CC BY
24
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2008, том 51, №8_______________________________
ФИЗИКА
УДК 534.16:535.341
Т.Х.Салихов, Д.М.Шарифов*, Х.Ш.Туйчиев**
ВКЛАД ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПОДЛОЖКИ НА ПАРАМЕТРЫ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ ФОТОАКУСТИЧЕСКОГО СИГНАЛА НЕПРОЗРАЧНЫХ СРЕД
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан Х.ХМуминовым 25.06.2008 г.)
Вторая гармоника (ВГ) тепловых волн в поле лазерного излучения генерируется благодаря наличию тепловой нелинейности среды [1-3]. Физически это связано с взаимодействием тепловой волны на основной частоте, генерируемой средой, с модулированной по амплитуде волной падающего излучения. Теория ВГ фотоакустического (ФА) сигнала, генерируемого непрозрачной и низко теплопроводящей средой при микрофонной регистрации, была развита в [4]. Оказалось, что амплитуда этого сигнала простым образом связана не только с теплофизическими параметрами буферного газа и образца и оптическими свойствами непрозрачного образца, но также и с температурными коэффициентами этих величин. Следовательно, целенаправленное экспериментальное исследование амплитуды этого сигнала позволяет получить чрезвычайно важную информацию о температурных коэффициентах теплофизических и оптических величин. В настоящей работе исследуется влияние температурной зависимости теплофизических параметров подложки на характеристики этого сигнала, причем значения коэффициентов теплопроводности образца к,, и подложки къ считаются произвольными.
Исходим из уравнения для нелинейной составляющей Ф2№(?, х), соответствующей второй гармонике ФА сигнала для газа (§), образца^) и подложки(Ь) [5]
д2Ф
£
<Эх2 хГ Ы 24 2* дх2 *<0) дГ *
----=--(д. ---------------------------------------------------------^2-—Уф* (*«)), ~/<Х<0, (2)
.2 т,(°) Я* „(°) Я*Л ^ "
■г 5
д2ф2МЪ _ 1 дФ2Щ =_}_,3 ____^^)(ф2 (х -(/ + /)<*<-/, (3)
9х2 х? & 2 дх2 х^Я
гдех(,0) — л',<0) /рс{р] - коэффициент температуропроводности; термические коэффициенты теплопроводности к(Г) и теплоемкости единицы объема Ср ={рср) определяются выражениями 5Ъ ~ (1 / ))(д/с1 / о Г), 8, -(1/С^у)(дС ./8Т); также справедливы равенства 8, =5и-(Зъ,
8и =(1 /срі)(дсрі /дТ), Д.. =-(\/р,!! )(др! /с'Т):і. В рассматриваемом случае, когда исследуемая система является сильнопоглощающей, линейные составляющие акустического колебания температуры в буферном газе, образце и подложке имеют вид [5]:
Фьв(х,а>) = еье-<т'х, Фи(х,со) = иье^ +Уье-°-х, Фьь(х,а>) = ЇГье*(**) (4)
0 10А(0) (Ь + Х)Є^-(Ъ-\)е-^ и 10А(0) | (1-я)©£
^ 2к(-)}ст, ^ + \)(Ъ + \)еа/-ф-\)^-\)е а/ ’ ь 4к10)сгх 2 ’
к(0)гт
которых СГ2 = іт/х?\ (Т, =(1 + 7)/д-, g = к(■)ag/к(■)as, а =м;\ Ъ - ^(0) & , ц. =(2^./®)1/2
- длина тепловой диффузии, А(Т0) - начальное значение величины поглощающей способности образца.
Введем функцию (7,х) = Ф2М (V, л) + 0,5<52гФ^. (7, х), для которой из (1)-(3) получим уравнение
&2 Л',101 в/ 2Х'0) д!
Учитывая, что Ф2Ь ~ Ф / ( со, л-) е хр( / 2о>!), в (7) положим 4У2( (/, „у) = ЧЛ, (<у, „у) ехр(/2о)1) и, используя обозначения сг^. = 2/ю(;^0))“\сг21. = (1+ /)//“*, где //2; =д./V2 - длина тепловой диффузии ВГ ФА сигнала, имеем
^ - ^2,Л^2, = ^ ^ <4®! (®, ■*), 0 = Я, я, Ъ). (8)
ах 2
Граничные условия на границе «образец-газ» (х=0) и «образец-подложка» (х = -I) имеют вид
Ф„,(й), 0) = Ф2д4(й>,0), ^‘гТ’Л' = 4і + <№Г)~‘ ^,0’/о<5,Фь (ю, *), (9)
(0)
дЧ'гДю,*)
к(г ’ дх дх
Ф <; Г, * Г-, Г, ^ пт
Ч-ФіШУ®? Ч ■> /т - — - 5 (Ю)
дх дх
где 8г-(\1А!'Т>){дА1дТ) - термический коэффициент поглощающей способности среды. Решения (8) для газа, образца и подложки можно представить в виде:
в
х¥2г(со,х) = 92Ще~ 28 +е 28 ч>ч(ю,х)-е 2ш мг2е(а>,х),
(11)
(®, х) = и2Ые^х + У2Ые~а^х + (со, х) - (со, X) (12)
Ц>2Ъ (со, х) - Жше^(х+1) +е”и(х+\ь (со, х)-е-СТи(х+1^2Ь (со, х) (13)
м>1 3(со,х) = к2з \е~°г‘хФ\&(со,х)с1х, ™2&(со,х) = |еСТ2^Ф 1е(в),х)с1х, (14)
™и(а,х) = Д2, 1(со,х)с1х м?2^(со,х) = ]>2^Ф2и(со,х)йх, (15)
м?1ь(со,х) = К2Ь \е^ь(х+пФ\ъ(со,х)с1х ч>2Ь(со,х) = К2Ь \е^ь(х+пФ\ъ(со,х)с1х, (16)
где К1г =0,25(8, -дъ)сг21, а 02ЛГ, и2н, У2ы и Ж2Ы - амплитуды, которые подлежат определению из условий (9)-(10). Подставляя Фь (х,со), Фи(х,со) и Фьь(х,<±>) в (11)-(16) и выполняя интегрирование, получим
(м\2 Т> (н) 2 /?
