Динамическое гашение колебаний: введение дополнительных связей, рычажные взаимодействия и физические эффекты Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Оригинальная статья / Original article УДК 531.3:007, 534.014, 621.802, 62.752 DOI: 10.21285/1814-3520-2017-1-10-23

ДИНАМИЧЕСКОЕ ГАШЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ: ВВЕДЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ СВЯЗЕЙ, РЫЧАЖНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И ФИЗИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ

© С.В. Елисеев1, В.Б. Кашуба2, Н.Ж. Кинаш3, А.В. Елисеев4

14

, Иркутский государственный университет путей сообщения, Российская Федерация, 664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15. 2Братский государственный университет, Российская Федерация, 665709, г. Братск, ул. Макаренко, 40. 3Московский инженерный центр Московской железной дороги - филиала ОАО «РЖД», Российская Федерация, 107996, г. Москва, ул. Новорязанская, 17.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ статьи заключается в разработке метода построения математических моделей объектов машиностроения, которые находятся под действием вибрационных возмущений, при обеспечении возможностей динамического гашения колебаний одновременно по нескольким координатам. МЕТОДЫ. Используются структурные методы математического моделирования, в рамках которого расчетной схеме объекта в виде механической колебательной системы с несколькими степенями свободы сопоставляется эквивалентная в динамическом отношении структурная схема системы автоматического управления. Используется аппарат передаточных функций, обеспечивающий учет конструктивно-технических особенностей объекта, а также особенности силовых возмущений. РЕЗУЛЬТАТЫ. Показано, что введение в структуру механической колебательной системы рычажных связей в точках контакта с опорной вибрирующей поверхностью на определенных частотах обеспечивает эффект «блокирования» внешних сил и динамическое гашение колебаний одновременно по нескольким координатам. ВЫВОДЫ. Предложен метод построения математических моделей и оценки динамических состояний в задачах поиска и разработки способов и средств вибрационной защиты для объектов с несколькими степенями свободы.

Ключевые слова: структурная математическая модель, передаточная функция, динамическое гашение колебаний, динамическая жесткость.

Формат цитирования: Елисеев С.В., Кашуба В.Б., Кинаш Н.Ж., Елисеев А.В. Динамическое гашение колебаний: введение дополнительных связей, рычажные взаимодействия и физические эффекты // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 1. С. 10-23. DOI: 10.21285/1814-3520-2017-1-10-23

DYNAMIC DAMPING OF OSCILLATIONS: INTRODUCTION OF ADDITIONAL TIES, LEVER INTERACTIONS AND PHYSICAL EFFECTS S.V.Eliseev, V.B. Kashuba, N.Zh. Kinash, A.V. Eliseev

Irkutsk State Transport University,

15, Chernyshevsky St., Irkutsk, 664074, Russian Federation.

Bratsk State University,

1Елисеев Сергей Викторович, доктор технических наук, профессор, директор Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, главный научный сотрудник, e-mail: [email protected]

Sergey V. Eliseev, Doctor of technical sciences, Professor, Director of Scientific and Educational Center of Modern Technologies, System Analysis and Modeling, Chief Researcher, e-mail: [email protected]

2Кашуба Владимир Богданович, кандидат технических наук, доцент, проректор по учебной работе, e-mail: [email protected]

Vladimir B. Kashuba, Candidate of technical sciences, Associate Professor, Vice-Rector for Academic Affairs, e-mail: [email protected]

3Кинаш Никита Жданович, начальник отдела экспертизы и мониторинга внедрения технологий и инноваций в проекты, e-mail: [email protected]

Nikita Zh. Kinash, Head of the Department of Expertise and Monitoring of Technology and Innovation Implementation in Projects, e-mail: [email protected]

4Елисеев Андрей Владимирович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, e-mail: [email protected]

Andrey V. Eliseev, Candidate of technical sciences, Senior Researcher of Scientific and Educational Center of Modern Technologies, System Analysis and Modeling, e-mail: [email protected]

40, Makarenko St., Bratsk, 665709, Russian Federation.

Moscow engineering center of the Moscow railway - branch of JSC «RZD»,

17, Novoryazanskaya St., Moscow, 107996, Russian Federation.

