CC BY
7
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
и7 = 0178х1 + 0.503х2 + 0317х3 + 0.07x2 + 0.217х22 --0.027х32 + 0176х1 • х2 -0.006х1 х3 + 0.039х2 х3,
с помощью которого удалось получить наилучшую аппроксимацию оптимальных траекторий (рис. 4).
Абсолютная погрешность в задаче квадратичной аппроксимации, использующей 9 параметров а, равна 0.46. Это значительно меньше погрешности в случае линейной аппроксимации, которая составляет 1.75 (табл. 1), что подтверждает очевидное свойство об улучшении качества приближения с ростом степени полинома. Аналогичные результаты получены с помощью нейронных функций.
7. Заключение.
Предлагаемые подходы к построению СОУ нелинейными процессами показали себя работоспособными. С ростом степени полинома и с усложнением структуры нейронных функций погрешности аппроксимации монотонно уменьшаются, т.е. качество синтеза управления улучшается. Для определения адекватности синтезированного субоптимального управления использовалось сопоставление расчетных значений оптимальной траектории и функционала с оптимальным решением, полученным в задаче оптимального управления, зависящего только от времени.
Проведенные численные эксперименты позволяют утверждать, что разрабатываемые алгоритмы применимы для решения задач синтеза оптимального управления.
Таблица 1
Рекордные значения функционалов и абсолютная погрешность решений задач СОУ
Рекордные значения Абсолютная
целевого функционала погрешность
СОУ/и, =У3 а х 1 /—а =1 1 1 13.28 1.75
СОУ/и 2 =и1 +а 4 х2 13.18 1.65
СОУ/и 3 =и 2 +а 5 х2 13.18 1.65
СОУ/и 4 =и 3 +а 6 х2 12.72 1.20
СОУ/и 5 =и 4 +а 7 х1 х 2 12.60 1.07
СОУ/и 6 =и 5 +а 8 х1 х 3 12.21 0.69
СОУ/и 7 =и 6 +а 9 х 2 х 3 11.99 0.46
Эталонная ЗОУ 11.53 -
Рис. 4. Оптимальные и субоптимальные траектории системы
БИБЛИОГРАФИх
1. Беллман, Р., Калаба, Р. Динамическое программирование и современная теория управления // М., Наука, 1969. 118 с.
2. Афанасьев, В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления // М., Высшая школа, 1989, 447 с.
3. Красовский, А.А. и др. Справочник по теории автоматического управления. М., Наука, 1987. 712 с.
4. Горнов, А.Ю., Диваков, А.О. Комплекс программ для численного решения задач оптимального управления. Руководство пользователя. — Иркутск, 1990. — 27 с.
5. Ливанцова, Т.С., Горнов, А.Ю. Подход к построению нелокального синтеза оптимального управления// Вестник ИрГТУ. — 2006 - № 2 (26), т.3. - С 142-148.
6. Горбань, А.Н., Россиев, Д.А. Нейронные сети на персональном компьютере // Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1996. - 276 с.
7. Тятюшкин, А.И. Численные методы и программные средства оптимизации управляемых систем. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1992. - 193 с.
8. Горнов, А.Ю., Данеева, А.В. Подход к исследованию невыпуклых задач оптимального управления с параллелепипедными ограничениями // Вестник Бурятского университета. Серия 13: Математика и информатика. Вып. 2. — Улан-Удэ: Изд-во Бурятского госуниверситета, 2005. — С. 125—131.
9. Колесников, А.А. Последовательная оптимизация нелинейных агрегированных систем управления. — М.: Энергоатомиздат, 1987. — 160 с.
Засядко А.А., Упырь Р.Ю., Логунов А.С.
УДК 62.52
ОЦЕНКА ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ВИБРОЗАЩИТНЫХ СИСТЕМ
Создание новой техники на различных стадиях проектирования, предварительного изучения свойств оценки надежности тех или иных решений, исследование результатов эксперимента в сопоставлении с исходными представлениями связано с формирование математических моделей. В зависимости от решаемых задач они могут принимать ту или иную форму, иметь различные уровни сложности, однако, общим стремлением как правило, становится ориентация на разумное сочетание возможностей упрощения и сохранения достаточной информативности о наиболее значимых динамических свойствах системы. В этом отношении по-прежнему перспективными остаются методы исследования, связанные со структурными интерпретациями динамических систем, отражающими колебательные свойства рассматриваемых объектов. Весте с тем, необходимо отметить, что традиционные подходы, основанные на известных представлениях о возможностях упругих и демпфирующих элементов, могут быть дополнены с учетом специфичных особенностей, вносимых дополнительными связями [1,2,3], которые могут принимать в различных случаях формы, физически реализуемые с помощью специально вводимых механических цепей (механизмов) [4].
