CC BY
23
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2010, том 53, №5_________________________________
ФИЗИКА
УДК 535.21: 536.48: 538:953
Т.Х.Салихов, Д.М.Шарифов*, Х.Ш.Туйчиев **
ТЕОРИЯ ОСНОВНОЙ ГАРМОНИКИ НЕЛИНЕЙНОГО ФОТОАКУСТИЧЕСКОГО ОТКЛИКА ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ ОБЪЕМНОМ ПОГЛОЩЕНИИ ЛУЧА
Таджикский национальный университет,
Физико-технический институт им. С.У.Умарова АН Республики Таджикистан, Таджикский государственный педагогический университет им. С. Айни
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминовым 19.03.2010 г.)
Исследованы особенности формирования нелинейного ФА-сигнала твердыми телами, обладающими объемным поглощением, и обусловленного температурной зависимостью теплофизических параметров газового слоя, образца и подложки. Получено общее выражение для нелинейного акустического составляющего колебания давления в газовом слое. Конкретные вычисления проведены для термически тонких непрозрачных образцов и показано, что для этого случая параметры нелинейного ФА-сигнала определяются температурами облучаемой поверхности и ее тыловой стороны, а также термическими коэффициентами образца и подложки.
Ключевые слова: фотоакустика - тепловая нелинейность.
Очевидно, что в зависимости от длины волны падающего излучения и спектра поглощения исследуемой системы величина коэффициента поглощения [ этой системы может иметь существенно различные значения. Благодаря этому при проведении ФА-экспериментов могут реализовываться как случаи поверхностного, так и объемного поглощения. Теория генерации нелинейного фотоаку-стического (ФА) отклика в твердых телах для случая поверхностного поглощения была предложена в [1,2]. Настоящая работа посвящена построению теории генерации основной гармоники нелинейного ФА-отклика для случая объемного поглощения падающего луча и обусловленного температурной зависимостью теплофизических параметров всех составляющих слоев ФА-камеры: газового слоя (g), образца (s) и подложки (b). Подчеркнем, что в [3] эта задача была решена для низкотеплопроводящих систем где влиянием подложки было пренебрежено.
Для нелинейного акустического поля Ф1№, соответствующего основной гармонике ФА-сигнала, справедлива система уравнений [4]:
Адрес для корреспонденции: Салихов Тагаймурод Хаитович. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр.Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. Е:таіІ: [email protected]
а2 ф
1 дФ
Ш'
ах2
х
(0)
ді
= -(*
а2
2' дх2
5* _а
X™ ді
)(А(х)ф ь (хі)), -1 < х < 0
(2)
д2 Ф
1М
дх2
}_аф^ = -(§2Ъ -А. д_)(Т0Ь(Х)ФЬЬ(х,і)), -Ц' + ¡Ь)<х<-. (3)
хГ ді
дх2 хЬ ’ ді
Здесь х(0) = ^(0) / С(0) - температуропроводность слоев, /' = Я, 5, Ь, где ?^0) и С(0) = Р(0)с(°)
- начальные значения коэффициента теплопроводности и теплоемкости единицы объема соответствующих слоев; ¿-, ¿2; - термические коэффициенты этих величин; Ф^ (х,ю) = ®£е °еХ,
Ф^(х,ю) = ^Ьеаь(х+1), Ф^(х,ю) = иьеа*х + ^е —Ee^-линейные составляющие ФА-сигнала, а
и = ^ /А, V = Д2/А, А = [(^ + 1)(6 + 1)е^' —^—1)(6 — 1)е^'], Д = Е[(я + г)(Ь + 1)е"ь' —(я — 1)(Ь—г)е^], А2 = Е[(я + 1)(Ь —г^3 —(Ь — 1)(я + г)е-^1 ], Е = 0.5До[*.(70)03 — ^; Т,(х) = ¿2,^(х) - стационарные температурные поля [5], определяемые выражениями я (х) = 1 + А (1 — х1 % 1)| — 1,
8.
Xх) “і1 + ВЬ(1 + (х +1 )1Ь ^ -1,
8.
в (х) ~\Рі + - Аь + А(1 - Е0)]ХІ 1 + А[1 - exp( Р Х)]} - 1 :
г = *а—1 , Е0 = exp(—/31) ; /0 - интенсивность падающего луча, ©0 и Ж0 - приращения температуры облучаемой поверхности образца и ее тыловой стороны, А =^© (2 + ^© ), А =^©о (2 + ^©),
ВьЬ = ¿^(2 + $2Ю , ^Ь =« (2 + £^), А =¿25 А/о/ 3^(0), А = 1 + А + А.