ABSTRACT. The PURPOSE of the article is to develop a method for the construction of mathematical models of engineering objects affected by vibration excitation taking into account ensuring of dynamic damping of oscillations simultaneously by multiple coordinates. METHODS. The study uses structural methods of mathematical modeling. The last allows to compare a design model of an object in the form of a mechanical oscillatory system with multiple degrees of freedom and a dynamically equivalent structural scheme of an automatic control system. The transfer functions tools are used to take into account constructive and technical features of the object as well as the features of force excitation. RESULTS. It is shown that lever ties being introduced in the structure of the mechanical oscillatory system at the contact points with the supporting vibrating surface at certain frequencies provide the effect of external force "blocking" and d y-namic oscillation damping simultaneously by several coordinates. CONCLUSIONS. The method of mathematical model construction and dynamic state estimation in the problems of search and development of methods and means of vibration protection for the objects with multiple degrees of freedom is proposed.

Keywords: structural mathematical model, transfer function, dynamic oscillation damping, dynamic stiffness

For citation: Eliseev S.V., Kashuba V.B., Kinash N.Zh., Eliseev A.V. Dynamic damping of oscillations: introduction of additional ties, lever interactions and physical effects // Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2017, vol. 21, no. 1, pp. 10-23. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2017-1-10-23

Введение

Способы и средства изменения динамических состояний технических объектов достаточно разнообразны и определяются спецификой решаемых задач и особенностями защищаемых от вибраций оборудования, приборов и аппаратуры. Элементами механических колебательных систем, рассматриваемых в виде расчетных схем или физических моделей объектов машиностроения, чаще всего выступают массоинерционные элементы, упругие звенья (пружины), рессоры, подвески, амортизаторы, демпферы, гасители колебаний различных типов и более сложные устройства, имеющие системы управления [1-4]. В последние годы в теоретических и прикладных разработках внимание уделяется поиску и разработке новых технических средств с применением различных механизмов и устройств для преобразования движения [5-8]. Усложнение конструктивных технических форм систем вибрационной защиты инициирует использование аналитического аппарата, методов теории цепей, теории автоматического управления и мехатроники, что нашло отражение в работах по использованию идей, основанных на динамических и электромеханических аналогиях. В работах [9-11], посвященных развитию методов структурного математического моделирования, показаны возможности построения математических моделей, ориентированных на детализацию представлений об особенностях динамических взаимодействий элементов механических систем (МКС), в составе которых находятся различного рода механизмы, устройства для преобразования движения и передачи энергии [5, 11, 12]. Большой интерес в задачах динамики технологических вибрационных машин и транспортных средств различного назначения связан с разработкой идей динамического гашения колебаний, поиском рациональных форм использования новых динамических эффектов с приложениями в различных отраслях техники. Различные варианты построения динамических гасителей колебаний нашли отражения в ряде публикаций, ориентированных на применение новых конструкционных материалов, в том числе с управляемыми упруго -диссипативными свойствами [13, 14]. В меньшей степени разработаны вопросы, связанные с расширением методологических позиций в задачах динамического гашения колебаний с учетом специфики динамических состояний объектов с несколькими степенями, что особенно характерно для вибрационных технологических машин, снижения вибраций для крупных энергетических установок, строительно-дорожных машин и транспортных средств.

В предлагаемой статье рассматриваются возможности построения структурных математических моделей для объектов с двумя степенями свободы, в которых режимы динамического гашения обеспечиваются за счет введения и использования дополнительных связей, реализуемых рычажными механизмами.

Постановка задачи исследования Некоторые общие положения. Технический объект на подвижном основании рассматривается в виде твердого тела с массоинерционными параметрами Ми J (М - масса объекта, J - момент инерции относительно центра тяжести в т. О), что отражено на рис. 1.

Рис. 1. Расчетная схема механической колебательной системы Fig. 1. Computational scheme of a mechanical oscillation system

Твердое тело опирается на упругие элементы с жесткостями к2 (рис. 1) в тт. А и В и одновременно на рычаги в виде жестких невесомых стержней, имеющих точки поворота А2. На концах стержней имеются дополнительные сосредоточенные массы т: и т2. Объект, как твердое тело, опирается на рычаги в тт. А и В, где также закреплены и упругие элементы с жесткостями к2. Центр тяжести объекта определяется длинами плеч /10, /2о. Упруго-рычажные опоры, как показано на рис. 1, имеют длины плеч /:, /2, /3, /4. Предполагается, что система обладает линейными свойствами при отсутствии сил сопротивления и совершает малые колебания относительно положения устойчивого равновесия по координатам у:, у2 и у0, Ф, связанным с неподвижной системой отсчета.

