Вход в воду диска с углом атаки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том VIII 1977

№ I

УДК 532.58

ВХОД В ВОДУ ДИСКА С УГЛОМ АТАКИ

О. П. Шорыгин, Н. А. Шулъман

На основании анализа экспериментальных материалов с привлечением теории идеальной несжимаемой жидкости получена зависимость гидродинамической силы, возникающей при входе в воду диска, от времени, а также от углов атаки и приводнения.

Рассматривается задача о входе в воду диска в условиях, когда вектор скорости У0 наклонен к горизонту под углом 0 и имеется угол атаки, т. е. нормаль к плоскости диска отклонена от вектора скорости на некоторый угол а (фиг. 1). Предполагается, что скорость диска достаточно велика, чтобы можно было пренебречь

влиянием силы тяжести на гидродинамические силы. Сжимаемость воды также не учитывается, в связи с чем случай 0 — а = 90° (плоский удар диска) не рассматривается. Поскольку вязкость в задачах о входе в воду играет ничтожную роль, она также не учитывается. Таким образом, предполагается, что диск входит в идеальную, невесомую и несжимаемую жидкость.

Процесс погружения диска может быть разделен на два существенно отличных этапа. После первоначального контакта кромки

диска с водой начинается развитие пространственной брызговой струи, скользящей вначале по поверхности диска (см. фиг. 1). За диском начинается формирование каверны. По мере дальнейшего погружения диска каверна расширяется, охватывая все большую его часть, а брызговые струи поднимаются по поверхности диска, достигают его кромок и продолжают двигаться в пространстве как свободные частицы жидкости. После того, как основание брызговой струи подходит к верхней кромке диска, первый этап погружения заканчивается и происходит переход к погружению в режиме развитой кавитации, при котором каверна полностью охватывает диск. Фотография, приведенная на фиг. 2, дает представление о втором этапе погружения.

Многочисленные эксперименты показывают, что наибольшие гидродинамические силы возникают, когда диск погружен еще не полностью. В работе [1] показано, что сила сопротивления диска

может рассматриваться как сумма инерционной силы, связанной с изменением смоченной площади диска в процессе развития брыз-говых струй, и силы сопротивления, обусловленной мгновенным распределением скоростей на диске. После того, как диск погрузится на 1—2 его диаметра, величина гидродинамической силы становится близкой к силе стационарного сопротивления при кавитационном обтекании.

В работе [1] рассмотрен только случай а = 0. Представляет интерес провести аналогичное исследование для общего случая с тем, чтобы без получения точного решения задачи найти общую зависимость гидродинамических сил от углов 6 и а.

В принятых предположениях возникающее при погружении диска течение жидкости из состояния покоя под действием нормальных давлений должно обладать потенциалом скорости. Введем абсолютную систему координат, начало которой совпадает в данный момент с нижней точкой кромки диска (см. фиг. Г). Ось х направим вдоль нормали к плоскости диска, ось у — вдоль плоскости диска по его диаметру, а ось г — нормально плоскости чертежа. Избыточное давление Ь.р = р — р0 определится уравнением Коши — Лагранжа

*у = —ж--т(егас1 —Г ^ М

где <р— потенциал скорости, р — плотность жидкости, юх, vy, — проекции скорости жидкости на оси координат, £ —время.

Известно, что в связанной с диском системе координат, совпадающей в данный момент с абсолютной системой, имеем

$1. — ю у — V V (2)

их х иу V у> \^1

где 1/Л=1/0СО8 а, Уу =—1/081па, Уг = 0—проекции переносной скорости у0.

Поскольку нормальные скорости жидкости и диска равны, т. е. Ъг— Ух= У0СО8а, из (1) и (2) получим

Ар_

р

д'у

дЬ

V2 у о

К

.япа-

1 — 772 ( 81п а +

*2'

VI VI

с* N 1 £

У201

(3)

Сумма К0 вша + есть проекция относительной скорости жидкости на ось у, так как переносная скорость Уу = — 1/05та. Замечая теперь, что в силу симметрии течения относительно плоскости Охг проекции относительной и абсолютной скорости на ось г равны, можно записать уравнение Коши — Лагранжа в виде

т--тг+1-1/г(1-4)' <4>

где — относительная касательная к плоскости диска скорость.

Таким образом, получено выражение для давлений, состоящее из двух членов. Первый член дает давления, связанные только с нестационарностью течения жидкости. Очевидно, что после окончания первого этапа погружения течение все более приближается к стационарному, и величина первого члена должна уменьшаться. Второй член дает давления, связанные с мгновенным распределением скоростей по поверхности диска. По мере погружения первый член стремится к нулю, а второй дает давления, определяющие стационарное кавитационное сопротивление.

