CC BY
13
УДК 517.956
ВИДОИЗМЕНЕННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, ВЫРОЖДАЮЩЕЙСЯ НА ОКРУЖНОСТИ И В НУЛЕ
л
© Г.А. Тренёва1
Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами может принадлежать разным гомотопическим классам в зависимости от точки области, в которой рассматривается эта система. Многообразия вырождения разбивают первоначальную область на части. Представляет интерес изучение влияния такого вырождения на характер разрешимости граничных задач. В работе рассмотрена система двух дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с вещественным параметром, эллиптичная везде, кроме начала координат и окружности, на которых происходит параболическое вырождение. Доказано, что видоизмененная задача Дирихле для этой системы в круге, как содержащем окружность вырождения, так и находящемся внутри нее, разрешима: одна из компонент решения определяется единственным образом в классе ограниченных функций, а вторая - с точностью до линейной функции. Библиогр. 5 назв.
Ключевые слова: эллиптические системы; вырождение; видоизмененная задача Дирихле.
MODIFIED DIRICHLET PROBLEM FOR THE ELLIPTIC SYSTEM DEGENERATING ON A CIRCUMFERENCE AND AT ZERO G.A. Treneva
Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
The system of partial differential equations with variable coefficients can belong to different homotopic types depending on the domain point it is considered in. Degeneration manifolds split the original region into parts. The study of the degeneration effect on boundary value problems solvability is important. The article considers the system of two second-order partial differential equations with a real parameter. This system is elliptic everywhere, except for zero point and the circumference, where parabolic degeneration takes place. The author proves that the modified Dirichlet problem is solvable for the system within the circle that may contain a degenerating circumference or can be inside of it. One of the sol u-tion's component is uniquely specified in a class of confined functions while the second one is determined to the accuracy of a linear function. 5 sources.
Key words: elliptic systems; degeneration; modified Dirichlet problem.
Для сильно эллиптических систем уравнений в частных производных второго порядка в достаточно малой области с гладкой границей задача Дирихле с любыми непрерывными граничными данными всегда разрешима и ее решение единственно. Такие системы встречаются в стационарной изотропной теории упругости. В настоящее время системы с многими независимыми переменными, не удовлетворяющие условию сильной эллиптичности по Вишику, еще недостаточно изучены. Для математики их исследование важно и актуально. Интересные результаты для не сильно эллиптических систем с параметром или с младшими производными получены в работах А.И. Янушаускаса [5], Е.А. Головко, Г.А. Тренёвой [3], Л.С. Сергиенко [4] и др. Но в данной теории еще много неясных вопросов, и один из них о том, как влияет структура системы на разрешимость задачи Дирихле.
В области 0\{х2 + у2 < К2} рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка
-(Х2 + y2)&U + + Vy) = 0,
(1)
-(х2 + y2)&v + Л—(их + vy) = 0,
где 1 > 0 - вещественный параметр. Продифференцируем первое уравнение системы (1) по х, а второе -по у:
д2 , .
(х2 + у2)Аих + 2хАи = 1— (их + уу), д2
(х2 + у2)Аих + 2уАу = 1— (их + ру)
и сложим полученные соотношения
(х2 +у2 - Л)А(их + уу) + 2хАи + 2уАу = 0. (2) Введем обозначение
Н = их+ уу. (3)
Выразим Аи, Ау из (1), тогда из (2), с учетом (3), получим
(х2 + у2)(х2 + у2- 1)АН + 21(хНх + уНу) = 0. (4) Характеристический определитель системы (1) имеет вид
1Тренёва Галина Александровна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, тел.: 89025660327, e-mail: [email protected]
Treneva Galina, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Department of Mathematics, tel.: 89025660327, e-mail: [email protected]
йе1 = (х2 + у2)(х2 + у2 — Л)(% + ?2) .
Следовательно, система эллиптична везде, кроме точки х = у = 0 и окружности х2 +у2 = Л, на которых происходит параболическое вырождение. Собственные числа характеристической матрицы имеют вид
И1 = (Л—(х2+у2))(£ +
И2 = -(*2+УЖ +
т.е. система (1) сильно эллиптична при х2 +у2 > Л и слабо эллиптична при 0 < х2 + у2 < Л [1].