Положение дополнительных масс на концах рычагов т:, т2 определяется координатами у[, у'2 и углами поворота и ф2 соответственно. Внешние возмущения в системе (рис. 1)

рассматриваются в виде вибраций основания г((), а также в виде сосредоточенной силы приложенной в т. А, движение которой определяется координатой

Между координатами системы и ее параметрами имеются следующие соотношения:

Уо = ОУг + ф = С ■ (у2 - у,); у = Уо - 110Ф; у2 = Уо + (1)

I I 1

где а = —20—; Ь = —10—; с =

l10 ^ l20 l10 ^ l20 l10 ^ l20

Введем передаточные отношения рычажных связей в виде:

i = II- i = l±- i = A0 (2)

'l , - l2 , - '0 , • (2)

l3 l20

При рассмотрении кинематического возмущения со стороны опорной поверхности гЦ) объект защиты (и система в целом при = 0) участвуют в двух движениях: переносном - по закону г(() и относительном (объекта защиты вокруг т. О и рычагов с массами т:, т2 относительно точек А2 соответственно). Параметры движения массоинерционных элементов для оценки кинетической энергии определяются в абсолютном движении, которое является суммой переносного и относительного движений. Таким образом, с учетом (1) получим:

y _Z

y = fall + , y" = _фг12, y" = _i (y _ z);

ч

y _ Z

У2 = Ф4ъ + ZA =—}—, у2 = _Ф4А , У2 = (y2 _ z)

l3

(3)

Для определения кинетической и потенциальной энергий найдем параметры абсолютного движения:

К = У"+ i = ~{Уг - z)h = -УА + z0 +h)'

(4)

Уш2 =У"г+2 = -(Уг- *) h = -У A +z{l + i2).

(5)

Используя (1)-(5), можно записать необходимые для получения дифференциальных уравнений движения выражения кинетической и потенциальной энергий (Т и П).

Задача исследования заключается в разработке метода построения математических моделей для систем, имеющих объект, взаимодействующий не только с обычными элементами, но и с рычажными механизмами при различных видах внешних возмущений.

Построение математических моделей. Рассмотрим на предварительном этапе случай силового возмущения по координате у (01 Ф 0, z(t) = 0).

Запишем выражения для кинетической и потенциальной энергий в системе координат

У1, У2:

Т = \М (аУг +ЪУг У + \jc2 (У 2 ~ Л У +1Щ1У? +' \ тЛУг i

(6)

П = 1 Ку1 + \ k2 y22.

(7)

Уравнения движения получим на основе уравнений Лагранжа второго рода [2]:

(Ма2 + Л2 у +у1к1 + (МаЬ-Л2у у2 =(у>;

(8)

(Mb2 +Jc2+ m2q У у2+ у2к2 + (МаЬ -,/<г)-у =0

(9)

Применяя преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях и полагая, что 0^) является гармонической функцией, представим уравнения (8) и (9) в операторной форме:

y•[(Ma2 + Jc2 + mj2 )• p2 + k + y2-(Mab _ Jc2 )• p2 = Q;

(10)

y2-[(Mb2 + Jc2 + щ] )• p2 + k2 + y-(Mab _ Jc2 )• p2 = 0,

(11)

где р = ]ш - комплексная переменная (] = значок (-) соответствует изображению переменной по Лапласу [5]. В табл. 1 приведены коэффициенты уравнений (10), (11).

Таблица 1

Коэффициенты уравнений (10), (11) в координатах у1, у2 при силовом возмущении

в операторном виде

Table 1

Coefficients of equations (10), (11) in y1, y2 coordinates under force excitation _in an operator form_

an a12

(Ma2 + Je2 + mjl ) p2 + k (Mab - Je2 ) p2

a21 Э22

(Mab - Je2 ) p2 (Mb2 + Je2 + mjl ) p2 + k2

Обобщенные силы / Generalized forces

0

Структурная математическая модель исходной системы на рис. 1 может рассматриваться как структурная схема эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления [5, 15]. Структурная схема состоит из двух парциальных систем; межпарциальные связи соответствуют инерционному типу динамических взаимодействий.