Физический смысл частной производной заключается в

том, что она эквивалентна производной от потенциала, заданного в подвижной системе координат. При этом учитывается нестацио-нарность только самого развивающегося во времени течения жидкости, а „конвективные11 члены ду/дЬ, связанные сдвижением тела относительно абсолютных осей, исключаются. Например, для случая прямолинейного движения тела в безграничной идеальной жидкости без каверны с постоянной скоростью производная д'^|дt будет всегда равна нулю, в то время как член уравнения Коши — Лагранжа дfjдt даст в сумме с квадратичным членом то же самое давление, которое определяется интегралом Бернулли для установившегося движения в связанной системе. Вся „нестационарность“ в этом случае будет определяться только движением тела относительно абсолютной системы координат.

Сопротивление диска при входе в воду равно

+ (5,

5(0 5(0

где 5(^) —часть площади диска, находящаяся в данный момент в контакте с жидкостью. Если диск движется в жидкости без каверны вдоль нормали к своей плоскости, то первый член силы сопротивления допускает весьма простую физическую трактовку. В этом случае пределы интегрирования не зависят от времени и справедливо равенство I^ интеграл | умноженный

5'0 50 50

на плотность, равен количеству движения жидкости с обратным знаком и может быть выражен через присоединенную массу т*

Ул/И*

как —^— . Однако при переменных пределах интегрирования, как

известно, вместо приведенного выше равенства имеет место соотношение

л т т й ни

- |/м*=} -т(1х+—т-—т. (б)

я(<) а(<>

Можно, однако, показать, что при погружении в жидкость диска добавочные члены в формуле (6) малы и понятие присоединенной массы может быть приближенно использовано и в этом случае. Для этого применим введенное Вагнером [2) разделение потока на главную область и область брызговых струй. В соответствии с идеей Вагнера брызговая струя рассматривается как совокупность свободных частиц жидкости, движущихся по инерции и не оказывающих давления на плоскость, вдоль которой они перемещаются. Если ограничиться при интегрировании только главной областью, лежащей ниже брызговой струи, то можно сделать одно важное заключение о величине потенциала на верхней границе интегрирования. Заметим, что в случае мгновенного удара по частично погруженному телу потенциал везде на свободной поверхности постоянен, причем можно принять, что эта константа равна нулю. В случае непрерывного погружения течение начинается из состояния покоя, которому может быть приписано нулевое значение потенциала.

В работе [3] показано, что в процессе погружения происходит постепенное возрастание потенциала на свободной поверхности за счет касательных к свободной поверхности составляющих абсолютных скоростей жидкости. Наибольшего значения потенциал достигает в вершине брызговой струи. Однако на бесконечности жидкость покоится, и существует поверхность нулевого потенциала, простирающаяся из бесконечности до пересечения с поверхностью диска. Поверхность нулевого потенциала проходит вблизи свободной поверхности и пересекается с диском в области основания брызговой струи несколько выше невозмущенного уровня жидкости (см. фиг. 1). В работе [3] показано, что практически все силовое воздействие жидкости на погружающееся тело определяется частью потока, лежащей ниже поверхности нулевого потенциала.

Таким образом, границей раздела главной области и области брызговых струй можно считать именно линию пересечения поверхности нулевого потенциала с поверхностью диска. Теперь

представим себе, что интегрирование давлений д'<?/dt по поверхности диска ведется по элементарным неполным кольцам, центром которых является центр диска. В этом случае интеграл / 7 R ,

[ -gp dS = 2 J J —— rd7 dr, где ^ — полярный угол, R — радиус диска, S(t) о r0 dt

r0 — кратчайшее расстояние от центра диска до границы основного потока. Поскольку значениям к и г, относящимся к началу и концу каждого неполного кольца, соответствуют значения <р, равные

нулю, добавочные члены в формуле(б) исчезают и f — dS = —f ydS.

i at dt %

Oq Oo

Это равенство, однако, в действительности является приближенным, так как избыточные давления не становятся в точности равными нулю выше линии пересечения поверхности диска с поверхностью <р = 0.