-(сг2„+2<т„)х , . 2^ -(2^-сг2й)х
(со,х) =---------------е~(еГ2^)х^2 (а>,х) =--------^(И)
Я (-2я+2-я) ' (2-,-^)
ТІ2 7ТТ V V2
М!и(С0,х) = -Д, Г-----^--е(^-^ +^У±е-^х +-^--е-«Г2,+2<г,)х^ (18)
(^~2^) <?2* (^+2^)
ТІ2 7ТІ V V2
14^ ((У, х) = і?2д--^--е(2-і+^)х ^----е(^-2^ (19)
(С72,+2^) ^2, ((72,-2^)
шт2к^
/ л Ь 2Ь -('<7л~-2<т~Ух+Л -и, /^ лЛ Ь 1Ъ (0'2<1+20';.)(х+1) /ол\
И'16(©,х)=—----------е 1 21 *л \^2ь(0),х)-—---------------е . (20)
(2аъ -<72Ъ) + &2Ъ)
Очевидно, что ВГ ФА сигнала может генерироваться тепловой волной на этой же частоте в буферном газе и описывается величиной Ф2Н (со, х). Из определения ЧЛ,, (со, х) и выражения
(11) видно, что для определения вида Ф2Н (со, х) достаточно получить соответсвующее выражение ЛИШЬ для ©2А-2 , поскольку другие функции, входящие в (11), определены выражением (17). Принимая, во внимание равенства <ть / сгх = ст2Ь / сг2х и Ь = к™*ь/к™<т,=к?><т2Ь/к?><т2, для определения 02А£ ИЗ граничных условий получим, системы алгебраических уравнений:
©2^ + ^ («,°) - ™2* (®,°) = и2Ы+У2Ы+ ^ (<и,0) - (<у,0) + 0,50" (82г - 8^)
№2Ы +™хъ(а)-1)-ч!2Ь(со-1) = 0.5(52Ь-8^1 +и2Ые-^ +У2Ые^1 +^(^-/)е“ст^-у»ъ(о)-1)еа^
и2ы -V2N+wJ0,ю) + w2s(0,6))-0M(0)I0S3®L(V(!>)У1 =Я[-®2^ + ^0,®) + м^(0,®)],
Щ ь К (о) + ч>2Ь (-/, т) = Ъ-\и2Ые^1 - У2Ыеа>; + м>и (-/, (6)еп^1 + м>ъ (-/, а>)еаг; ]. Используя обозначения
7 = (Ъ +1)(# +1) ехр(с72х/) -(Ь-1)(# -1) ехр(-сг2/), (21)
у /|(0)/Лй ?<7> + Г>
(0/,Х1-Я)-^(0,^ + 1) + 2^ь(0,®)-0.5(—Ш_(^ 1* (
0-1 ^ ^
у /)(0)//?(<) 2(7»
^ = (О,®)(г+1)+^(О,®Х?-1)-2^(О>®) + О.5(-^ + (^-^)01)+-^^(
о + 1 к)>аь о + 1
искомое решение можем записать в виде
©2Ж = ехр(-оУ) + 72 ехр(о-2х/)-4^2Ь(-/,<У)-Ч^2ь -^)^2)]-
Теперь можем определить величину акустического приращения давления на удвоенной час-
2
тоте, для чего необходимо провести усреднение величины Ф2Лг (а), х) = 4*2 (в), х) — 0,582зФЬ8 по толщине слоя 2пц2:[ :
О т
ф2 И = т° П!** Ф2ДГ И = ^гу- |ф2дг(^х)^х= 2ДГ . (24)
''ОО^ ОО^я 0 ОО^я
2^ 1 02 Здесь/2Л? = 0^^-0.5<52^/2+/3= | ехр(-сг2гх)й?х =-------------, Л~ ] =
о °"2г о ^-аг
2я^ 02^? 2гг^ 02Т^
Л = |ехр[(о-28х)]^18(<г1,х)с/х = --— ь 2&-, У4 = |ехр[(-<т2гх)]н'2г(®,х)й?г — 2|!