I. На предварительном этапе исследований виброзащитных систем (ВЗС) предполагается, что динамическая модель является голо-номной стационарной механической системой с п — степенями свободы, положение которой определяется п — мерным вектором обобщенных координат д. Система при этом совершает малые колебания вблизи устойчивого положения равновесия д = 0 под действием обобщенных вынуждающих сил О ). Силы сопротивления, возникающие при колебаниях, пропорциональны (или приводимы) скоростям точек; предполагается, что система обладает положительной диссипацией, то есть любое её движение сопровождается рассеиванием энергии. При таком рассмотрении движение
системы в целом может быть описано уравнением Лагранжа второго рода
Aq + Bq + Cq = Q (t), (1)
где A, B, C — квадратные симметричные (nxn) — матрицы коэффициентов определенно положительных квадратичных форм
T = 2 Aq q,Ф = Bq q П = 2 Cq q, (2)
выражающих соответственно кинетическую энергию, диссипативную функцию и потенциальную энергии ВЗС. Корни частотного уравнения системы
det(C - Ak2 ) = 0, (3)
k1,k2,...,kn - образуют спектр её собственных частот [5] . Отметим также, что системы однородных алгебраических уравнений
(C - AkS )ks = 0 (4)
определяют, с точностью до произвольного скалярного множителя, собственные формы колебаний динамической системы k1, k 2,..., kn.
Общее решение уравнения (1) состоит из некоторого частного решения q,(t) и общего решения однородного уравнения
Aq + Bq + Cq = 0. (5)
Для отыскания общего решения (5) достаточно определиться с n линейно независимыми частными решениями. В качестве таковых удобно выбирать импульсные переходные функции системы S1 (t),...,Sn(t), удовлетворяющие начальным условиям
Sr (0)= 0, S r (0)= er ( r =1,... n), (6)
где er - вектор-столбец, все элементы которого равны нулю, кроме r-го, равного 1. Матрица
S (t )=|| S1 (t).....Sn (t)|| (7)
называется матрицей импульсных переходных функций [6]. С помощью такой матрицы S (t) общее решение уравнения (5) можно представить в виде
_ Чобщ = S (t )c, (8)
где c - вектор постоянных величин. Частное решение уравнения (1), соответствующее начальным условиям q, (0) = 0, q, (0) = 0, имеет вид
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
t
q. (i ) = J S (i-t)0 (x)dx.
(9)
Суммируя (8) и (9), можно получить общее решение уравнения (1) -
г
я(г ) =Яобч + Я- = 5 (г )с+| 5 (г-х)о (т)—т. (10)
0
Подставляя в (10) начальные условия, учитывая, что 5(0) =1(единичная матрица), получим
с = я0 = я (0)
тогда -
г
я(г ) = 5 (г )я (0)+| 5 (г-т)о (т)—т. (10х)
0
В системе с полной диссипацией функции 5г (г) (г =1,...,п) стремится к нулю при г->> да; при этом решение (10) стремятся к установившемуся движению, не зависящему от начальных условий. При больших значениях г движение системы (1) мало отличается отустановив-шегося, которое можно представить в форме
q (i ) = } S (i-t)Q (x)dx.
(11)
Практика расчета виброзащитных систем, как правило, ориентирована на рассмотрение двух видов движений: установившегося и реакции на ударное воздействие. Наибольший интерес представляют движения (9) при нулевых начальных условиях.
Уравнение (1) при использовании структурных подходов может быть записано в операторной форме
(лр2 + Вр+с)я = о (г), (12)
где Ар2 + Вр + С - матрица, элементы которой являются полиномами от р[ р = — | [1]. Вводя
^ —г)
обратный оператор
1 -1
р)=зртйртс <Ар2 + Вр+с)~- (13)
можно представить решение уравнения (12) в виде _
я(г ) = ш (р )о (г). (14)
Функция Ш(р) связана с функцией 5(г) преобразованием Лапласа, поэтому
Яь (р) = Ш(р)а1 (р), (14х)
откуда по известным правилам операционного исчисления следует выражение (10х).
Оператор Ш(р) называется матрицей передаточных функций системы (1), а его элементы (р)(8,т =1,...,п) являются дроб-
но-рациональными функциями оператора р, то есть передаточными функциями системы. Оператор wsm (p) в физическом смысле, отражает связь между m-ой компонентой вектора Q (i) и законом изменения S-ой обобщенной
координаты. Если все компоненты вектора Q(i), кроме m-й, равны нулю, Qt (i) = 0 (i ф m),
Qm (i) ф 0, то _
qs (i ) = wSm ( P )Qm (i). (15)
Если Qm (i) является гармоническим процессом —
Qm (i)= Qmo cos rai, (16)
то установившееся движение qs (i) также будет гармоническим
qs (i ) = Qmo 11W sm (ira)||cos[rai + arqw Sm (ira)]. (17)
Комплексная функция wsm (ira) называется частотной характеристикой, в которой содержится, нужная для решения задач виброзащиты и виброизоляции, информация. Её модуль, представляющий собой, как следует из (17), отношение амплитуды qs (i)к амплитуде Qm(i), называется амплитудно-частотной характеристикой, а функция arqw(ira), определяющая сдвиг по фазе между выходом и входом — фазово-частотной характеристикой. Функции wsm (ra) образуют, как упоминалось выше, матрицу частотных характеристик W(ira)[4].
Из (13), используя представление обратной матрицы, получаем, что
Wsm ( P )
w
■( P )=■
(18)
Ар2 + Вр + С)'
где (р) - алгебраическое дополнение соответствующего элемента матрицы Ар2 + Вр + С. Заменяя р на /га, найдем
Шт (1га)
w
>(ira):
(19)
ёе^С - Ага2 + В/га)'
При малых В можно полагать, что га = к8, то есть при совпадении гас одной из собственных частот знаменатель (19) оказывается очень малым по модулю, поэтому т (/га)| может стать большим, что соответствуют резонансному режиму.