Рассмотрим сначала краевую задачу при Я2 > Л: найти регулярное ограниченное решение системы (1) в области й с границей Г: {х2 +у2 = Я2}, удовлетворяющее условиям
и1г = Пх,у1 (ТХ + ШГ = 9(Х,У)' (5)
где ¡(х,у) е С2д(Г), 9(х,у) е С1'В(Г).
Сначала определим функцию Н из уравнения (4) и второго из краевых условий (5). Дифференцируемую функцию 9(х,у) можно разложить в абсолютно сходящийся ряд Фурье:
9
= ^^ cos 1ф + Bl sin lq).
1=0
Уравнение (4) эллиптично в круге, следовательно, все его дважды дифференцируемые решения анали-тичны в круге. Н представим в виде [5]: Н = Y*i-0[Pi(x2 + y2)rlcoslp + qi(x2 + y2)rlsinlp], (6) где pl, ql - функции от (x2+y2). Для определения коэффициентовpl(x2 + у2), 9i(x2+y2) подставим (6) в уравнение (4). С учетом соотношений
dpl d2pl Л=2хр1, = 4x2pl' + 2р[,
x — (r coslp) +y — (r coslp) = lrlcosl(p
dy
получим
dpl д
й(р,г 1соб1 р) = Ар,г 1соб1ш + 2———(г 1соб 1р) др1 д
+ 2— — (г 1соб1 р) =
= [4(х2 +у2)р"]г 1соб 1р
+ 4хр1 — (г с об I р) + 4ур! — (г1соз1р) ох ду
= [4(х2 + у2)р" + 4р'(1 + 1)]г1соБ1р.
Из (4) получим систему уравнений
(х2 + у2)(х2 +у2- Л)[4(х2 + у2)р'{ + 4р'(I + 1)]
+ 4Л(х2 + у2)р! + 2Л р1 = 0,
(х2 + у2)(х2 + у2 — Л)[4(х2 + у2)чГ + 4ч'(1 + 1)]
+ 4л(х2 + у2)д' + 2Л ц1 = 0.
Положим, I = х2 +у2, ш1 = ш1(р1,ц1):
г( t — Л)[4 + 4(1 +1)] + 4Лгш\ + 2Лгщ = 0.
В этих обозначениях получим
(7)
Н = '^[С1ш1(х2 + y2)rlcoslp + 01ш1(х2 + y2)rlsinlp]
=0
и, согласно краевому условию,
Н1Г = '^[ClMl(R2)Rlcoslp + DlMl(R2)Rlsinlp]
=0
i
= '*^(Alcoslp + B^inlp),
=0
откуда
Al = Cl^l(R2)Rl, Bl = DMR2)Rl. Следовательно,
H=l
l=-,ai{xl+^()^R:yl)1(Alcoslp+Blsinlp). (8)
Поделим уравнение (7) на 4t2(t - Л): t + t l- Л l Л1
Ш1 + TZ-- Ш1 + T + 7 -- Ш1 = 0
t(t- Л) l 2t2(t- Л)
и приведем к виду
rr , fl , M ' I Л 1 r,
ш, + I - +--) Ш] +---ш, = 0.
V t t-л) l 21 (t-Л) l
(9)
Уравнение (9) является дифференциальным уравнением Римана [2] с коэффициентами а2 = а'= 0, а3а3 = 0, а1 + а1 = 1 — I, —а1а1 = 1~.
Из системы двух последних равенств находим
а =■
l-Jp+i
а = ■
- l+Jl2+i
а из соотношения ах + а' + а2 + а'2 + а3 + а'3 = 1 при а3 = 0 получим а'3 = L Решения уравнения (9) являются частными случаями Р-функций Римана:
(0, Л, м ш1(а1,а[;1-1;1) = р\а!, 0, 0 ^ (а', 0, I
(а само уравнение (9) может быть приведено к уравнению Гаусса и проинтегрировано).