Из (1)-(3) для функции ^ (х,?) = Фш(х, ?) + ¿Тг (х)Фг (х,?) получим систему уравнений:
1№
1 дТ
1№
дх2
хГ ді
ді
х;
(0)
(То,(х)Фь,(хі)), і = 8,'Ь .
(4)
При этом граничные условия, соответствующие условиям непрерывности температуры и тепловых потоков на границах образец - газ и образец - подложка, примут следующий вид
ФШ, (^°) = ФШ8 (^°) ,
дТ,
дх
к*(0) дТ
к(0) дх
х=0 8
(5)
х=0
ФШ'(і, -1) = ФШЬ (і, - 1)
дТ
1Ь
дх
к
(0)
дТ
к(ь0> дх
(6)
Принимая во внимание, что ФЬі(х,і) = Фіг(х,ю)єш, положим Фш(х,і) = Фш(х,а>)єш и тогда систему (4) можно переписать в виде
йхг
- Т1, = (ду - ^2, )Т0, (х)Фь, (х,^) , І = 8, ', Ь
(7)
х
х
где G2 = iœlZ(0). Используя обозначения Ru = 0,5£2/g; (£г -ô2i) и
Sig (Х) = Jgg (Х)ФLg (X, ®)e ^S*dx , S2g (x) = Jgg (Х)ФLg (X> ^)eGXdx Sis (X) = JSs (x)^^Ls (x,^)e-G^dx , S2s (X) = JSs (Х)ФLs (x,®)eGXdx
Sib (x) = Jgb (x)ФLb (x,®)eG(x+')dx , S2b (x) = Jgb(x)ФLb (x,a)eGb(x+l)dx ,
решение (7) можно записать в виде
^ =®NT‘V + Rig^ig (x)ev-R?gS2g (x)e G , (8)
Ÿn = UiNe°sX +VweG + RisSis(x)eGsX -RisS2s(x)eG, (9)
= V*(x+/) + RibSib(x)eGb(x+l) -RxbS2b(x)e-Gb(x+l). (10)
Амплитуды ©1JV, , Vat и ^1JV, входящие в (8) - (10), могут быть определены из системы
алгебраических уравнений
©in + ^Ig (Sig (0)-S 2g (0))-gg (0)0Lg (0,ffl) = UiN + Vin + ^ [^ (0)-S 2s (0)]-(0)0Ls (0,®), g[Rg [Sig (0) + S2 g (0)] - © Ni] = UiN - Vin + Ru [Sis (0) + S 2s (0)] ,
UweG + VweGsl + Ris [Sis (-1)eG - S2s (-1)eGsl ] - gs (-1Ф (-1, ®) =
= WiN + Rib [Sib (-l) - S2b (-1)] - Sb (-1)ФLb (-1, ®)
UlNe-Gsl - VmeGsl + Ris [Sis (-l)eG + S2s (-l)eGsl ] = b[WiN + Rib [Sib (-l) + S2b (-l)]] ,
следующих из четырех граничных условий (5) и (6). Ввиду того, что ФА-сигнал детектируется в газовом слое, вполне достаточно определить лишь величину ©ш, для который из решений вышеприведенной системы алгебраических уравнений будем иметь
©iN =A-i{[(b + i)eGsl -(b-i)eG]Ÿi + 2^2 + [eGsl(b + i)(g + i)-eG(b-i)(g-i)]Ÿ3>, (ii)
где : Ÿi = Ris [S2s (0)(g - i) - Sis (0)(g + i)] + 2gRgSig (0) + g[gs (0)ФLs (0) - gg (0^ (0)],
Ÿ2 = Rs [(1 - b)Su (-l)e+ (1 + b)S2s (-l)eas ] + b[g' (-і)Ф^ (-/) - gb С-1)фLb (-l)] - 2ЯЛ (-0,
Ÿ3 = Ris [Sis (0)- S2s (0)]-Rig [Sig (0)- S2 g (0)]- g s (0)Ф Ls (0) + g g (0)ФLg (0) . Нетрудно заметить
что Ф„ (0) = Ф]^ (0) = ©L, Ф^ (-l) =фд (-l) = UeGsl + v/sl-Ee-^l= W, gg (0) = -i = J2g ©0, g, (0) ЧА
gs (_l ) = ^2,W0, gb (-l) = Vi + Db -i =^2bW0.
Подстановка Фи (х) в соответствующие выражения *1г- (х) и *2г- (х) приводит к необходимости вычисления интегралов типа / (х) = ^ у/\-—АхЛетйх, являющихся родственными эллиптическим. Для вычисления подобных интегралов воспользуемся малостью величин Аг (1 + А ) Чх /1 < 1
и, выполнив разложение подкоренных функций в ряд, ограничимся первыми двумя слагаемыми. В результате вычислений для этих функций будем иметь следующие выражения:
© /------ А 1
*1,(х)[1-л/! + А + 2, /,8+д (х + —)]exp(-2ст,x).