Развивая далее исходные положения отметим, что введение дополнительных связей [3,7] в базовые структуры, описываемые уравнением (1) и (12), изменяет структуру передаточных функций (13). Хотя выражения (18), (19) и оператор Ш(р) предполагают возможности дробно-рациональных форм соотношения между параметрами, степень влияния до-
0
полнительных связей может оказаться достаточно серьезной, что может привести к изменениям представлений об устойчивости систем, формах установившихся движений и соотношениях резонансных и антирезонансных режимов.
II. В современном понимании виброзащитная система представляет собой некоторую совокупность инерционных, упругих, демпфирующих и дополнительных элементов, объединенных часто в достаточно сложную неуправляемую структуру. При построении динамической модели ВЗС приходится учитывать характер внешних связей, в том числе ширину спектра внешних воздействий. Чем выше частоты, имеющиеся в динамическом воздействии, тем большее число степеней свободы должна иметь модель системы, используемой для изучения и оценки резонансных колебаний. В сложных системах, детальное описание которых является затруднительным, перспективны методы, основанные на рассмотрении так называемых динамических характеристик [1,4]. Будем полагать, что к одной из точек системы (рис.1), например, точке Л приложена сила Р ^), в предположении, что в точке В произойдет перемещение. Обозначим через и^) проекцию перемещения на некоторое направление Вх. Связь между и^) и Р^) можно определить, используя оператор Я
)=Я(Р 0)}.
Если движение системы описывается уравнением (1), то Я можно выразить через Щ ( р ). Пусть
_ и =1в -я, (20)
где 1В - некоторый постоянный вектор. С другой стороны, если у^)- перемещение точки Л в направлении действия Р ^), то у = 1л 'Я.
Найдем обобщенную силу О, соответствующую Р ^)
О -5д = Р-5у = Р1А -8д, (21)
тогда
О (I ) = Р (I )1а . (22)
Используя (14), получим
) = 1в V(р)1а ■ Р(I).
Так как V(р) является симметричной матрицей, то
и(о=щ рУвл • т=^в ( ржо. (23)
Операторы вида ЩАВ (р), связывающие силу, приложенную в заданном направлении в одной точке системы с проекциями перемеще-
Рис.1. Принципиальная схема передачи воздействия в сложной структуре
ния другой точки на некоторое направление, называются передаточными функциями «перемещения от силы» или динамическими под-атливостями. Обратные операторы
dAB (p) = WAB ( Р) (24)
соответствуют в этом случае динамическим жесткостям [6,8].
Физический смысл передаточной функции WAB (p) или динамической податливости заключается в том, что оператор представляет собой отношение в области преобразований Лапласа изображения выходного сигнала в виде перемещения к выходному — в виде силового воздействия. Динамическая жесткость, в физическом смысле, соответствует передаточной функции, в которой выходным сигналом является сила, а входным сигналом - перемещение. В связи с этим, можно выделить некоторые особые характеристики, связывающие силу, приложенную в какой-либо точке (например, в точке Л на рис.1) с проекцией перемещения той же точки на направление действия силы (у(t)). Такие характеристики WAB (j©) и dA (j©) называется соответственно динамической податливостью и динамической жесткостью в точке Л. В настоящее время существуют достаточно развитые технические средства для измерения динамических жес-ткостей и динамических податливостей, связанных с понятиями передаточных функций W(p) и wsm (p). Такие приборы содержат устройство, создающее в точке механической системы гармоническую силу заданной амплитуды и частоты, позволяющее измерять при этом перемещения (или скорость) в какой-либо другой точке [8,9]. Если = F0 cos ©t, то для установившегося движения из (23)следует
u(t) = u0 cos(©t +ф ) =
= F0 |WAB (/®)|cos[®t+arqWAB (z©)].
Принимая, что с учетом (24)
й F (t)
(25)
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
—А (/га)| = |ША (/га)| 1ащ—А (/га) = -агдША (/га), (26) найдем -
Р0 = и0 — А (1га)|. (27)
III. Для обоснования и упрощения дальнейшего рассмотрения вопросов оценки динамических свойств ВЗС, предположим, что в качестве обобщенных координат я 1,я 2,...,яп могут быть использованы главные координаты, тогда -
п
+ £ ЬтЯ т + к8 Я* = О* (г) ( 8 =1,..., n), (28)
т=1
где Ь*т - элементы матрицы В, характеризующей диссипативные свойства системы [5,6]. Запишем уравнение (28) в векторной форме (¡пр2 + Вр+К)я = О (г), (29)
здесь 1п - единичная матрица, К - диагональная матрица -
К = .....к2п }.