Рис. 2. Структурная схема исходной системы (на рис. 1) в системе координат уи у г

при силовом внешнем возмущении Fig. 2. Structural scheme of the original system (Fig. 1) in the coordinate system y1, y2

under external force excitation

Передаточные функции системы, как это следует из структурной схемы на рис. 2, определяются выражениями:

W( Р ) = А =

j (Mb2 + Je2 + mil ) p2 + k2

A ( Р )

W (p )_ Q _ A (p )

(12) (13)

где A0(p) - характеристическое частотное уравнение системы

A(p)_^[Ма2 + Je2 + mjl)p2 + k •[(-Mb2 + Je2 + m2i2)p2 + k2 -[(Je2 -Mab)p

(14)

Передаточная функция межпарциальных связей при силовом внешнем воздействии 01 имеет вид

2

2

W ( P ) = ^ =

( Je2 -Mab ) p2

y1 (Mb2 + Je2 + mf2 ) P2 + к

(15)

Передаточные функции (12), (13), (15) используются для определения частот динамического гашения колебаний и оценки динамических взаимодействий системы по отношению координат у1, у2. В данном случае при силовом возмущении 01 по координате у1 на частоте

о2 =_k_

1дин Mb2 + Je2 + mjl

(16)

возникает режим динамического гашения колебания по координате у. Физическая интерпретация динамического гашения колебаний рассматривается обычно через условие квазистатики, которое формируется на основе принципа Даламбера, хотя возможны и другие подходы, связанные со структурными представлениями о математических моделях динамических взаимодействий [9].

Особенности математической модели системы с рычажными механизмами при кинематических возмущениях по координатам у\, у2. Используя соотношения (1)-(5), запишем выражения для кинетической и потенциальной энергий при г(() Ф 0 = 0):

Т = -М (ау + Ъу2 )2 +1 Л2 (у2 - у )2 + [-уд + г (1, +1)]2 + ~ т2 [~у2г2 + г (/2 +1)]2; (17)

П = 1 ki )2+1 ki (^2)2 = 1 kill

( y-z ) 2 +—kJ, ( У2 z )

l_ l J 2 23 [ / J

= 1к1 ( У - Z )2+ 1к2 ( У2 - Z Г

(18)

После соответствующих преобразований в табл. 2 приведены коэффициенты уравнений движения системы в операторной форме в координатах y, y2 при кинематическом возмущении z .

Таблица 2

Коэффициенты уравнений движения системы в координатах yi, y2 при кинематическом внешнем возмущении

Table 2

Coefficients of equations of system motion in the coordinates y1, y2 under kinematic external excitation

2

Э11 812

(Ma2 + Je2 + m^2 ) • p2 + k (Mab - Je2 ) p2

821 Э22

(Mab - Je2 ) p2 (Mb2 + Je2 + m2i2 ) • p2 + k2

Обобщенные силы / Generalized forces

Q1

z i (i+1) mp2+k Z [[ (i2 +1) mp2 +k2 ]

Кинематическое возмущение в системе, как это следует из табл. 2, формирует силовое воздействие одновременно по двум координатам у, у2, что предопределяет использование

принципа суперпозиции для определения передаточных функций. Структурная схема системы при кинематическом возмущении приведена на рис. 3.

Рис. 3. Структурная схема исходной системы (на рис. 1) в системе координат y1, y2 при кинематическом внешнем возмущении со стороны опорной поверхности Fig. 3. Structural scheme of the original system (Fig. 1) in the coordinate system y1, y2 under kinematic external excitation of the supporting surface

Используя структурную схему на рис. 3, найдем передаточные функции системы при кинематическом возмущении:

W( p )=4 =

[(Mb2 + Jc2 + mjl) • p2 + k2 ] • [i (i +1)mp2 + k ] -y _ + [(Mab - Jc2) p2 ] •[i2 (i2 +1) m2p2 + k2 ]

A ( p )

(19)

W2( p ) = в =

[(Ma2 + Jc2 + mi2) • p2 + k ] • [i2 (h +1)mp2 - k ] -y + [(Mab - Jc2)p2 ] • [i (i +1)mp2 + k

A ( p )

(20)

где А0(р) является характеристическим частотным уравнением системы, определяемым выражением (14).

Передаточная функция межпарциальных связей имеет вид

W' (p) = У2 = aiA + ai2R2

y a22 R2 + a21R1

(21)

где з11, з12, з21, з22 - определяются из табл. 2; параметры соответственно имеют вид:

Я = \ +1) тр + к1; (22)

R2 = i2 (i2 +1) mp2 + k2*

(23)

Сравнение табл. 1 и 2 показывает, что коэффициенты уравнений движения в операторной форме не изменяются при вариациях внешних воздействий, но правые части уравнений (обобщенные силы) претерпевают существенные изменения.