Я2, (х) = —[^ (1 + АГ)[,
Аях
(1---------я-)3 — 1] + х]©,
( (1 + А )Г ] ] 1
S1I (х) = и, 1 В1п [ х + А. — — ] — х 1+ ] 1 — В"2-----(х + —)-------------------------------е 2о,х
ь 11 2 4В2 / 2В23 ] 2ст, | 2 2В\ I 2а/ В"2(0 — 2ов)1
_Х_ и-—,+_^{х—-^ьВЗЪ)?-
3 — а, I 2 2В"2/' 3 — а,' 20;'2(23 — Ъ,)
х
у/2—!+05А( х—_Ц__________Аъе3 I е2:ы+V 1(А1/2—1) х +Ах1—Ае3_
2 А2п! 2ъ А1/2(3 + 2ъ) 1 2ъ 11( 2 ) 4А1/21 2А1/23
2А1,2Г 3 + а/ 2А2,2(Ъь + 23) I (ъ + 3)
^ъ (х) = 1|^ (1 + В )3/2[^
(1 — Щх+Оу — 1] — х,_
( (1 + В X 1 "
Ж I------- В 1
^2Ъ (х) ~ Ж ^1 + ВЬ — 1 + (х + 1 — ~-)] еХР(2Ъ (х + 1)) .
2ъь 21^ 1 + Въ 2ъь
Здесь использованы обозначения А3 = — АьЬ + Д(1 — Е0).
Соотношение Фш(х,/) = ¥1г (х,/) — 5г Т (х)Ф1г(х,/) совместно с выражениями (8) и (11) позволяет
определить величину Ф (х ю), а затем и 8рш (ю) - нелинейного составляющего акустического
Шя
возмущения давления, для чего необходимо произвести усреднение Фщ, (х, ю) по толщине теплового поршня 2лц:
2л/ля
¿Рш (ю) = °Т1 я Ф^Я (ю) = ^ {Фшя (х,ю¥х .
Благодаря тому, что толщина слоя 2жмш является достаточно тонкой, функции ^ (х), (х)е2ъх, *2 (х) становятся плавными и это позволяет воспользоваться приближением
2пцп
| / (х)ехР( —Ъх)йх * /(О)ъ^1 при вычислении интегралов. Выполнив эти вычисления, будем
о
иметь
¿Рш (ю) = ■1Ур) [©ш — 0 25©0©, (¿g + ^2я )]. (12)
Т01Ъ&
Выражение (12) совместно с (11) являются искомым решением сформулированной задачи. Выражение для ©ш является весьма громоздким. С другой стороны, в зависимости от толщины образца /, длины тепловой диффузии и длины пробега фотона Мр = 3 1 возможны реализации различных вариантов в эксперименте. В данной работе будем рассматривать случай непрозрачных (31 >> 1) и термически тонких (I << ¡и$) систем, который является наиболее интересным. Принимая
во внимание то, что при этом справедливы соотношения I << Мь , Мь >>Мр, ехр(—3/) * 0, ехр(±Ъ/) * 1 и |г| >> 1, будем иметь
_(г — ъ)Е и _г(ъ +1)Е у г(1 — Ъ)Е ж _ гЕ
ь я + Ъ ’ , 2Ъ ’ , 2Ъ ’ 1 Ъ '
Из выражения (11) видно, что для определения ©ш необходимо знать вид ^, ^2, . Функ-
ции, входящие в (11), примут следующий вид
^ (1 - £і1'2 - 1_£і_) ~ ^ (-^ © - —С ( ¡) = ^26^0^1
2а, (1 - 4 РТ 1а. ’ 2с. ( ©0 4 ¡ст/' Х-Ь(-) = 2а.
в -і.^2 в в в Ь
Х 2 в (0) - ^ (¿-в © О-1 ^), А = ^2в © 0(2 + ^2в © 0)-^(2 + ^) - -¿-в (® 0 ^0),
2св 4 ¡ав
и, + V, = Ег/Ь, иь-V = -Ег, Х-,(-¡) - ^[Р—-1- — ——й3—]
2ав 4 ¡ав
лі/2 1 В3 і V !/2 1 В3 , Уь (©о ^о)^2'-
_ї+о[1-В ¡о;1 -о[д'2'0о+—2Ї0—
Х-в (-¡)-Х—в (-¡) = -^ ^ ^ ^ (-¡) + Х—в. (-¡) = (Р2/2 -2) & й3&
2а, Ъ 8<ъ I 2а, Ъ 8<ъ 1Ъ
Тогда будем иметь выражения
8 -8 I « = -—-¡0,
1 -1
21а. Ь
К I
0 }Ег,
2а, 1Ь
= 8)г0о0, ^-ВД^-1] + 0о01 ^ -8 - V8],
3 4(г - Ь) 2а; 2а I 2 4
^ = ЬКК,8 -8„ -8ь^] Л8-^[00 -0-^) + [0-^-0^]}ег.
