О корректности задачи Дирихле для эллиптической системы, вырождающейся в нуле и на n-мерной сфере Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

О КОРРЕКТНОСТИ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, ВЫРОЖДАЮЩЕЙСЯ В НУЛЕ И НА N-МЕРНОЙ СФЕРЕ

л

© Г.А. Тренёва1

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Принадлежность системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами тому или иному го -мотопическому классу зависит от точки области, в которой рассматривается эта система. Многообразия вырождения разбивают первоначальную область на части. Представляет интерес изучение влияния такого вырождения на характер разрешимости граничных задач. В работе рассмотрена система n дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с вещественным параметром, эллиптичная везде, кроме начала координат и n-мерной сферы, на которых происходит параболическое вырождение. Доказано, что для этой системы в области, как содержащей сферу вырождения, так и находящейся внутри неё, корректной является задача Дирихле в видоизмененной постановке, так как компоненты решения взаимосвязаны.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения; эллиптические системы; вырождение; разрешимость граничных задач; видоизмененная задача Дирихле.

ON DIRICHLET PROBLEM CORRECTNESS FOR THE ELLIPTIC SYSTEM DEGENERATING AT ZERO AND ON THE N-DIMENSIONAL SPHERE G.A. Trenyova

Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

Belonging of the system of variable-coefficient differential equations to one or another homotopy class depends on the domain point where this system is considered. Degeneracy manifolds split the original region into parts. The study of this degeneration effect on the solvability character of boundary value problems is of some interest. The paper deals with the system of n second-order partial differential equations with a real parameter. This system is elliptic everywhere except for the origin of coordinates and the n-dimensional sphere on which parabolic degeneration occurs. The modified Dirichlet problem is proved to be correct for the system within the domain that either contains a degeneration sphere or is situated inside it since the solution components are interrelated.

Key words: differential equations; elliptic systems; degeneracy; boundary value problem solvability; modified Dirichlet problem.

Для сильно эллиптических систем уравнений в частных производных второго порядка в достаточно малой области с гладкой границей задача Дирихле с любыми непрерывными граничными данными всегда разрешима, и её решение единственно. Такие системы встречаются в стационарной изотропной теории упругости. В настоящее время системы с многими независимыми переменными, не удовлетворяющие условию сильной эллиптичности по Вишику, ещё недостаточно изучены. Для математики исследование таких систем важно и актуально. Интересные результаты для не сильно эллиптических систем с параметром или с младшими производными получены в работах А. И. Янушаускаса [6], Е. А. Головко, Г. А. Тренёвой [3] и др. Но в теории эллиптических систем ещё много неясных вопросов. Одним из них является вопрос о том, как влияет структура системы на разрешимость задачи Дирихле. Данная публикация является многомерным обобщением работы автора [5]. Рассмотрим систему n дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка:

. 9 9 9 . . . 3 X—' С^Ы-

-(х- +x;+... + xJAij+A — 2^ = °, 7=1.....(1)

ox. ,=1 oxi

где Л > 0- вещественный параметр. Введем обозначение

н = Y ^

,=1 сЬс,-

Продифференцируем j-e уравнение системы (1) по * j = 1.....п :

, д д2Н -(Х^ +Х; +... + Х~) - Alt: -2Х:А11: +Л -~ = 0, 7=1 ... fj

дх. дх~

1Тренёва Галина Александровна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, тел.: 89025660327, e-mail: [email protected]

Trenyova Galina, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Department of Mathematics, tel.: 89025660327, e-mail: [email protected]

и сложим полученные соотношения. В результате придем к уравнению

п

(х2 + х; +... + х2 - Л )АН + х.А1. = 0. С учетом выражений для Ли из (1) получим

з=1

дИ

(х2 +х; + ... + х1)(х1 +х; + ... + х2 - Л) АН -2ЛУ]х/ —— = 0.

з=1

(2)

Характеристический определитель системы (1) имеет вид

= ^ + х; +... + х;; Г К +х;+...+х;-ЛХ£+£ + ...+£ /,

х1 = Х2 = ■■■ = Хп = 0

и л-мерной сферы

следовательно, система (1) эллиптична везде, кроме точки ""1 " 2 х2 +х1 + ... + х2 = Л, на которых происходит параболическое вырождение.