Особенности динамических свойств исходной системы при кинематическом возмущении. При рассмотрении передаточных функций системы р) и Ж"(р) можно

сделать вывод о том, что кинематические возмущения ^ по входам в парциальные системы с координатами у, у2 могут быть «блокированы». В данном случае при частотах, определяемых выражениями:

kL ^ h (hi +!) Щ

®120Дин =.,. Дч ; (24)

<ин = ..,.Лч... > (25)

h2 (h2 + 1) m2

и кинематических возмущающих факторах возможна реализация режима динамического гашения колебаний при условии совпадения частот гц20дан и ®20дан ■

В общем случае из дробно-рациональных выражений (19), (20), числитель и знаменатель которых представляют собой многочлены четвертого порядка с четными степенями, можно предположить возможность существования движений, когда динамическое гашение колебаний как по координате у, так и по координате y2 будут происходить одновременно. Если полагать, что выполняется одновременно условие R1 = R2 = 0, то передаточная функция (21), отображающая рычажные взаимодействия между движениями по координатам y2 и y1, дает неопределенность типа 0/0, раскрытие которой приводит к некоторому постоянному соотношению между координатами y2 и y1, что не исключает полную изоляцию объекта защиты в виде твердого тела (M, J) от вибраций опорной поверхности, поскольку одновременно на этой частоте координаты y1, y2 проходят через положение динамического равновесия.

Возможные формы графиков зависимостей —(а) при различных сочетаниях физиче-

У1

ских параметров системы приведены на рис. 4, а - d■

Путем соответствующего выбора параметров в системе при действии кинематических возмущений z(t) могут быть реализованы движения с различными формами распределения амплитуд колебаний по длине (/10 + /20) твердого тела, в частности, при y2/y = 1 или

y2/y =-1, а также режимы динамического гашения колебаний по координатам y1, y2 или в

системе координат y0, ф.

Характерным для зависимости — является то обстоятельство, что при а^да систе-

z

ма входит в режим «запирания», при котором N = Щ(р) = const. Зависимости аналогичного

типа при p ^да характерны и для графиков —(а) ■

У1

Что касается зависимостей передаточных функций —(а), то они носят достаточно

У1

сложный характер, что также характеризуется наличием нулевых значений числителя и знаменателя (21) при «запирании» на высоких частотах.

Рис. 4. Варианты амплитудно-частотных характеристик — (а) при различных сочетаниях

2

параметров: тт. (1), (2) соответствуют частотам динамического гашения колебаний;

тт. ®1соб, ®2соб ~ резонансным режимам

Fig. 4. Variants of amplitude-frequency characteristics — («) under different parameter combinations:

z

points (1), (2) correspond to the frequencies of dynamic damping of oscillations; points £У1соб, ¿У2соб - correspond to the resonance modes

При исследовании влияния передаточных отношений рычажных связей, определяемых выражением (25) при равенстве внешних кинематических воздействий, выражение (21) трансформируется к виду

y _ [Ma(a-b) + 2Je2]p2 + k

W ( p) = e =

y [Mb(b - a) + 2 Je2 ]p2 + k

(26)

В общем виде графики зависимостей 4М®) приведены на рис. 5, а, Ь. При равенстве

У

нулю знаменателя (26) соответствующие частоты на оси абсцисс обозначены тт. (2). В свою очередь, при равенстве нулю числителя (26) эти частоты обозначены тт. (1).

При рассмотрении динамических эффектов в системе координат у, ф могут проявляться особенности движения, которые возможно использовать для решения специфических задач вибрационной защиты.

У? / 4

Рис. 5. Варианты графиков зависимостей — (а) при равенстве операторов «блокирования» z(t)

У1

и различных параметрах системы: а - частота «зануления» y2 меньше частоты «зануления» y1; b - частота «зануления» y2 больше

частоты «зануления» y1

V

Fig. 5. Variants of the graphs of dependencies — (a) under the equality of "blocking" operators z(t)

VI

and different parameters of the system: а - frequency of "zeroing" y2 is lower than the frequency of "zeroing" y1; b - frequency of "zeroing" y2 is higher than the frequency of "zeroing" y1

Система координат у0, ф при кинематическом возмущении. Используя (1)-(5), запишем выражения для кинетической и потенциальной энергий исходной системы в координатах у0, ф при кинематическом возмущении со стороны опорной поверхности:

Т = +j-J(j>2+j-n7l [-/, (у0 - 110ф) + ¿(1 + 7, )У +

2

2

+ ^ т2 [-/, (у0 + 120ф) + ¿(1 + )]2;

2

1

2

(27)

П = 1 к( у0 - /10ф - ¿)2 +1 к2 (у + /20ф - 7)2. (28)

Проведем ряд аналогичных выкладок, как это описано в предыдущих разделах, и получим систему уравнений движения в координатах _у0, ф. Коэффициенты уравнений в операторной форме приведены в табл. 3.

