Виброзащитные системы. Вопросы управляемости и наблюдаемости Текст научной статьи по специальности «Математика»

иркутский государственный университет путей сообщения

шшя

Елисеев С.В., Хоменко А.П.

УДК 62.52

ВИБРОЗАЩИТНЫЕ СИСТЕМЫ. ВОПРОСЫ УПРАВЛЯЕМОСТИ И НАБЛЮДАЕМОСТИ

Введение активных связей в виброзащитных системах, в тех случаях, когда сила активного управления прикладывается в одной точке, а информация, получаемая измерительной системой, используется от датчиков, располагаемых в других точках (одной или нескольких), сопровождается некоторыми особенностями, требующими учета [1]. Подходя к этой проблеме с несколько иной позиции, отметим, что на практике часто возникает ситуация, когда в виброзащитных системах (ВЗС), приходится при измерениях состояния переходить от системы координат, в которых точки приложения сил, создаваемых звеньями (или типовыми элементами) системы (точки крепления упругих элементов, демпферов и др.) не совпадают с точками наблюдения или описания состояния. В этом случае приходится сталкиваться с различными формами изменения взаимодействия между парциальными подсистемами [2].

Рассмотрим активную виброзащитную систему, имеющую несколько датчиков контроля состояния в разных точках объекта. Будем полагать, что в точке А приложено управление (рис.1), а Б1,В2,....,Вг - точки наблюдения за состоянием.

В случае конкретизации принципиальной схемы ВЗС на рис.1 ей может быть сопоставлена эквивалентная в динамическом отноше-

нии система автоматического управления, структурная схема которой позволяет определить все необходимые передаточные функции

[3].

Пусть связь между управлением и перемещением точек определяется законом:

г

р=-к X ^ (Р X г р,

(1)

р=1

Рис. 1. Принципиальная схема расположения точек управления и наблюдения

где гр - перемещение точки р,а ШАВ (р) -соответствующие передаточные функции между точками Вр и входными воздействиями. Вместе с тем

^р= ^ (Р)р(*)+5р(р=й), (2)

где 5р - закон движения точки Вр при отсутствии управления Р(£). Будем полагать, что вибрационное состояние ВЗС будет иметь в качестве выходной переменной

г

г В = Х «р ^р , (3)

р=1

тогда после ряда преобразований, аналогичных [1], найдем

г

гВ =-к X « ^ ( р )р гВ в ; (4)

р=1

при этом

5 В =^«р^р. (5)

р=1

В данном случае система может рассматриваться как эквивалентная система с некоторой одной точкой наблюдения при передаточной функции

г

^ (Р) = Х «р ^ (Р)р (6)

р = 1

с идеальным усилителем в цепи обратной связи (ОС).

Такой подход целесообразен в предположении, что весовая функция (3) при определенном выборе коэффициента локального усиления «р будет более полно характеризовать состояние системы.

Для упрощения процедур оценки свойств при этом из частотного уравнения, определяе-ВЗС могут быть выбраны главные координаты мого из (7), выводятся автономные фрагменты

системы, использование которых упрощает анализ возможностей изменения динамических свойств. Будем полагать, что виброзащитная система имеет пять степеней свободы и может быть приведена к цепной схеме, как показано на рис.2,а,б,в.

Если принять следующие обозначения: а = (Ь3 р2 + к4)[( ш5 +Ь4 )р2 + к5 + к6 ];

Ь = [( Ш 4 + Ь3 + Ь4 )р 2 + к 4 + к 5 ]х

х[(ш5 + Ь5)р2 + к5 + к6]-(!4р2 + к5)2;

a, = (ь2 р2 + к3)[(ш, + Ь, )р2 + к + к2 ]; (7)

b, = [(ш2 + Ь, + Ь2 )р2 + к2 + кз]х

х[(ш, + Ь, )р2 + к, + к2 ]-(ь,р2 + к2)2;

d =( Шз + Ь 2 + Ь з ) р 2 + к з + к 4 ,

( ш + Ь )р2 + 2 к = 0, (11)

где р = у щ, у = л/-1.