Пусть область £> является шаром {х2 + х; + ... + х2 <Л2}, содержащим сферу вырождения:.??2 > Л. Рассмотрим задачу Дирихле в следующей постановке: найти регулярное в шаре В ограниченное решение системы (1), удовлетворяющее на границе Г: {х2 + х; + ... + х2 =Я2} условиям:

» ./:../:, г 7/Л./ I.....п-1, (3)

"„ I бг = и /,^С1-а(ЗГ), 8Г:{хп= О, х^+.-. + х^ = Д2}. (4)

Заметим, что, по определению А.В. Бицадзе [1], регулярность функции и(Х) на бесконечности дополняется требованием стремления к нулю при | X |—> ^ не медленнее, чем \ X \2~", где л > 2 - размерность пространства.

С учетом обозначения т = х2 +х2 + ... + х2 = г2, уравнение (2) приведем к виду

(г-Л)ЛИ + ™£х. дИ =у А

т дх , дх ,

(т~Л)

дИ

дх.

+ 2(Я-т) + дИ =0.

т 1=1 д

Умножим полученное уравнение на Н. С учетом соотношений:

Е

д

1 ^

(т-Л) И

дИ

дх,.

=и Е

д

1дх 1

(т-Л

дИ

дх,.

-Е(т-Л)

'И2

Чдх,- У

н2(Л-т)пдИ _ Л-тпд(И2)^

т Е ' дх1 т Е ' дх1

Получим

п я

ЕЕ—

,=1 дх<

/ ,\ггдИ

(т-Л ^

-Е(т-Л)

Гдя}2

V ^ У

+Л1£х1.дИ1 =о.

т =1 дх

(5)

Используя формулу

д(И2)

дг

преобразуем третье слагаемое уравнения (5):

£<И') = тЕх ах,

Л-т^ д(И)2 Л-г2 д(И) д

■Е х

дх.

дг

г

ЛЛ И2

г

Л-г

2 Л И2

- И2

V У

2

г

Л-г

2

+ И 2

Л + г2

Тогда уравнение (5) примет вид

п я

Е—

,=1дх,

/ ,\тт дИ (т-Л) И-

х

+ -

дг

Л-г2

Н \ + ПЛ-т)

^2

х

V , У

+Н ■

Л + г2

=0.

(6)

Проинтегрируем полученное выражение по шару В радиуса л/Х . По формуле Остроградского интеграл от первого слагаемого равен

п

,=1

,=1

т

г

г

,=1

\

У

f У f

D, ' =1 °Xi

(т-Л)H дH

V ' дх

in a AH

У — (т-Л) н-cos at dS,

г ~~t dx. dx.

Г 11 i

где щ - углы между внешней нормалью к сфере Гх и координатными осями, йХ - элемент объема, йБ - элемент площади поверхности. Этот интеграл равен нулю, так как на сфере Гх т = Л.

Второе слагаемое формулы (6) имеет особенность при г = 0 . Но функция г ограничена в области , из которой выброшен шар К , и непрерывно дифференцируема в области Бл - К с границей Гя - Ге. Следовательно, можно применить формулу Остроградского:

д_ дг

(

Л-г г

Л

н2

dx= f t-L-H 2ds + f Л——H2 dS.

Л-г2

По определению несобственного интеграла

f-

дг

д Г Л-г2 П _ г д (Л-г2 ^

-H2

dx = lim f ^

-h 2

dx

= (Л-ЛОЛ2 (H) + lim(Л-s2О(H) =0, n > 2,

где °„ = 2( п)

Г

- площадь n-мерной сферы, (н2) , (н2) - средние значения функции H2 соот-

ветственно в шарах D и K .

При интегрировании третьего и четвертого слагаемых формулы (6) по D получаем равенство

Г /dHг 2 Л + г2 л f у(Л-т) - dX +f H —-— dX = 0,

dл i =1 v dxi j г

которое возможно лишь при h = 0.