Структурная схема системы имеет вид, показанный на рис. 6. Согласно обозначений ац, а12, а21, а22, приведенных в табл. 3, получим:

Е[ = [щц (1+ц ) + (1+4 }]р2 + к + к2; (29)

R2 = [-mi (1 + i)lw + mh(! + i'2)^2q]p2 -kho+ Kho• (30)

Передаточные функции системы при кинематическом возмущении z имеют вид:

W "( P) = У- = a22 R1 + а12 R2 .

1 _z A(p) '

W\p) = Ф = ai1R'2 + a21Rl'

(31)

* акР) • (32)

где А(р) - характеристическое уравнение, А(р)= апа22 ~ап, в котором ац, а12, а22 определяются из табл. 3; Я[, Я'2 определяются выражениями (29) и (30).

Коэффициенты уравнений движения системы в координатах y0, ф в операторной форме при кинематическом возмущении

Coefficients of equations of system motion in the coordinates y0, ф in an operator form under kinematic excitation

Таблица 3

Table 3

aii a12

(M + т/2 + )p2 + k + k2 (-m1i^lV> + m2i^l20)P2 -k1l10 + k2l20

a21 a22

(Î^O + ml^P2 - k1l10 + k2l20 + Щ^о + m2/2l20 0)PP + k1l120 + k2l220

Обобщенные силы / Generalized forces

Q Q'

z -[mi (1+/)+mi2 (1+h )]p2+z • (k + k ) z • [—m/1 (1 + /1)l10 + Щ2г2(1 + /2)l20^-P2 -z • (k1l10 -k2l20)

Рис. 6. Структурная схема исходной системы (по рис. 1) в координатах y0, ф при кинематическом воздействии со стороны опорной поверхности Fig. 6. Structural scheme of the original system (Fig. 1) in the coordinates y0, ф under kinematic

excitation by the supporting surface

Динамические свойства системы в координатах _у0, ф имеют свои особенности, однако

добиться одновременного достижения y0 = 0 и ф = 0, как в системе координат yi и y2, не представляется возможным при данном наборе типовых элементов и привлекаемых дополнительных устройствах в виде рычажных механизмов.

Рассмотрение передаточных свойств рычажных связей между координатами y0 и ф производится на основе передаточной функции межпарциальных связей

W2( p) = Цг =

Уо _ a22R1 + a12 R

ф anR2 + a12 R1'

(33)

где ац, ai2, a21, a22 приводятся в табл. 3.

B целом динамические свойства системы в координатах y0 и ф отражают те же особенности, что и в системе, движение которой описывается координатами y1 и y2 (в качественных формах представлений). При этом отметим, что рычажная связь в данном случае, в физическом сигнале трактуется как «виртуальная», поскольку она реализуется в условном винтовом механизме. Детализированные представления по этому вопросу приводятся в работах [16, 17].

Заключение

Bведение в структуру механических колебательных систем различного назначения дополнительных связей в виде рычажных механизмов существенно изменяет динамические свойства систем, в частности, в задачах вибрационной защиты.

Предлагаемый метод построения математических моделей на основе использования структурных схем эквивалентных в динамическом отношении системам автоматического управления обладает возможностями отображения процессов формирования динамических связей и детализации проявления их свойств с учетом конкретных конструктивно-технических форм механизмов.

1. Разработана технология или методическая основа построения математических моделей механических систем с дополнительными связями, реализуемыми рычажными механизмами в различных системах координат.

2. Показано, что кинематическое возмущение имеет принципиальные отличия по сравнению с воздействиями силового характера. Отличие объясняется необходимостью учета переносных сил инерции, создающих новые эффекты, в том числе динамического гашения колебаний.

3. Предлагается физическая трактовка явления динамического гашения как эффекта «блокирования» прохождения воздействия через квазипружину, обладающую фильтрующими свойствами.

4. Bведение рычажных связей, реализующихся механизмами, обладает возможностями настройки состояний системы на избирательность влияния вибрации при решении задач вибрационной защиты объектов различного назначения.

Библиографический список

1. Clarence W. de Silva. Vibration. Fundamentals and Practice. Boca Raton, London, New York, Washington, D.C.: CRC Press, 2000. 957 p.

2. Xiuting Sun, Xingjian Jing, Multi-direction vibration isolation with quasi-zero stiffness by employing geometrical nonlin-earity, Mechanical Systems and Signal Processing, Volumes 62-63, October 2015, Pages 149-163, ISSN 0888-3270, http://dx.doi.org/10.1016/j.ymssp.2015.01.026.