Импульс, передаваемый жидкости диском в процессе погружения, может быть представлен как V0 cos am.* (f), так как касательная составляющая скорости диска l^sina не сообщает импульса течению. Ввиду того, что скорость V0 считается постоянной, сила, действующая вдоль нормали к диску, обусловленная нестационар-

ностью течения, будет V0cosa^-. Если перейти от времени к погружению диска вдоль его диаметра h (см. фиг. 1), то h = V01 —>

COS(о а)

dh , т sin 0 -

Ил~ й cos (6 - а)~ ’ а сила> обусловленная только нестационарностью течения, может быть представлена в виде

dm* w2 cosa-sin0

Vo-zzrm—7Г- (')

dh cos (0 — a)

При экспериментальном определении гидродинамической .силы невозможно зарегистрировать слагаемые суммы (5) раздельно. Для того, чтобы выделить чисто инерционную часть силы, необходимо оценить второй член (5). В работе [1] предполагается, что распределение скоростей на погружающемся диске приближенно соответствует распределению скоростей на частично погруженном диске, движущемся горизонтально вдоль нормали к его поверхности, если исключить из рассмотрения зону брызговой струи. Это дает возможность использовать известные результаты экспериментов Е. А. Федорова по измерению сопротивления диска, проведенных в стационарном режиме с помощью буксировочной тележки. В настоящей статье эти данные также используются, однако на основании специальных опытов значения сопротивления уточнены в области малых значений безразмерного погружения (времени)

'c = -g'. гДе —диаметр диска:

при х 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

с0 0,1 0,27 0,45 0,63 0,74 0,78 0,8 0,81 0,815 0,82

Здесь £0 = —Si------------коэффициент „кавитационного" сопротив-

Р \ S

ления, р0 — сила сопротивления при заданном погружении.

Экспериментальным путем было установлено [3], что если в тех же условиях, т. е. при буксировке на заданном погружении

в горизонтальном направлении, диск имеет угол атаки, то сила сопротивления в связанной системе координат приблизительно равна

Ра = Р0сos а, са — c0cosa. (8)

На основании этого можно приближенно заменить выражение (5) гидродинамической силы, действующей на погружающейся диск, следующим:

с. dm* ,,2cosasin0 , л Fr = -п— .^ + Р0 cos a.

(9)

без-

dh ’ cos (0 — а)

- tit*

Введем безразмерную присоединенную массу т* —

Р Т

размерное погружение (или время) z=h/D и коэффициент сопро-

Fx

тивления (в связанной системе) сх —

Тогда

___ cos a ■ sin 0 dm*

Cjc я cos (0 — a) dx

(10)

Если теперь путем прямых измерений силы, действующей на погружающийся диск, определить с*(х) при различных значениях б и а, то можно найти производную

dm*

di

(сх ~ со cos “) п cos (9 а) cos a siu 0

(И)

в зависимости от т.

Измерения проводились на установке (фиг. 3), обеспечивающей прямолинейное движение диска. Направляющий рельс 1 может устанавливаться под различными углами к горизонту. Каретка 2 движется по рельсу под действием силы тяжести на системе роликов 3. Динамометр 4 жестко связан с инертной массой (грузом) 5, необходимой для сохранения углов приводнения и атаки в период воздействия гидродинамической силы. Динамометр с грузом упруго подвешен на каретке с помощью резиновых втулок 6, что позволило исключить из записей силы вибрационные составляющие, возникающие при движении каретки. Измерения проводились в связанной системе координат. Углы атаки задавались поворотом динамометра на оси 7 относительно каретки. Диаметр диска и высоты сбрасывания выбраны так, чтобы изменение скорости за время его погружения было пренебрежимо малым.

Для измерения кратковременных гидродинамических сил „удар-ного“ типа необходим прибор с достатично высоким быстродействием. В связи с этим был разработан специальный динамометр пьезоэлектрического типа (фиг. 4).

При измерении сил на диске в связанной системе координат боковые силы отсутствуют (если не фиг. 3

2—Ученые записки № 1

17

\

ОМІ С

t

1 dm it dv

Фиг. і

4

Фиг. 5

учитывать пренебрежимо малые силы трения), однако моменты, возникающие в результате неполного контакта поверхности диска с водой в процессе погружения, могут быть велики. Известно, что пьезоэлектрический преобразователь без применения специальных мер защиты может реагировать не только на те усилия, для которых он предназначен, но и на усилия, нормальные измеряемым, а также на моменты. В связи с этим особое внимание при создании динамометра было обращено на защиту от моментов. Одновременно были приняты меры и для защиты от боковых сил, так как область применения динамометра не ограничивалась исследованием входа в воду диска. Боковые силы и моменты воспринимаются системой из двух мембран 1, а измеряемое продольное усилие передается на чувствительный элемент 2 через тонкостенный цилиндр 3 с продольными вырезами.