Таким образом, в шаре D уравнение (2) не имеет ограниченных интегрируемых решений, кроме H = 0. Докажем, что и между сферами Г и Г решение только нулевое. Рассмотрим решения уравнения (2) вида

H(X) = Fi( т)о1( X), (7)

где a,(X) - однородный гармонический многочлен степени l[6]:

Aa, = 0, Ух. - = la,.

1 у i дх i 1

Для определения F,(t) подставим выражение (7) в уравнение (2):

т(т - Л) А[ F (т )о, ] + 2 Л У х, — [ F (т)о, ] = 0.

j=1

Оператор Лапласа для функции F(t) имеет вид

так как

AF1(t) = 4tF' + 2 nF',

В F В 2 F

64L = =\ 4-r = 4tF: + 2F\.

дх дх:

Оператор Лапласа от произведения двух функций равен

A[F(T )o1] = AF1(r )о + F(T )Aa, + 2]Г

CFj(t) до дх cX,

(8)

(4rFl" + 2nF' О + 4F' У х С = о,

дх.

TF +

■ +1 F'

Преобразовав второе слагаемое уравнения (8)

п dF п до

2Ло, У х. —- + 2 ЛК У х. —l = 4Л^то, + 2ЛК1О ,

l ¿—1 j ^ l ¿—i j ^ l l l l

2

D

Л

Л ^s

i=1

i=1

получим:

или

■(т-Л)

тР' +1- +' |Р

+ тЛР' =Л Р 4^= 0

Р +

Г1 п л Л ' +— 1 л

2 1

-2— +-

т т-Л

Л1 1

Р

2т т(т-Л)

Р = 0.

(9)

Качественную характеристику аналитической структуры фундаментальных систем решений в окрестности особых точек дифференциального уравнения Римана (9) дает схема Римана [4]:

0, Л, ж

Р(т) = Р \

Р, 0, 0 т р2, 0, '

где разность между корнями определяющего уравнения, соответствующего регулярной особой точке

*=-2 ('+2 - 2 > 2 - 21+2',

т = 0

Р-Р1 =ч1'+2-2) + 2' '

не равна целому числу. Значит, в окрестности нуля решение уравнения (9) имеет вид

ж

Р (т) = (ст + ст )Е к,

к=0

и для выбора ограниченного решения нужно установить с = 0 ■

В окрестности второй регулярной особой точки т = Л оба корня определяющего уравнения равны нулю, значит, решение уравнения (9) имеет вид

ж

Р'(т) = (Сз + С4 'п1т-Л1)т°Еьк (т-Л)к,

к =0

и нужно взять с = 0, так как мы ищем ограниченное решение.

Нетрудно найти выражение всех коэффициентов Ь через Ь0 ф0 и доказать сходимость полученных рядов [2]. При т = Л

Р (Л) = СД,

но при т<Л, как уже доказано, И = Р (т)юх = 0. В силу непрерывности и единственности искомого решения Ь = 0 и И = 0 при всех т> 0.

Таким образом, в случае, когда сфера вырождения находится внутри области О, уравнение (2) имеет только нулевое решение:

ж

И = Е Р(т)щ(Х) = 0.

'=0

Условиями (3) л - 1 компонента решения задачи определяется единственным образом как решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре О:

1 дН .

= 0, 7=1.....п-1.

Ли. =■

х1 +... + х„ дх

Для регулярной в шаре О гармонической функции п получаем задачу о наклонной производной:

ди

_п

дх

Г V

( п-1 дмЛ

= В(Х),

решение которой имеет вид [6]

»„(Х) = р(х1,..„хп , )([/X),

(10)

2

где р(Х) - регулярная в шаре й гармоническая функция, которая однозначно определяется функцией В (Х), а

р(хх.....хп_х) - произвольная регулярная в О гармоническая функция, однозначно определяемая заданием

условия (4). Функция ып(Х) дифференцируема в тех точках границы, в которых нормаль к Г не ортогональна оси Охп. Полученные результаты сформулируем в виде теоремы.

Теорема 1. Задача (3), (4) для системы (1) разрешима, и ее решение единственно в классе функций, ограниченных на бесконечности.