3. Harris СМ, Piersol A.G. Shock and Vibration Handbook. New York: McGraw Hill Book Со, 2002. 1457 p.

4. Елисеев С.Б., Белокобыльский С.Б., Кашуба Б.Б. Mатематическое моделирование в механических колебательных системах. Mехатронные подходы II Проблемы машиностроения и автоматизации. 2011. № 3. С. 70-78.

б. Елисеев С.Б., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Mехатронные подходы в динамике механических колебательных систем. Новосибирск: Наука, 2011. 384 с.

6. Елисеев С.Б., Артюнин А.И. Прикладная теория колебаний в задачах динамики линейных механических систем. Новосибирск: Наука, 2016. 459 с.

7. Karnovsky I.A., Lebed E. Theory of Vibration Protection. Springer International Publishing, Switzerland, 2016. 708 p.

8. Белокобыльский СБ., Елисеев СБ., Ситов И.С. Динамика механических систем. Рычажные и инерционно -упругие связи. СПб.: Политехника, 2013. 319 с.

9. Елисеев СБ., Хоменко А.П. Динамическое гашение колебаний: концепция обратной связи и структурные методы математического моделирования. Новосибирск: Наука, 2014. 357 с.

10. Елисеев СБ., Mосковских А.О., Большаков Р.С., Савченко A.A. Bозможности интеграции методов теории цепей и теории автоматического управления в задачах динамики машин II Наука и образование: научное издание MrTy им. Н.Э. Баумана. 2012. № б. С. 277-296.

11. Коловский M.3. Aвтоматическое управление виброзащитными системами. M.: Наука, 197б. 320 с.

12. Елисеев СБ., Резник Ю.Н., Хоменко A.^, Засядко A.A. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов. Иркутск: Изд-во ИГУ, 2008. б23 с.

13. Фомичева Е.В., Фомичев П.А. Новые направления в разработке средств виброизоляции // Альманах мировой науки. 2016. № 3-1 (6). С. 95-96.

14. Барановский А.М., Федосеева М.А. Колебания упругих элементов виброизоляторов // Научные проблемы транспорта Сибири и Дальнего Востока. 2015. № 1. С. 142-146.

15. Кузнецов Н.К. Динамика управляемых машин с дополнительными связями. Иркутск: ИрГТУ, 2009. 290 с.

16. Елисеев С.В., Ковыршин С.В., Большаков Р.С. Особенности построения компактов упругих элементов в механических колебательных системах. Взаимодействия с элементами систем и формы соединения // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. № 4 (36). С. 61-70.

17. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Квазиэлементы в механических колебательных системах. Особенности систем при исключении переменных динамического состояния // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. № 2 (38). С. 8-17.

References

1. Clarence W. de Silva. Vibration. Fundamentals and Practice. Boca Raton, London, New York, Washington, D.C., CRC Press, 2000, 957 p.

2. Xiuting Sun, Xingjian Jing, Multi-direction vibration isolation with quasi-zero stiffness by employing geometrical nonlinearity, Mechanical Systems and Signal Processing, Volumes 62-63, October 2015, pages 149-163, ISSN 0888-3270, http://dx.doi.org/10.10167j.ymssp.2015.01.026.

3. Harris S.M., Piersol A.G. Shock and Vibration Handbook. New York, McGraw Hill Book So, 2002, 1457 p.

4. Eliseev S.V., Belokobyl'skii S.V., Kashuba V.B. Matematicheskoe modelirovanie v mekha-nicheskikh kolebatel'nykh sistemakh. Mekhatronnye podkhody [Mathematical modeling in mechanical oscillatory systems. Mechatronic approaches]. Problemy mashinostroeniya i avtomatizatsii [Engineering and Automation Problems]. 2011, no. 3, pp. 70-78. (In Russian)

5. Eliseev S.V., Reznik Yu.N., Khomenko A.P. Mekhatronnye podkhody v dinamike mekhanicheskikh kolebatel'nykh sistem [Mechatronic approaches in mechanical oscillation system dynamics]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2011, 384 p. (In Russian)

6. Eliseev S.V., Artyunin A.I. Prikladnaya teoriya kolebanii v zadachakh dinamiki lineinykh mekhanicheskikh sistem [Applied theory of oscillations in the problems of linear mechanical system dynamics]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2016, 459 p. (In Russian)

7. Karnovsky I.A., Lebed E. Theory of Vibration Protection. Springer International Publishing, Switzerland, 2016, 708 p.

8. Belokobyl'skii S.V., Eliseev S.V., Sitov I.S. Dinamika mekhanicheskikh sistem. Rychazh-nye i inertsionno-uprugie svyazi [Dynamics of mechanical systems. Lever and inertial-elastic linkages]. St.-Petersburg, Politekhnika Publ., 2013, 319 p. (In Russian)