В системе с четырьмя степенями свободы (ш5 = 0, к6 = 0, Ь4 = 0) преобразованная структурная схема имеет вид, как показано на рис.3.

Для ВЗС с четырьмя степенями свободы выражения (7) редуцируется к виду

а=(Ь 3 р2 + к 4);

Ь = ( ш 4 + Ь 3) р2 + к 4 + к 5; а, =(Ь 2 р2 + к 3)[( ш, + Ь, )р2 + к1 + к 2 ]; Ь =[(ш2 + Ь, + Ь2 )р2 + к2 + к3]х

х[( Ш, + Ь, )р2 + к! + к 2 ]-(Ь, р2 + к 2 )2 ;

d =( ш 3 + Ь 2 + Ь 3) р2 + к 3 + к 4.

Отметим, что для ВЗС с четным числом

(!2)

то передаточная функция по силовому входу степеней свободы (б°лее двух) при °пределе-

нии главных частот колебаний необходимо

примет вид

^ =

ЬЬ

—. (8) dЬЬ1 -аЬх -Ьа,

Полагая, что система обладает симметрией, при которой выполняются условия:

Ь, = Ь2 = Ь4 = Ь; Ь3 = 0; = ш; к( = к, (9)

можно найти одну из главных частот системы пользованием структурной схемы на рис.4, 2 2к

учитывать некоторые особенности. В том случае, когда ВЗС имеет три степени свободы ( к5 = 0, ш4 = 0, Ь3 = 0), то структурная схема (рис.3) преобразуется, как это показано на рис.4.

Частотное уравнения, полученные с ис-

ш + Ь

(10) имеет вид

Рис. 2. Расчетная (а), структурная (б) и преобразованная (в) схемы ВЗС с пятью степенями свободы: к1 -коэффициенты упругости пружины (1 = 1,6); - массы отдельных элементов системы (] = 1,5); Ь у - приведенные массы пассивных устройств для преобразования движения (у = 1,4).

иркутским государственный университет путей сообщения

Рис. 3. Структурная схема преобразованной системы с 4-мя степенями свободы.

Рис. 4. Преобразованная структурная схема ВЗС с тремя степенями свободы.

(13)

А = [(Шэ + Ь 2 )р2 + к 3 + кА ]х

х[( т1 + Ь1 )р2 + к1 + к 2 ]х

х[( т 2 + Ь + Ь2 )р2 + к 2 + к 3 ]-( Ь р2 + к2)2

-( к3 + Ь 2 р2)2 [(т1 + Ь )р2 + к1 + к2 ] = 0.

Откуда следует, что одна из главных частот в системе имеет вид при т1 = т3 = т, Ь^ — Ь2 — Ь, к — к2 — к3 — к4 — к

2 2к .„ ..

Ю2 —-г. (14)

т + Ь

Если при определении главных координат виброзащитной системы ориентироваться на структуру, аналогичную той, что показана на рис. 3, то система связей, соответствующая симметричной расстановке, может принять вид в соответствии с рис. 5, откуда можно

ввести обозначения, аналогичные (7), (12): « — (Ь1 р2 + к 2);

Ь —(т1 + Ь1 )р2 + к1 + к2;

«1 —(Ь 2 р2 + к 3); (15)

Ь1 —[( т3 + Ь 3 )р2 + к 3 + к 4 ];

d —(т2 + Ьх + Ь2 )р2 + к2 + к3

и получить те же значения для главной частоты ю^, что и из выражения (14).

В виброзащитной системе с двумя степенями свободы структурная схема имеет вид в соответствии с рис. 6. Частотное уравнение для системы (рис.6) имеет вид А —[( т1 + Ь1 )р2 + к1 + к 2 ]х

{(т2 + Ь )р2 + к2 + к3]-(Ь1 р2 + к2 )2 — 0,

(16)

Рис. 5. Структурная схема ВЗС преобразованная к Рис. 6. Преобразованная структурная схема ВЗС с симметричному виду. двумя степенями свободы.