При малой диссипации Ь8т становятся малыми, тогда
Ш ( р ) = (1пр2 + К)' =
= —ад{(к12 + р2 )-1,(кп2 + р2 у1},
(р) = (к2 + р2 )-1, (р)= 0, (* * т). (31) С учетом (23) получим, что
п
Шав (р)= Ш(р)1а1в = £^т (рУ^Вт (32)
(30)
или
W,n =
=Е ^ (¿2+ p2 X =
Л n ,
!wBs П (¿2+ p2 )
(33)
П (¿2 + p2 )
где произведение П* не содержит *-го множителя. Из (33) следует, что динамическая податливость ШАВ (га) является вещественной при всех значениях га, а при га->> кг ее модуль неограниченно возрастает. В этом случае, корни уравнения
П (¿2 + p2 )=0,
совпадают с собственными частотами ВЗС, и являются его резонансными частотами. Что касается корней числителя, то некоторые возможности в их оценке имеются для случая, если речь идет о динамической податливости именно в точке, при этом
nn
п* (¿m -»2 )
WA (/ю) = -1 -, (34)
П (¿2 -ю2 )
i=1
Рассмотрим числитель (34), принимая
nn
v 0»)=14 п (¿m -»2 )
s=1 m=1
тогда V (0)> 0, кроме того, значение
v )=il ГГ* (¿m - ¿2 )
m=1
является положительным, если s — нечетное число, и отрицательным — при четном s. При этом предполагается, что частота ¿s не является кратной, и величина её возрастает с увеличением номера s, а все lAS отличны от нуля. В этом случае функция V(zœ) применяет знак n -1 раз и, следовательно, имеет n -1 корней a s, расположенных между собственными частотами системы
¿1 <a 1 < ¿2 <a2 <...<an-1 < ¿n. (35) Если w = a, то динамическая податливость обращается в нуль; эти частоты называются антирезонансными. При приложении в точке гармонического воздействия частоты a s амплитуда гармонического перемещения этой точки оказывается равной нулю. Отметим, что в такой ситуации можно придти к заключению, что антирезонансная частота совпадает с собственной частотой системы, получающейся из данной наложением дополнительной связи [5]. В этом случае дополнительная связь трактуется как ограничение, препятствующее перемещению точки А в направлении приложения силы [6]. Соответствующие аналитические условие имеет вид
1a q = 0. (36)
Если частота ¿s является кратной, то числитель и знаменатель (34) могут быть сокращены на общий множитель ¿2 -ю2 ; при этом система теряет одну резонансную и одну антирезонансную частоту, а чередование (35) сохраняется. Если какое-либо 1AS = 0, то колебания по s-ой собственной форме не вызывают перемещения точки А в заданном направлении, то есть эта точка является узлом соответствующей формы. В этом случае также происходит сокращение числителя и знаменателя (34) на ¿2 -ю2 с теми же последствиями, что и в случае кратной частоты. Отметим, однако, что наложение такой дополнительной связи требует учета физических особенностей динамической системы [7].
IV. Введение дополнительных связей может оказать существенное влияние на структуру числителя и знаменателя выражения (34). Рассмотрим систему с двумя степенями свободы, имеющую дополнительную связь [10], как показано на рис.2.
Примем за обобщенные координаты этой системы горизонтальные отклонения объектов от из равновесных положений у 1 и у 2, тогда
Т 1 -2,1 • 2 , 1 • • \2
Т = о 1 +0 2 +0 Ч 71 " 7 2 ) ,
П - 2 [* 12 + г1 ( У1 " У 2 )2 + гу 2 ],
ф--2ь(ух -У2)2,
к -.-.
Рис.2. Расчетная схема механической колебательной системы с двумя степенями свободы,где приняты следующие обозначения: г, г1 - жесткости пружин, т - массы объектов, Ь - коэффициент сопротивления (Ьр - демпф ер, р =—), L - приведенная масса устройства с преобразованием движения [2]
ностей. Если Ь - 0, то собственная частота главного колебания имеет вид
К 2 -
г + 2г
. 2 Т (43) т + 2Т
При Т - 0, выражение (43) совпадает с известными результатами [8]. Однако, если Т ф 0, то при определенных условиях частоты главных колебаний могут стать равными, что можно получить при определенных соотношениях жесткостей. Если
г -
тг
Т
(37)
то
к1 - к2 -л/Т
(44)
(45)
где Ф - функция рассеивания Релея.
Используя уравнение Лагранжа 2-го рода, найдем уравнения движения при отсутствии внешних возмущений:
тУ 1 + ТУ1 -ТУ2 + гУ1 + г1 У1 -г1 У2 + ЬУ1 -ЬУ2 - 0, (38) тУ 2 + ТУ 2 - ТУ1 + ГУ 2 + г1 У 2 - г1 У1 + ЬУ 2 - ЬУ1 - 0. (39) Складывая и вычитая (38) и (39), получим тс[1 + щ 1 - 0, (40)
(т + 2Т)д2 + 2Ьд2 +(г + 2г1 )д2 -0, (41)
гдеЯ1 -У1 + У2, Я2 -У1 -У2.
Из уравнения (40) следует, что при Ь - 0 первое главное колебание определяется частотой
Примем, что к 1 - о^2, тогда из (45) следует
г г + 2г.
о — --.
т т + 2Т
(46)
Введем коэффициент у-— и перепишем
т
(46) в виде
1 + 2
о-
1 + 2у
(47)
(42)
Что касается второго главного колебания, то при его изучении появляется ряд особен-
Если о -1, то у - — или — - Т .То есть раве-г г т
нство частот главных колебаний может быть
достигнуто при выполнении соотношения
между инерционными параметрами и жес-
ткостями в виде
г1 т - гТ. (48)
В общем случае зависимость о при заданном г1 у/ г, которую можно обозначить через X, изменяющееся от 0 до да определится как
1 + 2Х {лп,
о--. (49)
1 + 2у
График зависимости о от у при фиксированных X приведен на рис.3.