В окрестности регулярной особой точки t = Л уравнение (9) можно представить в виде
(10)
J. / J. V2 „ , _ п
I)/ +--Ш] +--ш1 = 0,
-Л -Л
где
pi=-(t- Л) + 1 = 1+-к- Л) - —2(t - Л)2
t л л
+ -s(t- Л)3--,
p2
Л
2F2
Л1
У
Л3
t- Л)+-.( t- Л)2-\( t- Л)3
Л2 Л3 Л4 Л5
+
- голоморфные в окрестности точки I = Л функции. Один из интегралов уравнения (10) находится в виде [5]:
= ^ — Л)г Хк=о ак({ — Л)к. (11) Подставляя в уравнение (10) и при-
равнивая коэффициенты при степенях Л) к нулю, получаем систему
а0(г(г — 1) + г) = 0,
^((г + 1)г + г + 1) + а0^(г + 1) = 0, ((г + 2)(г + 1) + г + 2) + а^г + 1+1)
йп((Г
i
1
2
2
i
ак(г + к)2 + ак-1^(г + к-1+1)- ак-2^г(г + к-2 + 1) + °„-з 11(г + 11-3 + 1)--++а,1(-1)"1 ±(г +
Положив /д(г) = г(г - 1) + г = г2,
Ш = (-1)
к+1
Ю
приведем систему к более простой форме: а0[0(г) = 0,
а^г + 1) + ао^г) = 0,
а2[0(г + 2)+ 01&(г + 1) + аоЪ(г) = 0,
ак[о(г + Ю + ак-1[1(г + к-1) + ак-2[2(г + к-2) + -+ адГк(г) = 0,
Из определяющего уравнения [0(г) =г2 = 0 находим г1=г2 = 0. При каждом натуральном п функция /о(г + п) = п2 отлична от нуля. Значит, все ак находятся через ад Ф 0:
1 312+21
а1 = -а0~1' й2 = а0 —2 , а3
= -ап
1612 1513 + 3412 + 161
28813 '
Нетрудно показать сходимость полученного ряда (11) в области голоморфности функции <р1, <р2. Второй интеграл уравнения (10) находится из соотношения:
Щ2 =
ш
<Р1
г- 1
<и) <и
\ / = Шк |^ - 1\-1в(1)& =
= шк(вд 1пк - 1\+ <Рз(1)) = щгво - 1\+ <рА),
где <р3(^, <р4^), 9^) - голоморфные в окрестности точки г = 1 функции, в(г) = в0 + в1(г - 1) + в2^ - 1)2 + ■■■■
Для того чтобы выбрать ограниченное в окрестности особой точки 1 = 1 решение, положим С2 = 0 в формуле
ш1 = С^ + С2Шк
и получим
Ш1 = С1 (Яд -ид — (^-1)+ид-
В окрестности второй регулярной особой точки t = 0 уравнение (9) можно представить в виде
(13)
' ^Тл^ -1 + -1)2
■)■ (12)
где
<Рь = 1 +
11
1-1
( Г г3 = I------
1 1 12 13 t г2
<Рь
2(г -1)
1 12 13
- голоморфные в окрестности точки t = 0 функции. Один из интегралов уравнения (13) находится в виде
Щ:
Ьлк.
к=0 //
Подставляя ш1з, ш'к, ш"3 в уравнение (13), получим определяющее уравнение
I
г2 + г(1 - 1) - - = 0
2
с корнями
1 - 1 + Л2П
1 - 1-Л2П
г, =■
ъ = ■
2 2 2 разность между которыми не равна целому числу
(г1 -г2 = V12 + 1), и систему для определения всех Ьк
через Ьд Ф 0.
Следовательно, в окрестности t = 0 решение уравнения (9) имеет вид
Щ = (С3^1 + С4^)1™=дЬк^ ,
и для выбора ограниченного решения нужно положить С4 = 0.
В частном случае при 1 = 0 из равенства (7) полу-
чим
б.
- 1)шЦ + Ь2ш'0 = 12 — [^ - 1)ш'0] = 0, т
(1-1)ш'0=О1, шд = Я^п^ - 1\ + В2.