2 [ 4 2Ьlаs 4 21а, Ь \
Подставляя эти выражения в (11) и выполнив соответствующие вычисления, получим
0Ш = 0Ь 0 [°-25(8? -82, -82я + 8g ) + 82§ 825 ] + К0 [82, -82Ъ + 05(82Ъ - 8Ъ ]}• (13)
Формула (13) совместно с (12) позволяет получить искомое выражение
8р>1Ы (®) _ 8Рь (4К1(1)0О + К1(2)К0 ] для нелинейного ФА- сигнала на основной гармонике, где
8р,(«) = 1^, К«1) =00[о.25(85 -82,)-82,], Кю = КО[82, -0.5(8ъ +82ъ]• (14)
Т а„
В (14) величины К1(1) и К1(2) являются комбинацией термических коэффициентов. Видно,
что характеристики генерируемого нелинейного ФА-отклика для данного случая связаны как с температурой освещенной поверхности и ее тыловой стороны, так и с величинами термических коэффициентов образца и подложки.
Поступило 20.03.2010 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мадвалиев У., Салихов Т. X. и др. - ЖПС, 2006, т.73, №2, с.170.
2. Салихов Т. X., Шарифов Д. М., Туйчиев Х.Ш. - ДАН РТ, 2007, т.50, №7, с.592-597.
3. Мадвалиев У., Салихов Т. X., Шарифов Д. М. - ЖТФ, 2006, т.76, в.6, с.87-97.
4. Rosencwaig А, ОегеЬо А. - I. Арр1. РЬу8., 1976, V. 47, №1, рр. 64-69.
5. Мадвалиев У., Салихов Т.Х., Шарифов Д.М. - ЖТФ, 2004, т.74, в.2, с.17-23.
4
ТД.Салихов, 4-М. Шарифов*, ^.Ш.Туйчиев**
НАЗАРИЁТИ ГАРМОНИКАИ АСОСИИ СИГНАЛИ ГАЙРИХАТТИИ ФОТОАКУСТИКИИ ЧИСМ^ОИ САХТ ^АНГОМИ ФУРУБАРИИ ^А^МИИ НУР
Донишго^и миллии Тоцикистон,
*Институти физикаю техникии ба номи С.У.Умарови Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон, **Донишго%и давлатии омузгории Тоцикистон ба номи С. Айни
Хусусиятх,ои ташаккулёбии сигнали гайрихаттии фотоакустикии чисмх,ои сахти дорои фурубарии хдчми дошта, пайваста ба аз хдрорат вобаста будани бузургих,ои гармофизикии кабати газй, намуна ва такяго^ омухта шудааст. Барои кисми гайрихатии лапиши фишор дар газ ифодаи умумй хосил карда шудааст. Х,исобкуних,ои мушаххас барои мавриди намунах,ои тунуки термикй гузаронида мукарар карда шудааст, ки параметрх,ои сигнали гайрихаттии ФА аз х,ароратх,ои сатх,и равшаншаванда ва тарафи акси он ва инчунин аз коэффисиентх,ои термикии намуна ва такягох, вобастаги дорад.
Калима^ои калиди: фотоакустика - гайрихатии %ароратй.
T.Kh.Salikhov, D.M.Sharifov*, Kh.Sh.Tuichiev*
THE THEORY OF FUNDAMENTAL HARMONIC OF THE NONLINEAR PHOTOCOUSTIC RESPONSE OF SOLIDS AT THE VOLUME ABSORPTION BEAM
Tajik National University,
S.U. Umarov Рhysical-Technical Institute, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan,
S.Aini Tajik State Pedagogical University The specific features of the formation of the nonlinear PA-signal by the solids which having volumetric absorption and due by temperature dependence of the thermal f parameters of gas layer, sample and a substrate are investigated. General expression for nonlinear acoustic making fluctuation pressure in a gas layer has been obtained. Concrete calculations it is carried out for thermal thin opaque samples and it is shown, that for this case parameters of a nonlinear PA-signal are dependence from the temperatures of illumination surface and its back side, and also thermal coefficients of the sample and substrate.
Key words: photoacoustic - thermal nonlinearity.