Из анализа зависимостей, приведенных на рис.3 следует, что введение дополнительных связей при Ь - 0 (Т ф 0) система приобретает любопытные свойства: при определенном выборе Т (то есть значения приведенных инерционных свойств устройства для преобразования движении) возможно, в дополнение к известным свойствам [11], добиться равенства частот главных колебаний, а также возможна «рокировка» частот. В отличие от известных условий к2 > к1, можно получить и к2 < к1, что показано на рис.2. Таким образом, введение дополнительной связи типа Ьр2 [3,7] позволяет
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Ш (/га) =
п
£ 1А31ВтШ*т (/га)
я, т=1
(^2- +ц 2 + 2ц г га-га2)
(54)
Для исследования числителя выражения (54) воспользуемся условием (36) и запишем
1а ■ ш(р)• ¡а • Р(г)=0
или
Рис.3. Графики зависимости а от инерционных параметров у при различных соотношениях жес-ткостей пружин X
управлять динамическими свойствами исходной системы (рис.3), в частности режимами биения, когда необходимо получить сближение значений частот главных колебаний.
V. При не равных нулю, но достаточно малых Ьят, из (32) и (19) получаем
( р )
Ш (р )1А1АР (г ) =
п
я, т=1
йег(!пр2 + Вр + К)
Р (г )=
откуда следует, что
( р)= £ ( р)= 0
(55)
Шав ( р )= £
• ¡А51 Вт . (50)
8,т=1 ёе1;(/пр2 + Вр + К)
Из теории колебаний [5] известно, что корни уравнения
ёе1;(/п р2 + Вр + К) = 0. (51)
являются комплексными и попарно сопряженными
р* =±^ я/ я ( * =1,..., п) (52)
причем ц* оказываются малыми и положительными величинами, а X * близки к к*. Таким образом
п
£ 1А31ВтШ*т (/га)
ШАВ (/га) = -т =
4 у det(к - 1п га2 + В/га)
п
£ 1л51втШ*т (/«)
_ к, т=1
п
^(/га-/X г +ц г )(/га+ /X г +ц г)
г=1
п
£ 1л51втШ*т (/«)
_ 5,т=1
г
Х2г +ц2 + 2цгга-га2 )
г=1
откуда следует, что Xг являются резонансными частотами. При гa = Xг в знаменателе (53) появляется малый множитель 2цг/га+ц 2Г, что означает возможность увеличения модуля динамической податливости [6]. Для динамической податливости в точке ША (/га) из (53) можно получить
является характеристическим уравнением системы с дополнительной связью (в смысле установки ограничения по [5]), поэтому корни этого уравнения должны быть комплексными числами вида
рк =±у к1 -р к ( к =1.....п -1), (56)
причем все рк >> 0. При Ь*т = 0, как было показано выше, у к =а к, рк = 0; при малых Ь*т значение у к должны мало отличаться от а к, а рк будут малыми. Таким образом
Ша (/га) =
П (у к +р к + 2Р к/га-га2)
к=1_
п
П^ +ц2 + 2ц 5/га-га2)
(57)
где е - постоянный коэффициент. Если система не имеет кратных или близких собственных частот (к,2+1 - к*2 )> 2ц вкв, то чередование резонансных частот Xк и антирезонансных частот ук должно сохраниться. Если ввести обозначения
2
х 2 =
1
рк
(53)
к 2 п 2
ук+Рк 4
, Лк =—, Т2 =
X
^^ * * =ТГ, (58)
Xs +ц2
то можно записать, что
п-1 п-1
ша (/га) ="
П(у 2 +Р2 )П(! + 2 X к Л к/га-х к га2) к=1_к=1_
пп
П (X* +ц 2 )П (1 + 2Т5 ^5/'га-Т52 га2)
5 = 1
п-1
(59)
= ША (0)
П(1 + 2 х кЛ к/га-х к га2) к=1_
п
П(1 + 2Т5 ^га-Т2 га2)
Поскольку рк и ц2 - величины второго порядка малости, можно считать, что хк «у-1, Т!, »X-,1; при этом значения постоянных времени х к и Т*, также чередуются
?, т=1
®=1
Т >Х 1 >Т2 >...>т л-1 >Тп . (60)
Безразмерные положительные коэффициенты демпфирования и 28 обычно не превышают по величине 0,05-0,1 [6], поэтому на частотах га, далеких от резонансных и антирезонансных, выполняются условия
1 -X 2 га21> 2т к Лк га,|1 -Т82 га> 2Т8 £га( к-1.....п-1);
( 8-1,..., П ). (61)
В первом приближении можно считать
П (1 -X 2 га2)
Ща (¿га) - ЩА (0) •-п-, (62)
П (1 -Т2 га2)
я-1
то есть не учитывать диссипативные свойства системы. Пусть га-Т- + у (у - малая величина) или будем полагать, что га близка к резонансной частоте Xг « Т -, тогда в г-м сомножителе
знаменателя выражения (59) необходимо учитывать демпфирование; полагая, что при этом для всех к и для всех я ф г сохраняются условия (61), получаем:
Щ 0®) =
п-1
П(1 -Xк га2)
- Щ (0)--^-п--
[2у + 2Т[у(2г( -1)-Т2у2 ]П(1 -Т2 т;2 )
я-1
- Е[2 у + 2Ту(2А -1)-Тг2 у2 ],
W (^1 )l= Wa (/ю2 )| - 4Г, argWA (/га1 ) = -4,
4S r
argWA (ira2 )=- ^ ■
(66)
Аналогично можно показать, что на антирезонансной частоте значение передаточной функции определиться [6]:
l
(/х-1 Е '24rh
(67)
где Е' = Wa (0)
n-1 „
П (1 -х 2 х 2 )
k = 1_
П (1 х -2 )
-< 0,
где Е = Wa (0)--^т
П (1 -х 2 га2
)
(63)
откуда:
К(zt-1)| =\Б'|2Лг; argWA(zt-1) - - 2. (68)
Таким образом, используя представления о возможности описать движение системы в главных координатах, можно оценить при заданном спектре внешних воздействий реакцию системы с теми или иными уровнями диссипации на избирательные режимы усиления колебаний при резонансе или ослаблении при антирезонансе. Однако, и при учете сил диссипации, введение дополнительных связей может изменить картину приведенных распределений динамических свойств.