2ае{2сте+аЧ) * 8 8 2^(<т2в -2^)
Г00 = Т0 +©0, где Т0 - начальное значение температуры поверхности образца, а 0О- её приращение.
Выполним анализ выражения (24) для двух важных случаев.
1) Если образцы являются термически толстыми, тогда |сг/|»1 и справедливы следующие выражения &ь - /11А('"(2к['"а1^ + \)) 1, 1/ь=&ь,Уь= О,
. а <5,
02^ =К8(О,©)-и;і8(О,©)-2и;2ДО,©) + О.50і(^— + (5ч -32,),
Ф2н(2°>,1»М,) =
К® (/ »/и!,)ехр[/(й* - Зя74)],
К™ (I » и.) = л/2^з + (2 + л/2)-1 [2<^ -^ -л/2^ -232,],
(25)
совпадающие с результатами [4].
2) Для термически тонких образцов |сг/| ~ |сг2./|«: 1 и из (4)-(6), а также (21)-(23) следуют равенства:
Подставляя выражение (26)-(28), а также значения иуе (0, со), (0, о), ^ДО, со),
м-^ДО, (у) з м>и(—1,со), м>2х(-1,со) из (17)-(20) в (24), и выполнив арифметические вычисления, получим
Полученное выражение (29) показывает, что, как и в случае термический толстого образца, амплитуды ВГ ФА сигнала: 1) уменьшается с ростом частоты модуляции оптического излучения по закону со 312, а сдвиг её фазы равняется — Зтг/4; 2) квадратично зависит как от интенсивности падающего луча, так и от А(0). Подчеркнем существенное отличие выражения (25) от (30), соответствующие величинам нелинейного коэффициента К2Ы для двух предельных случаев, то есть // <к 1 и //Л / /» 1. Таким образом, обнаруживается, что наличие тепловой нелинейности подложки может существенно повлиять на амплитуду ВГ ФА сигнала. Подробному анализу этого влияния в зависимости от численного значения величин &^0),
(26)
(29)
К?'ф, I«//,) Ч)-'/2('/2Л.Ч)]+2>/2(&,Ч)+М,,
(30)
к6(0), Sg, S2g, 5b, 52Ь в широком интервале изменения оптических величин А(0), S3 (интегральные) и А(0)(Я) , 33(Л) (спектральные) будет посвящена отдельная работа.
Таджикский национальный университет, Поступило 25.06.2008 г.
Кохатский университет науки и технологии, KUST, Пакистан,
Физико-технический институт им. С.У.Умарова, АН Республики Таджикистан,
Таджикский государственный педагогический университет им. Садриддина Айни.
ЛИТЕРАТУРА
1. Gusev.V., Mandelis A., Bleiss R. - Int. J. of Thermophys., 1993, v.14, №2, p.321-337.
2. Peralta S.B., Al-Khafaji. H.H., Williams A.W. - Nondestr. Test. Eval., 1991, v.6, №4, p.17-23.
3. Mandelis A., Salnick A., Opsal.J., Rosenswaig A. - J.Appl.Phys., 1999, v. 85, №6, p.1811-1821.
4. Мадвалиев У., Салихов Т. X., Шарифов Д. М., Хан Н.А. - ЖПС, 2006, т.73, № 2, с.170-182
5. Салихов Т. X., Мадвалиев У., Шарифов Д. М., Туйчиев Х.Ш. - ДАН РТ, 2007, т.50, № 7, с.592-597.
Т.Х.Салихов, Ч.М.Шарифов, Х.Ш.Туйчиев ТАЪСИРИ ГАЙРИХАТТИГИИ ^АРОРАТИИ ТАКЯГО^ БА ПАРАМЕТР^ОИ ГАРМОНИКАИ ДУЮМИ СИГНАЛИ ФОТОАКУСТИКИИ МУ^ИТ^ОИ НОШАФФОФ
Таъсири гайрихаттигии хдроратии такягох ба параметрх,ои гармоникаи дуюми сигнали гайрихаттии фотоакустикй омухта шудааст. Барои лаппиши акустикии фишор дар басомади дучандаи модулятсияи нури афтанда ифодаи умумй х,осил карда шудааст. Нишон дода шуд, ки таъсири гайрихаттигии хароратии такягох ба амплитудаи сигнали гармоникаи дуюм дар мавриди аз чихдти термики тунук будани намуна, назаррас аст.
T.Kh.Salikhov, D.M.Sharifov, Kh.Sh.Tuichiev INFLUENCE OF THE THERMAL NONLINEARITY OF SUBSTRATE TO THE PARAMETERS OF THE SECOND HARMONIC OF PHOTOACOUSTIC SIGNAL OF THE OPAQUE MEDIUM
The influence of the thermal nonlinearity of substrate on the parameters of the second harmonic of the nonlinear photoacoustic signal of the opaque medium has been studied. General formula for the acoustic vibration of the pressure has been obtained. Shown that influence of the thermal nonlinearity of substrate on the amplitude of the second harmonic of the nonlinear photoacoustic signal for the thermal thin samples are considerably.