откуда могут быть найдены частоты главных колебаний при ш, = ш2 , к, = к2 = к3:

2 К 2 3к

ю,

= —; «2 Ш

(17)

ш + 2Ь

Сопоставляя структурные схемы ВЗС, представленные на рис.2-6, отметим, что условия симметрии имеет принципиальное значение для определения частот главных координат. Использование структурных схем позволяет выстраивать необходимые передаточные функции и, принимая во внимание особенности форм частотных уравнений в числителе и знаменателе передаточных функций, решать вопросы о взаимном расположении полюсов и нулей. Что касается частотного уравнения числителя (ЬЬ, - выражение (8)), передаточной функции ВЗС, то его структура теснейшим образом связана с выбором и типа входного воздействия и места приложения последнего

Если предположить, что в качестве обобщенных координат q,...дп выбраны главные координаты, то уравнениям ВЗС можно придать форму

ч* +£Ь^ ш + к2 qs = О* 0 )(*=1, п) (18)

I =1

где Ь*Ш элементы матрицы В, характеризующей диссипативные свойства системы. Уравнения (18) в векторной форме запишутся в виде

(¡пр2 + Вр + К)р = О ((). (19)

Здесь 1Ш - единичная, а К - диагональная матрица.

К = díag|k12,...,к2п |, (20)

а к,,...,кп - главные частоты.

Вводя обратный оператор

ш(Р)= 1

Ар2 + Вр + С

(21)

нентой вектора О ^) и законом изменения *-й обобщенной координаты:

Шш ( р )

™ с

;ю)=-

(23)

(24)

где Ар2 + Вр + С - матрица, элементы которой являются полиномами от р, найдем , что изображения по Лапласу векторов q^) и О ^)

связаны между собой соотношениями

q(t ) = Ш ( р )О ( р ). (22)

Оператор Ш(р) в данном случае называется матрицей передаточных функций системы (19), а его элементы wsШ (р)(*,ш =1,п), являются дробно-рациональными функциями р - передаточными функциями этой системы, которые могут быть определены, как показано выше, для конкретных ситуаций. Оператор

w „

1 (р) устанавливает связь между ш-й

компо-

йег( Ар2 + Вр + С)'

где Ш,,Ш (р) - алгебраическое дополнение соответствующего элемента матрицы Ар2 + Вр + С. Если В = 0, тогда

Ш ( р ) = (1пр2 + к)-1 =

= йхад [(к,2 + р2 )-1,(к2п + р2) пав (р) = п(р). 1а • 1в = £wsш (р) ^ • 1вш (24Х)

Я, Ш = 1

и, следовательно,

wss (р) = (к*2 + р2), w*ш (р) = 0 (* * ш), (25)

что позволяет получить передаточную функцию между любыми точками (например, т.т. А и В) в виде

пп

£1аА* П (кШ + р2)

пав (р)= *=1 п Ш=1-, (26)

П (к,2 + р2)

г=1

здесь ПЯ _не содержит *-го множителя, так как при отсутствии диссипации отдельные системы независимы между собой, 1а* и 1в* -компоненты векторов, определяющие перемещения т.т. А и В.

При не равных нулю, но достаточно малых Ь*Ш, из (26) получаем

п Ш (р)

пав (р) = £ (1 Г V „ч ' А 'Вш. (27) ТШ det(^np2 + Вр + к)

При этом корни уравнения

<е^1пр2 + Вр + К)= 0 (28)

являются комплексными и попарно сопряженными

р* =±^ (* =1,n), (29)

а величины ц* оказываются малыми и положительными, X * - мало отличаются от к* [5].