Рассмотрим теперь случай Я2 <Л. При интегрировании равенства (6) по шару, квадрат радиуса которого

меньше ^, первые два слагаемых в нуль не обращаются. Следовательно, функция Н не равна тождественно нулю. К краевым условиям (3), (4) необходимо добавить условие для определения ненулевой функции Н [6]:

ад

Н г = 1 т)ч(Х) = 1п+1(Х), /п+1 е С1а(Г), (11)

I=0

где Г: {х2 +х22 + ... + х2 =Я2} -л-мерная сфера.

Постановка задачи: найти регулярное в шаре £>: ^ +х; +... + х2 <Я2, й2</}| ограниченное решение си-

стемы (1), удовлетворяющее на Г краевым условиям (3), (4), (11).

Ограниченное в окрестности нуля решение задачи Дирихле (11) для уравнения (2) имеет вид [6]

н = £ с21гр2а1 £ акт\

1=0 к=0

где коэффициенты С, определяются из разложения /+1 в ряд по сферическим функциям.

По известной функции /-/(л- 1) компонент решения поставленной задачи находятся как решения неоднородных задач Дирихле (3) для уравнений Пуассона и состоят из двух слагаемых: и^ = и +им. ] = X,- ■ — \ где

и, удовлетворяет задаче

а иявляется решением задачи

(х12 +••• + х1 )Аи] = °> и\г = /], (12)

I -> -> \ . о дН |

(^ +...+ хп )М] =Л—, и]\г = 0 (13)

Решение задачи (12) находится единственным образом в виде интеграла Пуассона, а задачи (13) - в виде потенциала объемных масс:

1 Г ШУ

ин = — 10(Х,¥)--^ й¥, (14)

где G (Х,У) - функция Грина задачи Дирихле для гармонических в шаре й функций, исчезающая на границе и имеющая особенность порядка 2 - п. В функцию а, входит радиус -\/г , значит, в Н, входит т в степени р2 +1. При I = 1 эта степень равна

п 1 4 + 2 V 4

1 — + —Л--п + 3.

4

При дифференцировании по У1и делении на г = у2 +... + у2 из этого показателя вычитается 2. При умножении на функцию Грина к показателю степени для л/г прибавляется 2 - п. Получаем, что сумма особенностей п-мерного интеграла (14) больше, чем -п:

„ 1 п 1 1лГ „

2-п-----л--п + 3 >-п,

2 8 4 V 4

так как

3 - п +1 Гп-1] + 2 > 3 - п+1Г п -1]=5 > 0.

2 8 4^ 2 ) 2 8 4 Г 2 ] 4 При возрастании I р остается положительным, значит, для всех I выполняется неравенство

а з „

— — + 2-п >-п. 2 4

Следовательно, интеграл (14) сходится.

Компонента ии, как решение неоднородной задачи о наклонной производной для уравнения Пуассона, также состоит из двух слагаемых: ип = и + и , где и удовлетворяет задаче

Аи = 0,

Си

_п

сх

= /п+(Х) + В(Х),

а ип является решением задачи

\ / Р)у Р)у

= 0.

дх„ дх„

Полученные результаты сформулируем в виде теоремы.

Теорема 2. При Я2 <Л задача (3), (4), (11) для системы (1) разрешима, и ее решение единственно в классе ограниченных функций.

Таким образом, для системы (1) корректной является задача Дирихле в видоизмененной постановке, так как компоненты решения взаимосвязаны.

Статья поступила 23.03.2015 г.

Библиографический список

1. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966. 204 с.

2. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1941. 400 с.

3. Головко Е.А. К вопросу о разрешимости задачи Дирихле для одного класса многомерных эллиптических систем / Е.А. Головко, Г.А. Тренёва // Вестник ИрГТУ. 2011. № 2. С. 237-240.

4. Кратцер А. Трансцендентные функции / А. Кратцер, В. Франц. М.: ИЛ, 1963. 415 с.

5. Тренёва Г.А. Видоизмененная задача Дирихле для эллиптической системы, вырождающейся на окружности и в нуле // Вестник ИрГТУ. 2014. № 10. С. 180-184.

6. Янушаускас А.И. Граничные задачи для эллиптических уравнений в частных произ-водных и интегродифференциальные уравнения. Иркутск: Изд-во ИГУ, 1997. 168 с.

Г