Для выбора ограниченного, при 1 = 1, решения нужно положить й-!^ = 0.
Докажем, что уравнение (9) при 0 < t < 1 имеет только нулевое решение. Умножим (7) на ш1 и проинтегрируем от 0 до 1:
1
Г 11
4 I [^ - 1)ш"ш1 + [(^ - ЬЛ)1] + Ь2]ш'1ш1 =
о
л
+ 211 I
Л
+ 41^2 - а)(1 - 2)ш'1ш1& =
Л
= 41(ш[)Ч2^ - 1)^ о
л
+ 2 я^ь + Ю-М-М0
о
л
-21 1)(1- 2)^ = 0, о
л л
^-0(.П'* + 1<и-*+ »-№!* =
л л
= 112(1 -1)(ш2)2а +1(1-2)
оо
I -1
I - 2
1 -ь
= 0.
При 0 < t < 1 и 1> 2 подынтегральные выражения строго положительны. При 1 = 2 и 1 = 1 выражение (и - И + 21 -1) также положительно. При I = 0 уже было показано, что ограниченное решение уравнения (9) является константой. Следовательно, равенство нулю возможно только при = ш1 = 0. Но, согласно (12),
о
1
1
о
о
о
о
t
3
Ш1^=Л = Сlaо, ш'и=Л =—С1а0^Х В силу непрерывности и единственности искомого решения а0 = 0, ш1 = 0 для любого t > 0, в том числе и для t > Л. Следовательно, Н = 0 в уравнении (8).
Поэтому всякое ограниченное решение системы (1) удовлетворяет уравнениям
Аи = ■
Л
X2 + у
Л
х2 + у2 Н = их+Уу = 0.
Функция и находится как решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге й
Аи = 0, м|Г = [(х,у) в виде интеграла Пуассона
1 гП
и = —} Т"
2П ■'-П о2-
¡(Ш2-р2)
р2-2Яр соб(ф-у) + Я-
•Су.
(14)
Для нахождения функции проинтегрируем уравнение
у
Уу = —их, у = —\их(х,г)й + ф{х) о
и подставим в уравнение Лапласа А = 0:
у
— | Кххх(Х, № — Ыху + фхх = 0,
о
у
I и*тг(хЛ)С t — игл, + ф = —иг.А + ф =0,
I уух^ ' ' ху 'хх ху'у=о хх '
ху 'хх ху1у=0 'хх
х
фхх = иху1у=0 => Фх) = I и-у({,0)с%+ ах + р.
2 0
Теорема 1. При Я >Л задача (1), (5) всегда разрешима в классе ограниченных функций, причем и определяется единственным образом по формуле (14), а V - с точностью до линейной функции ах + р, где а,р - произвольные постоянные.
Рассмотрим теперь случай Я <Л. При интегрировании уравнения (7) от 0 до <Л нет противоречия, значит, вывод о том, что Н = 0, сделать нельзя. В этом случае Н находится по формуле (8), а ш1- ограниченное решение уравнения (7) в окрестности регулярной особой точки 1=0
1- 1+^12+г
Ш1(х2 + у2) = С3(х2 + у2)—2—Т^=о Ьк (X2 +у2)к (15) ( все Ьк выражаются через Ь0 Ф 0).
Решение задачи Дирихле (5) для вырождающегося в начале координат уравнения Пуассона
(х2 + у2)Аи = ЛНх имеет вид и = и1 + и2 , где щ является решением задачи
(х2 +у2)Аи = 0, и1Г = [(х,у), (16) а и2 удовлетворяет задаче
(х2+у2)Аи = ЛНх,и1Г = 0. (17)
Для решения задачи Дирихле (16) перейдем к полярным координатам х = рсоБр, у = рБтр. Применив метод разделения переменных, получим интеграл Пуассона (14).
Решение задачи (17) дает потенциал объемных масс
и2=2гхх710(х,Г, л)т^с&п, (18)
где функция Грина задачи Дирихле для гармонических в круге функций, исчезающая на границе, имеет вид
[5]: _
1 р1 1 Г2
{ ф = + + л2.