Подставляя (27) в выражение (6), найдем ^^АВ (р) =

п п (30)

= <Ь*-1 (1пр2 + Вр + К)£ар £Шш (р). 1а* • 1ВршШ,

р=1 5, Ш =1

где - коэффициент ш-ой собственной формы в точке Вр. Будем полагать, что резонансные характеристики (30) близки к собственными частотами ВЗС. Для обеспечения работоспособности ВЗС необходимо и достаточно, чтобы ее антирезонансные частоты чередова-

иркутский государственный университет путей сообщения

лись с резонансными. Тогда система останется устойчивой при любой величине коэффициента K (если не учитывать инерционность звеньев ОС).

Для определения условий, при которых обеспечивается чередование частот, рассмотрим сначала систему без диссипации. Подставим в (6) выражение

n / ч

^ab (p) = £ 1ab1bs (ks2 + p 2 ) =

S = 1

nn

£ UbS n(km + p2 )

_ s=1 m=1

Il (k2 + p2 )

г = 1

и получим:

^ ( p )=ГЦ (k2 + p2 )

(31)

(32)

х£ «рХ^ГЪ (кт + р2).

р —1 в — 1 т — 1

Антирезонансные частоты у 1 являются корнями уравнения

V (/у)—XX «гЬаА'П, (кт+у2)—

р—1 в—1 т(33)

£ «р +у2).

в —1 р—1 т — 1

Для того, чтобы корни этого уравнения чередовались с собственными частотами достаточно, чтобы вещественны числа V(Да ) и V(Да+1), где ка и ка+1 - две последовательные собственные частоты, имели противоположные знаки, то есть функция V(/ю) должна менять знак в каждом из интервалов (ка, ка+1) (а — 1, п -1):

г < \ n , S.

v( jk« ) = 1Аа £ ар 1В? П « (km + k2 ),

р=1 m=1

г , .. n

(34)

V(Да + 1 )— ^Аа+1£ «р П а+1 (кт + ка +1 ).

р —1 т — 1

Из (34) следует, в частности, что произведения

п / ч п , ч

Па(кт + к а ),Па(кт + к а) (35)

т — 1 т — 1

имеют противоположные знаки. Таким образом для чередования частот требуется, чтобы коэффициенты

г г

^а£ «р № , ^а+1 £ «р ^+1 (36)

р—1 р—1

имели одинаковые знаки. Известно [4], что в одной из точек системы знак коэффициента

формы можно выбирать произвольно (при этом отметим, что собственная форма определяется с точностью до постоянного множителя). Пусть 1Ав >> 0 (в — 1,п), тогда условие чередования частот принимает форму

кр) >> о( в—т\ (37)

£ ар lBpJ» 0 (s =1, n).

р—1

Условие (34) сохраняется и для системы со слабой диссипацией и определяет допустимую область значений коэффициентов «р с точностью общего множителя, который можно считать входящим в общий коэффициент усиления К.

Рассмотрим в качестве примера систему на рис. 7. Пусть одна из точек наблюдения совпадает с точкой А, в которой приложено управление, а другая — с точкой В, то есть имеется две точки наблюдения. В соответствии со структурной схемой на рис.7 частотное уравнение системы

А—[т1 р2 +(Ь + Ь1 )р+с+с1 ]

[m2 p2 + b1 p + c1 ]-(b1 p + c1 )2 = 0

может быть приведено к виду

k4 +

+

c + c

V m2

m

k2 +-cc-

=0

(38)

(39)

1 У

(в предположении малости Ь1 и Ь), что позволяет найти собственные частоты к1 и к2. Коэффициенты 1Ав и 1Вв определяются как амплитуды вынужденных колебаний при частотах воздействия к1 и к2. Поскольку один из коэффициентов каждой собственной формы может задаваться произвольно

1А. — 1А, ^

то получим

(40)

а)

с

^ллллли

ъ

\>рА

С1

pwwvj

tllll} //////

77777/ /77777

<Т\

ch

Рис. 7. Расчетная (а) и структурная (б) схемы ВЗС с двумя степенями свободы.

c

1В1 =

шА0в

(к)

, в =-

ш 0

.(1к 2)

(41)

Ш? (ук, у < (ук2 у ( )

Из условий (37), полагая , что В, совпадает

с А, а В2 - с В при а =1, имеем

1 + а.