Динамометр выделяет составляющую заданного направления из произвольной пространственной системы сил и моментов. Частота собственных колебаний динамометра с моделью массой 400 г составляет 2000 Гц. Электрометрический усилитель постоянного тока с входным сопротивлением 1011 Ом позволил проводить тарировки динамометра статическим способом и получить сигнал, достаточный для применения наиболее жестких шлейфов из комплекта осциллографа Н-115. Типичная зависимость силы от времени при погружении диска показана на фиг. 5. Вначале сила быстро возрастает, после достижения максимума происходит еще более быстрый ее спад, а затем переход к более или менее стационарному значению, соответствующему кавитационному сопротивлению.

Опыты проводились в диапазоне значений 40°-< 6 -< 86°, | а | -<20°. Случай плоского удара диска не рассматривался, так как быстродействие измерительной системы было недостаточно высоким для исследования этого режима приводнения.

Результаты измерений для нескольких значений 0 и а пред, г. 1 dm* -

ставлены на фиг. 6 в виде зависимости величины---------— от без-

1 тс ат

размерного времени т. На основании этих и других эксперимен-

dm*

тальных данных можно утверждать, что зависимость d - от т не

меняет своего вида при изменении 0 и а в рассмотренном диапазоне значений этих параметров. Максимальное значение величины

1 dm*

——составляет в среднем 0,8, а безразмерное время т, при

котором наступает максимум, равно примерно 0,65. Некоторый

разброс экспериментальных данных носит случайный характер. Полученные данные позволяют считать, что диапазон углов

dm* л

приводнения и атаки, при которых зависимость .....от т прибли-

зительно инвариантна к 6 и а, определяется углом между нормалью к плоскости диска и горизонтальной плоскостью, т. е. некоторой величиной 0 + а. Опыты показали, что при 0 + а = 40° максималь-

1 dm*

ное значение —-----составляет 0,65, а при 6-f а = 60° — уже 0,23.

На основании данных (см. выше) при т = 0,65 коэффициент сопротивления c0s^0,8. Теперь можно на основании (10) найти зависимость максимального значения сх от 0 и а:

cmax ^ 0,8 COS а I Н-7й~Т"1 '

х l cos (®— а) I

На фиг. 7 показаны результаты зависимости с“ах от а по формуле (12) при четырех значениях 6 :40°; 60°; 70° и 80°. Здесь же показаны точками значения сх, полученные в результате опытов. При б -}- а = 60° точки лежат несколько ниже расчетной кривой

1 Лт*

из-за уменьшения максимального значения----------— .

л йх

Из данных фиг. 7 следует, что предложенная зависимость с“ах от б и а является достаточно точной для практических целей в

широком диапазоне значений этих параметров. Однако с приближением величины б —а к 90° формула (12) дает неограниченное увеличение с“ах. В действительности при 6 — а = 90° (плоский удар диска) вступают в действие новые факторы, которые не учитывались в данной работе, а именно сжимаемость жидкости и наличие воздуха над поверхностью воды. Известно [3], что давления на поверхности диска при плоском ударе равны р1/0С, где С —скорость звука в воде, если не учитывать сжимаемость материала самого диска и считать, что воздуха над водой нет.

Таким образом, при 6 —а = 90° получим с“ах = 2/М, где М — число Маха для воды. Однако при плоском ударе в момент контакта с водой захватывается некоторое количество воздуха, который образует упругую подушку и приводит к дополнительному снижению гидродинамической силы. Обсуждение этих вопросов выходит за рамки настоящей работы.

Применимость формулы (12) ограничивается, во-первых, значениями скорости У0, которая, очевидно, должна быть существенно меньше скорости звука в воде, и во-вторых, значениями местных скоростей жидкости, увеличивающихся с приближением 6 — а к 90°. Величина максимально возможных местных скоростей жидкости определяется скоростью расширения смоченной поверхности, имеющей порядок

ЛИТЕРАТУРА

1. Журавлев Ю. Ф. Погружение в жидкость диска под углом к свободной поверхности. Сборник работ по гидродинамике. 1959.

2. Wagner G. Ober Stoss und Qleitvorgange an der Oberflache von Fliissigkeiten, ZAMM N 4, 1932.

3. Логвинович Г. В. Гидродинамика течений со свободными границами. Киев, „Наукова думка“, 1969.

Рукопись поступила 12\I 1976 г.