VI. Если L - 0, а b Ф 0, то мы получим систему уравнений
mql + rq 1 - 0, (69)
mq2 + 2bq2 +(r + 2rt )q2 -0, (70)
П(1 -ТТ2 )
я-1
Учитывая (60), найдем, что Е >> 0, поскольку в числителе и знаменателе (63) имеется по г-1 отрицательных сомножителя. Отсюда следует, что
Е
IW
(Т" 2Т, аг§ЩА (Т- )я-2 (64)
Границами резонансной области обычно считают такие значения га, при которых модуль динамической податливости оказывается в л/2 раз меньше, чем при резонансе. Из этого условия можно определить с точностью до малых величин второго порядка, значение га на границах
га*,2 -Т- ±Т-2г (65)
или
^-12 (65х)
у,
= +T■
—± r V-, г
Подставляя последнее в (64), находим
„ b , r + 2r,
где 2л2 =—, к2 =-L.
m V m
Приведем (70) к виду
#2 + 2n 2 q 2 + к2 q 2 = 0. (71)
Отметим, что в зависимости от уровня диссипации возможен ряд вариантов движения.
1) При n 2 < к2, то есть в случае малого сопротивления, движение по главной координате представляет собой затухающие колебания.
2) При n2 > к2, то есть в случае большого сопротивления, система будет совершать апериодические движения.
3) При n2 = к2 - реализуется предельный случай апериодического движения.
Затухающие колебания. При n2 < к2 общее решение (36) имеет вид
q2 = Ae nt sin^2 - n2 t+p2 ). (72)
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Здесь А и р определяются по начальным условиям_
" Я 20 + п 2 Я 20
Я 20 + пЯ 20
; сгдр 2 =-
Я 2
зл/к
2 - п 2 2 - 2
(73)
Движение по главной координате Я2 имеет колебательный характер, так как Я2 является периодической функцией времени г. Множитель е-п2 с течением времени уменьшается. Период затухающих колебаний определяется по формуле
Т - 2" - 2" . (74)
л/
к 2 - п 2
1 -
п2
V к 2 У
Абсолютная величина 5 - отношение двух последовательных наибольших отклонений системы от положения равновесия, остается неизменной во все время колебательного движения
т
- п—
5= е 2, (75)
а натуральный логарифм этого отклонения называется логарифмическим декрементом затухания.
Если Ь * 0, то для оценки влияния сопротивления, можно использовать уравнение (41). В этом случае
2 г + 2г,
к22 =
_
т + 2Ь Ь
2п2 =
2 т + 2Ь
По сравнению с уравнением (70), где
0 Ь ,2 г + 2г1
2п2 =—, а к2 =-L,
2 т 2 т
(76)
(77)
(78)
ния по второй главной координате определяется тем, что при возрастании главная координата г2 стремится к нулю.
Полученные уравнения движения при Ь * 0, Ь * 0 показывают, что в этом случае движение механической системы (рис.2) можно рассматривать, как наложение друг на друга гармонического и затухающего колебаний. Эти колебания имеют главные частоты к1 и к2, которые могут соотносится при определенных условиях также, как и в рассмотренном выше случае Ь * 0, Ь = 0.
VII. Для общей оценки динамических свойств ВЗС и характере изменения динамической податливости со слабой диссипацией (в обычной постановки задачи) рассмотрим (рис.4,а) типичный годограф функции ША (/га), а на рис.4,б — годограф динамической жесткости —А (/га) = Ш- (/га).
Отметим, что при экспериментальном определении зависимости ША (/га) достаточно найти ША (0), резонансные и антирезонансные частоты и ширину каждой из резонансных и антирезонансных полос. При этом однозначно могут быть определены значения всех параметров, входящих в (59). Как уже упоминалось, в ВЗС могут быть и нулевые собственные частоты, в частности, в активных виброзащитных системах или ВЗС специального назначения. Это означает, что объект защиты (ОЗ) может перемещаться как свободное твердое тело. При этом выражение для динамической податливости изменяется: например, выражение (54) принимает вид
условия п2 < к2 от введения Ь не изменяются, но значения к2 и п2 будут меньше. Введение дополнительной связи Ьр2 изменяет соотношение между собственной частотой первого главного колебания к1 и частотой второго главного колебания к2.
Апериодическое движение. При п2 > к2 общее решение имеет вид
Я 2 = Ае - п 2 - к 2 •г + р 2),
Ша (/га)-
£ ¡АБ ¡Вт^ Бт (/га)
П (X2 +ц 2 + 2ц г/га-га2)
-. (81)
-га
(79)
Если исследуются свойства ВЗС через оператор ШАВ (р), связывающий перемещения точки В с силой, приложенной в точке А, то при малых коэффициентах диссипации Ь*т выражения (50) можно привести к виду
что соответствует апериодическому движению системы.