р 2 с, + ш2 к,2

> 0,1 + а,

Р2 "^Чг > 0. (42) с, + Ш2 к 2

найти допустимую область значений ар с1 -Ш2 к12 < а < Ш2 к2 -с1

(43)

Используя (6) и подставляя в него Ш ( р ) = Д-1 ( р )(ш2 р2 + Ь, р + С, ),

( р) = Д-1 ( р)(Ь, р + С, ),

Ш ( р ) = Д-1 ( р )(ш, р2 + Ьр + Ь, р + с + с,),

получим

(44)

1

<(с1

- Ш-,

ар =-

р2

с, - шг к1

(46)

тогда из (45) следует, что 1

Ш« (= х

Д(

- ш2к,2 + Ь,ук,

шЛ

1 (с 1 + Ь ук,)

(47)

Ь ,ш 2 к.2

(Ь + Ь,)(с, - ш2к2)+ Ь,(с + с, -

с

|+ Ь ,(Ь + Ь,) ук,

Аналогичные результаты могут быть получены при

ар2 =- с1 -Ш2 к2 . (48)

2с

1

Рассмотрим более подробно (32), приняв во внимание, что, если выбирать коэффициенты ар при выполнении условия

г

^ар ^ = 0,

(49)

р=1

Учитывая, что ш2 к,2 < с, < ш2 кможно

то в (32) обратится в нуль у-е слагаемое. Тогда при ю = к у функция не будет обращаться в бесконечность поскольку все слагаемые в числителе будут содержать множитель (к2 + р2), который сократится с соответствующим сомножителем в знаменателе. Это означает, что при выполнении условия (49), система становится не наблюдаемой по главной координате qу (или слабо наблюдаемой при диссипации). Естественно, что при этом исчезает один из резонансов и один из антирезонансов. Поскольку имеется г -1 независимых параметров ар , то можно выбрать и такой, который обеспечивает выполнения условия

(50)

£ар 1Вр) =0 (*=^ *г-1).

р =1

Д( ую) (45)

2 «2 + Ь1 ую+ар 2 (Ь1 ую+с1)).

Проверка показывает, что с учетом (39)

при наименьшем и наибольшем значениях а ,

р2

удовлетворяющих условию (41), антирезонанс наступает соответственно на частотах к1 и к2. При промежуточных значенияхар2 антирезонанс находится между этими частотами. Отметим, что при приближении антирезонансной частоты к резонансной частоте на амплитудно-частотной характеристике исчезают соответствующей «правая» и «пик», а следовательно появляются возможности увеличения эффективности управления. Пусть

В ряде случаев такой выбор может оказаться целесообразным, если активное устройство предназначено для управления низко частотными колебаниями. Если при этом ограничиться одной точкой наблюдения, то увеличение коэффициента усиления может привести к неустойчивости и возбуждению колебаний с одной из собственных частот ВЗС. Выполнив условие (50) для * =1, г -1 можно сделать систему ненаблюдаемой по первым г -1 собственным частотам и исключить возможность возбуждения колебаний. Коэффициент усиления при этом можно увеличивать до такого уровня, при котором частота среза приближается к г-ой собственной частоте. Практически коэффициент формы ^ всегда определяется с некоторой погрешностью, поэтому ар выбирают с расчетом выполнения условия (37) при всех возможных отклонениях коэффициентов форм от номинальных значений.

Аналогичный подход может быть реализован и в тех случаях, когда управление Р^) формируется по скорости от точек Вр

Р = -к£^р. (51)

р=1

Введение управления по скорости часто связано с созданием достаточно интенсивной диссипации энергии колебаний, для чего сила Р( f) должна быть диссипативной, а мощность силы Р^) должна быть отрицательной при любых колебаниях объекта защиты.

Таким образом управление при нескольких точках наблюдения, если принять во вни-

с1 с1

с

с