а дробь -Лц^, должна быть ограничена и иметь непрерывные первые производные, ограниченные в й,
1
= ^(х — $2 + (у — Л)2, Р2
N
—
Г + Л2
+ (у —
? + Л2
В начале координат решение ограничено:
ао 1
(Щ + и2)1х=у=о =^ + 2п
ЛНу
от { Л) -Лг-г
{ + Л2
с с Л.
Функция Грина имеет логарифмическую особенность
0(0,0; л) = —-^109(? + Л2),
а функция
Н
х2 + у2
имеет особенность, большую, чем -2, так как при /=1, согласно равенству (8), в выражение для функции Н входит множитель
(х2 +у2) 2 ,
значит, в выражение для функции
х2+ у2
входит множи-
тель
(1 +
■Л-1
■2-3
(х2+у2) 2 = (1 + ■¿)х(х2 + у2) 2 ,
X2 + у2
в котором степень ^х2 + у2 больше -2: ■2 — 3> —2. При /=2 эта степень равна (■5 — 3), при 1 = 3 — (■10 — 3), при возрастании / степень ^х2 + у2 остается больше -2. Следовательно, двумерный интеграл (18) сходится.
Решение задачи
Ъу^ = —их1г + 9(х,У) для вырождающегося в начале координат уравнения Пуассона
(х2 + у2)Аи = ЛНу имеет вид у = у1 + у2, где у1 удовлетворяет задаче
(х2 +у2)Аи = 0,
у Г
= —Щ1г + 9(Х,У),
= 0.
у Г
а у2 является решением задачи (х2 + у2)Ау = ЛНу, Как и прежде, у1 определяется с точностью до ах + р как решение задачи Неймана. Функцию у2 дает потенциал объемных масс
П П
ЛНф
т.-С£Сф-
? + Л2 1
-П -П
Теорема 2. При Я <Л задача (1), (5) всегда разрешима в классе ограниченных функций, причем и
= 111 отл) -
2
2
Л
П П
—п —п
Н
X
определяется единственным образом по формулам (14), (18), а V - с точностью до линейной функции ах + р, где а,р - произвольные постоянные.
Примечание 1. Для системы дифференциальных уравнений с младшими членами
-(х2 + у2)Аи +1 ^ (их + уу) + Си = 0,
-(х2 + у2)Ау + 1 ^ (их + уу) + СР=0,
где с=сопб1, также справедливы теоремы 1, 2. Уравнения, аналогичные (4) и (7), имеют вид (х2 + у2)(х2 +у2 - 1)АН + 21(хНх + уНу) + СН = 0,
^^ - 1)ш'/ + ¡[(I + - 11]ш' +
11 +С
2
ш1 = 0.
Примечание 2. В произвольной области 01, лежащей внутри окружности вырождения х2 + у2 = 1 и содержащей начало координат, краевая задача (5), где вместо Г берется Г1, для системы (1) может быть решена альтернирующим методом Шварца. Он применим для областей К ■ {х2 + у2 < 4е2} и й2,где й2 -часть Ъ1 без круга х2 + у2<£2. Область й1 представляет собой объединение й2 и круга К, кусочно-гладкие границы которых нигде не касаются друг друга. В й2 система (1) эллиптична, а в К решение выписывается явно и удовлетворяет принцип максимума. Умея решать краевую задачу для каждой из областей К и й2, можно ее решить для всей области й1 [5].
Статья поступила 25.06.2014 г.
Библиографический список
1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 262 с.
2. Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции. М.: ИЛ, 1963. 415 с.
3. Головко Е.А., Тренёва Г.А. К вопросу о разрешимости задачи Дирихле для одного класса многомерных эллиптических систем // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2011. № 2. С. 237-240.
4. Сергиенко Л.С., Баенхаева А.В. Первая краевая задача для стационарного уравнения класса Шрёдингера // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2011. № 10. С. 275-281.
5. Янушаускас А.И. Граничные задачи для эллиптических уравнений в частных производных и интегродифференци-альные уравнения. Иркутск: Изд-во ИГУ, 1997. 168 с.
