приближенно оценить влияние изгибных деформаций на величину т.Для жесткого летательного аппарата величина демпфирования короткопериодических колебаний равна

Вели считать, что влияние изгибных деформаций сказывается главным образом на величине ттгг, то, используя выражение (2.6) для величины демпфирования короткопериодических колебаний упругого летательного аппарата, получим

1 / йлл V , й.

22

-XV (3.2)

' 2 СЦ С22 )

На фиг. 3 приведена зависимость ^ = ^упр/^жест от скорости полета при различных углах стреловидности для хкр = хкр\1——0,63.

6—Ученые записки ЦАГИ № 4

81

На том же графике для углов стреловидности х = 0 и 60° приведены результаты расчетов по формуле (3.2), которые хорошо согласуются с результатами точного расчета.

Из приведенных результатов следует, что для прямого крыла существует г>кр—критическая скорость полета, при которой из-за влияния изгибных деформаций величина демпфирования — 0. Зависимость г^р °т расположения крыла по длине фюзеляжа представлена на фиг. 4. Для стреловидного крыла влияние приводит к резкому уменьшению величины демпфирования короткопериоди-ческих колебаний, но полной потери демпфирования, в отличие от прямого крыла, не наблюдается.

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров Г. В. Влияние деформаций конструкции самолета на его характеристики продольной устойчивости и управляемости. В сб. „Устойчивость, управляемость и динамика самолетов". Труды ЦАГИ, вып. 1098, 1968.

2. Roskam J. and Dustof A. A method for predicting lonqitudinal stability derivatives of rigid and elastic airplane. J. Aircraft, vol. 6, No 6, 1969.

3. An analysis of methods for predicting the stabilidy characteristics of an elastic airplane. NASA CR-73277, 1968.

4. Гроссман E. П. Флаттер. Труды ЦАГИ, вып. 284,1937.

5. Б и с п л и н г х о ф ф Р. Л., Э ш л и X., X а л ф м е н Р. Л. Аэроупругость. М., Изд. иностр. лит., 1958.

6. К о л и н И. В. Программа расчета аэродинамических коэффициентов деформированного крыла. Труды ЦАГИ, вып. 1422, 1972.

Рукопись поступила 161IV 1973 г.