9. Eliseev S.V., Khomenko A.P. Dinamicheskoe gashenie kolebanii: kontseptsiya obratnoi svyazi i strukturnye metody matematicheskogo modelirovaniya [Damping of dynamic oscillations: feedback concept and structural methods of mathematical modeling]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2014, 357 p. (In Russian)

10. Eliseev S.V., Moskovskikh A.O., Bol'shakov R.S., Savchenko A.A. Vozmozhnosti integratsii metodov teorii tsepei i teorii avtomaticheskogo upravleniya v zadachakh dinamiki mashin [Integration possibilities of the chain theory methods and the automatic control theory in solving problems of dynamics of machines]. Nauka i obrazovanie: nauchnoe izdanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education. Bauman Moscow State Technical University]. 2012, no. 6, pp. 277-296. (In Russian)

11. Kolovskii M.Z. Avtomaticheskoe upravlenie vibrozashchitnymi sistemami [Automatic control of vibration protection systems]. Moscow, Nauka Publ., 1976, 320 p. (In Russian)

12. Eliseev S.V., Reznik Yu.N., Khomenko A.P., Zasyadko A.A. Dinamicheskii sintez v obobshchennykh zadachakh vibrozashchity i vibroizolyatsii tekhnicheskikh ob"ektov [Dynamic synthesis in generalized problems of vibration protection and control of technical objects ]. Irkutsk, IGU Publ., 2008, 523 p. (In Russian)

13. Fomicheva E.V., Fomichev P.A. Novye napravleniya v razrabotke sredstv vibroizolyatsii [New directions in the development of vibration insulation means]. Al'manakh mirovoi nauki [The Almanac of World Science]. 2016, no. 3-1 (6), pp. 95-96. (In Russian)

14. Baranovskii A.M., Fedoseeva M.A. Kolebaniya uprugikh elementov vibroizolyatorov [Elastic suspension units oscillation]. Nauchnye problemy transporta Sibiri i Dal'nego Vostoka [Scientific problems of Transport in Siberia and the Far East]. 2015, no. 1, pp. 142-146. (In Russian)

15. Kuznetsov N.K. Dinamika upravlyaemykh mashin s dopolnitel'nymi svyazyami [Dynamics of controlled machines with additional ties]. Irkutsk, IrGTU Publ., 2009, 290 p. (In Russian)

16. Eliseev S.V., Kovyrshin S.V., Bol'shakov R.S. Osobennosti postroenijy kompaktov uprugih elementov v mehanich-eskih kolebatel'nyh sistemah. Vzaimodejstvija s jelementami sistem i formy soedinenija [Construction features of elastic elements compacts in mechanical oscillation systems. Interactions with system elements and connection forms]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern Technologies. System Analysis. Modeling]. 2012, no. 4 (36), pp. 61-70. (In Russian)

17. Khomenko A.P., Eliseev S.V. Kvazielementy v mekhanicheskikh kolebatel'nykh sistemakh. Osobennosti sistem pri

isklyuchenii peremennykh dinamicheskogo sostoyaniya [Quasi-elements in mechanical oscillation systems. Features of systems at the exclusion of coordinates of dynamical conditions]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern Technologies. System Analysis. Modeling]. 2013, no. 2 (38), pp. 8-17. (In Russian)

Критерии авторства

Елисеев С.В., Кашуба В.Б., Кинаш Н.Ж., Елисеев А.В. предложили метод построения математических моделей и оценки динамических состояний в задачах поиска и разработки способов и средств вибрационной защиты для объектов с несколькими степенями свободы, провели обобщение и написали рукопись. Елисеев С.В., Кашуба В.Б., Кинаш Н.Ж., Елисеев А.В. имеют равные авторские права и несут одинаковую ответственность за плагиат.

Authorship criteria

Eliseev S.V., Kashuba V.B., Kinash N.Zh., Eliseev A.V. have proposed a method of mathematical model construction and evaluation of dynamic states in the problems of search and development of methods and means of vibration protection for the objects with multiple degrees of freedom. They summarized the material and wrote the manuscript. Eliseev S.V., Kashuba V.B., Kinash N.Zh., Eliseev A.V. have equal author's rights and bear equal responsibility for plagiarism.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Conflict of interests

The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.

Статья поступила 24.11.2016 г. The article was received 24 November 2016