Предельное апериодическое движение. При п2 = к2 общее решение уравнения (70) имеет вид
Я2 = е^п2 (С1 г + С2 ), (80)
Что также соответствует апериодическому движению. Общий характер этого движе-
1АВ 0га)~ 1Аг1В
/X г )
п
П^т ^г + ЬmmlX
т=1_
П (XI -X2 + Ь^г)
к=1
: 1аг1вг .(82) ЬП /X г
Поскольку коэффициенты формы в каждой точке определяются с точностью до постоянного множителя, можно, не нарушая общности, принять, что 1А1В > 0; пусть 1Ат1Вт > 0 при т =1,...,г-1; 1Аг1Вг < 0. Тогда
Рис.4. Годограф динамической податливости (а) Рис.5. Годограф динамической податливости и динамической жесткости (б) 1АВ (ш)
argWAB (iXm ) = -^ ПРИ m " Г -1,
arg WAB (iXr ) = -. в этом случае годограф
WAB (ш) имеет форму, показанную на рис.5. Сделав г -1 оборот в нижней плоскости, кривая годографа на некоторой частоте ш., лежащей между X г-1 и X г, пересекает ось абсцисс и переходит в верхнюю полуплоскость. При этом система теряет одну антирезонансную частоту (в обычной постановки задачи). Если, далее,
1 Am1 Bm < 0при m = Г, Г +1,..., S', 1a ,s + 1 lB, s + 1 > 0, то
лав s - г оборотов в верхней полуплоскости, годограф вновь переходит в нижнюю. Таким образом, форма годографа существенно зависит от числа знаков в ряду произведений lAmlBm [6].
Естественно, что при совпадении точек А и В все lAmlBm > 0 и годограф принимает форму, показанную на рис.4,а.
Рассмотрим систему, к которой в точках A1, A 2,..., Ak приложены силы
Fl (t )F (t).....Fk (t). Пусть V (t ),V2 (t).....Vk (t) -
проекции перемещений точек As на направления сил Fs (s =1, k).
По принципу суперпозиции получим, что
Vs (t) = Z^ms (p)Fm (t) (s = Ü), (83)
m = 1
здесь wms (p) - передаточные функции, связывающие силу Fm (t) с перемещениями vs (t). Соотношения (83) могут быть записаны в векторной форме _ _
_ _ V (t ) = E (p )F (t), (84)
где V(t) и F(t) - k- мерные векторы перемещений и сил, а E(p) - матричный оператор с элементами wms (p), который называется матрицей передаточных функций или операторов-динамической податливости, соответствую-
щая частотная характеристика Е(уга) - матрица динамических податливостей системы в точка А1,..., Ак.
Выразим матрицу Е(р)через V(р). Поскольку уя (£) - 1я -д, то
V ^ )- Тд, (85)
где Т - (к х п)- матрица, строками которой являются векторы 1я. С другой стороны, приравнивая элементарные работы сил Р и О, получаем О -8д - Р •SV - Р • 18д, откуда
О - . (86)
Из выражений (14), (85) и (86) находим V - ЪЩ(р)ТТР, поэтому
Е ( р )- ТЩ ( р)ТТ. (87)
Рассмотрим в качестве примера задачу определения передаточных функций системы с двумя степенями свободы, показанной на рис. 6,а,б.
На рис.6,а приняты обозначения уа -д 1, ув - д2; система дифференциальных уравнений движения при внешних силах РА и Рв имеет вид:
(т1 р2 + Ьр + с)д 1 +(Ьр +у)(д 1 - д 2)- ра ^ )] т2 р2 д 2 +(ьр +у)(д 2 - д1)-Рв (í).
Решая эти уравнения, найдем, что
д 1 - А-1 (р)
[(т2 р2 +Рр +у)Ра +(рр +у)Рв ], д 2 - А-1 (р)
[(рр +у)Ра +(т1 р2 + Ьр +Рр + с+у)Рв ],
где
(88)
(89)
Ч p) =
m1 p2 + bp +Pp + c+y -(Pp +y)
<ßp +y)
m2 p +ßp +У
. (90)
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Рис. 6. Расчетная схема ВЗС с двумя степенями свободы (а) и её структурная схема (б)
Используя (90) или структурную схему (рис. 6, б) найдем
ш (р)==
( р ) = Р- = Д-1 ( р )(т 2 р2 +рр+у);
Шав ( р )=Я- = Д-1 ( р)(рр+у);
(91)
Шв ( р ) = р2- = Д-1 ( р)(т1 р2 + Ьр + рр + с+у).
РВ
Рассмотрим более подробно передаточную функцию ШАВ (/га). Пусть ц1 ±/X1, ц2 ±/X2 будут корнями характеристического уравнения системы Д( р) = 0, тогда, обозначив
£ 2 =
р= т,
у '
ц 2 Т2 2 ,
=т12,
I 2 . . . 2 11
X2 +ц2
^ +ц 2
= Т2 £ = 1 2 ' £1
ц1Т1
получим
ш = Я-=^ =
ав р р
1 В 1 В
1 + Тр
(92)
|Шл ('га)| =
^(1 -х2 га2)2 + 4л2 х2 га2
[(1 - Т12 га2)2 + 4£2 Т12 га2 ][(1 - Т22 га2)2 + 4£2 Т22 га2 ]
(93)
На частоте га = Т1 1 система имеет резонанс лишь в том случае, если при этом числитель (93) не окажется малым. Поэтому первое слагаемое в подкоренном выражении должно быть существенно больше по модулю малого второго слагаемого. Условие
1 -х -2Т1-21> 2л1х 1Т1-1 (94)
означает, что х 1Т1 должно существенно отличаться от единицы. Аналогично, для того, чтобы имел место антирезонанс на частоте га = х -1, необходимо выполнение условия
1 -х2ТГ2|> 2Л1хТГ1 1 -х2Т2-21> 2Л2х2Т2Л (95)
В особом случае, при Ь = 0, с = 0, можно показать, что условия (94) и (95) эквивалентны следующим
ТГ1 >
р(т1 + т2)
, х 1 >
р(т1 + т2)
т2
т2
(96)
(с + у)(1 + 2Т1 £1 р + Т12 р2 )(1 + 2Т2 £2 р + Т22 р2)'
Годограф передаточной функции ШАВ (/га) или динамической податливости ШАВ (/га) при Т1 >Т2 >Т показан на рис.7. Отметим, что свойства динамических характеристик, рассмотренные выше, проявляются лишь при слабой диссипации; при этом, резонансные и антирезонансные частоты должны достаточно сильно отличаться друг от друга; во всяком случае, в резонансную область (66) не должны попадать антирезонансные частоты. Например, приведя динамическую податливость ША (/га) к форме (53), найдем, что
22 то есть резонансные и антирезонансные явления имеют место лишь в том случае, если масса т2 не слишком мала. Используя структурную схему (рис.6,б) найдем
ш (р)=Ял=
т2 р2 +рр + у
(97)
(ЩР2 + Р(Ь + Р) + с + у )(ш,р2 +13 р + у) -(Рр + у)2
Ые^ш
Рис. 7. Годограф WAB (1га) при Т1 > Т2 > Т
А
В
2
л
Щр)
' Fb
щр2 + p(b + ß) + С + у
(98)
(ЩР2 + P(b + ß) + c + у)(щP2 + ßP + у) "(ßp + у)2 '
WAB( p)
=Sb-
' F. F„
ßP + У
(99)
(тхр2 + р(Ь + р) + с + у)( т2 р2 + Рр + у) -(Рр + у)2
Таким образом, предварительная оценка динамических свойств механических систем, в отношении которых предполагается решение задач, связаных с регламентацией откликов системы на периодические возмущения, выбор и разработка технических средств защиты от вибраций и ударов, является необходимым этапом сбора информации, необходимой для построения соответствующих математических моделей. В этом плане построение годографов, использование передаточных частотных функций в различных вариантах и интерпретациях позволяет, с учетом сведений о ширине спектра внешних возмущений, с достаточной обоснованностью определяться с числом степеней свободы или условием сложности ВЗС, особенностями динамических реакций. При всей изученности классических подходов в построении колебательных моделей тем не менее, особое внимание должно уделяться анализу возможных форм и видов дополнительных связей, которые могут возникать между подсистемами и, в частности, парциальными системами. Предварительный анализ исходной ВЗС основа на представлениях о существовании определенным образом связанных между собой систем достаточно простого вида (базовые модели, главные координаты) с последующим рассмотрением структурных упрощений и динамическим синтезом
[4].
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Елисеев, С.В. Структурная теория виброзащитных систем / С.В. Елисеев; Отв. ред. А.Н. Панченков. - Новосибирск: Наука. -1978. - 212 с.
2. Елисеев, С.В. Динамика механических колебательных систем с дополнительными связями / С.В. Елисеев, Л.Н. Волков, В.П. Кухаренко. - Новосибирск: Наука. - 1988. -306 с.
3. Dynamics of mechanical systems with additional ties = Динамика механических систем с дополнительными связями / S.V. Eliseev, A.V. Lukianov, Yu.N. Reznik, A.P. Khomenko; Irkut. State University of Railway Transport. - Irkutsk: Publ. of Irkutsk State University. 2006. - 316 p. - References. P. 301-312. - Англ.
4. Елисеев, С.В. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / С.В. Елисеев, Ю.Н. Резник, А.П. Хоменко, А.А. Засяд-ко; Чит. гос. ун-т, Иркут. гос. ун-т путей сообщения. - Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та. - 2008. - 523 с.
5. Бабаков, И.М. Теория колебания / И.М. Бабаков. Москва: Наука. - 1968. - 560 с.
6. Коловский М.З. Автоматическое управление колебаниями / М.З. Коловский; Москва: Физматгиз. - 1976. - 320 с.
7. Насников Д.Н. Типовые звенья в структурных интерпретациях механических колебательных систем / Д.Н. Насников, А.С. Логунов // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. -Иркутск. - 2006. - №4 (12). - С. 76-88.
8. Harris shock and vibration handbook / Cyril M. Harris, editor, Allan G. Piersol, editor. -5-th ed. ISBN 0-07-137081-1
9. Вибрации в технике : справочник : в 6 т. Т. 6. Защита от вибрации и ударов / Под ред. К. В. Фролова. — М. : Машиностроение, 1981. - 456 с.
10. Упырь, Р.Ю. Специфические режимы в динамике базовых моделей механических колебательных систем / Р.Ю. Упырь, А.С. Логунов // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Вып. 1(18). ИрГУПС. - Иркутск, 2008. - С.76-82.
11. Яблонский, А.А. Курс теории колебаний / А.А. Яблонский, С.С. Норейко. - Москва: Высшая школа. - 1961. - 208 с.
